考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分概念、計算及應(yīng)用）模擬試卷1（共9套）（共242題）考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分概念、計算及應(yīng)用）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、下列可表示由雙紐線(x2+y2)2=x2-y2圍成平面區(qū)域的面積的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：雙紐線的極坐標(biāo)方程是：r4=r2(cos2θ-sin2θ)即r2=cos2θ．當(dāng)θ∈[-π，π]時，僅當(dāng)時才有r≥0(圖3．25)．由于曲線關(guān)于極軸與y軸均對稱，如圖3．25，只需考慮θ∈部分．由對稱性及廣義扇形面積計算公式得故應(yīng)選(A)．2、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，，其中t＞0，s＞0，則I的值A(chǔ)、依賴于s和t．B、依賴于s，t，x．C、依賴于t，x，不依賴于s．D、依賴于s，不依賴于t．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：I=∫0sf(u)du，選(D)．3、下列函數(shù)中在[-1，2]上定積分不存在的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：顯然，(A)，(B)，(C)中的f(x)在[-1，2]均有界，至多有一個或兩個間斷點，因而f(x)在[-1，2]均可積，即∫-12f(x)fx．選(D)．4、下列函數(shù)中在[-2，3]不存在原函數(shù)的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：先考察f(x)的連續(xù)性．關(guān)于(A)：==f(0)，f(x)在[-2，3]連續(xù)，存在原函數(shù)．(B)中f(x)如圖3．1所示，顯然處處連續(xù)，在[-2，3]存在原函數(shù)．顯然，(D)中g(shù)(x)在[-2，3]可積，f(x)=∫0xg(t)dt在[-2，3]連續(xù)f(x)在[-2，3]存在原函數(shù)．選(C)．5、積分∫aa+2πcosxln(2+cosx)dx的值A(chǔ)、與a有關(guān)．B、是與a無關(guān)的負(fù)數(shù)．C、是與a無關(guān)的正數(shù)．D、為零．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由于被積函數(shù)ln(2+cosx).cosx是以2π為周期的偶函數(shù)，因此原式=∫02πl(wèi)n(2+cosx)cosxdx=∫-ππl(wèi)n(2+cosx)cosxdx=2∫0πl(wèi)n(2+cosx)cosxdx=2∫0πl(wèi)n(2+cosx)d(sinx)=2[sinxln(2+cosx))｜0π-∫0πsinxdln(2+cosx)]=2∫0π.又因為在[0，π]上，被積函數(shù)連續(xù)，非負(fù)，不恒為零，因此該積分是與a無關(guān)的正數(shù)．故選(C)．6、設(shè)常數(shù)α＞0，I1=則A、I1＞I2．B、I1＜I2．C、I1=I2．D、I1與I2的大小與α的取值有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：I1-I2=當(dāng)0＜x＜時cosx＞sinx，又0＜x＜-x，所以I1-I2＞0．故選(A)．7、下列反常積分中發(fā)散的是A、∫e+∞(k＞1)．B、∫e+∞xe-x2dx．C、∫-11D、∫-11標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：對于(A)：由于當(dāng)k＞1時故∫e+∞收斂．對于(B)：∫0+∞xe-x2dx=e-x2｜0+∞=是收斂的．對于(C)：∫-11=arcsinx｜-11=π也是收斂的．由排除法可知，應(yīng)選(D)．8、設(shè)f(x)=∫01，則f(t)在t=0處A、極限不存在．B、極限存在但不連續(xù)．C、連續(xù)但不可導(dǎo)．D、可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：f(0)=∫01lnxdx=(xlnx-x)｜01=-1．當(dāng)t≠0時，因=-1=f(0)，故函數(shù)f(t)在t=0處連續(xù)．又故f(x)在t=0處不可導(dǎo)．選(C)．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)9、由曲線x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)(擺線)及x軸圍成平面圖形的面積S=_________.標(biāo)準(zhǔn)答案：3πa2知識點解析：當(dāng)t∈[0，2π]時，曲線與x軸的交點是x=0，2πa(相應(yīng)于t=0，2π)，曲線在x軸上方，見圖3．26．于是圖形的面積S=∫02πay(x)dx∫02πa(1-coxt)a(t-sint)]’dt=∫02πa2(1-cost)2dt=a∫02π(1-2cost+cos2t)dt=3πa2．10、=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、設(shè)F(x)=∫0x2e-t2dt，試求：(Ⅰ)F(x)的極值；(Ⅱ)曲線y=F(x)的拐點的橫坐標(biāo)；(Ⅲ)∫-23x2F’(x)dx.標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由F’(x)=2xe-x4，即知F(x)在x=0處取極小值0，且無其他極值．(Ⅱ)F’’(x)=2(1-4x4)e-x4，注意到僅當(dāng)x=時F’’(x)=0，且在x=兩側(cè)F’’(x)變號，即知x=為曲線y=F(x)的拐點的橫坐標(biāo)．(Ⅲ)注意到x2F’(x)為奇函數(shù)，因此∫-23x2F’(x)dx=∫-22xF’(x)dx+∫23x2F’(x)dx=2∫23x3e-x4dx=∫23e-x4d(x4)=e-x4｜23=(e-16-e-81)．知識點解析：暫無解析12、求曲線r=asin3的全長．標(biāo)準(zhǔn)答案：r=asin3以6π為周期，θ∈[0，3π]∈[0，π]，r≥0；0∈(3π，6π)∈(π，2π)，r＜0．只需考慮0∈[0，3π]．r’=3asin2，r2+r’2=a2sin4，則L=∫03π=a∫03πsin2dθ=3a∫0πsin2tdt=.知識點解析：暫無解析13、求曲線r=a(1+cosθ)的曲率．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線的參數(shù)方程為x=rcosθ=a(1+cosθ)cosθ，y=rsinθ=a(1+cosθ)sinθ，x’=-asinθ(1+2cosθ)=-a(sinθ+sin2θ)，y’=a(cosθ+cos2θ)，x’2+y’2=a22(1+cosθ)=2ar，x’’=-a(cosθ+2cos2θ)，y’’=-a(sinθ+2sin2θ)，x’y’’-x"y’=a2[(sinθ+sin2θ)(sinθ+2sin2θ)+(cosθ+cos2θ)(cosθ+2cos2θ)]=3a2(1+cosθ)=3ar．因此，曲率知識點解析：暫無解析14、已知一條拋物線通過x軸上兩點A(1，0)，8(3，0)，求證：兩坐標(biāo)軸與該拋物線所圍成的面積等于x軸與該拋物線所圍成的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：1)寫出拋物線方程y=a(x-1)(x-3)(a＞0或a＜0為常數(shù))，如圖3．27所示．2)求兩坐標(biāo)軸與拋物線所圍面積S1，即S1=∫01｜a(x-1)(x-3)｜dx=｜a｜∫01(1-x)(3-x)dx=｜a｜∫01(3-x)d(1-x)2=｜a｜(-3)-｜a｜∫01(1-x)2dx3)求x軸與該拋物線所圍面積S2，即S2=∫∫13｜a(x-1)(x-3)｜dx=｜a｜∫13(x-1)(3-x)dx=｜a｜∫13(3-x)d(x-1)2=｜a｜∫13(x-1)2dx4)因此，S1=S2．知識點解析：暫無解析15、求下列旋轉(zhuǎn)體的體積V：(Ⅰ)由曲線x2+y2≤2x與y≥x確定的平面圖形繞直線x=2旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體；(Ⅱ)由曲線y=3-｜x2-1｜與x軸圍成封閉圖形繞直線y=3旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)對該平面圖形，我們可以作垂直分割也可作水平分割．作水平分割．該平面圖形如圖3．28．上半圓方程寫成x=1-(0≤y≤1)．任取y軸上[0，1]區(qū)間內(nèi)的小區(qū)間[y，y+dy]，相應(yīng)的微元繞x=2旋轉(zhuǎn)而成的立體體積為dV={π[2-(1-)]2-π(2-y)2}dy．于是V=π∫01[2-(1-)]2dy-π∫01(2-y)2dy，=π∫01(2-y2+)dy-π∫12t2dt(Ⅱ)曲線y=3-｜x2-1｜與x軸的交點是(-2，0)，(2，0)．曲線y=f(x)=3-｜x2-1｜與x軸圍成的平面圖形，如圖3．29所示．顯然作垂直分割方便．任取[x，x+dx][-2，2]，相應(yīng)的小豎條繞y=3旋轉(zhuǎn)而成的立體體積為dV=π[32-(3-f(x))2]dx=π(9-｜x2-1｜2)dx，于是V=π∫-22[9-(x2-1)2]dx=2π∫02[9-(x4-2x2+1)]dx知識點解析：暫無解析16、求由曲線г：x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)及y=0所圍圖形繞Ox軸旋轉(zhuǎn)所成立體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：用已有的體積公式Vx=π∫aby2dx代入?yún)?shù)方程時，就相當(dāng)于作了變量替換．平面圖形如圖3．30所示．由已知的體積公式，得V=∫02πaπy2(x)dx=∫02ππa2(1-cost)2x’(t)dt=∫02ππa3(1-cost)3dt=πa3∫02π8sin6dt=16πa3∫0πsin6sda=32πa3sin6sds=32πa3=5π2a3．知識點解析：暫無解析17、求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：取底圓所在平面為Oxy平面，圓心O為原點，并使x軸與劈錐的頂平行，底圓方程為x2+y2=R2．過x軸上的點x(-R≤x≤R)作垂直于x軸的平面，截正劈錐體得等腰三角形，底邊長即高為h，該截面的面積為于是V=∫-RRS(x)dx=h∫-RRπR2h.知識點解析：暫無解析18、求曲線гx=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)及y=0所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面的面積S．標(biāo)準(zhǔn)答案：由旋轉(zhuǎn)面面積公式得知識點解析：暫無解析19、邊長為a和b的矩形薄板與液面成α角斜沉于液體內(nèi)，長邊平行于液面位于深h處，設(shè)a＞b，液體的比重為γ，求薄板受的液體壓力．標(biāo)準(zhǔn)答案：建立坐標(biāo)系如圖3．32所示，z軸鉛直向下．一長邊的深度為h，另一長邊的深度為h+bsinα，在[h，h+bsinα]中任取[x，x+dx]，相應(yīng)的薄板上一小橫條，長a，寬，于是所受的壓力為整塊板受的壓力為P=∫hh+bsinαx2｜h+bsinα=abγ(h++bsinα).知識點解析：暫無解析20、設(shè)有一半徑為R長度為l的圓柱體，平放在深度為2R的水池中(圓柱體的側(cè)面與水面相切)．設(shè)圓柱體的比重為ρ(ρ＞1)，現(xiàn)將圓柱體從水中移出水面，問需做多少功?標(biāo)準(zhǔn)答案：任取小區(qū)間[x，x+dx][-R，R]相應(yīng)的柱體薄片，其體積為移至水面時薄片移動的距離為R-x，所受的力(重力與浮力之差)為，因而移至水面時做的功為整個移出水面時，此薄片離水面距離為R+x，將薄片從水面移到此距離時所做的功為ρ(R+x)2l于是對薄片做的功為dW=2l[(ρ-1)(R-x)+ρ(R+x)]=2l[(2ρ-1)R+x]因此，所求的功W=∫-RR2l[(2ρ-1)R+x]dx=2l(2ρ-1)R∫-RR=21(2ρ-1)R.R2=l(2ρ-1)πR3．知識點解析：暫無解析21、求星形線的質(zhì)心，其中a＞0為常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求=3a｜sintcost｜dt．再求總長度積分于是知識點解析：暫無解析22、求由曲線x2=ay與y2=ax(a＞0)所圍平面圖形的質(zhì)心(形心)(如圖3．34).標(biāo)準(zhǔn)答案：兩曲線的交點是(0，0)，(a，a)．設(shè)該平面圖形的質(zhì)心(形心)為，則由質(zhì)心(形心)公式有同樣計算或由對稱性可知知識點解析：暫無解析23、有兩根長各為l，質(zhì)量各為M的均勻細(xì)桿，位于同一條直線上，相距為a，求兩桿間的引力．標(biāo)準(zhǔn)答案：沿桿建立坐標(biāo)系如圖3．35.在右桿上任取微元[x，x+dx]，它與左桿間的引力為于是兩桿間的引力為知識點解析：暫無解析24、設(shè)有以O(shè)為圓心，r為半徑，質(zhì)量為M的均勻圓環(huán)，垂直圓面，=b，質(zhì)點P的質(zhì)量為m，試導(dǎo)出圓環(huán)對P點的引力公式標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖3．36，由對稱性，引力沿方向．取環(huán)上某點為計算弧長的起點，任取弧長為s到s+ds的一段微元，它的質(zhì)量為，到P點的距離為的夾角為θ，cosθ=對P點的引力沿方向的分力為于是整個圓環(huán)對P點的引力為知識點解析：暫無解析25、設(shè)有半徑為a，面密度為σ的均勻圓板，質(zhì)量為m的質(zhì)點位于通過圓板中心O且垂直于圓板的直線上，=b，求圓板對質(zhì)點的引力．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖3．37，任取[r，r+dr]對應(yīng)的圓環(huán)，它的面積dS=2πrdr，質(zhì)量dM=σdS=2πrσdr，對質(zhì)點P的引力，因此，整個圓板對P的引力為知識點解析：暫無解析26、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，π]上連續(xù)，且∫0πf(x)sinxdx=0，∫0πf(x)cosxdx=0．證明：在(0，π)內(nèi)f(x)至少有兩個零點．標(biāo)準(zhǔn)答案：反證法．如果f(x)在(0，π)內(nèi)無零點(或有一個零點，但f(x)不變號，證法相同)，即f(x)＞0(或＜0)，由于在(0，π)內(nèi)，亦有sinx＞0，因此，必有∫0πf(x)sinxdx＞0(或＜0)．這與假設(shè)相矛盾。如果f(x)在(0，π)內(nèi)有一個零點，而且改變一次符號，設(shè)其零點為a∈(0，π)，于是在(0，a)與(a，π)內(nèi)f(x)sin(x-a)同號，因此∫0πf(x)sin(x-a)dx≠0．但是，另一方面∫0πf(x)sin(x-a)dx=∫0πf(x)(sinxcosa-cosxsina)dx=cosa∫0πf(x)sinxdx-sina∫0πf(x)cosxdx=0．這個矛盾說明f(x)也不能在(0，π)內(nèi)只有一個零點，因此它至少有兩個零點．知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在(-∞，+∞)連續(xù)，以T為周期，令F(x)=∫0xf(x)dt，求證：(Ⅰ)F(x)一定能表示成：F(x)=kx+φ(x)，其中k為某常數(shù)，φ(x)是以T為周期的周期函數(shù)；(Ⅱ)∫0xf(t)dt=∫0Tf(x)dx；(Ⅲ)若又有f(x)≥0(x∈(-∞，+∞))，n為自然數(shù)，則當(dāng)nT≤x＜(n+1)T時，有n∫0Tf(x)dx≤∫0xf(t)dt＜∫0T(n+1)f(x)dx.標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)即確定常數(shù)k，使得φ(x)=F(x)-kx以T為周期．由于φ(x+T)=F(x+T)-k(x+T)=∫0xf(x)dt-kx+∫0x+Tf(t)dt-kT=φ(x)+∫0Tf(t)dt-kT，因此，取k=∫0Tf(t)dt，φ(x)=F(x)-kx,則φ(x)是以T為周期的周期函數(shù)．此時F(x)=[∫0Tf(t)dt]x+φ(x).(Ⅱ)不能用洛必達(dá)法則．因為不存在，也不為∞．但∫0x(t)dt可表示成∫0x(t)dt=∫0Tf(t)dt+φ(x)．φ(x)在(-∞，+∞)連續(xù)且以T為周期，于是，φ(x)在[0，T]有界，在(-∞，+∞)也有界．因此(Ⅲ)因f(x)≥0，所以當(dāng)nT≤x＜(n+1)T時，n∫0Tf(t)dt=∫0nTf(t)≤∫0xf(t)＜∫0(n+1)Tf(t)dt=(n+1)∫0Tf(t)知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分概念、計算及應(yīng)用）模擬試卷第2套一、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、若f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx，則f(x)的原函數(shù)是_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：-sinx+C1x+C2知識點解析：f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx，那么f(x)應(yīng)具有形式-cosx+C1，所以f(x)的原函數(shù)應(yīng)為-sinx+C1x+C2，其中C1，C2為任意常數(shù)．2、設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)，f(｜cosx｜)dx=A，則I=∫02πf(｜cosx｜)dx=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：4A知識點解析：由于f(｜cosx｜)在(-∞，+∞)連續(xù)，以π為周期，且為偶函數(shù)，則根據(jù)周期函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)得I=2∫0πf(｜cosx｜)f(｜cosx｜)dx=4A．二、解答題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)3、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且∫abf(x)dx=f(b)．求證：在(a，6)內(nèi)至少存在一點ξ，使f’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)在[a，b]上連續(xù)，由積分中值定理可知，在(a，b)內(nèi)至少存在一點c使得f(c)=∫abf(x)dx．這就說明f(c)=f(b)．根據(jù)假設(shè)可得f(x)在[c，b]上連續(xù)，在(c，b)內(nèi)可導(dǎo)，故由羅爾定理知，在(c，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使f’(ξ)=0，其中ξ∈(c，b)(a，b)．知識點解析：暫無解析4、求下列變限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(Ⅰ)F(x)=∫2xln(x+1)，求F’(x)(x≥0)；(Ⅱ)設(shè)f(x)處處連續(xù)，又f’(0)存在，F(xiàn)(x)=∫1x[∫0tf(t)du]dt，求F’’(x)(-∞＜x＜+∞)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)注意到積分的上、下限都是x的復(fù)合函數(shù)，由變限積分求導(dǎo)公式(3．4)可得(Ⅱ)令g(t)=注意變限積分函數(shù)F(x)=∫1xg(t)dt其被積函數(shù)g(t)還是變限積分函數(shù)且g(t)是t的可導(dǎo)函數(shù)，于是知識點解析：暫無解析5、以下計算是否正確?為什么?標(biāo)準(zhǔn)答案：利用牛頓-萊布尼茲公式計算定積分∫abf(x)dx必須滿足兩個條件：其一是f(x)在[a，b]上連續(xù)，另一個是F(x)是f(x)在[a，b]上的一個原函數(shù)．由，可知積分應(yīng)是負(fù)值．事實上由此可見，本題的題目中所給出的計算是錯誤的．原因在于arctan在x=0不連續(xù)，且x=0不是arctan的可去間斷點，從而arctan在區(qū)間[-1，1]上的一個原函數(shù)，故不能直接在[-1，1]上應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式．這時正確的做法是把[-1，1]分為[-1，0]與[0，1]兩個小區(qū)間，然后用分段積分法進(jìn)行如下計算：知識點解析：暫無解析6、n為自然數(shù)，證明：∫02πxdx=∫02πsinnxdx=標(biāo)準(zhǔn)答案：∫02πcosnxdx=∫02πsinnsinntdt=∫02πsinnxdx(sinnx以2π為周期)，當(dāng)n為奇數(shù)時，∫02πsinnxdx∫-ππsinnxdx=0；當(dāng)n為偶數(shù)時，∫02πsinnxdx=∫-ππsinnxdx2∫0πsinnxdx知識點解析：暫無解析7、求下列不定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用三角函數(shù)的倍角公式：1+cos2x=2cos2x進(jìn)行分項得(Ⅱ)利用加減同一項進(jìn)行拆項得(Ⅲ)將被積函數(shù)的分母有理化后得再將第二項拆項得知識點解析：暫無解析8、計算下列定積分：(Ⅰ)(Ⅱ)∫02f(x-1)dx，其中f(x)=標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于min為偶函數(shù)，在上的分界點為，所以(Ⅱ)由于分段函數(shù)f(x)的分界點為0，所以，令t=x-1后，有∫02f(x-1)dx=∫-11f(t)dt=∫-10+ln(1+x)｜01=-ln(1+e-x)｜-10+ln2=ln(1+e)．知識點解析：暫無解析9、計算定積分I=∫0π(a＞0，b＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：在區(qū)間[0，π]上按如下方式用牛頓-萊布尼茲公式是錯誤的．即因為無定義，它只是分別在的原函數(shù)，因而不能在[0，π]上對積分，應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式，但可按如下方法計算：知識點解析：暫無解析10、設(shè)函數(shù)f(x)=并記F(x)=∫0xf(t)dt(0≤x≤2)，試求F(x)及f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)牛頓-萊布尼茲公式，當(dāng)0≤x≤1時，有F(x)=∫02t2dt=當(dāng)1＜x≤2時，F(xiàn)(x)=∫01t2dt+∫1x(2-t)dt知識點解析：暫無解析11、求下列不定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知識點解析：暫無解析12、求下列不定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)則=∫sin2tcostdt.sgnx=∫sin2tdsint.sgnx=sin3t.sgnx+C．其中再用上面的三角形示意圖，則得(Ⅱ)令x=，于是dx=asec2tdt，=asect，則=∫sectdt=ln｜sect+tant｜+C，再利用上面的三角形示意圖，則有其中C1=C-lna．(Ⅲ)由于dx2，故可令x2=sint，于是知識點解析：暫無解析13、求不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：令ex=t，則原式分別令，則分別有=v-arctanv+C2，于是知識點解析：暫無解析14、求下列積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)原式(Ⅱ)知識點解析：暫無解析15、求下列不定積分：(Ⅰ)∫arcsinx.arccosxdx；(Ⅱ)∫x2sin2xdx；(Ⅲ)標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)按照上表第二欄所講的方法，有(Ⅱ)由于sin2x=(1-cos2x)，所以∫x2sin2xdx=∫x2(1-cos2x)dx=x3-∫x2dsin2x．連續(xù)使用分部積分法得∫x2sin2xdx=x3-sin2x+xsin2xdx=∫dcos2x(Ⅲ)注意到等式右端也包含積分因而得到關(guān)于的方程，解得知識點解析：暫無解析16、求In=sinnxdx和Jn=cosnxdx，n=0，1，2，3，…．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)當(dāng)n≥2時In=sinnxdx=sinn-1xdcosx=-sinn-1xcosxsinn-2xcos2xdx=(n-1)sinn-2x(1-sin2x)dx=(n-1)In-2-(n-1)In，解出In，于是當(dāng)n≥2時得遞推公式In=In-2．由于I0=，I1=1，應(yīng)用這一遞推公式，對于n為偶數(shù)時，則有對于n為奇數(shù)時，則有其中(Ⅱ)由于cosx=，則有Jn==In這說明Jn與In有相同公式．知識點解析：暫無解析17、計算不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析18、求下列不定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)被積函數(shù)中含有兩個根式，為了能夠同時消去這兩個根式，令x=tt．則(Ⅱ)盡管被積函數(shù)中所含根式的形式與上面所介紹的有所不同，然而也應(yīng)該通過變量替換將根式去掉．令，即x=ln(1+t2)，從而=2∫ln(1+t2)dt=2tln(1+t2)-=2tln(1+t2)-4t+4arctant+C知識點解析：暫無解析19、求下列不定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：作恒等變形后湊微分．(Ⅰ)(Ⅱ)知識點解析：暫無解析20、求下列定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于，故(Ⅱ)由于其中∫-cct2c2sin2θc2cos2θdθ=2c4sin2θ(1-sin2θ)dθ知識點解析：暫無解析21、求下列定積分：(Ⅰ)I=∫0πsin2xarctanexdx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：積分I=∫0bf(x)dx在變量替換t=b-x下積分區(qū)間保持不變，即I=-∫b0f(b-t)dt=∫0bf(b-t)dt=∫0bf(b-x)dx，于是2I=∫0b[f(x)+f(b-x)]dx．若右端易求，則就求出了I值．積分區(qū)間的對稱性除了奇函數(shù)或偶函數(shù)帶來方便之外，有時對某些其他函數(shù)也會帶來方便．在對稱區(qū)間的情形：I=∫-aaf(x)dx，若作變量替換x=-t，則積分區(qū)間保持不變，即I=∫-aaf(-t)dt．于是2I=∫-aa[f(x)+f(-x)]dx．若右端積分易算，則就求出了I的值．22、計算下列反常積分(廣義積分)的值：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于x2-2x=(x-1)2-1，所以為去掉被積函數(shù)中的根號，可令x-1=sect，則有(Ⅱ)采用分解法與分部積分法．注意將被積函數(shù)分解并用分部積分法有(Ⅲ)知識點解析：暫無解析23、求一塊鉛直平板如圖3-1所示在某種液體(比重為y)中所受的壓力．標(biāo)準(zhǔn)答案：液體中深度為h處所受的壓強為p=hγ，從深度為a到x之間平板所受的壓力記為P(x)，任取[x，x+△x]上小橫條，所受壓力為△P=P(x+△x)-P(x)≈xγ.c△x．令△x→0，得dP(x)=xγcdx．于是，總壓力為P=∫abxγcdx=(b2-a2)=γ.(a+b)c(b-a)=γ.矩形中心的深度.矩形的面積．知識點解析：暫無解析24、求下列平面曲線的弧長：(Ⅰ)曲線9y2=x(x-3)2(y≥0)位于x=0到x=3之間的一段；(Ⅱ)曲線=1(a＞0，b＞0，a≠b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)先求y’與將9y2=x(x-3)2兩邊對x求導(dǎo)得6yy’=(x-3)(x-1)，即y’=(x-3)(x-1)，，因此該段曲線的弧長為(Ⅱ)先寫出曲線的參數(shù)方程t∈[0，2π]，再求于是代公式并由對稱性得，該曲線的弧長為知識點解析：暫無解析25、求下列曲線的曲率或曲率半徑：(Ⅰ)求y=lnx在點(1，0)處的曲率半徑．(Ⅱ)求x=t-ln(1+t2)，y=arctant在t=2處的曲率．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)先求，然后代公式：于是，在任意點x＞0處曲率為于是曲線在點(1，0)處的曲率半徑ρ==23／2．(Ⅱ)利用由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則，得于是所求曲率為知識點解析：暫無解析26、已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點P(1，2)，且在該點與圓相切，有相同的曲率半徑和凹凸性，求常數(shù)a，b，c．標(biāo)準(zhǔn)答案：圓，所以在圓上任何一點的曲率為．由于點P(1，2)是下半圓上的一點，可知曲線在點P(1，2)處為凹的，所以由確定的連續(xù)函數(shù)y=y(x)在P(1，2)處的y’’＞0．又經(jīng)過計算，可知在點P(1，2)處的y’=1．由題設(shè)條件知，拋物線經(jīng)過點P(1，2)，于是有a+b+c=2．拋物線與圓在點P(1，2)相切，所以在點P(1，2)處y’=1，即有2a+b=1．又拋物線與圓在點P(1，2)有相同的曲率半徑及凹凸性，因此有解得a=2，從而b=-3，c=2-a-b=3．知識點解析：暫無解析27、設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a，b](a＞0)連續(xù)，由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸圍成的平面圖形(如圖3．12)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體，試導(dǎo)出該旋轉(zhuǎn)體的體積公式．標(biāo)準(zhǔn)答案：用微元法．任取[a，b]上小區(qū)間[x，x+dx]，相應(yīng)得到小曲邊梯形，它繞y軸旋轉(zhuǎn)所成立體的體積(見圖3．12)為dV=｜f(x)｜2πxdx，于是積分得旋轉(zhuǎn)體的體積為V=2π∫abx｜f(x)｜dx．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分概念、計算及應(yīng)用）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)M=sin(sinx)dx，N=cos(cosx)dx，則有A、M＜x＜N．B、M＜N＜1．C、N＜M＜1．D、1＜M＜N．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：sin(sinx)，cos(cosx)均在上連續(xù)，由又即N＞1．因此選(A)．2、函數(shù)F(x)=∫xx+2πf(t)dt，其中f(t)=esin2t(1+sin2t)cos2t，則F(x)A、為正數(shù)．B、為負(fù)數(shù)．C、恒為零．D、不是常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由于被積函數(shù)連續(xù)且以π為周期(2π也是周期)，故F(x)=F(0)=∫02πf(t)dt=2∫0πf(t)dt，即F(x)為常數(shù).由于被積函數(shù)是變號的，為確定積分值的符號，可通過分部積分轉(zhuǎn)化為被積函數(shù)定號的情形，即2∫0πf(t)dt=∫0πesin2t(1+sin2t)d(sin2t)=∫02π-sin22tesin2t(2+sin2t)dt＜0，故應(yīng)選(B)．3、設(shè)f(x)為(-∞，+∞)上的連續(xù)奇函數(shù)，且單調(diào)增加，F(xiàn)(x)=∫0x(2t-x)f(x-t)dt，則F(x)是A、單調(diào)增加的奇函數(shù)．B、單調(diào)增加的偶函數(shù)．C、單調(diào)減小的奇函數(shù)．D、單調(diào)減小的偶函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：對被積函數(shù)作變量替換u=x-t，就有F(x)=∫0x(2t-x)f(x-t)dt=∫0x(x-2u)f(u)du=x∫0xf(u)du-2∫0xuf(u)du．由于f(x)為奇函數(shù)，故∫0xf(u)du為偶函數(shù)，于是x∫0xf(u)du為奇函數(shù)，又因uf(u)為偶函數(shù)，從而∫0xuf(u)du為奇函數(shù)，所以F(x)為奇函數(shù)．又F’(x)=∫0xf(u)du+xf(x)-2xf(x)=∫0xf(u)du-xf(x)，由積分中值定理知在0與x之間存在ξ使得∫0xf(u)du=xf(ξ)．從而F’(x)=x[f(ξ)-f(x)]，無論x＞0，還是x＜0，由f(x)單調(diào)增加，都有F’(x)＜0，從而應(yīng)選(C)．其實，由F’(x)=∫0xf(u)du-xf(x)=∫0x[f(u)-f(x)]du及f(x)單調(diào)增加也可得F’(x)＜0．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)4、設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，并滿足∫f(x)sinxdx=cos2x+C，又F(x)是f(x)的原函數(shù)，且滿足F(0)=0，則F(x)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-2sinx知識點解析：由題設(shè)及原函數(shù)存在定理可知，F(xiàn)(x)=∫0xf(t)dt．為求f(x)，將題設(shè)等式求導(dǎo)得f(x)sinx=[∫f(x)sindx]’=(cos2x+C)’=-2sincosx，從而f(x)=-2cosx，于是F(x)=∫0xf(t)dt=∫0x-2costdt=-2sinx．5、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且滿足f(x)=x+∫01xf(x)dx，則f(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：x+知識點解析：定積分是積分和的極限，當(dāng)被積函數(shù)和積分區(qū)間確定后，它就是一個確定的數(shù)．從而由題設(shè)知可令∫01xf(x)dx=A，只要求得常數(shù)A就可得到函數(shù)f(x)的表達(dá)式．為此將題設(shè)等式兩邊同乘x并從0到1求定積分，就有A=∫01xdx+∫01Axdx故f(x)=x+.三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)6、設(shè)兩曲線y=在(x0，y0)處有公切線(如圖3．13)，求這兩曲線與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積V.標(biāo)準(zhǔn)答案：先求a值與切點坐標(biāo)．由兩曲線在(x0，y0)處有公切線得解得x0=e2，a=e-1．所求的旋轉(zhuǎn)體體積等于曲線分別與x軸及直線x=e2所圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積之差．知識點解析：暫無解析7、求圓弧x2+y2=a2繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得球冠的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖3.15，由對稱性只需考慮y軸右方部分的圓弧.將它表示為直接由旋轉(zhuǎn)面的面積計算公式得知識點解析：暫無解析8、有一橢圓形薄板，長半軸為a，短半軸為b，薄板垂直立于水中，而其短半軸與水面相齊，求水對薄板的側(cè)壓力．標(biāo)準(zhǔn)答案：取坐標(biāo)系如圖3．17所示，橢圓方程為．分割區(qū)間[0，a]，在小區(qū)間[x，x+dx]對應(yīng)的小橫條薄板上，水對它的壓力dP=壓強×面積=γx.2ydxd=其中γ為水的比重．于是從0到a積分便得到橢圓形薄板所受的壓力知識點解析：暫無解析9、在x軸上有一線密度為常數(shù)μ，長度為l的細(xì)桿，在桿的延長線上離桿右端為a處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點P，求證：質(zhì)點與桿間的引力為(M為桿的質(zhì)量)．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖3．21建立坐標(biāo)系，取桿的右端為原點，x軸正向指向質(zhì)點P．任取桿的一段[x，x+dx]，它對質(zhì)點P的引力為因此，桿與質(zhì)點P間的引力大小為其中M是桿的質(zhì)量．知識點解析：暫無解析10、比較定積分∫0π的大?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)兩個定積分的積分區(qū)間相同且被積函數(shù)連續(xù)時，只需比較被積函數(shù)的大小就可比較定積分的大小．這里被積函數(shù)連續(xù)，但積分區(qū)間不同，應(yīng)先通過變量替換轉(zhuǎn)化為積分區(qū)間相同的情形之后再比較被積函數(shù)的大?。R點解析：暫無解析11、證明下列不等式：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)f(x)=，則f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且可見函數(shù)f(x)在點x=處取得它在區(qū)間[0，1]上的最小值，又因f(0)=f(1)=1，故f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值是f(0)=f(1)=1，從而注意于是有(Ⅱ)注意0＜x＜時，0＜x＜tanx＜1，則知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(x)在(a，b)上有定義，c∈(a，b)，又f(x)在(a，b)＼{c}連續(xù)，c為f(x)的第一類間斷點．問f(x)在(a，b)是否存在原函數(shù)?為什么?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F(x)是f(x)在(a，b)的原函數(shù)．考察于是F’+(c)=f(x)，F(xiàn)’-(c)=f(x)．由于x=c是f(x)的第一類間斷點，故f(x)存在，但不相等，即F’+(c)≠F’-(c)．或即F’(c)≠f(c)．這都與F(x)是f(x)在(a，b)的原函數(shù)相矛盾．因此f(x)在(a，b)不存在原函數(shù)．知識點解析：f(x)在(a，c)與(c，b)上連續(xù)，分別存在原函數(shù)，于是關(guān)鍵是看x=c處的情況．13、設(shè)f(x)定義在(a，b)上，c∈(a，b)．又設(shè)H(x)，G(x)分別在(a，c]，[c，b)連續(xù)，且分別在(a，c)與(c，b)是f(x)的原函數(shù)．令其中選常數(shù)C0，使得F(x)在x=c處連續(xù)．就下列情形回答F(x)是否是f(x)在(a，b)的原函數(shù)．(Ⅰ)f(x)在點x=c處連續(xù)；(Ⅱ)點x=c是f(x)的第一類間斷點；(Ⅲ)點x=c是f(x)的第二類間斷點．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因此，F(xiàn)(x)是f(x)在(a，b)的原函數(shù)．(Ⅱ)F(x)不是f(x)在(a，b)的原函數(shù)，因為在這種情形下f(x)在(a，b)不存在原函數(shù).(Ⅲ)若x=c是f(x)的無窮型第二類間斷點，則f(x)在(a，b)也不存在原函數(shù)．(若存在原函數(shù)F(x)，則(c)不存在，與已知矛盾)．知識點解析：暫無解析14、已知在(-∞，+∞)存在原函數(shù)，求常數(shù)A以及f(x)的原函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：易求得僅當(dāng)A=0時f(x)在x=0連續(xù)．于是f(x)在(-∞，+∞)連續(xù)，從而存在原函數(shù)．當(dāng)A≠0時x=0是f(x)的第一類間斷點，從而f(x)在(-∞，+∞)不存在原函數(shù)．因此求得A=0．下求f(x)的原函數(shù)．被積函數(shù)是分段定義的連續(xù)函數(shù)，它存在原函數(shù)，也是分段定義的．由于原函數(shù)必是連續(xù)的，我們先分段求出原函數(shù)，然后把它們連續(xù)地粘合在一起，就構(gòu)成一個整體的原函數(shù)．當(dāng)x＜0時，當(dāng)x＞0時，取C1=0，隨之取C2=1，于是當(dāng)x→0-與x→0+時∫f(x)dx的極限同為1，這樣就得到f(x)的一個原函數(shù)因此∫f(x)dx=F(x)+C，其中C為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析15、計算下列不定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)采用湊微分法，并將被積函數(shù)變形，則有(Ⅱ)如果令計算將較為復(fù)雜，而將分子有理化則較簡便．于是對于右端第一個積分，使用湊微分法，即可得到而第二個積分可使用代換x=sint，則(Ⅲ)配方法．(Ⅳ)對此三角有理式，如果分子是asinx+bcosx與(asinx+bcosx)’=cos-bsinx的線性組合，就很容易求其原函數(shù)，故設(shè)a1sinx+b1cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx)．為此應(yīng)有(Ⅴ)記原式為J，先分項：易湊微分得J2=∫arcsinxdarcsinx=arcsin2x+C．下求J1．作變量替換變量還原得(Ⅵ)記原積分為J．作變量替換，則再分部積分得變量還原得知識點解析：暫無解析16、計算下列定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)這是一個含根式的積分，首先應(yīng)該通過變量替換去掉根式．令ex=sint，則x=lnsint，dx=，于是(Ⅱ)萬能代換．令(Ⅲ)由于，故被積函數(shù)為分段函數(shù)，其分界點為.于是(Ⅳ)作冪函數(shù)替換后再分部積分，則有知識點解析：暫無解析17、求下列積分：(Ⅰ)設(shè)f(x)=∫1xe-y2dy，求∫01x2f(x)dx；(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]連續(xù)且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)∫01x2f(x)dx=∫01f(x)dx3=x3f(x)｜01-∫01x3df(x)=∫01x3e-x2dx=∫01x2de-x2=x2e-x2｜1-∫01e-x2dx2=e-1+e-x2｜01=(Ⅱ)令φ(c)=∫x1f(y)dy，則φ’(x)=-f(x)，于是∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01[∫x1f(y)dy]f(x)dx=-∫01φ(x)dφ(x)=φ2(x)｜01=A2．知識點解析：該例中的兩個小題均是求形如∫ab[f(x)∫axg(y)dy]dx的積分，它可看作區(qū)域D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤x}上一個二重積分的累次積分，有時通過交換積分次序而求得它的值．作為定積分，若f(x)的原函數(shù)易求得F’(x)=f(x)，則可由分部積分法得∫ab[f(x)∫abg(y)dy]dx=∫ab[∫abg(y)dy]dF(x)=[F(x)∫abg(y)dy]｜ab-∫abF(x)g(x)dx．若右端易求，則可求得左端的值．18、設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)滿足f(x)=f(x-π)+sinx，且f(x)=x，x∈[0，π)，求∫π3πf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫π3πf(x)dx=∫π3π[f(x-π)+sinx]dx=∫π3πf(x-π)dx=∫02πf(t)dt=∫0πf(t)dt+∫02πf(t)dt=∫0πtdt+∫π2π[f(t-π)+sint]dt=-2+∫π2πf(t-π)dt-2+∫0πf(u)du=π2-2．知識點解析：暫無解析19、計算下列反常積分：(Ⅰ)∫1+∞(Ⅱ)∫1+∞(Ⅲ)∫0+∞(Ⅳ)∫0a標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)這是一個無窮區(qū)間上的反常積分，可以通過求原函數(shù)的方法計算．∫1+∞=∫1+∞=e-2∫1+∞=e-2arctanex-1｜1+∞=e-2e-2．(Ⅱ)這是一個有理函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分，可以通過求原函數(shù)的方法計算．因為，且x≥1，于是有原函數(shù)F(x)=lnx-ln(x2+1)=從而(Ⅲ)(Ⅳ)這是一個無界函數(shù)的反常積分，其瑕點為a，由于被積函數(shù)中含有根式，應(yīng)通過變量替換將根式去掉．注意被積函數(shù)可改寫為，即x=(1+sint)，代入即得知識點解析：暫無解析20、假定所涉及的反常積分(廣義積分)收斂，證明：∫-∞+∞=∫-∞+∞f(x)dx．(*)標(biāo)準(zhǔn)答案：令t=x-，則當(dāng)x→+∞時，t→+∞，x→0+時，t→-∞；x→0-時，t→+∞；x→-∞時，t→-∞，故應(yīng)以0為分界點將(*)式左端分成兩部分，即而且將x與t的關(guān)系反解出來，即得．同時，當(dāng)x＞0時，因此=∫-∞+∞f(t)dt=∫-∞+∞f(x)dx，即(*)式成立．知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求證：∫abf(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x-a)(x-b)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：連續(xù)利用分部積分有∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x-b)=f(a)(b-a)-∫abf’(x)(x-b)d(x-a)=f(a)(b-a)+∫ab(x-a)d[f’(x)(x-b)]=f(a)(b-a)+∫ab(x-a)df(x)+∫abf’’(x)(x-a)(x-b)dx=f(a)(b-a)+f(b)(b-a)-∫f(x)dx+∫abf’’(x)(x-a)(x-b)dx，移項后得∫abf(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x-a)(x-b)dx．知識點解析：很自然的想法是用分部積分法，但要注意“小技巧”：∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x-b)，或∫abf(x)dx=∫abf(x)f(x-a)這樣改寫后分部積分的首項簡單．這一點考生應(yīng)熟練掌握．22、設(shè)f(x)與g(x)在[a，b]上連續(xù)，且同為單調(diào)不減(或同為單調(diào)不增)函數(shù)，證明：(b-a)∫abf(x)g(x)dx≥∫abf(x)dx∫abg(x)dx．(*)標(biāo)準(zhǔn)答案：引進(jìn)輔助函數(shù)F(x)=(x-a)∫axf(t)dt-∫axf(t)dt∫axg(t)dt轉(zhuǎn)化為證明F(x)≥0(x∈[a，b])．由F(a)=0，F(xiàn)’(x)=∫axf(t)g(t)dt+(x-a)f(x)g(x)-f(x)∫axg(t)dt-g(x)∫axf(t)dt=∫axf(t)[g(t)-g(x)dt-∫axf(x)[g(t)-g(x)dt=∫ax[f(t)-f(x)][g(x)-g(x)]dt≥0(x∈[a，b])其中(x-a)f(x)g(x)=f∫ax(x)g(x)dt，我們可得F(x)在[a，b]單調(diào)不減F(x)≥F(a)=0(x∈[a，b])，特別有F(b)≥0即原式成立．知識點解析：暫無解析23、設(shè)f(x)在[a，b]有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，M=｜f’’(x)｜，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：分部積分兩次得于是知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[a，b]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，求證：｜∫abf(x)dx｜+∫ab｜f’(x)｜dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：可設(shè)｜f(x)｜=｜f(x0)｜，即證(b-a)｜f(x0)｜≤｜∫abf(x)dx｜+(b-a)∫ab｜f’(x)｜dx，即證｜∫abf(x0)dx｜-｜∫abf(x)dx｜≤(b-a)∫ab｜f’(x)｜dx．注意｜∫abf(x0)dx｜-｜∫abf(x)dx｜≤｜∫ab[f(x0)-f(x)]-dx｜=｜∫ab[∫xx0f’(t)dt]dx｜≤∫ab[∫ab｜f’(t)｜dt]dx=(b-a)∫ab｜f’(x)｜dx．故得證．知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)=∫0xetx-t2dt，求f’(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(x)與g(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，f(0)=g(0)≠0，求標(biāo)準(zhǔn)答案：本題是球型未定式的極限，需用洛必達(dá)法則，但分子分母都需先作變量替換，使被積函數(shù)中的與g(xt)不含x才可以求導(dǎo)．令G(x)=∫01x2g(xt)dt=x∫01g(xt)d(xt)x∫0xg(u)du，原式由積分中值定理，在0與x之間存在ξ，使∫0xg(u)du=xg(ξ)，于是有知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在[a，b]可積，求證：φ(x)=∫x0xf(u)du在[a，b]上連續(xù)，其中x0∈[a，b]標(biāo)準(zhǔn)答案：，x+△x∈[a，b]，考察φ(x+△x)-φ(x)=∫x0x+△xf(u)du-∫x0xf(u)du=∫xx+△xf(u)du，由f(x)在[a，b]可積f(x)在[a，b]有界．即｜f(x)｜≤M(x∈[a，b])，則｜φ(x+△x)-(x)｜≤｜∫xx+△x｜f(u)｜du｜≤M｜△x｜．因此，，x+△x∈[a，b]，有[φ(x+△x)-φ(x)]=0，即φ(x)在[a，b]上連續(xù)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分概念、計算及應(yīng)用）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，I=，其中t＞0，s＞0，則I的值A(chǔ)、依賴于s和t．B、依賴于s，t，x．C、依賴于t，x，不依賴于s．D、依賴于s，不依賴于t．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：I=，選D．2、下列反常積分中發(fā)散的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：對于A：由于當(dāng)k＞1時，故收斂．對于B：是收斂的．對于C：也是收斂的．由排除法可知，應(yīng)選D．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)3、設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，并滿足∫f(x)sinxdx=cos2x+C，又F(x)是f(x)的原函數(shù)，且滿足F(0)=0，則F(x)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2sinx．知識點解析：由題設(shè)及原函數(shù)存在定理可知，F(xiàn)(x)=∫0xf(t)dt．為求f(x)，將題設(shè)等式求導(dǎo)得f(x)sinx=[∫f(x)sinxdx]’=(cos2x+C)’=－2sinxcosx，從而f(x)=－2cosx，于是F(x)=∫0xf(t)dt=∫0x－2costdt=－2sinx．4、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：5、∫01xarcsinxdx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：6、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，且∫abf2(x)dx=1，則∫abxf(x)f’(x)dx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：因=f(x)f’(x)，所以7、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：因(xex)’=ex(x+1)，令xex=t，則dt=ex(x+1)dx，于是三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)8、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且∫abf(x)dx=f(b)．求證：在(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使f’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x)在[a，b]上連續(xù)，由積分中值定理可知，在(a，b)內(nèi)至少存在一點c使得這就說明f(c)=f(b)．根據(jù)假設(shè)可得f(x)在[c，b]上連續(xù)，在(c，b)內(nèi)可導(dǎo)，故由羅爾定理知，在(c，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使f’(ξ)=0，其中ξ∈(c，b)(a，b)．知識點解析：暫無解析9、求下列不定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用三角函數(shù)的倍角公式：1+cos2x=2cos2x進(jìn)行分項得(Ⅱ)利用加減同一項進(jìn)行拆項得(Ⅲ)將被積函數(shù)的分母有理化后得再將第二項拆項得知識點解析：暫無解析10、求下列不定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令，則再用上面的三角形示意圖，則得(Ⅱ)令x=，于是dx=asec2tdt，=asect，則再利用上面的三角形示意圖，則有其中C1=C－lna．(Ⅲ)知識點解析：暫無解析11、計算不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析12、計算下列反常積分(廣義積分)的值：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于x2－2x=(x－1)2－1，所以為去掉被積函數(shù)中的根號，可令x－1=sect，則有(Ⅱ)采用分解法與分部積分法．注意，將被積函數(shù)分解并用分部積分法有知識點解析：暫無解析13、設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a，b](a＞0)連續(xù)，由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸圍成的平面圖形(如圖3．12)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體，試導(dǎo)出該旋轉(zhuǎn)體的體積公式．標(biāo)準(zhǔn)答案：用微元法．任取[a，b]上小區(qū)間[x，x+dx]，相應(yīng)得到小曲邊梯形，它繞y軸旋轉(zhuǎn)所成立體的體積(見圖3．12)為dV=｜f(x)｜2πxdx，于是積分得旋轉(zhuǎn)體的體積為V=2π∫abx｜f(x)｜dx．知識點解析：暫無解析14、證明下列不等式：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)f(x)=，則f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且可見函數(shù)f(x)在點x=處取得它在區(qū)間[0，1]上的最小值，又因f(0)=f(1)=1，故f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值是f(0)=f(1)=1，從而(Ⅱ)注意0＜x＜時，0＜x＜tanx＜1，則知識點解析：暫無解析15、計算下列定積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)這是一個含根式的積分，首先應(yīng)該通過變量替換去掉根式．(Ⅱ)萬能代換．令．故(Ⅲ)由于，故被積函數(shù)為分段函數(shù)，其分界點為于是(Ⅳ)作冪函數(shù)替換后再分部積分，則有知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[a，b]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求證：∫abf(x)dx=(b－a)[f(a)+f(b)]+∫abf"(x)(x－a)(x－b)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：連續(xù)利用分部積分有∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x－b)=f(a)(b－a)－∫abf’(x)(x－b)d(x－a)=f(a)(b－a)+∫ab(x－a)d[f’(x)(x－b)=f(a)(b－a)+∫ab(x－a)df(x)+∫abf"(x)(x－a)(x－b)dx=f(a)(b－a)+f(b)(b－a)－∫abf(x)dx+∫abf"(x)(x－a)(x－b)dx．移項后得∫abf(x)dx=(b－a)[f(a)+f(b)]+∫abf"(x)(x－a)(x－b)dx．知識點解析：暫無解析17、設(shè)f(x)與g(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，f(0)=g(0)≠0，求標(biāo)準(zhǔn)答案：本題是求型未定式的極限，需用洛必達(dá)法則，但分子分母都需先作變量替換，使被積函數(shù)中的與g(xt)不含x才可以求導(dǎo)．令原式=由積分中值定理，在0與x之間存在ξ，使∫0xg(u)du=xg(ξ)，于是有知識點解析：暫無解析18、求曲線r=a(1+cosθ)的曲率．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線的參數(shù)方程為x=rcosθ=a(1+cosθ)cosθ，y=rsinθ=a(1+cosθ)sinθ，x’=－asinθ(1+2cosθ)=－a(sinθ+sin2θ)，y’=a(cosθ+cos2θ)，x’2+y’2=a22(1+cosθ)=2ar，x"=－a(cosθ+2cos2θ)，y"=－a(sinθ+2sin2θ)，x’y"－x"y’=a2[(sinθ+sin2θ)(sinθ+2sin2θ)+(cosθ+cos2θ)(cosθ+2cos2θ)]=3a2(1+cosθ)=3ar．因此，曲率K=知識點解析：暫無解析19、求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：取底圓所在平面為Oxy平面，圓心O為原點，并使x軸與劈錐的頂平行，底圓方程為x2+y2=R2．過x軸上的點x(－R≤X≤R)作垂直于x軸的平面，截正劈錐體得等腰三角形，底邊長即，高為h，該截面的面積為(由定積分的幾何意義直接寫出=以半徑為R的半圓的面積=．)知識點解析：暫無解析20、有兩根長各為l，質(zhì)量各為M的均勻細(xì)桿，位于同一條直線上，相距為a，求兩桿間的引力．標(biāo)準(zhǔn)答案：沿桿建立坐標(biāo)系如圖3．35．在右桿上任取微元[x，x+dx]，它與左桿間的引力為桿的線密度為，此微元到左桿右端距離為x，于是兩桿間的引力為知識點解析：暫無解析21、求標(biāo)準(zhǔn)答案：先作恒等變形，然后湊微分即得知識點解析：暫無解析22、求∫0e－1(x+1)ln2(x+1)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析23、設(shè)f’(x)=arcsin(x－1)2，f(0)=0，求∫01f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、求函數(shù)f(x)=在區(qū)間[e，e2]上的最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：若f(x)在[a，b]上連續(xù)，其最大(小)值的求法是：求出f(x)在(a，b)內(nèi)的駐點及不可導(dǎo)點處的函數(shù)值，再求出f(a)與f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若f(x)單調(diào)，則最大(小)值必在端點處取得．由可知f(x)在[e，e2]上單調(diào)增加，故知識點解析：暫無解析25、過曲線y=x2(x≥0)上某點A作一切線，使之與曲線及x軸圍成圖形面積為，求：(Ⅰ)切點A的坐標(biāo)；(Ⅱ)過切點A的切線方程；(Ⅲ)由上述圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖3．7．(Ⅰ)設(shè)點A(x0，x02)，點A處的切線方程y=x02+2x0(x－x0)，且y=2x0－x02．令y=0=>截距x=．按題意解得x0=1=>A(1，1)．(Ⅱ)過A點的切線y=2x－1．(Ⅲ)旋轉(zhuǎn)體體積y=π∫01(x2)2dx－知識點解析：暫無解析26、證明，，其中n為自然數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用被積函數(shù)的結(jié)合性，原式改寫成In=兩式相加得現(xiàn)得遞推公式令Jn=2nIn，得Jn=+Jn－1．由此進(jìn)一步得注意J0=0=>知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)，且對任意x，y∈[0，1]均有｜f(x)－f(y)｜≤M｜x－y｜，M為正的常數(shù)，求證：標(biāo)準(zhǔn)答案：將∫01f(x)dx與分別表示成代入不等式左端，然后利用定積分性質(zhì)與已知條件得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分概念、計算及應(yīng)用）模擬試卷第5套一、解答題(本題共27題，每題1.0分，共27分。)1、求∫0e-1(x+1)ln2x(x+1)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：原式=∫0e-1ln2(x+1)d(x+1)2∫1eln2tdt2=(t2ln2t｜1e-∫1et2dln2t)=(e2-∫1tt2.2lnt.dt)=(e2-∫1elntdt2)=(e2-t2lnt｜1e+∫1et2dlnt)=∫1etdt=t2｜1e=(e2-1)．知識點解析：暫無解析2、求定積分：(Ⅰ)J=∫-22min{2，x2}dx；(Ⅱ)J=∫-1x(1-｜t｜)dt，x≥-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)min{2，x2}=于是J=∫-22min{2，x2}dx=2∫02min{2，x2}dx(Ⅱ)當(dāng)-1≤x≤0時，J=∫-1x(1+t)dt=(1+t)2｜∫-1x=(1+x)2．當(dāng)x＞0時，J=∫-10(1+t)dt+∫0x(1-t)dt=(1+t)2｜∫-10-(1-t)2｜0x=1-(1-x)2．知識點解析：暫無解析3、設(shè)n為正整數(shù),利用已知公式In=sinnxdx=cosnxdx=，其中求下列積分：(Ⅰ)Jn=sinnxcosnxdx；(Ⅱ)Jn=∫1(x2-1)ndx．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)Jn=2-nsinn2xdx=2-n.∫0πsinnudu，而(Ⅱ)Jn=2∫01(-1)n(1-x2)ndx(-1)n(1-sin2t)ncostdt知識點解析：暫無解析4、求無窮積分J=∫1+∞標(biāo)準(zhǔn)答案：J=∫1+∞[ln(1+x)-lnx-]dx，而，因此知識點解析：暫無解析5、設(shè)f(x)=求f(x)的不定積分∫f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＜0時，f(x)=∫sin2xdx=cos2x+C1；當(dāng)x＞0時，f(x)=∫ln(2x+1)dx=xln(2x+1)-=xln(2x+1)-∫dx+=xln(2x+1)-x+ln(2x+1)+C2，為了保證F(x)在x=0點連續(xù)，必須C2=+C1，(*)特別，若取C1=0，C2=就是f(x)的一個原函數(shù)．因此知識點解析：暫無解析6、設(shè)f’(x)=arcsin(x-1)2，f(0)=0，求∫01f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01f(x)dx=∫01f(x)d(x-1)=(x-1)f(x)｜01-∫01(x-1)f’(x)dx=f(0)-∫01(x-1)f’(x)dx=-∫01(x-1)arcsin(x-1)2dx=∫01arcsin(x-1)2d(x-1)2∫01arcsintdt=∫01arcsintdt知識點解析：暫無解析7、設(shè)a＞0，f(x)在(-∞．+∞)上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)．求極限∫-aa[f(t+a)-f(t-a)]dt．標(biāo)準(zhǔn)答案：記I(a)=∫-aa[f(t+a)-f(t-a)]dt，由積分中值定理可得I(a)=[f(ξ+a)-f(ξ-a)].2a=[f(ξ+a)-f(ξ-a)]，-a＜ξ＜a．因為f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，應(yīng)用拉格朗日中值定理可得I(a)=f’(η).2a=f’(η)，ξ-a＜η＜ξ+a．于是知識點解析：暫無解析8、求∫0φ(x)[φ(x)-t]f(t)dt，其中f(t)為已知的連續(xù)函數(shù)，φ(x)為已知的可微函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：=φ’(x)∫0φ(x)f(t)dt+φ(x)f[φ(x)]φ’(x)-φ(x)f[φ(x)]φ’(x)=φ’(x)∫0φ(x)f(t)dt．知識點解析：暫無解析9、設(shè)f(x)在(-∞，+∞)連續(xù)，在點x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0，令(Ⅰ)試求A的值，使F(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)；(Ⅱ)求F’(x)并討論其連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由變上限積分性質(zhì)知F(x)在x≠0時連續(xù)．為使其在x=0處連續(xù)，只要F(x)=A．而故令A(yù)=0即可．(Ⅱ)當(dāng)x≠0時F’(x)=∫0xtf(t)dt+∫0xtf(t)dt．在x=0處，由導(dǎo)數(shù)定義和洛必達(dá)法則可得所以又故F’(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)．知識點解析：暫無解析10、設(shè)x∈[0，a]時f(x)連續(xù)且f(x)＞0(x∈(0，a])，又滿足f(x)=求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因由f(x)連續(xù)及x2可導(dǎo)知f2(x)可導(dǎo)，又f(x)＞0，從而f(x)可導(dǎo)，且[f2(x)]’=2f(x)f’(x)，故將上式兩邊對x求導(dǎo)，得2f(x)f’(x)=f(x).2xf’(x)=x．在(*)式中令x=0可得f(0)=0．于是(*)式兩邊積分(∫0x)得∫0xf’(t)dt=∫0xtdt，f(0)=0，x∈[0，a]．知識點解析：暫無解析11、求函數(shù)f(x)=∫ex在區(qū)間[e，e2]上的最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：若f(x)在[a，b]上連續(xù)，其最大(小)值的求法是：求出f(x)在(a，b)內(nèi)的駐點及不可導(dǎo)點處的函數(shù)值，再求出f(a)與f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若f(x)單調(diào)，則最大(小)值必在端點處取得．由f’(x)=，x∈[e，e2]，可知f(x)在[e，e2]上單調(diào)增加，故知識點解析：暫無解析12、求星形線L(a＞0)所圍區(qū)域的面積A．標(biāo)準(zhǔn)答案：圖形關(guān)于x，y軸均對稱，第一象限部分：知識點解析：暫無解析13、求下列旋轉(zhuǎn)體的體積V：(Ⅰ)由曲線y=x2，x=y2所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體；(Ⅱ)由曲線x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)，y=0所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)如圖3．2，交點(0，0)，(1，1)，則所求體積為V=∫01π[-(x2)2]dx=π∫01(x-x4)dx(Ⅱ)如圖3．3，所求體積為V=2∫02πayxdx=2π∫02πa(1-cost)a(t-sint)a(1-cost)dt=2πa3∫02π(1-cost)2(t-sint)dt=2πa3∫02π(1-cost)2tdt-2πa3∫-ππ(1-cost)2sintdt=2πa3∫02π(1-cost)2tdt2πa3∫-ππ[1-cos(u+π)]2(u+π)du=2πa3∫-ππ(1+cosu)2udu+2π2a3∫-ππ(1+cosu)2du=4π2a3∫0π(1+cosu)2du=4π2a3∫0π(1+2cosu+cos2u)du=4π2a3=6π3a3．知識點解析：暫無解析14、求雙紐線r2=a2cos2θ(a＞0)繞極軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)面的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：雙紐線如圖3．4所示．由對稱性，只需考察θ∈．面積由r2=a2cos2θ2rr’=-2a2sin2θ，知識點解析：暫無解析15、求功：(Ⅰ)設(shè)半徑為1的球正好有一半沉入水中，球的比重為1，現(xiàn)將球從水中取出，問要做多少功?(Ⅱ)半徑為尺的半球形水池，其中充滿了水，要把池內(nèi)的水全部取盡需做多少功?標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(微元法)．以球心為原點，x軸垂直向上，建立坐標(biāo)系(如圖3．5)．取下半球中的微元薄片，即取小區(qū)間[x，x+dx][-1，0]，相應(yīng)的球體小薄片，其重量(即體積)為π(1-x2)dx，在水中浮力與重力相符，當(dāng)球從水中移出時，此薄片移動距離為(1+x)，故需做功dw1=(1+x)π(1-x2)dx．因此，對下半球做的功w1=∫-10π(1+x)(1-x2)dx．取上半球中的微元薄片，即V取小區(qū)間[x，x+dx][0，1]，相應(yīng)的小薄片，其重量為π(1-x2)dx，當(dāng)球從水中移出時，此薄片移動距離為1．所受力為重力，故需做功dw2=π(1-x2)dx．因此，對上半球做的功w2=∫01π(1-x2)dx．于是，對整個球做的功為w=w1+w2=∫-10π(1+x)(1-x2)dx+∫01π(1-x2)dx=∫-11π(1-x2)dx+∫-10πx(1-x2)dx(Ⅱ)建立坐標(biāo)系如圖3．6．取x為積分變量，x∈[0，R]．[x，x+dx]相應(yīng)的水薄層，看成圓柱體，其體積為π(R2-x2)dx，又比重ρ=1，于是把這層水抽出需做功dw=πx(R2-x2)dx．因此，所求的功w=∫0Rπx(R2-x2)dx知識點解析：暫無解析16、過曲線y=x2(x≥0)上某點A作一切線，使之與曲線及x軸圍成圖形面積為，求：(Ⅰ)切點A的坐標(biāo)；(Ⅱ)過切點A的切線方程；(Ⅲ)由上述圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖3．7．(Ⅰ)設(shè)點A(x0，x02)，點A處的切線方程y=x02+2x0(x-x0)，即y=2x0x-x02．令y=0截距x=按題意解得x0=1A(1，1)．(Ⅱ)過A點的切線y=2x-1．(Ⅲ)旋轉(zhuǎn)體體積V=∫01π(x2)2dx-知識點解析：暫無解析17、設(shè)常數(shù)a≤＜α＜β≤b，曲線Γ：(x∈[α，β])的弧長為1．(Ⅰ)求證：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)Γ：y2=(x-a)(b-x)=-x2+(a+b)x-ab，兩邊對x求導(dǎo)得2yu’=-2x+a+b，因此(Ⅱ)曲線為圓心，半徑為的半圓周．由題(Ⅰ)：α=a，β=，則對應(yīng)的Γ長知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且滿足f(x)∫0xf(x-t)dt=sin2x；求f(x)在上的平均值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x-t=u，則∫0xf(x-)dt=∫0xf(u)du．于是f(x)∫0xf(u)dx=sin4x，d[∫0xf(u)du]2=2sin4xdx．兩邊積分故f(x)在上的平均值為知識點解析：暫無解析19、設(shè)a＞0，f(x)在(0，+∞)連續(xù)，求證：(Ⅰ)∫ta(Ⅱ)又設(shè)=f(x)(x＞0)，則∫aa2標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)按要證的等式，將等式左端改寫可得(Ⅱ)按題設(shè)，對左端作變換知識點解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，f(x)≥0且∫abf(x)dx=0，求證：在[a，b]上f(x)≡0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由定積分的性質(zhì)0≤∫axf(t)dt≤∫abf(x)dx=0(∈[a，b])∫axf(t)dt=0(∈[a，b])[∫axf(t)dt]=f(x)=0(∈[a，b])．知識點解析：暫無解析21、證明其中n為自然數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用被積函數(shù)的結(jié)合性，原式改寫成In=cosn-1xcosxsinnxdx，兩式相加得2In=cosn-1x(cosxsinnx-sinxcosnx)dx=cosn-1xsin(n-1)xdx=+In-1．現(xiàn)得遞推公式2In=+In-1，即2nIn=+2n-1In-1．令Jn=2nIn，得Jn-1=+Jn-1．由此進(jìn)一步得注意J0=0知識點解析：暫無解析22、證明：定積分sinx2dx＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：先作變量替換t=x2被積函數(shù)在[0，2π]上變號，t∈(0，π)時取正值，t∈(π，2π)時取負(fù)值，于是I=∫0πI1+I2．把后一積分轉(zhuǎn)化為[0，π]上積分，然后比較被積函數(shù)，即被積函數(shù)若補充定義f(0)=0，則f(t)在[0，π]連續(xù)，且f(t)＞0(t∈(0，π])．知識點解析：暫無解析23、證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)由題(Ⅱ)與題(Ⅰ)得知識點解析：暫無解析24、證明：｜∫nn+psin(x2)dx｜≤，其中p＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析25、證明：∫0π=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：使用和差化積公式．由于sin2nx=sin2x-sin2x+sin4x-sin4x+…+sin(2n-2)x-sin(2n-2)x+sin2nx=sin2x+2cos3xsinx+2cos5xsinx+…+2cos(2n-3)xsinx+2cos(2n-1)xsinx，所以I=2∫0π[cosx+cos3x+cos5x+…+cos(2n-1)x]dx=0．知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)，且對任意x，y∈[0，1]均有｜f(x)-f(y)｜≤M｜x-y｜，M為正的常數(shù)，求證：標(biāo)準(zhǔn)答案：將∫01f(x)dx與分別表示成代入不等式左端，然后利用定積分性質(zhì)與已知條件得不等式左端知識點解析：暫無解析27、設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，證明：[∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx．(*)標(biāo)準(zhǔn)答案：把證明定積分不等式(∫abf(x)g(x)dx)2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx(*)轉(zhuǎn)化為證明重積分不等式．引入?yún)^(qū)域D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}(*)式左端=∫abf(x)g(x)dx.∫abf(y)g(y)dy=[f(x)g(y).f(y)g(x)]dxdy≤[f2(x)g2(y)+f2(y)g2(x)]dxdy=f2(x)g2(y)dxdy+f2(y)g2(x)dxdy=∫abf2(x)dx∫abg2(y)dy+∫abf2(y)dy∫abg2(x)dx=∫abf2(x)dx∫abg2(y)dy=(*)式右端．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分概念、計算及應(yīng)用）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、積分∫aa+2πcosxln(2+cosx)dx的值A(chǔ)、與a有關(guān)．B、是與a無關(guān)的負(fù)數(shù)．C、是與a無關(guān)的正數(shù)．D、為零．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由于被積函數(shù)ln(2+cosx).cosx是以2π為周期的偶函數(shù)，因此原式=∫02πl(wèi)n(2+cosx)cosxdx=∫－ππl(wèi)n(2+cosx)cosxdx=2∫0πl(wèi)n(2+cosx)cosxdx=2∫0πl(wèi)n(2+cosx)d(sinx)=2[sinxln(2+cosx)｜0π－∫0πsinxdln(2+cosx)]=又因為在[0，π]上，被積函數(shù)連續(xù)，非負(fù)，不恒為零，因此該積分是與a無關(guān)的正數(shù)．故選C．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)2、設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)，=A，則I=∫02πf(｜cosx｜)dx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：4A知識點解析：由于f(｜cosx｜)在(－∞，+∞)連續(xù)，以π為周期，且為偶函數(shù)，則根據(jù)周期函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)得3、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：4、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2e2+2知識點解析：原式=4e2－2e2+2=2e2+2．5、(a＞0)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識