第05講等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.掌握等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式及求取思

路，熟練掌握等比數(shù)列的五個(gè)量之間

的關(guān)系并能由三求二，能用通項(xiàng)與和通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求能掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n

求通項(xiàng).項(xiàng)和的相關(guān)計(jì)算公式，能熟練處理與等比數(shù)列的相關(guān)量

2.會(huì)利用等比數(shù)列性質(zhì)簡(jiǎn)化求和運(yùn)算，之間的關(guān)系，用函數(shù)的思想解決等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題，

會(huì)利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征會(huì)利用等比數(shù)列的性質(zhì)靈活解決與之相關(guān)的問(wèn)題.

求最值.

3.能處理與等比數(shù)列相關(guān)的綜合問(wèn)題

齦知識(shí)精講

獷知識(shí)點(diǎn)

1.等比數(shù)列的前八項(xiàng)和公式

已知量首項(xiàng)41,項(xiàng)數(shù)〃與公比首項(xiàng)Q1,末項(xiàng)?！ㄅc公比夕

na\,夕=1,nci\,q=1,

公式S尸…S?=j0-。也一

1豐1

11一〃,q”

2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征

當(dāng)公比qWl時(shí)，設(shè)4=當(dāng)，等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式是S“=4(。'-1).即S,是〃的指數(shù)型函數(shù).

當(dāng)公比q=l時(shí)，因?yàn)?WO,所以S,=〃ai,S”是〃的正比例函數(shù).

3.等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)

等比數(shù)列｛”“｝前〃項(xiàng)和的三個(gè)常用性質(zhì)

(1)數(shù)列｛飆｝為公比不為一1的等比數(shù)列，S,為其前〃項(xiàng)和，則S”52,-5,,,S3“一$2”仍構(gòu)成等比數(shù)列.

(2)若｛斯｝是公比為q的等比數(shù)列，則S"+,“=S“+/S”(〃，wGN*).

(3)若｛飆｝是公比為q的等比數(shù)列，S?,S*分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和，則：①在其前2〃項(xiàng)中,

5?

②在其前2〃+1項(xiàng)中，SS網(wǎng)=。1—s+s—"4H—

41+。2什國(guó)。|+〃2"2/,一

—。2〃+。2〃+1=]_（_,）=]+g~-1）-

【微點(diǎn)撥】

一般地，使用等比數(shù)列求和公式時(shí)需注意

（1）一定不要忽略q=l的情況；在應(yīng)用公式求和時(shí)，應(yīng)注意到的使用條件為441,而當(dāng)q=l

時(shí)應(yīng)按常數(shù)列求和，即S"=〃0.

（2）知道首項(xiàng)。1、公比q和項(xiàng)數(shù)〃，可以用“,）；知道首尾兩項(xiàng)tn,a”和q,可以用";_；"；

（3）在通項(xiàng)公式和前”項(xiàng)和公式中共出現(xiàn)了五個(gè)量：a\,n,q,an,S“知道其中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè).

【即學(xué)即練1】等比數(shù)列｛融｝的前〃項(xiàng)和為S”已知$3=42+100,由=9,則的等于（）

A.；B.—C.^D.—

【答案】C

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛m｝的公比為q,

由$3=。2+10a1，得+。2+43=42+10。1，

即43=941，下=9,

又45=。同4=9,所以（Zig.

【即學(xué)即練2】一彈球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原來(lái)高度的一半再落下，則第10次著

地時(shí)所經(jīng)過(guò)的路程和是（結(jié)果保留到個(gè)位）（）

A.300米B.299米

C.199米D.166米

【答案】A

【解析】小球10次著地共經(jīng)過(guò)的路程為100+100+50+…+100X

【即學(xué)即練3】數(shù)列1,5,52,53,50…的前10項(xiàng)和為（）

A.B.

54

C.96-1）D.^（5"-1）

44

【答案】B

【分析】

由數(shù)列為等比數(shù)列求解.

【詳解】

因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列，

所以Sio=上至=：（即-1）.

1-54

故選：B

【即學(xué)即練41數(shù)列｛4｝滿足：點(diǎn)（〃,可）在函數(shù)/（力=2,的圖像上，則｛%｝的前10項(xiàng)和為（）

A.4092B.2047C.2046D.1023

【答案】C

【分析】

依題意可得%=2”,再根據(jù)等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式計(jì)算可得；

【詳解】

解：因?yàn)辄c(diǎn)（",4）在函數(shù)/（x）=2,的圖像上，所以q,=2"，設(shè)｛〃“｝的前10項(xiàng)和為品，則

2（1-210）

-----^=2"-2=2046；

1-2

故選：C

【即學(xué)即練5】2021年小林大學(xué)畢業(yè)后，9月1日開始工作，他決定給自己開一張儲(chǔ)蓄銀行卡，每月的10

號(hào)存錢至該銀行卡（假設(shè)當(dāng)天存錢次日到賬）.2021年9月10日他給卡上存入1元，以后每月存的錢數(shù)比

上個(gè)月多一倍，則他這張銀行卡賬上存錢總額（不含銀行利息）首次達(dá)到1萬(wàn)元的時(shí)間為（）

A.2022年12月11日B.2022年11月11日

C.2022年10月11日D.2022年9月11日

【答案】C

【分析】

分析可得每月所存錢數(shù)依次成首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為T=2"-l,

1-2

分析首次達(dá)到1萬(wàn)元的〃值，即得解

【詳解】

依題意可知，小林從第一個(gè)月開始，每月所存錢數(shù)依次成首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，

其前〃項(xiàng)和為上2=2"-1.

1-2

因?yàn)椤?）=2"-1為增函數(shù),

且f（13）<10000,/（14）>10000,

所以第14個(gè)月的10號(hào)存完錢后，他這張銀行卡賬上存錢總額首次達(dá)到1萬(wàn)元,

即2022年10月11H他這張銀行卡賬上存錢總額首次達(dá)到1萬(wàn)元.

故選：c

【即學(xué)即練6】在等比數(shù)列｛”“｝中，52=30,53=155,求S".

q（1+4）=30

【解析】方法一由題意知《

q（l+q+q-）=l55

r_<jai=180,

<71—5,

解得或15

匕=51片二

-5（1一5"）_5仆「］

從而s.1-5J）

聞1-（-例

或S,i=

?。8dL（一初

11

方法二若q=l,則S3：$2=3：2,

而事實(shí)上，S3:S2=31:6,故#1.

4（1-力

30

l-q

所以《

4（17）

=155

i-q

1+q6

兩式作比，得

1+武/31'

0=180,

〃i=5,

解得-〃=5或5

q=—q

同1一（一引1。84一（一加

5（1-5〃）

從而S”W（5"-1）或S”=nGN*.

1-511

Q能力拓展

考法01

等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用：

【典例1】數(shù)列1,5,52,5\53…的前10項(xiàng)和為（）

,0

A.-(5|()-1)B.1(5-l)

54

C.7(59-DD.-(5"-l)

44

【答案】B

【分析】

由數(shù)列為等比數(shù)列求解.

【詳解】

因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列,

所以Sw=匕1_二=；16°-1）.

1-54

故選：B

【典例2】在等比數(shù)列｛斯｝中，0=2,53=6,求的和q.

【解析】由題意，得若4=1,

則S3=3ai=6,符合題意.

此時(shí)，q=l,。3=0=2.

若g1,則由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，

4(1-力2(1-0’)

得$3=--------=--------=O，

i—q

解得4=-2.

此時(shí)，43=。4=2乂（一2-=8.

綜上所述，q=l,“3=2或q=—2,田=8.

【點(diǎn)睛】（1）應(yīng)用等比數(shù)列的前八項(xiàng)和公式時(shí)，首先要對(duì)公比g=l或〃聲進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能,

則要分類討論.

（2）當(dāng)q=l時(shí)，等比數(shù)列是常數(shù)列，所以5“=〃0；當(dāng)行1時(shí)，等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和￡有兩個(gè)公式.當(dāng)已知m，

q與〃時(shí)，用5“=?）比較方便；當(dāng)已知auq與小時(shí)，用幽比較方便.

\-q1一勺

【典例3】小華準(zhǔn)備購(gòu)買一臺(tái)售價(jià)為5000元的電腦，采用分期付款方式，并在一年內(nèi)將款全部付清.商場(chǎng)提

出的付款方式為：購(gòu)買2個(gè)月后第1次付款，再過(guò)2個(gè)月后第2次付款，…，購(gòu)買12個(gè)月后第6次付款，

每次付款金額相同，約定月利率為0.8%,每月利息按復(fù)利計(jì)算，求小華每期付款金額是多少.

【分析】本題是有關(guān)于等比數(shù)列前"項(xiàng)和的應(yīng)用題.

【解析】方法一設(shè)小華每期付款X元，第/個(gè)月末付款后的欠款本利為4元，則

55000x(1+0.008)2-x=5000x1.0082-x,

4=4(1+0.008)2—x=5(jo。*LOOS,一l.OO82x-x,

Ai2=5000xl.008'2-(1.008in+1.0088+...+1.0082+l)x=0,

WE.5000x1.008125000xl.00812

解得=1+I.OO82+1.008^+...+1.008，0='1_h0082f

-1-1.008—

故小華每期付款金額約為880.8元.

方法二設(shè)小華每期付款x元，到第*個(gè)月時(shí)己付款及利息為4.元，則

Ai—xx

22

A4=A2(1+O.OO8)+x=x(l+1.008)；

A6=4(14-0.008)2+X=JC(1+1.0082+1.OO84)；

42=X(I+1.0082+l.0084+1.0086+1,0088+1.OO810).

:年底付清欠款，

，42=5000x1.00812,

BP5000x1.00812

=x(l+l.OO82+1.0084+...+1.OO810),

._________5000x1.00812_________

?1+1,0082+1,0084+...+1,OO8lo~880-8,

故小華每期付款金額約為880.8元.

【點(diǎn)睛】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是建立等比數(shù)列模型及弄清數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，所謂復(fù)利計(jì)息，即把上期的本利

和作為下一期本金，在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額是不同的，復(fù)利的計(jì)算公式為S=P(l+r)",其中P代表本

金，〃代表存期，r代表利率，S代表本利和.

考法02

等比數(shù)列前"項(xiàng)和的性質(zhì)的運(yùn)用：

【典例4】已知等比數(shù)列前“項(xiàng)，前2〃項(xiàng)，前3”項(xiàng)的和分別為S“，S2n,S3,“求證：W+M"=S,(S2”+S3").

【分析】本題是有關(guān)連續(xù)m項(xiàng)的和成等比數(shù)列的證明問(wèn)題.

【證明】方法一設(shè)此等比數(shù)列的公比為q,首項(xiàng)為ai，

當(dāng)q=l時(shí)，Sn—na\,Sin—2na\,Syn—3nat,

22

:.S?+S?w=na?+4/鬲=5na?,

S〃(S2”+§3〃)=na\(2na\+)=5n2a],

，S?+瑞=S〃(S2〃+§3”).

當(dāng)時(shí)，S“=蘭(1一丁)，

S2"=7^(l—g2"),S3〃=Y^(1—q3"),

...￡+%,=(言》［(］一0,)2+(1一［2")2］

?(1一/戶(2+2/+產(chǎn)).

又S”(S2"+S3")=.(l-/)2.(2+24"+g2"),

Sn+瑞=SniSln+Sjn).

方法二根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有

2n

S2"=S“+/5,=S,(1+q"),Sin=Sn+cl"S?+qSn,

???忌+瑞=￡+5,(1+4")]2=磔2+24"+產(chǎn))，

S：(S2“+S3”)=￡(2+2q"+產(chǎn)).

.?.密+￡"=5”(距+53”).

【點(diǎn)睛】處理等比數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)問(wèn)題的常用方法

(1)運(yùn)用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，要注意公比q=l和g聲兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時(shí)，通常用約分

或兩式相除的方法進(jìn)行消元.

(2)靈活運(yùn)用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì).

【即學(xué)即練71在等比數(shù)列｛““｝中，已知S“=48,S2n=60,求S3”.

【解析】法一：因?yàn)镾2,#25?,所以g1,

囚(1)=48

1—q①

由己知得《

6~")=60②

11-4

②+①得1+?"=(,即g"=：.③

將③代入①得色=64,

所以4,

法二：數(shù)列｛斯｝為公比不為一1的等比數(shù)列，S”為其前“項(xiàng)和，則S",S2,-S,,,S3“一S2”仍構(gòu)成等比數(shù)列.

所以有：6“—S“)2=S”(S3?-S2n)或直接用黑+舐=S“(S2“+S3”).可以解得S3"=63.

【典例5】已知等比數(shù)列｛”“｝的公比4=得，則”:;曹;:等于()

11

A.—3B.—C.3D.j

【題點(diǎn)】等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)

【答案】A

【解析】?.?〃2+〃4+。6+48=。q+。3夕+45夕+。7<7

=q(a\+43+45+47)

.〃|+43+〃5+〃71_3

,.42+44+%+。8q

【點(diǎn)睛】注意觀察序號(hào)之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)解題契機(jī)；整體思想能使問(wèn)題的解決過(guò)程變得簡(jiǎn)潔明快.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.一個(gè)等比數(shù)列的前7項(xiàng)和為48,前14項(xiàng)和為60,則前21項(xiàng)和為()

A.180B.108

C.75D.63

【答案】D

【分析】

由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)S7,S14-S7,S2I-04組成等比數(shù)列，分析即得解

【詳解】

由題意得S7,5,4-57,S2L&4組成等比數(shù)列48,12,3,

即$21—S|4=3,,$21=63.

故選：D

2.若數(shù)列｛X〃｝滿足1g冗“+1=1+lgN+),且X1+X2+X3+…+xioo=10。，則lg(xioi+X102+…+冗200)的值為

()

A.102B.101

C.100D.99

【答案】A

【詳解】

由lgx“+i=l+lnx“，得倍=10,

所以數(shù)列｛怎｝是公比為10的等比數(shù)列，

乂x““=X：?q,xl02=x2-q,=xl(K)-q,

所以+X|(n-1-------Woo=+'2-------^Foo)=10H)o-100=IO102,

所以lg(aoi+3s+…+')=102,故選A.

3.已知5“是等比數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和，若存在mcN*,滿足**=9,4=畛1,則機(jī)的值為()

am171一?

A.-2B.2C.-3D.3

【答案】D

【分析】

利用等比數(shù)列前”和公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)分別求出q'",進(jìn)而得到答案.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q.

當(dāng)4=1時(shí)，合=衛(wèi)嗎'=2與*=9矛盾，不合乎題意；

5“叫S,?

,,a2m_m_5/77+15m+\..

又----qn---------,即"-----=8,fin-f.j'm=3.

a,?m-\m-\

故選：D.

4.在如圖所示的“楊輝三角''中，已知每一行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)該數(shù)列前〃項(xiàng)和為S,,,

若包=21嗚母+1)-1,則仇⑼=()

A.4041B,4043C,4039D.4037

【答案】A

【分析】

從前幾項(xiàng)可以看出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，代入等比數(shù)列求和公式求出S.,再代入b?=210g26+1)-1中，

求出｛%｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)槊恳恍械臄?shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列，且第一行數(shù)字之和為1,第二行數(shù)字之和為2,第三行數(shù)字

之和為4,

所以該等比數(shù)列的首項(xiàng)為1,公比為2,所以S=」1-2"-=2"-1,所以

1-2

bn=21og2(S?+l)-l=210g22"-1=2〃一1,所以=2x2021-1=4041.

故選：A.

5.設(shè)S“是等比數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和，若率=3,則卜（）

73

A.2B.—C.—D.3

310

【答案】B

【分析】

山卷=3,利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求得即可.

【詳解】

在等比數(shù)列｛%｝中，*3,易知3，

32

解得d=2,

4（1-成）

斫以邑="q=]+/+/=1+2+4=7

“5-正行-1+?2-1+2一鏟

i-q

故選：B

6.等比數(shù)列1,x,x2,丁，…的前”項(xiàng)和S”等于（）

ncl-x"T

A.-\--x-B.-----

1-x\-x

[\-xn.

-----]

C.J\-xD.，\-x

[nyx=\n,x=1

【答案】C

【分析】

討論公比x=l和xwl,根據(jù)等比數(shù)列求和公式可得.

【詳解】

當(dāng)x=l時(shí)￡=〃,

當(dāng)XH1時(shí),S"J"''"：匕北

1-x\-X

----Xw1

所以s“=1-x'.

n,x=1

故選:c

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列求和公式,注意對(duì)公比是否等于1的討論是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.

,、SiS）S,S

7.已知數(shù)列｛《,｝的前”項(xiàng)和為S“，且滿足a“+S“=l,則,+—+—+…+7」■的值為（）

Uj"2"3"7

A.7B.126C.247D.254

【答案】C

【分析】

根據(jù)%和S“的關(guān)系得到為=]7，計(jì)算a“=3，S,,=U故42一，利用分組求和法計(jì)算得

到答案.

【詳解】

a?+5?=1,當(dāng)〃=1時(shí)，4+3=1,故4=g

當(dāng)”22時(shí)，a?+S?=1,a?_,+5,,.j=1,相減得到

數(shù)列是首項(xiàng)為千，公比為義的等比數(shù)列，故4=6），驗(yàn)證”=1時(shí)成立，故

工――.+邑=2i-l+22-l+...2?-l=2x匕Z-7=247.

a,a,a-,a-,1-2

故選：C.

8.如圖給出的是一道典型的數(shù)學(xué)無(wú)字證明問(wèn)題：各矩形塊中填寫的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，所有數(shù)字之

和等于1.按照?qǐng)D示規(guī)律，有同學(xué)提出了以下結(jié)論，其中正確的是（）

A.由大到小的第八個(gè)矩形塊中應(yīng)填寫的數(shù)字為上

B.前七個(gè)矩形塊中所填寫的數(shù)字之和等于三

C.矩形塊中所填數(shù)字構(gòu)成的是以I為首項(xiàng)，方為公比的等比數(shù)列

D.按照這個(gè)規(guī)律繼續(xù)下去，第個(gè)矩形塊中所填數(shù)字是會(huì)

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意可得矩形塊中的數(shù)字從大到小形成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求.

【詳解】

設(shè)每個(gè)矩形塊中的數(shù)字從大到小形成數(shù)列｛4｝，則可得｛q｝是首項(xiàng)為T，公比為g的等比數(shù)列,

所以由大到小的第八個(gè)矩形塊中應(yīng)填寫的數(shù)字為％,故A錯(cuò)誤；

2256

前七個(gè)矩形塊中所填寫的數(shù)字之和等于21=127,故B正確；

.1128

1——

2

矩形塊中所填數(shù)字構(gòu)成的是以3為首項(xiàng)，g為公比的等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤；

按照這個(gè)規(guī)律繼續(xù)卜去，第”-1個(gè)矩形塊中所填數(shù)字是白，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

9.某人于2020年6月1日去銀行存款a元，存的是一年定期儲(chǔ)蓄，2021年6月1日將到期存款的本息一

起取出再加“元之后還存一年定期儲(chǔ)蓄，此后每年的6月1日他都按照同樣的方法在銀行取款和存款.設(shè)

銀行定期儲(chǔ)蓄的年利率，不變，則到2025年6月1日他將所有的本息全部取出時(shí)，取出的錢共有()

A.a(l+r)4元B.a(l+r)5JEC.a(l+r)“元D.g[(1+r)6-0+川元

【答案】D

【分析】

根據(jù)從2021年6月1日起，將到期存款的本息一起取出再加a元之后還存一年定期儲(chǔ)蓄,即a?+l=a“(1+r)+a

求解.

【詳解】

設(shè)此人2020年6月111存入銀行的錢為4元，2021年6月1II存入銀行的錢為々元，以此類推，

則2025年6月1日存入銀行的錢為4元，那么此人2025年6月1日從銀行取出的錢有(6-。)元.

由題意，得q=。，％=a(l+r)+a,%=。(1+r)+。(1+丁)+。，

%++〃(1+r)4+a(l+〃y+a(l+r)~+a(l+r)+a,

所以G_a=a[(l+r)+(l+r)2+…+(l+r)1=a.iH^[^^J=3[(l+r)6_(l+r)].

故選：D.

10.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為5.，若-5,S3,S,,成等差數(shù)列，則的最小值為()

A.25B.20C.15D.1()

【答案】B

【分析】

利用等比數(shù)列前"項(xiàng)和的性質(zhì)表不出S,-S6)再表示成同一變量邑，然后利用基本不等式求出其最小值即

可.

【詳解】因?yàn)轱L(fēng)｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以色，S6-S3,$9-品仍然構(gòu)成等比數(shù)列，所以0-53)2=邑⑸-S<3

又-5,S,,56成等差數(shù)列，所以$6-5=2s3,56-5,=S,+5，所以S9—$6=(邑一‘3)=丁+5)="+io.

S3S3S3

2525

又｛%｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以S3>0,S3+—+10>2S3—+10=20,當(dāng)且僅當(dāng)S3=5時(shí)取等號(hào).故選：B.

S3VS3

題組B能力提升練

1.設(shè)/(X)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有/(x)/(y)=/(x+y),若4=3，

勺=/(八)(〃€乂)，則數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和S,,的取值范圍是()

A.51)B.￥2)C.[；,2]D.

【答案】A

【分析】

根據(jù)/(X)-f(y)=f(x+y),令x=”，y=l,可得數(shù)列｛斯｝是以:為首項(xiàng)，以!為等比的等比數(shù)列，進(jìn)而

可以求得S”進(jìn)而S,的取值范圍.

【詳解】

?.?對(duì)任意x,yGR,都有(y)=f(x+y)，

???令x=〃，y=l,得f(〃)(1)=f(n+1),

?,?數(shù)列伍〃｝是以g為首項(xiàng)，以g為等比的等比數(shù)列,

2

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列的求和問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)任意x,)eR,都有/(x)?/.(>)=f(x+y)得

到數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，屬中檔題.

2.已知｛?。堑炔顢?shù)歹J,其前〃項(xiàng)和S,,=n2-2n+b-1,｛兒｝是等比數(shù)歹!J,其前〃項(xiàng)和G=微-3",則數(shù)歹也b?+a"｝

的前5項(xiàng)和為()

A.37B.-27C.77D.46

【答案】C

【分析】

由等差數(shù)列的求和公式、等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合數(shù)列的遞推式，可得6=1,4=2,求得數(shù)列｛斯｝,｛b,,｝

的通項(xiàng)公式，再由數(shù)列的分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，可得所求和.

【詳解】

｛a,,｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和S“=1-2〃+8-1,

由等差數(shù)列的求和公式可得6-1=0,即6=1,

2

即Sn=n-2n,

22

at=S\=-1,an=Sn-Sn-i=n-2n-(n-1)+2(n-1)=2"-3,

則”"=2"-3,n￡N*；

｛兒｝是等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和《=￡-3”，

則加=二一3,與=7“-7；一|=二-3"-3+3"』-2?3"I

22a

則］-3=-2,即。=2,

則+〃"=〃+2",

數(shù)歹IJ｛d+相｝的前5項(xiàng)和為(1+2+...+5)+(2+4+...+32)

212

=-X5X6+(-j.=77.

21-2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查數(shù)列的分組求和，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中

檔題.

3.已知數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和S"=2-3"+9,則()

A.｛q｝是等比數(shù)列B.｛〃“｝是遞增數(shù)列

C.%、4、即成等比D.九-既、九-九、Szo-Es成等比

【答案】D

【分析】

利用。,與S”的關(guān)系求出數(shù)列｛《｝的通項(xiàng)公式，即可判斷A、B、C,再分別求出S5、岳°、Ss、邑。，由

$20-S|5_S|5-5|0

即可判斷D.

九-So%-邑

【詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，％=S[=2-3+9=15；

nJ1

當(dāng)“22,〃eN*時(shí)，an=S?-S?_,=2-3"+9-(2-3+9)=4-3"-.

[15,M=1,、

所以"a，-、、,｛%｝不是等比數(shù)列，A錯(cuò)誤；

，n>2.

因?yàn)橥?12<4,所以｛4｝不是遞增數(shù)列，B錯(cuò)誤；

因?yàn)閝=15,?6=4X3\勺=4'3'",所以％、％、為不成等比數(shù)歹lj,C錯(cuò)誤;

l520

55=2x35+9,S|o=2x3">+9,Sl5=2x3+9,S20=2x3+9,

l05155

因?yàn)镾io_Ss=2x35x05—1),Sl5-Sl0=2x3x(3-l),52O-S15=2x3x(3-1),

*52()-5.S.c—S.Q

則瞪二■5產(chǎn)=王二黃，所以品,-反、$20成等比數(shù)列，D正確.

)15一》105()一%

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查利用凡與S,,的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的增減性、等比數(shù)列的概念與判定，屬于中檔題.

4.如圖，作邊長(zhǎng)為3的正三角形的內(nèi)切圓，在這個(gè)圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后，再作新三角形的內(nèi)切圓.如

此下去，則前"個(gè)內(nèi)切圓的面積和為（）

【答案】B

【分析】

從第二個(gè)正三角形開始，每個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)的每個(gè)正三角形的內(nèi)切圓半徑也是前一個(gè)正三

角形內(nèi)切圓半徑的;，則可得內(nèi)切圓半徑是以且為苜項(xiàng)，；為公比的等比數(shù)列，利用數(shù)列通項(xiàng)、求和公式,

即可得答案.

【詳解】

設(shè)第n個(gè)正三角形的內(nèi)切圓半徑為凡，

因?yàn)閺牡诙€(gè)正三角形開始，每個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)的每個(gè)正三角形的內(nèi)切圓半徑也是前個(gè)

正三角形內(nèi)切圓半徑的3，

所以q=；x3xtan30°=,4=萬(wàn)叫，“3=/4，…，％=萬(wàn)a?-\，

所以數(shù)列伍“｝是以也為首項(xiàng)，；為公比的等比數(shù)列，

22

所以?！?曰x（夕T,貝可=%;產(chǎn)，

設(shè)前”個(gè)內(nèi)切圓的面積和為S,,,

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式的靈活應(yīng)用，考查分析理解，求值計(jì)算，數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔

題.

5.（多選題）已知等比數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前"項(xiàng)和為S“，若2%+4=%,且存在兩項(xiàng)區(qū)”，％,

使得4ja,"a*=4，則（）

A.an+l=2anB.Sn=2a]-anC.mn=5D.m+n=6

【答案】BD

【分析】

先由2%+a4=4求出公比q,再由4阮；=4,求出〃，和〃的關(guān)系式，然后結(jié)合等比數(shù)列的定義和求和公

式逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】

解：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,且4＞。

因?yàn)?%+。4=4，即2%/+a聞3=4/

化簡(jiǎn)得：2q?+q=l

解得：4=3或g=-1（舍去）

對(duì)A,因?yàn)閝=；,所以a“+i=ga“，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,S“二罕d'￥=24-4,故B正確；

i-qi-q

2

t___________m+n-211

對(duì)C,因?yàn)?施高=4,即4向F尸=q,化簡(jiǎn)得：廣又q=5

4乙

解得，”+“=6,當(dāng)機(jī)=2,〃=4時(shí)，mn=8,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,由C知，機(jī)+附=6,故D正確.

故選：BD.

6.（多選）將川（〃23）個(gè)數(shù)排成〃行〃列的一個(gè)數(shù)陣，如圖：

該數(shù)陣第一列的〃個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列，每一行的〃個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的

等比數(shù)列（其中機(jī)＞0）.已知%=3,%=q+1，記這/個(gè)數(shù)的和為S,則（）

A.m=2B.a67=13x2，

C.4=（2i+l）x2，TD.S=rt（n+2）（2"-l）

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算判斷AB,分別按行、列由等差等比數(shù)列計(jì)算可判斷C,采用分組求和

的方法計(jì)算可判斷D.

【詳解】

由4“=3,461=43+1，得3+5"7=3機(jī)？+1,

所以，w=2或〃?=一；（舍去），故A1E確；

%7=（3+5m）??=13x26,故B錯(cuò)誤；

羯=［3+2（"1）］x=⑵+1）x2”,故C正確；

故D正確.

故選：ACD.

7.（多選題）己知數(shù)列也,｝滿足卬=1,。向=￡竄（"C）,則下列結(jié)論正確的有（）

A.［，+3］為等比數(shù)列

［anJ

B.｛叫的通項(xiàng)公式為鳳=亥白

C.｛%｝為遞增數(shù)列

D.I'1的前〃項(xiàng)和（=2"+2-3”一4

【答案】ABD

【分析】

由，N*）兩邊取倒數(shù)’可求出｛%｝的通項(xiàng)公式’再逐一對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷’即可得答案.

【詳解】

12+3〃”2c1_1*1.?

因?yàn)橐?-----=—+3,所以一+o3=2（—+3）,又一+3=400,

%444用%%

所以［RR是以4為首項(xiàng)'2位公比的等比數(shù)列’2+3=4x2"—即可=下七,故選項(xiàng)A、B正確.

山｛4｝的通項(xiàng)公式為42—3知，｛4｝為遞減數(shù)列，選項(xiàng)C不正確.

因?yàn)椋?2""-3,所以的前〃項(xiàng)和北=(22-3)+(23-3)+…+(2向-3)=2(2'+2?+…+2")-3〃

a“[?,,]

=2x2x<-')-3"=2"2-3"-4.選項(xiàng)D正確,故選：ABD

1-2

【點(diǎn)睛】本題考查由遞推公式判斷數(shù)列為等比數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和，分組求和法，屬于

中檔題.

8.在等比數(shù)列｛q｝中，=%-%=24,記數(shù)列｛”,｝的前〃項(xiàng)和、前"項(xiàng)積分別為5“，T?,則

?=____________時(shí)，電網(wǎng)-的值最大.

T,,

【答案】2或3或2

【分析】

結(jié)合題意求出數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而求出前〃項(xiàng)和、前〃項(xiàng)積分別為黑，T?,然后表示出(,"+"，

T"

結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】

因?yàn)?-4=24,所以公比4==包=2,所以2%「224=12q=12,所以q=l,

%一%

a.(1-q"11_2"

a?=2'-',5?=—-------=——=2n-l1T=2°-2'-22…-2'-'=22>0>

\-q1-2"

(S?+l)222w2"-l(5n-n2)等中(S+1V

、^=FnT=22=2叢1=28認(rèn)2)，因?yàn)椤癳N,所以"=2或3時(shí)，旦取最大值8.

/"『T?

故答案為：2或3.

9.在數(shù)列和也｝中，4向=4,+包+收+”，%=4+勿一病V，4=1，仄=1.設(shè)%=5"+：，

Unun

則數(shù)列｛g｝的前2022項(xiàng)和為.

【答案】4044

【分析】

根據(jù)題設(shè)的混合遞推關(guān)系可得a,,“+bn+l=2(a.+〃,)及貸包=2,故可得等比數(shù)列｛a,“｝、｛??+bn｝的通項(xiàng),

從而可求｛%｝的通項(xiàng)，故可求其前2022項(xiàng)和.

【詳解】

a

由??+i=?+b“+yja^+b；,，”,1=a?+b?-，得4+i+bn+i=2（a?+b?）.

又q+4=2,所以數(shù)列｛q+2｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，即見+b,=2",

將4出=%+b?+擊：+身，2+1=a?+hn-

等式兩邊分別相乘，得幺a=2,

a“b”

所以數(shù)列｛。也｝是首項(xiàng)為=1，公比為2的等比數(shù)列，所以“也=2"、

\1=4+2-2”

所以%==2,

%b?a?b?2"-'

所以數(shù)列｛%｝的前2022項(xiàng)和為2x2022=4044.

故答案為：4044.

10.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛〃,,｝的前"項(xiàng)和為S,,,若々4=4,%=1，則腎三［的最小值為.

24

【答案】8

【分析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得4=2,山此可求得凡,S”,從而表示出,再根據(jù)基本不等式求解即可.

2%

【詳解】

解：：。2a6=4,且q>0,

公比。=區(qū)=2,

%

：.a=2-2"-4=2'-3,S“=

n4

...-“+4J_（2修+2）2=27+白+422/2T,4+4=8,

當(dāng)且僅當(dāng)2"2=白=2,即〃=3時(shí)等號(hào)成立，

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的前項(xiàng)和，考查基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

C培優(yōu)拔尖練

1.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足S,,=2(4-1).

(I)求數(shù)列｛勺｝通項(xiàng)公式；

(II)若年上〃為奇蹺和，求仇+打+…的值.

[log?用,”為偶數(shù)

12n+,2o

【答案】(I)an=2"；(II)1.2+n+2n-1.

【分析】

(I)利用勺與S“關(guān)系可證得數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果;

(II)由(I)可得"，采用分組求和的方式，分別對(duì)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)求和即可得到結(jié)果.

【詳解】

(I)當(dāng)”=1時(shí)，at=St=2at-2,解得：4=2；

當(dāng)“22時(shí),a?=Sn-5?_,=2a?-2-2a?_,+2,整理得:an=2an_t,

；?數(shù)列｛為｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，...凡=2".

2",〃為奇數(shù)

（H）由（I）得：a=2",：.b?=

n〃+1,”為偶數(shù)'

.?.偽+82+…+%=（偽+4+…+邑-1）+（8+%+…+4"）=g（4"T）+3+（；+l）x〃=y22,,+|+n2+2n-.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用4與S“關(guān)系求解數(shù)列通項(xiàng)公式、分組求和法求解數(shù)列的前”項(xiàng)和，涉及到等差和等比數(shù)列求

和公式的應(yīng)用；屬于?？碱}型.

2.已知數(shù)列｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前"項(xiàng)和為S"，數(shù)列｛〃,｝是等比數(shù)列，且仇=3,4=9,4=仇，

邑是E與邑的等比中項(xiàng)..

(1)求數(shù)列｛4｝,也｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)%=+bn,求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和A“.

【答案】

(1)an=2n-l；b“=3"T

【分析】

3)先由條件求出數(shù)列出｝的公比為9,從而得出4=1,得到也,｝的通項(xiàng)公式；再由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和

公式結(jié)合條件求出｛4｝的公差，得出｛%｝的通項(xiàng)公式.

(2)由(1)可得Q=3"T+2〃-1,然后分組分別求｛4“｝,他｝的前〃項(xiàng)和即可得到答案.

(1)

設(shè)｛??｝的公差為d(dH0),數(shù)列也｝的公比為小

由4=3,4=9,則&=q偽=34=9,即g=3

b[=qb、=3b\=3,則4=1,所以a=1X3"T=3"T

2

由4=偽=1,凡是E與S4的等比中項(xiàng)，則S,=5,S4

即(4+q+4)2=%x(4q，即(2+d)?=4+6d

所以"2=24,由d*0,則d=2

所以%=1+2(〃-1)=2〃-1

(2)

由(1)可得C"=3"T+2〃-1

3.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和S“=2"+i+A,若㈤｝為等比數(shù)歹U.

(1)求實(shí)數(shù)A及包｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)為=皿處,求數(shù)列｛anb?｝的前n項(xiàng)和T”.

【答案】

(1)A=~2,a=2".

(2)駕=("—1)2向+2

【分析】

（1）根據(jù)題意，求出數(shù)列｛為｝前三項(xiàng)的表達(dá)式，山等比數(shù)列的性質(zhì)可得關(guān)于4的方程，解可得A的值，即

可得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，計(jì)算可得答案；

（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論，求出數(shù)列也〃｝的通項(xiàng)公式，由錯(cuò)位相減法分析可得答案.

(1)

根據(jù)題意，數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S,=2"+i+A,

則ai=S=22+4=4+4,

a2=S2~S]=(23+A)—(2?+A)=4,

4

a3=S3-S2=(2+A)-(23+A)=8,

又由｛4｝為等比數(shù)列，則sx“3=(。2)2,即(4+4)X8=42=16,

解可得A=-2,

則防=4—2=2,即數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

則4,=2",

(2)

設(shè)，則設(shè)2=/%%=/悔2"="，

則4/"="2",

故(=1x2+2x22+3x23+……+nx2",①

則有27；=1x22+2x23+……+(/i-l)x2n+nx2n+1,②

①一②可得:-7；=