PAGE20-廣東省廣州市八區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的．1.復(fù)數(shù)z滿意，則A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所?選B.2.已知隨機(jī)變量，那么隨機(jī)變量的均值（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆利用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布期望計(jì)算，側(cè)重考查對(duì)基礎(chǔ)學(xué)問的理解和駕馭，屬于基礎(chǔ)題.3.為探討某地區(qū)中學(xué)生的性別與閱讀量的關(guān)系，運(yùn)用列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算，則所得的結(jié)論是：有______把握認(rèn)為“該地區(qū)中學(xué)生的性別與閱讀量有關(guān)系”附表：A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由值與表中的臨界值進(jìn)行比較可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以?9%的把握認(rèn)為“該地區(qū)中學(xué)生的性別與閱讀量有關(guān)系”，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，與臨界值比較是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4.已知隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先計(jì)算出，由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性得出，于是得出可得出答案．【詳解】由題可知，，由于，所以，，因此，，故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上的概率，考查正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，解題時(shí)要留意正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱性來計(jì)算，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．5.設(shè)函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后求f（x）的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求得切線斜率，最終利用點(diǎn)斜式可得切線方程．【詳解】∵函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，且f（0）＝2，得Q（0，2）．∵＝ex，∴＝e0＝1．則曲線在點(diǎn)處的切線方程為y-2=x,即y＝x+2故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和曲線在某點(diǎn)處的切線方程，步驟一般為：一，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，代入已知點(diǎn)得到在這一點(diǎn)處的斜率；二，求出這個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)；三，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程.6.“勾股定理”在西方被稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，我國古代的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的具體證明．如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成大正方形，若直角三角形中較小的銳角的正切值為，現(xiàn)在向該大正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在小正方形概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)直角三角形中較短的直角邊長為，計(jì)算出小正方形和正方形的邊長，利用幾何概型的概率公式可求得所求事務(wù)的概率.【詳解】設(shè)直角三角形中較短的直角邊長為，由于，則直角三角形中較長的直角邊長為，所以，小正方形的邊長為，大正方形的邊長為，因此，向該大正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在小正方形概率為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是計(jì)算出兩個(gè)正方形的邊長，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.7.現(xiàn)有、、、、五人，隨意并排站成一排，那么、相鄰且在左邊的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將、捆綁，并計(jì)算出、相鄰且在左邊的排法種數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事務(wù)的概率.【詳解】將、捆綁，則、相鄰且在左邊的排法種數(shù)為種，因此，、相鄰且在左邊的概率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用古典概型的概率公式計(jì)算事務(wù)的概率，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.8.如圖，在平行六面體中，與的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】在平行六面體中，依據(jù)空間向量加法合成法則，對(duì)向量進(jìn)行線性表示即可【詳解】解：因?yàn)?，所以，在平行六面體中，，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了空間向量的加法運(yùn)算問題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形進(jìn)行解答，屬于基礎(chǔ)題.9.在綻開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，含的系數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可求得，依據(jù)通項(xiàng)公式可求得.【詳解】因?yàn)?，所以二?xiàng)綻開式中共有7項(xiàng)，所以第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，依據(jù)二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式可得，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查了二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.10.已知某三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，正視圖如圖所示．若該三棱錐的全部頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正視圖和已知條件作出圖形如下圖所示，利用正弦定理求得，再由勾股定理和直角三角形的射影定理求得球的直徑，運(yùn)用球的表面積公式可得選項(xiàng).【詳解】如下圖所示，延長交球于點(diǎn)，設(shè)的外心為點(diǎn)，連接，，由正弦定理得，所以，因?yàn)槠矫妫晒垂啥ɡ砜芍?，三棱錐的高，所以，由于點(diǎn)是以為直徑的球上一點(diǎn)，所以，由射影定理可知，球的直徑，因此，球的表面積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，三棱錐的外接球，球的表面積，關(guān)鍵在于外接球的直徑與三棱錐的棱長、高等之間的關(guān)系，求得外接球的半徑，屬于中檔題.11.在正方體的個(gè)頂點(diǎn)中，以隨意個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐，共有（）A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)【答案】C【解析】【分析】利用間接法可得結(jié)果：從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)的取法減去四點(diǎn)共面的情形即可得到結(jié)果.【詳解】從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)，共有種，其中有6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面中的四個(gè)頂點(diǎn)共面，不能構(gòu)成三棱錐，所以共有個(gè)三棱錐.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了簡潔的組合應(yīng)用題，考查了間接法，屬于基礎(chǔ)題12.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，則使得成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到，在是增函數(shù)，再依據(jù)為奇函數(shù)，依據(jù)，解得的解集．【詳解】令，，時(shí)，,在上是增函數(shù)，奇函數(shù),為偶函數(shù),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,因此，,因此使得成立的的取值范圍是,故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了構(gòu)造函數(shù)及數(shù)形結(jié)合的思想．解決本題的關(guān)鍵是能夠想到通過構(gòu)造函數(shù)解決，屬于中檔題．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上．13.某中學(xué)的三個(gè)年級(jí)共名學(xué)生，用分層抽樣的方法從全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本．已知高一年級(jí)出名學(xué)生，高二年級(jí)出名學(xué)生，則在高三年級(jí)應(yīng)抽取______名學(xué)生．【答案】43【解析】分析】由題意利用分層抽樣的定義和方法，求出結(jié)果．【詳解】解：高三年級(jí)人數(shù)為，故在高三年級(jí)應(yīng)抽取的人數(shù)為，故答案為：43．【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣的定義和方法，屬于基礎(chǔ)題．14.設(shè)是原點(diǎn)，向量，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的實(shí)部為______，虛部為_______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用向量的減法運(yùn)算求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.【詳解】由題意，點(diǎn)是原點(diǎn)，向量，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，可得，則，所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為．故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.15.在的綻開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是_______________.【答案】84【解析】【分析】通過求出各項(xiàng)二項(xiàng)綻開式中項(xiàng)的系數(shù)，利用組合數(shù)的性質(zhì)求出系數(shù)和即可得結(jié)果.【詳解】的綻開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為：，故答案是：84.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)二項(xiàng)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)和的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，組合數(shù)公式，屬于簡潔題目.16.若函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．下列函數(shù)中全部具有性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為_______．①②③④【答案】①③④.【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，①具有性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，②不具有性質(zhì)，③具有性質(zhì)，④具有性質(zhì).【詳解】對(duì)于①，令，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，故①具有性質(zhì)；對(duì)于②，令，則，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以②不具有性質(zhì)；對(duì)于③，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故③具有性質(zhì)；對(duì)于④，令，則，令，則，由，得，由，得，所以在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，所以時(shí)，取得最小值1，所以，，所以在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，故④具有性質(zhì).故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為,（2）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）知，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，依據(jù)單調(diào)性可得最大最小值.【詳解】（1），由，得或；由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，因?yàn)椋?，，，所以函?shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，四棱錐中，底面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，可得且，結(jié)合已知條件，可證四邊形是平行四邊形，進(jìn)而有，即可證明結(jié)論；（2）依據(jù)等體積法，由已知求出，，，即可求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】解：（1）由已知得，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)，知且，又且，得且所以四邊形是平行四邊形，有，平面，平面，故平面.（2）記點(diǎn)到平面的距離為，由題可知，,.在中，.則..因?yàn)?所以.解得.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定，考查了空間想象實(shí)力和思維實(shí)力，考查了利用等體積法求點(diǎn)到面的距離，屬于中檔題.19.如圖是某地區(qū)2000年至2024年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖．為了預(yù)料該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回來模型．依據(jù)2000年至2024年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為，，，）建立模型①：；依據(jù)2010年至2024年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為，，，）建立模型②：．（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值；（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)料值更牢靠？并說明理由．【答案】（1）利用模型①預(yù)料值為億元，利用模型②預(yù)料值為億元，（2）利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠．【解析】【分析】（1）兩個(gè)回來直線方程中無參數(shù)，所以分別求自變量為2024年時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，就得結(jié)果;（2）依據(jù)折線圖知2000到2009，與2010到2024是兩個(gè)有明顯區(qū)分的直線，且2010到2024的增幅明顯高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能較好得到2024的預(yù)料.【詳解】（1）利用模型①，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為（億元）．利用模型②，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為（億元）．（2）利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠．理由如下：（i）從折線圖可以看出，2000年至2024年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線上下，這說明利用2000年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢(shì)．2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2024年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的旁邊，這說明從2010年起先環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變規(guī)律呈線性增長趨勢(shì)，利用2010年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢(shì)，因此利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠．（ii）從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2024年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額276億元，由模型①得到的預(yù)料值270.4億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)料值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回來方程的應(yīng)用，結(jié)合條件求出對(duì)應(yīng)的預(yù)料值是解決本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.20.如圖1，在平行四邊形中，，，，將沿折起，使得平面平面，如圖2．

圖1圖2（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）點(diǎn)存在，且為線段的中點(diǎn).【解析】【分析】（1）由余弦定理，求得，依據(jù)勾股定理，證得，作于點(diǎn)，從而平面，，由，得到平面，進(jìn)而，再由，即可證得平面；（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)存在，且為線段的中點(diǎn).【詳解】（1）在中，因?yàn)?，，，由余弦定理得，所以，所以，所以，作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，所以，又因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫妫?，又由，所以平?（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，平面的一個(gè)法向量為，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，則，解得，所以點(diǎn)存在，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定與證明，以及空間角的求解及應(yīng)用，意在考查學(xué)生的空間想象實(shí)力和邏輯推理實(shí)力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.21.某超市安排在九月訂購一種時(shí)令水果，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每個(gè)元，售價(jià)每個(gè)元（統(tǒng)一按個(gè)銷售）．當(dāng)天未售出的水果，以每個(gè)元的價(jià)格當(dāng)天全部賣給水果罐頭廠依據(jù)往年銷售閱歷，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：）有關(guān).假如最高氣溫不低于，需求量為個(gè)；假如最高氣溫位于區(qū)間，需求量為個(gè)；假如最高氣溫低于，需求量為個(gè)．為了確定九月份的訂購安排，統(tǒng)計(jì)了前三年九月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求九月份這種水果一天的需求量（單位：個(gè)）的分布列．（2）設(shè)九月份一天銷售這種水果的利潤為