試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁雙曲線專項訓(xùn)練-高三數(shù)學(xué)上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)檢測卷一、單選題1．過點的直線與雙曲線的公共點只有1個，則滿足條件的直線有（

）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條2．雙曲線：的左，右頂點分別為，曲線上的一點關(guān)于軸的對稱點為，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（

）A．3 B． C． D．3．雙曲線的上焦點到雙曲線一條漸近線的距離為，則雙曲線兩條漸近線的斜率之積為（

）A． B．4 C． D．24．若雙曲線的離心率為，右焦點為，點E的坐標(biāo)為，則直線OE（O為坐標(biāo)原點）與雙曲線的交點個數(shù)為（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．不確定5．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過焦點且垂直于軸的弦為，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知雙曲線：的左，右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，則的周長為（

）A．20 B．22 C．28 D．367．已知點是雙曲線右支上的一點，點分別是圓和圓上的點．則的最小值為（

）A．3 B．5 C．7 D．98．雙曲線的兩焦點分別為，過的直線與其一支交于，兩點，點在第四象限.以為圓心，的實軸長為半徑的圓與線段分別交于M，N兩點，且，則的漸近線方程是（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知雙曲線：，左右焦點分別為，若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的離心率B．若軸，則C．若雙曲線上一點滿足，則的周長為D．存在雙曲線上一點，使得點到C的兩條漸近線的距離之積為10．已知雙曲線的焦距為4，兩條漸近線的夾角為，則下列說法正確的是（

）A．的離心率為 B．的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．的漸近線方程為 D．直線經(jīng)過的一個焦點11．已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，橢圓的上頂點為，且，雙曲線和橢圓有相同的焦點，且雙曲線的離心率為，為曲線與的一個公共點．若，則（

）A． B． C． D．三、填空題12．雙曲線C：的兩個焦點為、，點在雙曲線C上，且滿足，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．13．已知雙曲線：與橢圓：有公共的焦點，，且與在第一象限的交點為M，若的面積為1，則a的值為．14．設(shè)、為雙曲線Γ：左、右焦點，且Γ的離心率為，若點M在Γ的右支上，直線與Γ的左支相交于點N，且，則.四、解答題15．設(shè)雙曲線，斜率為1的直線l與交于兩點，當(dāng)l過的右焦點F時，l與的一條漸近線交于點，(1)求的方程；(2)若l過點，求.16．已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為2，離心率為．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線有唯一的公共點，求的值．17．已知雙曲線：（，）的右頂點，斜率為1的直線交于、兩點，且中點.(1)求雙曲線的方程；(2)證明：為直角三角形；(3)若過曲線上一點作直線與兩條漸近線相交，交點為，，且分別在第一象限和第四象限，若，，求面積的取值范圍.18．某高校的志愿者服務(wù)小組受“進博會”上人工智能展示項目的啟發(fā)，會后決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲．如下圖：A、B兩個信號源相距10米，O是AB的中點，過O點的直線l與直線AB的夾角為．機器貓在直線l上運動，機器鼠的運動軌跡始終滿足；接收到A點的信號比接收到B點的信號晚秒（注：信號每秒傳播米）．在時刻時，測得機器鼠距離O點為4米．(1)以O(shè)為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求時刻時機器鼠所在位置的坐標(biāo)；(2)游戲設(shè)定：機器鼠在距離直線l不超過1.5米的區(qū)域運動時，有“被抓”的風(fēng)險．如果機器鼠保持目前的運動軌跡不變，是否有“被抓”風(fēng)險？19．已知離心率為的雙曲線：過橢圓：的左，右頂點A，B.(1)求雙曲線的方程；(2)是雙曲線上一點，直線AP，BP與橢圓分別交于D，E，設(shè)直線DE與x軸交于，且，記與的外接圓的面積分別為，，求的取值范圍.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【分析】易知直線的斜率存在，設(shè)：，聯(lián)立雙曲線方程可得，分類討論當(dāng)、時，求出對應(yīng)的k，即可下結(jié)論.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，顯然與雙曲線沒有公共點.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，若即，此時直線和雙曲線的公共點只有1個.當(dāng)時，；當(dāng)時，.當(dāng)時，，整理可得，因為，所以有兩個不等的實數(shù)根，又不是的根，且此時直線和雙曲線的公共點只有1個.綜上可知，直線和雙曲線的公共點只有1個時，對應(yīng)直線有4條.故選：C.2．B【分析】依題求出點坐標(biāo)，設(shè)出點，得，寫出，利用點在雙曲線上，化簡的表達式，計算即得.【詳解】如圖，,不妨設(shè)，則，依題意，，因點在雙曲線上，故有，于是，.故選：B.3．A【分析】由點到直線的距離公式、焦點、漸近線以及的關(guān)系即可求解.【詳解】由對稱性，不妨設(shè)，雙曲線的漸近線是，則由題意，解得，故所求為.故選：A.4．C【分析】根據(jù)給定條件，求出，進而求出直線的斜率，再與漸近線的斜率比較即可得解.【詳解】由雙曲線的離心率為，得，則，，因此點E的坐標(biāo)為，雙曲線C的漸近線斜率為，而直線的斜率，所以直線OE與雙曲線的交點個數(shù)為2個．故選：C5．C【分析】根據(jù)幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于的齊次方程，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程，即可求解.【詳解】由題意可知，雙曲線的通徑長為，如圖所示，則AB=2b2a，若，所以由于，所以，解得，因為，所以．故選：C6．C【分析】先根據(jù)雙曲線定義列出，，然后結(jié)合求出的周長.【詳解】由題意知，，所以，又，所以，所以的周長為．故選：C．7．B【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)分析可得，再結(jié)合雙曲線的定義運算求解.【詳解】由雙曲線可知，且圓的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，由圓的性質(zhì)可知：，可得，可知，為雙曲線的焦點，則，可得，所以的最小值為5.故選：B.8．C【分析】設(shè)，則，由已知結(jié)合雙曲線定義，在中由勾股定理求得，在中，利用勾股定理得，進而可求答案．【詳解】解：如圖，由題意得：，設(shè)，則，所以，，由雙曲線的定義得：，所以，，則，因為，在中，，即，解得，所以，，在中，，即，可得，所以，所以，即，故雙曲線的漸近線方程為．故選：C．9．BC【分析】求出漸近線方程，圓心、半徑，根據(jù)已知列出方程，求出的值，即可得出離心率；求出的方程，代入雙曲線得出點坐標(biāo)，即可得出B項；根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合已知求出的值，即可得出C項；設(shè)，求出距離之積，結(jié)合雙曲線的方程，即可判斷D項.【詳解】對于A項，由，可得雙曲線的漸近線方程為.圓的圓心為，半徑為.因為雙曲線的漸近線與圓相切，所以有到的距離，解得，所以雙曲線的方程為，，，，所以，離心率，故A項錯誤；對于B項，由A知，，所以的方程為.代入雙曲線方程可得，，所以，故B項正確；對于C項，由已知，根據(jù)雙曲線的定義可知，，所以有.又，所以的周長為，故C項正確；對于D項，設(shè)，雙曲線的漸近線方程為，則點到直線的距離，到直線的距離，所以.又在雙曲線上，所以有，，故D項錯誤.故選：BC.10．AD【分析】依題意可得，再根據(jù)兩條漸近線的夾角為及，即可求出雙曲線的方程、離心率、漸近線及焦點坐標(biāo)；【詳解】依題意得，則，因為兩條漸近線的夾角為，所以兩條漸近線的傾斜角分別為，所以，所以，所以雙曲線方程為，所以離心率，漸近線方程為，焦點坐標(biāo)為、，顯然直線過點；故選：AD11．BC【分析】結(jié)合橢圓和雙曲線的定義即可求解.【詳解】設(shè)焦距為，橢圓的長軸長為，短軸長為，雙曲線的長軸長為，短軸長為，則在中，，根據(jù)對稱性，設(shè)橢圓與雙曲線的交點在第二象限，由雙曲線的定義知：，由橢圓的定義知：，則，又，，則，則，又，解得，則，A錯誤；，B正確；，C正確；，D錯誤.故選：BC12．【分析】設(shè)，，進而根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示得，再根據(jù)點在雙曲線上待定系數(shù)求解即可．【詳解】解：由題，設(shè)，，因為，所以，因為，所以，解得，因為，解得，所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．13．【分析】根據(jù)雙曲線和橢圓的定義求解、的長，再結(jié)合余弦定理求出，進而得到，再根據(jù)面積公式求解即可.【詳解】設(shè)，分別為左、右焦點，根據(jù)橢圓以及雙曲線定義可得所以，，所以，由余弦定理可得，所以，故，因此的面積為，解得．故答案為：.14．3【分析】根據(jù)離心率公式求出，畫出草圖，結(jié)合雙曲線定義可解．【詳解】如圖，畫出草圖．由的離心率為，且，可得，解得.因為，所以由雙曲線的定義，可得.故答案為：．15．(1)(2)【分析】（1）由雙曲線的性質(zhì)得到右焦點，由點斜式寫出直線方程，由點同時在漸近線和直線上組成方程組，解出即可；（2）方法一：直曲聯(lián)立，求出兩點坐標(biāo)，再用兩點間距離公式求解弦長；方法二：直曲聯(lián)立，用韋達定理表示出，再代入弦長公式求解即可.【詳解】（1）的右焦點為，當(dāng)l過的右焦點F時，直線l的方程為，由于點在漸近線上，所以，由于點在直線l上，所以，得，解得，所以雙曲線的方程是.（2）方法一：因為l過點且斜率為1，故直線，由得，即，解得或，當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，故，所以，方法二：因為l過點且斜率為1，故直線，由得，即，設(shè)Ax1則，所以.16．(1)(2)或2．【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的方程.（2）將直線的方程和雙曲線的方程聯(lián)立，對進行分類討論，從而求得的值.【詳解】（1）雙曲線的焦點為，一條漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為，而離心率，且，，方程為.（2）聯(lián)立，得,即，當(dāng)時，顯然有一個解，此時，負(fù)根舍去；當(dāng)時，，，負(fù)根舍去，綜上，或2．17．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）設(shè)出、兩點坐標(biāo)，借助點差法計算即可得；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得與、兩點坐標(biāo)有關(guān)韋達定理，通過計算即可得為直角三角形；（3）設(shè)直線方程為：，，，，結(jié)合題意計算可得，又，，可得，聯(lián)立直線與漸近線方程，可得與兩點坐標(biāo)有關(guān)韋達定理，代入化簡可得，結(jié)合面積公式計算即可用表示該三角形面積，構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)借助對勾函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)單調(diào)性即可得面積范圍.【詳解】（1）設(shè)Mx1,y1，N，兩點在雙曲線上，，由①－②得，即，，，即，，又，，雙曲線的方程為：；（2）由已知可得，直線的方程為：，即，聯(lián)立，，則，，，，為直角三角形；（3）由題意可知，若直線有斜率則斜率不為0，故設(shè)直線方程為：，設(shè)，，，，，，點在雙曲線上，，，③，又，，，④，聯(lián)立，，⑤，⑥，，分別在第一象限和第四象限，，，由④式得：，⑦，將⑤⑥代入⑦得：，，令，，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第（3）小問關(guān)鍵點在于借助向量的線性關(guān)系，結(jié)合點在對應(yīng)曲線及直線上，通過計算用表示出該三角形面積，難點在于計算.18．(1)(2)沒有“被抓”風(fēng)險【分析】（1）根據(jù)題意和雙曲線定義，可得機器鼠所在的點的軌跡方程，利用與其聯(lián)立，計算即得點的坐標(biāo)；（2）依題考慮與直線平行且距離不超過的直線，判斷機器鼠是否有“被抓”風(fēng)險，就可以轉(zhuǎn)化為與是否有交點問題，而這可以通過方程聯(lián)立，計算方程根的判別式的符號得到.【詳解】（1）如圖，設(shè)機器鼠在點處，則由題意，得，所以，P為以A、B為焦點，實軸長為8，焦距為10的雙曲線右支上的點，該雙曲線的方程為，由，即：，將其與雙曲線方程聯(lián)立，解得：，故得，即在時刻時，機器鼠所在位置的坐標(biāo)為．（2）因為與直線l平行且距離不超過1.5的直線方程為，則由可得：．考慮與是否有交點，聯(lián)立，得，故，因為，所以，所以，與沒有交點，即機器鼠保持目前的運動軌跡不變，沒有“被抓”風(fēng)險．【點睛】思路點睛：本題主要考查動點的軌跡方程和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，屬于較難題.解題思路包括：①求動點軌跡，一般將其與圓錐曲線的定義進行比較，符合定義則可以用其標(biāo)準(zhǔn)方程得到軌跡方程；②對于此題中的“機器鼠是否有“被抓”風(fēng)險”，要將其理解為直線與是否有交點問題即可迎刃而解.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓與雙曲線的基本量求解即可；（2）方法一：設(shè)直線AP：，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合Px0,y0在雙曲線上，化簡可得，同理，代入化簡，結(jié)合雙曲線方程可得，再根據(jù)正弦定理，結(jié)合代入化簡可得，再根據(jù)求解范圍即可；方法二：設(shè)直線DE：，，，聯(lián)立方程得出韋達定理，再根據(jù)P，A，D三點共線，P，B，E三點共線，列式化簡可得，進而可得，結(jié)合雙曲線方程可得，再根據(jù)正弦定理，結(jié)合代入化簡可得，再根據(jù)求解范圍即可.【詳解】（1）由題意得：，解得，所以雙曲線的方程為.（2）方法一：設(shè)直線AP：，，則，消y得：，得：，又因為Px0,y0所以，即.同理設(shè)直線BP：，，可得，所以.因為，所以，因為，所以.把代入雙曲線方程得，解得，則點.設(shè)與的外接圓的半徑分別為，，由正弦定理得，，因為，所以.則.因為，所以，所以.方法二：設(shè)直線DE：，，，則，消x得：，所以，，得，因為P，A，D三