考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷20（共9套）（共252題）考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)=一2，則f(x)在x=a處()．A、不可導(dǎo)B、可導(dǎo)且f’(a)≠0C、有極大值D、有極小值標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由局部保號性定理，存在a的去心鄰域，使得當(dāng)即f(x)知f(x)在x=a處可導(dǎo)，當(dāng)然在x=a處連續(xù)．所以，f(x)在x=a處有極大值．故選C．注意極限表達(dá)式中隱含的連續(xù)、可導(dǎo)等條件及結(jié)論．2、設(shè)曲面∑為柱面x2+y2=5介于一1≤z≤1的部分，方向?yàn)橥鈧?cè)，則曲面積分的值為()．A、10π一2B、2—10πC、10πD、0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：令∑1：z=1(x2+y2≤5)，方向向上，∑2：z=一1(x2+y2≤5)，方向向下，則∑∪∑1∪∑2為一封閉曲面，方向?yàn)橥鈧?cè)，設(shè)它圍成的區(qū)域?yàn)棣?，則其體積V=故選D．3、已知級數(shù)()．A、3B、7C、8D、9標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)榧墧?shù)則級數(shù)故選C．4、具有特解y1=e－x，y2=2xe－x，y3=3ex的三階線性常系數(shù)齊次微分方程是()．A、y’’’一y’’一y’+y=0B、y’’’一2y’’一y’+2y=0C、y’’’一6y’’+11y’一6y=0D、y’’’+y’’一y’一y=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由方程的齊次性知e－x，xe－x，ex是三個線性無關(guān)的解，故其對應(yīng)的特征根為λ1=λ2=一1，λ3=1，于是特征方程為(λ+1)2(λ一1)=0，即λ3+λ2一λ一1=0．故選D．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)5、設(shè)∫f’(x2)dx=x7+c，則f(x)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填知識點(diǎn)解析：由不定積分的定義f’(x2)=7x6。令x2=t，則f’(t)=7t3，此題主要考查原函數(shù)的概念．6、已知向量p、g、r兩兩互相垂直，且｜p｜=1，｜q｜=2，｜r｜=3，則向量s=p+q+r的模為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填知識點(diǎn)解析：本題主要考查向量模的概念以及兩個向量相互垂直的充分必要條件．根據(jù)向量模的定義及向量相互垂直的充分必要條件，得｜s｜2=s．s=(p+q+r)．(p+q+r)=p．p+q．q+r．r=｜p｜2+｜q｜2+｜r｜2=14．所以，向量s=p+q+r的模為7、函數(shù)在點(diǎn)(0，1)處的梯度等于______．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填{1，0}或i．知識點(diǎn)解析：本題考查梯度的定義和偏導(dǎo)數(shù)的求法．因?yàn)樗裕蟮奶荻葹閧1，0}或i．三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)8、設(shè)1≤x<+∞時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)1≤x＜+∞時(shí)，由f’(x)＞0知，f(x)單調(diào)增加，由題設(shè)和定積分的性質(zhì)，可得：由牛頓一萊布尼茲公式得：即f(1)＜f(x)＜f(1)+1．所以，數(shù)列{f(x)}單調(diào)有界．由單調(diào)有界定理知，存在．知識點(diǎn)解析：要證明存在，只要證f(n)單調(diào)有界，即證f(x)單調(diào)有界．由已知條件、定積分的性質(zhì)和牛頓一萊布尼茲公式，便可知f(x)單調(diào)有界．關(guān)于遞推數(shù)列的極限，用先驗(yàn)證后求或先求后驗(yàn)證這些傳統(tǒng)的方法無疑是正確的，但在單調(diào)性和有界性判斷方面用傳統(tǒng)的方法會遇到困難．此時(shí)，應(yīng)盡可能轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性和有界性的判斷．這樣就可綜合運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、重要公式和結(jié)論來解決極限問題．9、設(shè)討論函數(shù)f(x)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，指明其類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然，x≠±2時(shí)，f(x)是連續(xù)的．而所以x=－2為f(x)的連續(xù)點(diǎn)．所以x=2是f(x)的跳躍間斷點(diǎn)．知識點(diǎn)解析：x≠±2時(shí)，f(x)連續(xù)，x=±2時(shí)，考慮單側(cè)極限．10、設(shè)f(x)連續(xù)，f’’(1)存在，且令φ(x)=∫01f’[1+(x－1)t]dt，求φ’(x)并討論其連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以，φ’(x)在x=1連續(xù)．知識點(diǎn)解析：由條件可知，f(1)=0，f’(1)=0，于是可得φ(1)=∫01f’(1)dt=0．再將參變量提至積分號外，然后求導(dǎo)．為求φ(1)，用到了隱含條件：設(shè)f(x)在x=1連續(xù)，則一般地，有：若f(x)，f’(x)在x=x0處連續(xù)，則11、設(shè)b>a>0，f(x)在[a，b]上連續(xù)，單調(diào)遞增，且f(x)>0，證明：存在ξ∈(a，b)使得a2f(b)+b2f(a)=2ξ2f(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=2x2f(x)一a2f(b)一b2f(a)．顯然F(x)在[a，b]上連續(xù)且F(a)=a2[f(a)一f(b)]+f(a)(a2一b2)<0，F(xiàn)(b)=f(b)(b2一a2)+b2[f(b)一f(a)]>0，由零點(diǎn)定理，至少存在一個點(diǎn)ξ∈[a，b]使得F(ξ)=0，即a2f(b)+b2f(a)=2ξ2f(ξ)．知識點(diǎn)解析：作輔助函數(shù)F(x)=2x2f(x)－a2f(b)一b2f(a)，F(xiàn)(x)在[a，b]上用零點(diǎn)定理．12、設(shè)f(x)在[a，b]上一階可導(dǎo)，且f’(x)l≤M，∫abf(x)dx=0，試證：當(dāng)a≤x≤b時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=∫axf(t)dt，則F(x)在a，b]上連續(xù)，且F(a)=F(b)=0．由最值定理，存在點(diǎn)x0∈[a，b]，使得若F(x0)=0，則F(x)≡0，結(jié)論自然成立．若F(x0)≠0，由點(diǎn)x0∈(a，b)可知，F(xiàn)(x0)必是F(x)的極值．于是，有F’(x0)=0，在x0處由臺勞公式可得知識點(diǎn)解析：暫無解析13、求標(biāo)準(zhǔn)答案：令知識點(diǎn)解析：變量替換法是積分的一種重要方法，常見的變量替換有：(4)其他變換：令ln(ax+b)=t，arcsinx=t等．14、設(shè)f(x)連續(xù)，f(2)=0，且滿足∫0xtf(3x—t)dt=arctan(1+ex)，求∫23f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0πtf(3x－t)dt∫2x3xf(u)du=3x∫2x3xf(u)du—∫2x3xuf(u)du=arctan(1+ex)．兩邊求導(dǎo)得3∫2x3xf(u)du+3xf(3x)．3－3xf(2x)．2－9xf(3x)+4xf(2x)=即3∫2x3xf(u)du－2xf(2x)=令x=1，得∫23f(x)dx=．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：關(guān)于廣義積分的計(jì)算問題，通常用定義直接計(jì)算．若F(x)是f(x)在(a，+∞)上的一個原函數(shù)，且16、討論方程實(shí)根的個數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由零值定理，f(x)在(0，1)內(nèi)至少有一個實(shí)根．又所以，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)單調(diào)增加，因此，f(x)在[0，+∞)內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)．由f(x)是偶函數(shù)可知，f(x)在(一∞，0)內(nèi)也只有一個零點(diǎn)，故f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)有兩個零點(diǎn)，即原方程有兩個實(shí)根．知識點(diǎn)解析：可將方程實(shí)根的問題轉(zhuǎn)化為f(x)的零點(diǎn)問題．又f(－x)=f(x)，所以，只要討論f(x)在[0,+∞)內(nèi)的零點(diǎn)問題．關(guān)于方程實(shí)根的個數(shù)或兩曲線交點(diǎn)的個數(shù)問題，通常都可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題來討論，并利用函數(shù)的奇偶性縮小討論區(qū)間．17、曲線y=k(x2一3)2在拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn)，求k的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’=4kx(x2—3)，y’’=12k(x2一1)．令y’’=0，得x=±1．而y’(±1)=y(±1)=4k．無論k是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，(±1，4k)都是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，所以，過拐點(diǎn)(±1，4k)的法線方程為知識點(diǎn)解析：曲線y=f(x)過點(diǎn)(x0，f(x0))的切線方程為y一f(x0)=f’(x0)(x—x0)．法線方程為18、已知向量a與單位向量e不共線，另有一個與它們共面的向量p，當(dāng)向量a、e、p起點(diǎn)相同時(shí)，向量p關(guān)于向量e與向量a對稱，試用向量a和向量e來表示向量P．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用向量的平行四邊形法則．如圖1—6—1所示，由于向量P與向量口對稱，可見a+P=ke，且k=2(a．e)．于是，p=2(e．a(chǎn))e－a．知識點(diǎn)解析：本題主要考查向量的投影、共面的概念以及向量的三角形運(yùn)算法則．在平面上，顯然用向量的平行四邊形法則更容易．19、求函數(shù)f(x，y)=(x一6)2+(y+8)2在D={(x，y)：z2+y2≤25)上的最大值、最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：得x0=6，y0=一8，而(x0，y0)不在D的內(nèi)部，所以f(x，y)在D的內(nèi)部沒有極值，故它的最大、最小值一定在邊界г：x+y=25上取到．而在г上：f(x，y)=x2+y2一12x+16y+100=125—12x+16y．令L(x，y，λ)=f(x，y)+λ(x2+y2一25)，得λ1=—2，x1=一3，y1=4，或λ2=2，x2=3，y2=一4．而f(x1，y1)=125+36+64=225，f(x2，y2)=125—36—64=25，所以f(x，y)在D上的最大值(即在г上的最大值)為f(x1，y1)=225，f(x，y)在D上的最小值(即在г上的最小值)為f(x2，y2)=25．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、計(jì)算二重積分其中D為x2+y2=1與y=｜x｜所圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：如圖1—8—1，因?yàn)楸环e函數(shù)所以應(yīng)先定變量x的上、下限，然后再定變量y的上、下限．又因?yàn)楸环e函數(shù)與積分區(qū)域關(guān)于y坐標(biāo)軸對稱，故只需考慮積分區(qū)域D在第一象限部分的情況．本題若先對變量y求積分，雖然只有一個積分表達(dá)式但積分卻比較繁瑣．21、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(x)>0，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：本題主要考查如何將定積分的問題化為二重積分．本題的關(guān)鍵所在是利用了不等式特別地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，則∫01ef(x)dx．∫01e一f(x)dx≥1．22、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且F(t)=[x2+f(x2+y2)]dv，其中空間區(qū)域Ω為：0≤z≤h,x2+y2≤t2，標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榉e分空間區(qū)域Ω為柱狀區(qū)域，且被積函數(shù)中的第二項(xiàng)為f(x2+y2)，所以用柱坐標(biāo)的方法比較簡單、方便．因?yàn)槔寐灞厮▌t，得知識點(diǎn)解析：根據(jù)題意，先確定三重積分的相應(yīng)計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo))．然后，再求對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)和極限．本題的關(guān)鍵在于如何求得函數(shù)F(t)的表達(dá)式．23、設(shè)曲線積分∫Lxy2dx+yφ(x)dy與路徑無關(guān)，其中φ(x)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且φ(0)=0．計(jì)算曲線積分I=∫(0，0)(1，1)xy2dx+yφ(x)dy的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)P(x，y)=xy2，Q(x，y)=yφ(x)，由即2xy=yφ’(x)．解此一階線性微分方程，得φ(x)=x2+c．再由φ(0)=0，得c=0，故φ(x)=x2．于是：利用全微分方程知識點(diǎn)解析：本題主要考查曲線積分與路徑無關(guān)的充分必要條件，一階線性微分方程求特解的方法以及相應(yīng)的曲線積分．24、計(jì)算曲面積分標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍妗圃趚Oy坐標(biāo)平面上的投影區(qū)域?yàn)镈：x2+y2≤2x，且知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)有一半徑為a的物質(zhì)球面，其上任意一點(diǎn)的面密度等于該點(diǎn)到此球的一條直徑距離的平方，試求此球面的質(zhì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用曲面積分的輪換對稱性．選擇已知直徑所在的直線為Oz軸，球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，則球面∑的方程為x2+y2+z2=a2，面密度為ρ=x2+y2，則球面的質(zhì)量為知識點(diǎn)解析：暫無解析26、證明：正項(xiàng)級數(shù)與數(shù)列{(1+a1)(1+a2)．…．(1+n)}是同斂散的．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榧墧?shù)的前n項(xiàng)的部分和Sn為Sn=a1+a2+…+an≤(1+a1)(1+a2)．…．(1+an)≤由此可見，前n項(xiàng)的部分和Sn與單調(diào)增加數(shù)列{(1+a1)(1+a2)．…．(1+an)}是同時(shí)有界或同時(shí)無界．因此，正項(xiàng)級數(shù)與數(shù)列{(1+a1)(1+a2)．…．(1+an)}是同斂散的．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、已知級數(shù)證明：f(x)+f(1一x)+lnx．ln(1一x)=標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閮缂壍氖諗坑驗(yàn)閇一1，1]，所以函數(shù)f(x)的定義域是[一1，1]，函數(shù)f(1一x)的定義域是[0，2]．令函數(shù)F(x)=f(x)+f(1一x)+lnx．ln(1—x)，則F(x)的定義域是(0，1)．由于所以，F(xiàn)’(x)=f’(x)一f’(1一x)+[lnx．ln(1一x)]’=0，x∈(0，1)．因此，F(xiàn)(x)=f(z)+f(1一x)+lnx．ln(1一x)=c，x∈(0，1)．在上式兩端，令x→1－，取極限，得從而f(x)+f(1一x)+lnx?ln(1一x)=知識點(diǎn)解析：欲證明一個函數(shù)在整個區(qū)間上恒等于常數(shù)C，常用的一個方法是：證明其導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上恒為零，再計(jì)算某個x的函數(shù)值即得．設(shè)f(x)、g(x)均為連續(xù)的可微函數(shù)，且x=yf(xy)dx+xg(xy)dy．28、若存在二元可微函數(shù)u(x，y)，使得du=z，求f(xy)一g(xy)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)槠渲衏為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、若f(x)=φ’(x)，求二元可微函數(shù)u(x，y)，使得du=z．標(biāo)準(zhǔn)答案：由條件f(x)=φ’(x)及上一題題的結(jié)論，知du=z=yf(xy)dx+xg(xy)dy=yφ’(xy)dx+=d[φ(xy)]一cd(1ny)=d[φ(xy)一clny]．所以，u(x，y)=φ(xy)一clny+c0．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、設(shè)f(x)=∫01－cosxsint2dt，g(x)=，則當(dāng)x→0時(shí)，f(x)是g(x)的()·A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價(jià)無窮小D、同階但非等價(jià)的無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)2、設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：10f(a)f’(a)知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在x－a處可導(dǎo)，所以f(x)在x=a處連續(xù)，=2f(a)×5f’(a)=10f(a)f’(a)．3、設(shè)f(x)=dt，則∫01dx=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e-1-1知識點(diǎn)解析：4、設(shè)y=y(x)由x—=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e一1知識點(diǎn)解析：5、計(jì)算∫01dxdy=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1一sin1知識點(diǎn)解析：改變積分次序得6、設(shè)L：=1，且L的長度為l，則(9x2+72xy+4y2)ds=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：36l知識點(diǎn)解析：7、設(shè)函數(shù)φ(μ)可導(dǎo)且φ(0)=1，二元函數(shù)z=φ(x＋y)exy滿足=0，則φ(μ)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：令x+y=μ，則=φ’(μ)exy+yφ(μ)exy，=φ’(μ)exy+xφ(μ)exy，=2φ’(μ)exy+μφ(μ)exy，8、設(shè)∫0yetdt+∫0xcostdt=xy確定函數(shù)y=y(x)，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：∫0yetdt+∫0xcostdt=xy兩邊對x求導(dǎo)得．9、設(shè)f(lnx)=，則∫f(x)dx=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：10、設(shè)直線，在平面x+y+z=0上的投影為直線L，則點(diǎn)(1，2，1)到直線L的距離等于________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：過直線的平面束為(x+2y—z一2)+k(2x—y+z一3)=0，即(1＋2k)x+(2一k)y+(k一1)z一2—3k=0，由｛1+2k，2一k，k一1｝·｛1，1，1｝=0，得k=一1，則投影直線為L：，s=｛1，1，1｝×｛1，－3，2｝=｛5，－1，－4｝，對稱式方程為L：，令M0，M1的坐標(biāo)分別為(一1，0，1)，(1，2，1)，．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)11、設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=∫0x2ln(1+t)dt～g(x)=xa(ebx一1)，求a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析12、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)，證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)=f’(η)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析14、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析15、計(jì)算下列列積分：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)L：y=sinx(0≤x≤)，由x=0,L及y=sint圍成的區(qū)域面積為S1(t)；由L、y=sint及x=圍成的區(qū)域面積為S2(t)，其中0≤t≤．16、求S(t)=S1(t)+S2(t)．標(biāo)準(zhǔn)答案：S1(t)=∫0t(sint-sinx)dx=tsint＋cost－1，知識點(diǎn)解析：暫無解析17、t取何值時(shí)，S(t)取最小值?t取何值時(shí)，S(t)取最大值?標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)曲線y=，過原點(diǎn)作切線，求此曲線、切線及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的表面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、計(jì)算位于平面z=1及z=2之間部分的外側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：∑1：z=1(x2+y2≤1)取下側(cè)，∑2：z=2(x2+y2≤4)取上側(cè)，知識點(diǎn)解析：暫無解析20、判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、用變量代換x=sint將方程(1一x2)一4y=0化為y關(guān)于t的方程，并求微分方程的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：故原方程的通解為y=C1e－2arcsinx＋C2e2arcsinx．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(x)可導(dǎo)且f’’(0)=6，且．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=0得f(0)=0，f’(0)=0，知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)二階可導(dǎo)，且=0，又f(2)=f(x)dx，證明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)＋f’’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=0，得F(1)=一1，又，所以f’(1)=0．由積分中值定理得，由羅爾定理，存在x0∈(c，2)(1，2)，使得f’(x0)=0．令φ(x)=exf’(x)，則φ(1)=φ(x0)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(1，x0)(0，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=ex[f’(x)+f’’(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)+f’’(ξ)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f’(lnx)=，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令lnx=t，則f’(t)=，當(dāng)t≤0時(shí)，f(t)=t+C1；當(dāng)t＞0時(shí)，f(t)=et+C2，顯然F’(t)為連續(xù)函數(shù)，所以f(t)也連續(xù)，于是有C1=1＋C2，故f(x)=知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(0)=1，令F(t)=f(x2+y2)dxdy(t≥0)，求F’’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由F(t)=∫02πdθ∫0trf(r2)dr=2π∫0trf(r2)dr=π∫0t2f(μ)dμ，得F’(t)=2πtf(t2)，F(xiàn)’(0)=0，F(xiàn)’’(0)==2πf(0)=2π．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)空間曲線C由立體0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1的表面與平面x+y+z=所截而成，計(jì)算｜(z2－y2)dx+(x2－z2)dy+(y2－x2）dz｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：取平面x+y+z=上被折線C所圍的上側(cè)部分為S，其法向量的方向余弦為cosα=cosβ=cosγ=，設(shè)Dxy表示曲面S在平面xOy上的投影區(qū)域，其面積為A=，由斯托克斯公式得知識點(diǎn)解析：暫無解析27、求冪級數(shù)xn的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=0，得收斂半徑R=+∞，該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(－∞，+∞)．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)a0=1，a1=－2，(n≥2)．證明：當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，冪級數(shù)anxn收斂，并求其和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)1、設(shè)x→x0時(shí)，f(x)不是無窮大量，則下述結(jié)論正確的是()A、當(dāng)x→x0時(shí)，g(x)是無窮小量，則f(x)g(x)必是無窮小量．B、當(dāng)x→x0時(shí)，g(x)不是無窮小量，則f(x)g(x)必不是無窮小量．C、設(shè)在x=x0的某鄰域g(x)無界，則當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)g(x)必是無窮大量．D、設(shè)在x=x0的某鄰域g(x)有界，則當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)g(x)必不是無窮大量．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：(反例排除法)取f(x)=，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)是無界的，不是無窮大量；取g(x)=x，當(dāng)x→0時(shí)，g(x)是無窮小量，但不存在，排除A．取f(x)=x2，g(x)=，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)不是無窮大量，g(x)不是無窮小量，且在x=0的某鄰域無界，但，排除B、C．2、設(shè)函數(shù)f(x)=則x=1是f(x)的()A、連續(xù)點(diǎn)．B、可去間斷點(diǎn)．C、無窮間斷點(diǎn)．D、跳躍間斷點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)樗詘=1是f(x)的可去間斷點(diǎn)．3、設(shè)f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，g(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則下列4個函數(shù)中在點(diǎn)x0處肯定不可導(dǎo)的是()A、f(x)+g(x)．B、f(x)g(x)．C、f2(x)．D、f[g(x)]．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：(推理法)設(shè)f(x)+g(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則f(x)=[f(x)+g(x)]-g(x)也在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，與f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)矛盾．所以f(x)+g(x)在點(diǎn)x0處肯定不可導(dǎo)．4、設(shè)f(x)在x=x0的某一鄰域內(nèi)具有四階導(dǎo)數(shù)，f’(x0)=f’’(x0)=f’’(x0)=0，且f(4)(x0)＞0，則下列選項(xiàng)中正確的是()A、x0是f(x)的極大值點(diǎn)．B、x0是f(x)的極小值點(diǎn)．C、(x0，f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．D、x0不是f(x)的極值點(diǎn)，(x0，f(x0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：將f(x)在x0點(diǎn)展開成四階泰勒公式在x0的某一去心鄰域內(nèi)，，從而f(x)-f(x0)＞0，即f(x)＞f(x0)，故f(x0)是f(x)的極小值，即x0是f(x)的極小值點(diǎn)，故應(yīng)選B．5、設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為arcsinx，則f(x)的導(dǎo)函數(shù)為()A、B、sinx．C、xarcsinx．D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)的一個原函數(shù)為arcsinx，所以6、等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：本題主要考查湊微分法與分部積分法．7、曲線y=sinx的一個周期的弧長等于橢圓2x2+y2=2的周長的()A、1倍．B、2倍．C、3倍．D、4倍．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：設(shè)s1為曲線y=sinx的一個周期的弧長，s2為橢圓2x2+y2=2的周長，由弧長計(jì)算公式，有將橢圓2x2+y2=2化為參數(shù)方程則由參數(shù)方程表示下面曲線的弧長計(jì)算公式，有從而s1=s2.8、設(shè)函數(shù)f(x，y)為可微函數(shù)，且對任意x，y都有f’x(x，y)＞0，f’y(x，y)＜0，則使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一個充分條件是()A、x1＞x2，y1＜y2．B、x1＞x2，y1＞y2．C、x1＜x2，y1＜y2．D、x1＜x2，y1＞y2．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由f’x(x，y)＞0得當(dāng)y固定時(shí)，f(x，y)對x是單調(diào)增加的；由f’y(x，y)＜0得當(dāng)x固定時(shí)，f(x，y)對y是單調(diào)減少的．于是當(dāng)x1＜x2時(shí)，f(x1，y1)＜f(x2，y1)；當(dāng)y1＞y2時(shí)，f(x2，y1)＜f(x2，y2).綜上所述，當(dāng)x1＜x2，y1＞y2時(shí)，f(x1，y2)＜f(x2，y2)．9、極坐標(biāo)下的二次積分可寫成()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：這是一個將極坐標(biāo)下的二次積分轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)下的二次積分問題，應(yīng)根據(jù)極坐標(biāo)下的二次積分畫出積分區(qū)域圖，根據(jù)積分區(qū)域圖化為直角坐標(biāo)下的二次積分．由r=2sinθ，得r2=2rsinθ，其直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2y，又0≤θ≤，故積分區(qū)域D為以(0，1)為圓心，半徑為1的右半圓．在直角坐標(biāo)下，X型區(qū)域可表示為Y型區(qū)域可表示為D={(x，y)｜0≤y≤2，0≤x≤}，故應(yīng)選C．10、已知曲線L：x=y2(0≤y≤)，則∫Lyds=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：這是一個平面曲線上對弧長的曲線積分的計(jì)算問題，其計(jì)算方法是轉(zhuǎn)化為定積分．利用計(jì)算公式，有11、設(shè)級數(shù)收斂，則必收斂的級數(shù)為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：(推理法)因?yàn)榧墧?shù)收斂，由級數(shù)的性質(zhì)知，收斂．故應(yīng)選D．12、冪級數(shù)的和函數(shù)為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：令s(x)=，s(0)=1，等式兩邊求導(dǎo)得所以和函數(shù)s(x)滿足方程s’(x)+s(x)=ex兩邊乘以ex，得[s(x)ex]’=e2x，兩邊積分，得s(x)ex=e2x+C，由s(0)=1，得C=13、已知微分方程y’’-6y’+9y=e2x的積分曲線y=y(x)經(jīng)過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)的切線平行于直線6x-3y+2=0，則該積分曲線的方程為()A、y=x2e2x+sin2x．B、y=(x2cosx+sin2x)e3x．C、y=sin2x．D、y=(x+4)e3x．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)榉e分曲線y=y(x)過原點(diǎn)，所以y(0)=0；又在原點(diǎn)處的切線平行于直線6x-3y+2=0，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，y’(0)=2．故本題就是求微分方程y’’-6y’+9y=e2x滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=2的特解．首先求y’’-6y’+9y=0的通解．特征方程為r2-6r+9=0，特征根為r1=r2=3，所以其通解為y=C1e3x+C2xe3x．其次求y’’-6y’+9y=e3x的一個特解．因?yàn)?為特征方程的二重根，所以設(shè)y*=Ax2e3x為其特解形式，求導(dǎo)得y’*=2Axe3x+3Ax2e3x，y’’*=2Ae3x+12Axe3x+9Ax2e3x，將y*，y’*，y’*代入到y(tǒng)’’-6y’+9y=e3x并化簡，得A=x2e3x．寫出y’’-6y+9y=e3x的通解，為y=C1e3x+C2xe3x+x2e3x．求導(dǎo)得y’=3C1e3x+C2e3x+3C2xe3x+xe3x2+x2e3x，由y(0)=0，y’(0)=2得從而C1=0，C2=2．故所求積分曲線方程為y=2xe3x+x2e3x=(x+4)e3x．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)14、=_____.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：15、設(shè)f(x)=，則f(x)的連續(xù)區(qū)間是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(-∞，0)∪(0，+∞)知識點(diǎn)解析：其連續(xù)區(qū)間為(-∞，0)∪(0，+∞)．16、設(shè)曲線y=ax2與y=ln2x相切，則切點(diǎn)坐標(biāo)為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則則y0=ln2x0=．故所求切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)=17、曲線的漸近線的條數(shù)為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：因?yàn)樗詙=1是曲線的水平漸近線，從而無斜漸近線．因?yàn)樗詘=-1是曲線的鉛直漸近線．18、=______.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由于被積函數(shù)中的arctanex不易積出，故可考慮用變量代換方法．令arctanex=t，則ex=tant，x=lntant．從而19、設(shè)f(2x+1)=xex，則=_______.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：令t=2x+1，則20、已知兩條直線的方程是L1：，則過L1且平行于L2的平面方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：x-3y+z+2=0知識點(diǎn)解析：過L1平行于L2的平面的法向量n同時(shí)垂直于L1，L2，即n同時(shí)垂直于L1的方向向量s1=(1，0，-1)與L2的方向向量s2=(2，1，1)，故n=s1×s2==i-3j+k=(1，-3，1)．在L1上取一點(diǎn)(1，2，3)，由平面的點(diǎn)法式方程知，所求平面方程為(x-1)-3(y-2)+(z-3)=0，即x-3y+2+2=0．21、設(shè)u=f(x-y，y-z，z-t)，其中f具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則=______.標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：這是一個復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算的延伸題目．由復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，有22、(3x-2y)dxdy=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：35π知識點(diǎn)解析：無論在直角坐標(biāo)下還是極坐標(biāo)下計(jì)算該二重積分，都將比較煩瑣，可考慮用下面簡便方法．積分區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤2x-4y)={(x，y)｜(x-1)2+(y+2)2≤5}，所以區(qū)域D的面積σ==5π，形心坐標(biāo)=(1，-2)，故23、設(shè)L為上半橢圓4x2+y2=1的逆時(shí)針方向，則曲線積分=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：本題考查參數(shù)方程表示下第二類曲線積分的計(jì)算或考查格林公式應(yīng)用的條件．由于曲線積分被積表達(dá)式的分母中含4x2+y2，故不能直接補(bǔ)曲線構(gòu)成封閉曲線用格林公式，而是先代入再補(bǔ)曲線．于是I=∫Lxdy-ydx=∫L(-y)dx+xdy．補(bǔ)曲線L1：y=0，從，則L與L1構(gòu)成封閉曲線的正向，所以I=∫L+L1(-y)dx+xdy-∫L1(-y)dx+xdy24、設(shè)級數(shù)an條件收斂，則冪級數(shù)(x-2)n的收斂區(qū)間為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，3)知識點(diǎn)解析：級數(shù)an條件收斂，即冪級數(shù)anxn在x=1點(diǎn)處條件收斂，故它的收斂半徑R=1．因?yàn)槿绻鸕＜1，則冪級數(shù)anxn在x=1點(diǎn)處應(yīng)發(fā)散，矛盾；如果R＞1，則冪級數(shù)anxn在x=1點(diǎn)處應(yīng)絕對收斂，矛盾．由于逐項(xiàng)積分所得冪級數(shù)與原冪級數(shù)有相同的收斂半徑，故冪級數(shù)(x-2)n與冪級數(shù)an(x-2)n+1的收斂半徑均為1，所以所求收斂區(qū)間為(2-1，2+1)=(1，3)．25、微分方程xy’+y-ex=0滿足條件y(1)=e的特解為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：原微分方程可寫成這是一階線性微分方程，可利用一階線性微分方程求解公式求解，但用觀察法更簡捷．xy’+y=ex，(xy)’=ex，等式兩邊積分，得xy=ex+C，由y(1)=e，得C=0，所以xy=ex，即y=ex．考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、若a.b=a.c，則A、b=c．B、a⊥b且a⊥c．C、a=0或b一c=0．D、a⊥(b-c)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)c=(b×a)-b，則A、a垂直于b+c．B、a平行于b+c．C、b垂直于c.D、b平行于c．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：暫無解析3、若直線相交，則必有A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析4、通過直線x=2t一1，y=3t+2，z=2t一3和直線x=2t+3，y=3t一1，z=2t+1的平面方程為A、x—z一2=0．B、x+z=0．C、x一2y+z=0．D、x+y+z=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：暫無解析5、原點(diǎn)(0，0，0)關(guān)于平面6x+2y一9z+121=0對稱的點(diǎn)為A、(12，8，3)．B、(一4，1，3)．C、(2，4，8)．D、(一12，一4，18)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)f(x，y)=則f(0，0)點(diǎn)處A、不連續(xù)．B、偏導(dǎo)數(shù)不存在．C、偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微．D、偏導(dǎo)數(shù)存在且可微．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析7、若二元函數(shù)f(x，y)在(x0，y0)處可微，則在(x0，y0)點(diǎn)下列結(jié)論中不一定成立的是A、連續(xù)．B、偏導(dǎo)數(shù)存在．C、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)．D、切平面存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析8、函數(shù)在(0，0)點(diǎn)處A、不連續(xù)．B、偏導(dǎo)數(shù)存在．C、任一方向的方向?qū)?shù)存在．D、可微．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)fx’(0，0)=1，fy’(0,0)=2，則A、f(x,y)在(0，0)點(diǎn)連續(xù)．B、df(x，y)|(0,0)=dx+2dy．C、=cosα+2cosβ，其中cosα，cosβ為1的方向余弦．D、f(x，y)在(0，0)點(diǎn)沿x軸負(fù)方向的方向?qū)?shù)為一1．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析10、函數(shù)f(x，y)=x2y3在點(diǎn)(2，1)沿方向l=i+j的方向?qū)?shù)為A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)11、若向量x與向量a=2i—j+2k共線，且滿足方程a.x=一8，則向量x=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：一4i+21—4k知識點(diǎn)解析：暫無解析12、平行于平面5x-14y+2z+36=0且與此平面距離為3的平面方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：5x一14y+2z+81=0或5x一14y+2z一9=0知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：z知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則fx’(0，1，一1)=______標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x，y)=xy，則=_____標(biāo)準(zhǔn)答案：xy-1+yxy-1lnx知識點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：dx—dy知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)z=z(x，y)由方程x一mx=φ(y—nz)所確定(其中m，n為常數(shù)，φ為可微函數(shù))，則=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：暫無解析18、函數(shù)u=xy+yz+xz在點(diǎn)P(1，2，3)處沿P點(diǎn)向徑方向的方向?qū)?shù)為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、函數(shù)z=2x2+y2在點(diǎn)(1，1)處的梯度為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：4i+2j知識點(diǎn)解析：暫無解析20、曲面3x2+y2一z2=27在點(diǎn)(3，1，1)處的切平面方程為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：9x+y—z一27=0知識點(diǎn)解析：暫無解析21、曲線的平行于平面x+3y+2z=0的切線方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)22、已知|a|=4，|b|=2，|a—b|=求向量a與b的夾角．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求通過z軸且與平面的平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：x+3y=0或3x—y=0知識點(diǎn)解析：暫無解析24、求過點(diǎn)(1，2，3)，與y軸相交，且與直線x=y=z垂直的直線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、求過點(diǎn)(2，一1，5)，且與直線平行，與平面2x—y+z=1垂直的平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：x+7y+5z一20=0知識點(diǎn)解析：暫無解析26、試寫出oyz面上的雙曲線分別繞z軸和y軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)面的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)z=x3cos(1一y)+(y一1)sin，求zx’(x，1)，zx’(1，1)，zy’(1，1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：3x2，3，sin1知識點(diǎn)解析：暫無解析28、求曲線處的切線與y軸的夾角．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)函數(shù)f(x，y)=|x—y|g(x，y)，其中g(shù)(x，y)在點(diǎn)(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)．試問(1)g(0，0)為何值時(shí)，偏導(dǎo)數(shù)fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在?(2)g(0，0)為何值時(shí)，f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處的全微分存在?標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)g(0，0)=0，(2)g(0，0)=0知識點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)u=f(x2+y2+z2)，其中f具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：2f’+4y2f"知識點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)曲線L的極坐標(biāo)方程為r=r(θ)，M(r，θ)為L上任一點(diǎn)，M0(2，0)為L上一定點(diǎn)，若極徑OM0，OM與曲線L所圍成的曲邊扇形面積值等于L上M0，M兩點(diǎn)間弧長值的一半，求曲線L的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析32、以yOz坐標(biāo)面上的平面曲線段y=f(x)(0≤z≤h)繞z軸旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)曲面和xOy坐標(biāo)面圍成一個無蓋容器，已知它的底面積為16πcm2，如果以3cm3／s的速率把水注入容器，水表面的面積以πcm2／s增大，試求曲線y=f(z)的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=f(x)=知識點(diǎn)解析：暫無解析33、要設(shè)計(jì)一形狀為旋轉(zhuǎn)體的水泥橋墩，橋墩高為h，上底面半徑為a，要求橋墩在任一水平面上所受上部橋墩的平均壓強(qiáng)為一常數(shù)P，設(shè)水泥比重為ρ．試求橋墩形狀．標(biāo)準(zhǔn)答案：橋墩應(yīng)為曲線段(0≤x≤h)繞x軸旋轉(zhuǎn)所成曲面與平面x=0和x=h所圍成的旋轉(zhuǎn)體．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、已知a，b，c是單位向量，且滿足a+b+c=0，則a.b+b.c+c.a=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析2、已知|a|=2，|b|=且a.b=2，則|a×b|=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：暫無解析3、過點(diǎn)(一1，2，3)，垂直于直線且平行于平面7x+8y+9z+10=0的直線方程是_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析二、解答題(本題共29題，每題1.0分，共29分。)4、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析5、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析6、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析7、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)f(x)=求∫f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)F(x)是f(x)的原函數(shù)，F(xiàn)(1)=若當(dāng)x＞0時(shí)，有f(x)F(x)=，試求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析10、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：4—π知識點(diǎn)解析：暫無解析11、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析12、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析13、計(jì)算∫01x2f(x)dx，其中f(x)=標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析14、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析17、求正常數(shù)a，b，使標(biāo)準(zhǔn)答案：a=2，b=1知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且f(0)=0，F(xiàn)(x)=∫0xtn-1f(xn一tn)dt，試求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)星形線的方程為(a＞0)，試求：(1)它所圍的面積；(2)它的周長；(3)它繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)平面圖形A由x2+y2≤2x與y≥x所確定，求圖形A繞x=2旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(x)=∫-1x(1-|t|)dt(x≥一1)，求曲線y=f(x)與x軸所圍圖形的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、一容器由y=x2繞y軸旋轉(zhuǎn)而成．其容積為72πm3，其中盛滿水，水的比重為μ,現(xiàn)將水從容器中抽出64πm3，問需作功多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析24、某閘門的形狀與大小如右圖所示，其中直線l為對稱軸，閘門的上部為矩形ABCD，下部由二次拋物線與線段AB所圍成，當(dāng)水面與閘門的上端相平時(shí)，欲使閘門矩形部分承受的水壓力與閘門下部承受的壓力之比為5：4，閘門矩形部分的高h(yuǎn)應(yīng)為多少m(米)?標(biāo)準(zhǔn)答案：h=2知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)直線y=ax與拋物線y=x2所圍成圖形的面積為S1，它們與直線x=1所圍成圖形的面積為S2，并且a＜1．(1)試確定a的值，使S1+S2達(dá)到最小，并求出最小值；(2)求該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析26、已經(jīng)拋物線y=px2+qx(其中p＜0，q＞0)在第一象限內(nèi)與直線x+y=5相切，且拋物線與x軸所圍成的平面圖形的面積為S．(1)問p和q為何值時(shí)，S達(dá)到最大值?(2)求出此最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)，q=3時(shí)，S達(dá)到最大；(2)S的最大值為知識點(diǎn)解析：暫無解析27、計(jì)算下列廣義積分標(biāo)準(zhǔn)答案：(3)ln2；(4)2(1一ln2)．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，則下列函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：暫無解析29、已知曲線L的方程為，(t≥0)1)討論L的凹凸性；2)過點(diǎn)(一1，0)引L的切線，求切點(diǎn)(x0，y0)，并寫出切線方程；3)求此切線L(對應(yīng)于x≤x0的部分)及x軸所圍成的平面圖形面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：1)上凸．2)切點(diǎn)為(2，3)；切線方程為y=x+1．3)知識點(diǎn)解析：暫無解析30、求方程y(4)一y"=0的一個特解，使其在x→0時(shí)與x3為等價(jià)無窮?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：y=一6x+3ex一3e-x知識點(diǎn)解析：暫無解析31、假設(shè)：(1)函數(shù)y=f(x)(0≤x＜+∞)滿足條件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1；(2)平行于y軸的動直線MN與曲線y=f(x)和y=ex一1分別相交于點(diǎn)P1和P2；(3)曲線y=f(x)、直線MN與x軸所圍封閉圖形的面積S恒等于線段P1P2的長度．求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=知識點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)函數(shù)f(x)在[1，+∞)上連續(xù)，若由曲線y=f(x)，直線x=1，x=t(t＞1)與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為試求y=f(x)所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件y|x=2=的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：3f2(t)=ztf(t)+t2f’(t)，f(t)=知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)f(x)=則在x=1處f(x)()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但不是連續(xù)可導(dǎo)D、連續(xù)可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)?x2+x+1)=3=f(1)，所以f(x)在x=1處連續(xù)．因?yàn)?3，所以f(x)在x=1處可導(dǎo)．當(dāng)x≠1時(shí)，f’(x)=2x+1，因?yàn)?3=f’(1)，所以f(x)在x=1處連續(xù)可導(dǎo)，選(D)．2、設(shè)f’’(x)連續(xù)，f’(0)=0，=1，則()．A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(0)非極值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由=1及f’’(x)的連續(xù)性，得f’’(0)=0，由極限的保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x｜＜δ時(shí)，＞0，從而f’’(x)＞0，于是f’(x)在(一δ，δ)內(nèi)單調(diào)增加，再由f’(0)=0，得當(dāng)x∈(一δ，0)時(shí)，f’(x)＜0，當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，f’(x)＞0，x=0為f(x)的極小值點(diǎn)，選(B)．3、設(shè)f(x)，g(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且g(x)＜f(x)＜m，則由曲線y=g(x)，y=f(x)及直線x=a，x=b所圍成的平面區(qū)域繞直線y=m旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為()．A、π∫ab[2m—f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dxB、π∫ab[2m—f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dxC、π∫ab[m—f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dxD、π∫ab[m—f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由元素法的思想，對[x，x+dx][a，b]，dν=｛π[m－g(x)]2一π[m一f(x)]2｝dx=π[2m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx，則V=∫abdν=π∫ab[2m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx，選(B)．4、設(shè)fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)都存在，則()．A、f(x，y)在(x0，y0)處連續(xù)B、存在C、f(x，y)在(x0，y0)處可微D、f(x，y0)存在標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：多元函數(shù)在一點(diǎn)可偏導(dǎo)不一定在該點(diǎn)連續(xù)，(A)不對；函數(shù)f(x，y)=在(0，0)處可偏導(dǎo)，但不存在，(B)不對；f(x，y)在(x0，y0)處可偏導(dǎo)是可微的必要而非充分條件，(C)不對，應(yīng)選(D)，事實(shí)上由fx’(x0，y0)==f(x0，y0)．5、微分方程y’’一4y=e2x+x的特解形式為()．A、ae2x+bx+cB、ax2e2x+bx+cC、axe2x+bx2+cxD、axe2x+bx+c標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：y‘’一4y=0的特征方程為λ2一4=0，特征值為λ1=一2，λ2=2，y’’一4y=e2x的特解形式為y1=axe2x，y’’一4y=x的特解形式為y2=bx+c，故原方程特解形式為axe2x+bx+c，應(yīng)選(D)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)6、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由ln(1+x)=x一+ο(x2)得x→0時(shí)，x2一xln(1+x)=，則7、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：8、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：9、過點(diǎn)(2，0，－3)且與直線垂直的平面方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一16x+14y+11z+65=0知識點(diǎn)解析：s1=｛1，一2，4｝，s2=｛3，5，一2｝，所求平面的法向量n=s1×s2=｛一16，14，11｝，則所求平面方程為一16x+14y+11z+65=0．10、改變積分次序∫01dxf(x，y)dy=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫01dy∫0yf(x，y)dx＋f(x，y)dx．知識點(diǎn)解析：∫01dxf(x，y)dy=∫01dy∫0yf(x，y)dx＋f(x，y)dx．11、設(shè)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：(x2＋y2+z2)ds=，原點(diǎn)到平面x+y+z=1的距離為d=的半徑為r=，則．12、冪級數(shù)的收斂域?yàn)開________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，4)知識點(diǎn)解析：令x一2=t，對級數(shù)，所以收斂半徑為R=2，當(dāng)t≠±2時(shí)，的收斂域?yàn)?一2，2)，于是原級數(shù)的收斂域?yàn)?0，4)．三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)13、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)=∫0tanxarctant2dt，g(x)=x－sinx,當(dāng)x→0時(shí)，比較這兩個無窮小的關(guān)系．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閤→0時(shí)，g(x)=x一sinx=x—，，所以當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=∫0tanxarctant2dt與g(x)=x一sinx是同階非等價(jià)的無窮?。R點(diǎn)解析：暫無解析15、求f(x)=的間斷點(diǎn)并判斷其類型．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=一1、x=0、x=1、x=2為f(x)的間斷點(diǎn)，知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求常數(shù)a，b使得f(x)=在x=0處可導(dǎo)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在x=0處可導(dǎo)，所以f(x)在x=0處連續(xù)，從而有f(0+0)=2a=f(0)=f(0一0)=3b，f－’(0)==3+2a，f’(0)==10+6b，由f(x)在x=0處可導(dǎo)，則3+2a=10＋6b，解得．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、求f(x)=∫01｜x一t｜dt在[0，1]上的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=∫01｜x一t｜dt=∫0x(x—t)dt+∫x1(t—x)dt=x2一一x(1一x)=x2一x+．由f’(x)=2x一1=0得x=，因?yàn)閒(0)=，所以f(x)在[0，1]上的最大值為．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)，f(1)=2x2f(x)dx．證明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=x2f(x)，由積分中值定理得f(1)=x2f(x)dx=c2f(c)，其中c∈[0，]，即φ(c)=φ(1)，顯然φ(x)在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)，由羅爾中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=2xf(x)+x2f’(x)，所以2ξf(ξ)+ξ2f’(ξ)=0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)z=f(t2，e2t)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：=2tf1’+2e2tf2’，=2f1’+2t(2tf11’’+2e2tf12’’)+4e2tf2’+2e2t(2tf21’’+2e2tf22’’)=2f1’+4t2f11’’+8te2tf12’’+4e2tf2’+4e4tf22’’．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、計(jì)算I=ydxdy，其中D由曲線=1及x軸和y軸圍成，其中a＞0，b＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令t=1一，則x=a(1一t)2，dx=一2a(1一t)dt，于是I=．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)∑是球面x2+y2+z2=4(z≥0)的外側(cè)，計(jì)算yzdzdx+2dxdy．標(biāo)準(zhǔn)答案：補(bǔ)充曲面∑0：z=0(x2+y2≤4)取下側(cè)，則知識點(diǎn)解析：暫無解析23、判斷級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)f(x)以2π為周期，且其在[一π，π)上的表達(dá)式為f(x)=｜x｜，求f(x)的傅里葉級數(shù)，并求的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：a0=∫0πxdx=π，知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)單位質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)作直線運(yùn)動，初速度ν｜t=0=ν0，已知阻力與速度成正比(比例系數(shù)為1)，問t為多少時(shí)此質(zhì)點(diǎn)的速度為?并求到此時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度為ν(t)，阻力F=ma一解此微分方程得ν(t)=ν0e－t，由ν0e－t=得t=ln3，從開始到t=ln3的時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程為S=∫0ln3ν0e－tdt=ν0．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、當(dāng)x→0時(shí)與xn是同階無窮小量，則n等于()A、1．B、2．C、3．D、4．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，與xn是同階無窮小量，所以故n-1=2，即n=3．2、設(shè)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，f’(0)=2，f’’(0)=-4，則等于()A、不存在．B、0．C、-1．D、-2．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：這是一個已知導(dǎo)數(shù)求極限的問題．3、設(shè)f(x)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，且，則f’(0)等于()A、0．B、1．C、2．D、3．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由條件從而f(0)=0．又4、曲線y=(x-1)2(x-2)2的拐點(diǎn)為()A、(1，0)．B、(2，0)．C、(-1，0)．D、(-2，0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：設(shè)f(x)=(x-1)2，則y=f(x)(x-2)2，x=2是y的三重零點(diǎn)，是y’的二重零點(diǎn)，是y’’的零點(diǎn)，不是y’’’的零點(diǎn)，即y’’(2)=0，y’’’(2)≠0．所以(2，0)是曲線y=(x-1)2(x-2)3的拐點(diǎn)．5、設(shè)f(x)是以l為周期的連續(xù)周期函數(shù)，則(其中a為任意常數(shù)，k為自然數(shù))的值()A、僅與a有關(guān)．B、僅與k有關(guān)．C、與a，k均無關(guān)．D、與a，k均有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)是以l為周期的連續(xù)周期函數(shù)，故可考慮用平移變換化簡積分表達(dá)式．因?yàn)?、由曲線y=｜lnx｜，直線x=，x=e及y=0所圍成的圖形的面積為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：題中所給圖形如圖12所示，故所求面積7、二元函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)是函數(shù)z=f(x，y)在該點(diǎn)處兩個偏導(dǎo)數(shù)f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)都存在的()A、必要但非充分條件．B、充分但非必要條件．C、充要條件．D、既非充分又非必要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由二元函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)和可微之間的關(guān)系知，二元函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)連續(xù)是f(x，y)在該點(diǎn)處兩個偏導(dǎo)數(shù)f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)都存在的無關(guān)條件，故應(yīng)選D．事實(shí)上，若取f(x，y)=，則f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處偏導(dǎo)數(shù)f’x(0，0)，f’y(0，0)不存在，但f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)．若取f(x，y)=則由偏導(dǎo)數(shù)的定義同理f’y(0，0)=0，但由于不存在，所以f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不連續(xù)．8、設(shè)w=f(u)可導(dǎo)，u=φ(x，y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則必有()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：本題考查二元函數(shù)的梯度的計(jì)算．由梯度計(jì)算公式故應(yīng)選A．9、設(shè)有空間區(qū)域Ω1={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤R2，z≥0}，Ω2={(x，y，2)｜x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0}，則下列選項(xiàng)中正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于Ω1關(guān)于xOz面、yOz面對稱，而函數(shù)z關(guān)于y，x均是偶函數(shù)，故應(yīng)選C．10、設(shè)∑是球面x2+y2+z2=1的外側(cè)在x≥0，y≥0，z≥0的部分，則曲面積分xyzdxdy=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：本題考查利用直接計(jì)算法計(jì)算第二類曲面積分的方法．利用“一代二投三定向”將其轉(zhuǎn)化為二重積分進(jìn)行計(jì)算．曲面∑可寫成，其在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)閤2+y2≤1，x≥0，y≥0，取上側(cè)，則11、已知冪級數(shù)在x=2點(diǎn)處條件收斂，則冪級數(shù)n(x+a)n在x=處()A、條件收斂．B、絕對收斂．C、發(fā)散．D、斂散性不能確定．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)閮缂墧?shù)在x=2點(diǎn)處條件收斂，故它的收斂半徑為R=2．因?yàn)槿绻鸕＜2，則冪級數(shù)在x=2點(diǎn)處應(yīng)發(fā)散，矛盾；如果R＞2，則冪級數(shù)在x=2點(diǎn)處應(yīng)絕對收斂，矛盾．從而冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(a-2，a+2)，由已知條件知，x=2是其收斂區(qū)間的一個端點(diǎn)，故a=0或a=4．當(dāng)a=0時(shí)，原冪級數(shù)為，該冪級數(shù)在x=2時(shí)為，發(fā)散，與已知條件矛盾；當(dāng)a=4時(shí)，原冪級數(shù)為，該冪級數(shù)在x=2時(shí)為，條件收斂．故a=4．冪級數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為(-4-1，-4+1)=(-5，-3)，而x=e∈(-5，-3)．故冪級數(shù)處絕對收斂．12、利用變量代換x=ex可以將微分方程x2(x＞0)化為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：本題主要考查利用變量代換將歐拉方程轉(zhuǎn)化為線性常系數(shù)微分方程的方法．由x=et，得t=lnx．于是將它們代入到原方程，并化簡得二、填空題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)13、=______.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：14、=_____.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：這是一個型未定式的極限，但用洛必達(dá)法則求不出來．可將分子提取esinx或ex，然后利用等價(jià)無窮小替換進(jìn)行轉(zhuǎn)化．15、設(shè)f(x)=(x-1)arcsin，則f’(1)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：本題是初等函數(shù)的求導(dǎo)問題，一般應(yīng)先求導(dǎo)函數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)值．由于本題函數(shù)表達(dá)式的特殊性，用導(dǎo)數(shù)定義求f’(1)更簡捷．16、設(shè)點(diǎn)(1，3)是曲線y=ax3+bx2的拐點(diǎn)，則a=_____，b=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：y’=3ax2+2bx，y’’=6ax+2b．因?yàn)辄c(diǎn)(1，3)是曲線y=ax3+bx2的拐點(diǎn)，所以3=a+b．由拐點(diǎn)的必要條件，得y’’｜x=1=6a+2b=0，解關(guān)于a，b的方程組，得17、設(shè)f’(ex)=則f(x)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：這是一個函數(shù)記號的靈活表示與分段函數(shù)不定積分的綜合問題，先寫出f’(x)的表達(dá)式，再求f(x)．令ex=t，則x=lnt，于是因?yàn)椤襩nxdx=xlnx-x+C’，所以由原函數(shù)的連續(xù)性，得(xlnx+C1)，即1+C2=C1，令C2=C，則C1=1+C，從而18、=_______.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：一般地，被積函數(shù)中，如果有哪一項(xiàng)或哪一因子導(dǎo)致不易積出時(shí)，就令其為t，用第二換元法計(jì)算．令=t，ex=t2-1，x=ln(t2-1)，則19、一根長為1的細(xì)棒位于x軸的區(qū)間[0，1]上，若其線密度ρ(x)=-x2+2x+1，則該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因?yàn)?，所以，所求質(zhì)心坐標(biāo)為20、設(shè)f(u，v)是二元可微函數(shù)，=_____.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：這是一個二元復(fù)合函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算問題．由二元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，有21、設(shè)f(x，y)在有界閉區(qū)域D={(x，y)｜x2+y2≤t2)(t＞0)上連續(xù)，g(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且g(0)=0，g’(0)=a≠0，則=_____.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由積分中值定理，其中(ξ，η)為積分區(qū)域x2+y2≤t2上的一個點(diǎn)，則22、設(shè)f(x，y)在區(qū)域D={(x，y)｜+y2≤1}上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，L是橢圓+y2=1的順時(shí)針方向，則I=∮L[3y+f’x(x，y)]dx+f’y(x，y)dy=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：6π知識點(diǎn)解析：本題考查格林公式及混合偏導(dǎo)數(shù)相等的條件．由題設(shè)條件知，D是由L圍成的區(qū)域，由于L是順時(shí)針方向，由格林公式，得I=∮L[3y+f’x(x，y)]dx+f’y(x，y)dy=[f’’yx(x，y)-3-f’’xy(x，y)]dxdy．由于f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以f’’xy(x，y)=f’’yx(x，y)，故I=3dxdy=3.π.2.π.1=6π．23、=_______.標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：用一般求數(shù)列極限的方法無法求出該極限，考慮級數(shù)的斂散性．因?yàn)橛杀戎祵彅糠ㄖ?，該級?shù)收斂，由級數(shù)收斂的必要條件有24、設(shè)f(x)=bnsinnπx是f(x)的傅里葉級數(shù)，則=______.標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：f(x)的圖形如圖54所示，因?yàn)閟(x)=bnsinnπx是f(x)的傅里葉級數(shù)(正弦級數(shù))，所以應(yīng)先將f(x)延拓成[-1，1]上的奇函數(shù)，再將其延拓成周期為2的周期函數(shù)，由傅里葉級數(shù)收斂定理，有25、微分方程y’’+3y’+2y=e-x滿足條件y(0)=1，y’(0)=1的特解為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=2e-x-e-2x+xe-x知識點(diǎn)解析：這是一個二階線性常系數(shù)非齊次微分方程求特解問題．首先，求y’’+3y’+2y=0的通解．y’’+3y’+2y=0的特征方程為r2+3r+2=0，特征根為r1==1，r2=-2，所以其通解為y=C1e-x+C2e-2x．其次，求y’’+3y’+2y=e-x的一個特解．因?yàn)?1是特征單根，故設(shè)y*=Axe-x是其一個特解，則y*’=Ae-x-Axe-x，y*’’=2Ae-x+Axe-x，將其代入到y(tǒng)’’+3y’+2y=e-x并化簡，得A=1，所以y*=xe-x．第三，寫出y’’+3y’+2y=e-x的通解，為y=Y+y*=-C1ex+C2e-2x+xe-x．第四，求滿足初始條件y(0)=1，y’(0)=1的特解．y’=-C1e-x-2C2e-2x+e-x-xe-x，由y(0)=1，y’(0)=1，得解得C1=2，C2=-1，故所求特解為y=2e-x-e-2x+xe-x．考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、設(shè)μn=(一1)nln(1+)，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由交錯級數(shù)審斂法發(fā)散，選(C)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)2、設(shè)f(x)=在x=0處連續(xù)，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在x=0處連續(xù)，所以a=．3、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：＋C知識點(diǎn)解析：4、設(shè)f(x)連續(xù)，則∫0xxf(x—t)dt=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0xf(μ)dμ+xf(x)知識點(diǎn)解析：∫0xxf(x一t)dt=一x∫0xf(x—t)d(x－t)一x∫x0f(μ)dμ=x∫0xf(μ)dμ，則∫0xxf(x－t)dt=[x∫0xf(μ)dμ]=∫0xf(μ)dμ+xf(x)．5、曲面z—ez+2xy=3在點(diǎn)(1，2，0)處的切平面方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：π：4(x一1)+2(y一2)=0，即π：2x+y一4=0知識點(diǎn)解析：曲面z—ez+2xy=3在點(diǎn)(1，2，0)處的法向量為n=｛2y，2x，1一ez｝(1，2，0)=｛4，2，0｝，則切平面為π：4(x一1)+2(y一2)=0，即π：2x+y一4=0．6、設(shè)z=f(x+y，y+z，z+x)，其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：z=f(x+y，y+z，z+x)兩邊求x求偏導(dǎo)得，解得．三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)7、求下列極限：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析8、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析9、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)y=ln(4x+1)，求y(n)．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’==4(4x+1)－1．y’’=42．(－1)(4x+1)－2，y’’’=43．(一1)(一2)(4x+1)－3，由歸納法得y(n)=．知識點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)由e－y+x(y－x)=1+x確定y=y(x)，求y’’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：x=0時(shí)，y=0．e－y+x(y—x)=1+x兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得一e－yy’+y—x+x(y’－1)=1，則y’(0)=一1；一e－yy’+y—x+x(y’一1)=1兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得e－y(y’)2一e－yy’’+2(y’一1)+2(y’一1)＋xy’’=0，代入得y’’(0)=一3．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，且=0，f(1)=1，證明：存在ξ∈(0，1)，使得ξf’’(ξ)+2f’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=0得f(0)=1，f’(0)=0，f(0)=f(1)=1，由羅爾定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0．令φ(x)=x2f’(x)，φ(0)=φ(c)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，c)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=2xf’(x)+x2f’’(x)，于是2ξf’(ξ)+ξ2f’’(ξ)=0，再由ξ≠0得ξf’’(ξ)+2f’’(ξ)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)，且f(a)=0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=f’(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=(b一x)af(x)，顯然φ(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)．因?yàn)棣?a)=φ(b)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0．由φ’(x)=(b一x)a－1[(b一x)f’(x)一af(x)]得(b一ξ)a－1[(b一ξ)f’(ξ)一af(ξ)]且(b一ξ)a－1≠0，故f(ξ)=f’(ξ)．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在，證明：14、存在ξ∈(1，2)，使得．標(biāo)準(zhǔn)答案：令h(x)=lnx，F(xiàn)(x)=∫1xf(t)dt，且F’(x)=f(x)≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、存在η∈(1，2)，使得∫12f(t)dt=ξ(ξ一1)f’(η)ln2．標(biāo)準(zhǔn)答案：由得f(1)=0，由拉格朗日中值定理得f(ξ)=f(ξ)一f(1)=f’(η)(ξ一1)，其中1＜η＜ξ，故∫12f(t)dt=ξ(ξ一1)f’(η)ln2．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析17、求．標(biāo)準(zhǔn)答案：dx=一∫lnsinxd(cotx)=一cotxlnsinx+∫cotxdx=－cotxlnsinx+∫(csc2x一1)dx=一cotxlnsinx－cotx—x+C．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、求∫0nπx｜c(diǎn)osx｜dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0nπx｜c(diǎn)osx｜dx=∫0πx｜c(diǎn)osx｜dx＋∫π2πx｜c(diǎn)osx｜dx＋…＋∫(n－1)πnπx｜c(diǎn)osx｜dx，∫0πx｜c(diǎn)osx｜dx=∫0π｜c(diǎn)osx｜dx==π，∫π2πx｜c(diǎn)osx｜dx∫0π(t＋π)｜c(diǎn)ost｜dt=∫0πt｜c(diǎn)ost｜dt＋π∫0π｜c(diǎn)ost｜dt=π＋2π=3π，∫2π3πx｜c(diǎn)osx｜dx∫0π(t＋2π)｜c(diǎn)ost｜dt=∫0πt｜c(diǎn)ost｜dt＋2π∫0π｜c(diǎn)ost｜dt=5π，則∫0nπx｜c(diǎn)osx｜dx=π＋3π＋…＋(2n－1)π=n2π．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)平面圖形D由x2+y2≤2x與y≥x圍成，求圖形D繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：取[x，x+dx][0，1]，則dν=2π(2一x)(一x)dx，知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)z=yf(x2一y2)，其中f可導(dǎo)，證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：=2xyf’(x2一y2)，=f(x2一y2)一2y2f’(x2一y2)，則=2yf’(x2一y2)+f(x2一y2)一2yf’(x2一y2)=(x2一y2)=．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、計(jì)算x2zdν，其中Ω：≤z≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：x2dxdy=∫01zdz∫02πdθ∫0zr3cos2θdr=∫01z5dz∫02πcos2θdθ=．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、計(jì)算(x2+y2)dxdy，其中D={(x，y)｜x2+y2≤4x，0≤y≤x}．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、利用格林公式計(jì)算∫L(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy，其中L是圓周y=上從點(diǎn)A(2a，0)到點(diǎn)O(0，0)的弧段．標(biāo)準(zhǔn)答案：I=∫L(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy=(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy而(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy=，(exsiny+x一y)dx+(excosy+y)dy=∫02axdx=2a2，所以∫L(exsiny+x一y)dx＋(excosy＋y)dy=(－2)a2．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、對右半空間x＞0內(nèi)的任意光滑有側(cè)封閉曲面∑，有xf(x)dydz—xyf(x)dzdx—e2xzdxd