3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念：1．線性約束條件：不等式組是一組對變量x、y的約束條件，

這組約束條件都是關(guān)于x、y的 ．2．目標(biāo)函數(shù)：欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，線性目標(biāo)函數(shù)是x、y的

解析式．3．線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在

條件下的

的問題．一次不等式一次線性約束最大值或最小值4．可行解：滿足線性約束條件的解(x、y)由所有可行解組成的集合叫做 ．5．最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得

時的可行解．6．通常最優(yōu)解在可行域的

取得．可行域最大值或最小值邊界處或頂點(diǎn)處[分析]

求目標(biāo)函數(shù)最大值或最小值的步驟：作可行域、畫平行線、解方程組、求最值．[點(diǎn)評]

(1)中z并不是直線2x＋3y＝z在y軸的截距，而是截距的3倍，因此，直線過點(diǎn)B時，最小，z最?。?2)中z并不是直線3x－y＝z在y軸的截距，而是截距的相反數(shù)，過A(－3,0)截距最大而z值最小，注意不要搞反．遷移變式1設(shè)x，y滿足 則z＝x＋y(

)A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，無最大值C．有最大值3，無最小值D．既無最大值，也無最小值解析：如圖3所示．作出可行域，作直線l0：x＋y＝0，平移l0，當(dāng)l0過點(diǎn)A(2,0)時，z有最小值2，無最大值．答案：B[分析]

把所求問題賦給相關(guān)的幾何意義，即圓與斜率．[解]

畫出滿足條件的可行域如圖4所示，(1)x2＋y2＝u表示一組同心圓(圓心為原點(diǎn)O)，且對同一圓上的點(diǎn)x2＋y2的值都相等，由圖可知：當(dāng)(x，y)在可行域內(nèi)取值時，當(dāng)且僅當(dāng)圓O過C點(diǎn)時，u最大，過(0,0)時，u最?。諧(3,8)，所以umax＝73，umin＝0.[例3]

已知變量x，y滿足約束條件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y(其中a>0)僅在點(diǎn)(3,1)處取得最大值，則a的取值范圍為________．[分析]

由題目可獲取以下主要信息：①可行域已知；②目標(biāo)函數(shù)在(3,1)處取得最大值．解答本題可利用逆向思維，數(shù)形結(jié)合求解．[解]

由約束條件畫出可行域(如圖6所示)，為矩形ABCD(包括邊界)．點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,1)，z最大時，即平移y＝－ax時使直線在y軸上的截距最大，∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.[答案]

a>1[評析]

這是一道線性規(guī)劃的逆向思維問題．解答此類問題必須要明確線性目標(biāo)函數(shù)的最值一般在可行域的頂點(diǎn)或邊界取得，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法求解．[例4]

某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共180m2，擬分隔成兩類房間作為旅游客房．大房間每間面積為18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿費(fèi)為40元；小房間每間15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿費(fèi)為50元；裝修大房間每間需1000元，裝修小房間每間需600元．如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，才能獲得最大收益？[點(diǎn)評]

對于線性規(guī)劃中的最優(yōu)整數(shù)解的問題，當(dāng)解方程組得到的解不是整數(shù)解時，可用下面的方法求解：①平移直線法：先在可行域內(nèi)打網(wǎng)格，再描整點(diǎn)，平移直線l，最先經(jīng)過或最后經(jīng)過的整點(diǎn)坐標(biāo)是整點(diǎn)最優(yōu)解．②檢查優(yōu)值法：當(dāng)可行域內(nèi)整點(diǎn)個數(shù)較少時，也可將整點(diǎn)坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)求值，經(jīng)比較得出最優(yōu)解．③調(diào)整優(yōu)值法：先求非整點(diǎn)最優(yōu)解及最優(yōu)值，再借助不定方程知識調(diào)整最優(yōu)值，最后篩選出最優(yōu)解．遷移變式4某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A，B兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件．已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元，設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元．現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件，B類產(chǎn)品140件，所需租賃費(fèi)最少為________元．令z＝0，得l0：2x＋3y＝0，平移l0可知，當(dāng)l0過點(diǎn)A時，z有最小值．又由 得A點(diǎn)坐標(biāo)為(4,5)．所以zmin＝4×200＋5×300＝2300.答案：2300(3)將直線ax＋by＝0平移，在可行域中，觀察使最大(或最小)時所經(jīng)過的點(diǎn)．(4)將該點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)，從而求出d的最大值或最小值．2．最優(yōu)解可有兩種確定方法：(1)將目標(biāo)函數(shù)的直線平行移動，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)便是最優(yōu)解；(2)利用圍成可行域的直線的斜率來判斷．若圍成可行域的直線l1，l2，…，ln的斜率分別為k1，k2，…，kn，且k1<k2<…kn，而且目標(biāo)函數(shù)的直線的斜率為k，則當(dāng)ki<k<ki＋1時，直線li與li＋1的交點(diǎn)一般是最優(yōu)解．3．尋找整點(diǎn)最優(yōu)解的方法(1)平移找解法：先打網(wǎng)格，描整點(diǎn)，平移直線l，最先經(jīng)過或最后經(jīng)過的整點(diǎn)便是