第八章立體幾何初步章末測試（基礎(chǔ)）

一、單選題（每題只有一個選項為正確答案，每題5分，8題共40分）

1.（2021?廣東?鐵一中學(xué)高一月考）如圖，正方形O'A'B'C的邊長為1,它是一個水平放置的平面圖形的

直觀圖，則原圖形的周長為（）

C.8D.2+2及

【答案】C

【解析】直觀圖如圖所示:

由圖知：原圖形的周長為O4+AB+BC+CO=l+3+l+3=8,

故選：C

2.（2021?福建?永泰縣三中高一月考）下列命題正確的是（）

A.棱柱的每個面都是平行四邊形B.一個棱柱至少有五個面

C.棱柱有且只有兩個面互相平行D.棱柱的側(cè)面都是矩形

【答案】B

【解析】對于A,棱柱的上下底面可以是三角形或者是梯形，故A不正確；

對于B,面最少的就是三棱柱，共有五個面，B正確；

對于C,長方體是棱柱，但是上下、左右、前后都是互相平行的，C不正確；

對于D,斜棱柱的側(cè)面可以不是矩形，D錯誤.

3.（2021?重慶市楊家坪中學(xué)高一月考）如圖是一個正方體的表面展開圖，則圖中“0”在正方體中所在的

面的對面上的是（）

A.2B.1C.高D.考

【答案】C

【解析】將展開圖還原成正方體可知，“0”在正方體中所在的面的對面上的是“高”,

故選:C

4.（2021?全國?高一課時練習(xí)）已知兩個平面相互垂直，下列命題：

①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線；

②一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線；

③一個平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個平面；

④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面.

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.3B.2

C.1D.0

【答案】C

【解析】構(gòu)造正方體ABCD-AAG。，如圖,

①在正方體4BCO-ABCA中，平面AOAA，平面ABC。，AQu平面,BDu平面ABC￡>,但A。

與80不垂直，故①錯；

②在正方體ABCD-ABCR中，平面ADDtAt1平面ABCD,可知ABL平面A。。A,

/是平面AORA內(nèi)任意一條直線，/與平面ABC。內(nèi)和A8平行的所有直線垂直，故②正確；

③在正方體ABCO-A8C。中，平面A。。/L平面ABC。，平面AORA，但AQ與平面ABCD不

垂直，故③錯；

④在正方體ABC。-A&GR中，平面AD。A，平面A?。。，且平面ADRAc平面.

過交線AD上的任一點作交線的垂線/，則/可能與平面ABCD垂直，也可能與平面ABCD不垂直，故④錯.

故選：C.

5.（2021?山西?大同市平城中學(xué)校高一月考）在正方體ABCQ-ABCQ中，M是正方形ABCD的中心,

則直線4。與直線4M所成角大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【解析】設(shè)正方體的棱長為2a,連接8C，MC,MB,

因為4C//A。，故NCBm或其補(bǔ)角為宜線A。與直線8幽所成角.

而4c=20a,MC=?，B]M=J用序+BM?=J4a。+2田=瓜a,

故4c2=8幽2+"2,所以

所以80/。m=半~=迫，因為NCB附為銳角，故NCB1M=30。，

故選：A.

6.（2021?浙江?高一單元測試）已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,若過直線OP的平面截圓錐所得的

截面是面積為4的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.4&nB.2五兀C.4燈D.（4立+4）萬

【答案】A

【解析】設(shè)圓錐的母線長為/，則;x/x/=4,得1=2啦,即母線長為2&，

設(shè)圓錐的底面半徑為『，（2『）2=/+尸=16,解得r=2,即圓錐底面圓的半徑為2,

圓錐的側(cè)面積為,x4乃x2&=4近兀.

2

故選:A.

7.（2021?浙江省桐廬中學(xué)高一期末）如圖，在正方體ABC。-A8cA中，點尸為線段8。上一動點，則下

列說法錯誤的是（）

A.直線平面AG。

B.異面直線8c與AG所成角為45。

C.三棱錐尸-4。&的體積為定值

D.平面4G。與底面ABCO的交線平行于4C

【答案】B

【解析】連接,

AC,±B,D,,AtCt±BBX,BRBB、=B、,

AGJ■平面BB\D1,則AC±BDt,同理DC,1BD1,

AC,rDCI=G,二直線3AJ_平面AG。，故A正確；

A4//8,A4=CD,.?.四邊形。ABC為平行四邊形，

則B'C"AD，則ND4c為異面直線8c與4G所成角，

又AO=AG=CQ,則ND4G=60。，即異面直線BC與AG所成角為60。，故B錯誤;

B、C"AD,AQu平面ACQ,qCC平面&CQ,，BC//平面AC。.

可得尸到平面ACQ的距離為定值，即三棱錐p-AOG的體積為定值，故c正確；

AC,//平面ABCD,AGu平面AG。，設(shè)平面ACQ與底面ABCD的交線為I,

由直線與平面平行的性質(zhì)，可得平面AC.O與底面A8CO的交線平行于AG,故D正確.

故選:B.

5Ci

8.（2021?廣東白云?高一期末）已知圖1是棱長為1的正六邊形A8COE/，將其沿直線FC折疊成如圖2

的空間圖形尸WE—CE。，其中小￡=逅，則空間幾何體尸的體積為（）

2

【答案】c

【解析】如圖,

E'D'

過A作A'GLCT',垂足為G,

連接E'G,則EG_LCT',

過？作B'HLC'尸'，垂足為//,

連接￡)7/,則D'HLCF',

所以HG//B77,又A，G<z平面，B'Hu平面,

所以WG//平面8〃。，

同理EG//平面B77D,又AGc￡G=G,

所以平面AGE'//平面BHD，即三棱柱AGE-BHD'為直三棱柱.

VAF'=\.ZA'F'G=60°,

所以A'G=3,FG=g,

22

同理求得E'G=也，C'H=\,

22

又AE，=逅，

2

二A'G2+E'G2=A'E'2,

二空間幾何體F'A'E1-CB'iy的體積為：

“1百百1,ll百611

V=-xxxl+2x—X—xxX—=—.

222322222

故選：C.

二、多選題（每題至少有2個選項為正確答案，每題5分，4題共20分）

9.（2021?全國?高一課時練習(xí)）（多選題）下列命題中，錯誤的結(jié)論有（）

A.如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等

B.如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等

C.如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補(bǔ)

I）.如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行

【答案】AC

【解析】對于選項A：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)，故選項A

錯誤；

對于選項B：由等角定理可知B正確；

對于選項C：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，這兩個角的關(guān)系不確定，既可能相等也可能互

補(bǔ)，也可能既不相等，也不互補(bǔ).反例如圖，在立方體中，NAQG與NABG滿足C.D.IC.B,

TTTT

但是幺=-,z^BC,=§,二者不相等也不互補(bǔ).故選項C錯誤；

對于選項D：如果兩條直線同時平行于第三條宜線，那么這兩條直線平行，故選項D正確.

故選：AC.

10.（2021?全國?高一課時練習(xí)）如圖，已知正方體ABCC-ABCQ,M,N分別為和A4的中點，則

下列四種說法中正確的是（）

A.QM//AC

B.BD,±AC

C.8G與AC所成的角為60

D.CD與8N為異面直線

【答案】BCD

【解析】對于A,.47〃平面4￡6。，AC//AG，ACGM=G，QMu平面4田?口,

.?.GM與AC是異面直線，A錯誤；

對于B,AC1DDy,ACJ.BD,BDDD,=D,BO,ORu平面BCR,

.?.人。，平面8。。，又BDu平面8。。，..AC_LBQ,B正確；

對于C,AC//AG，NBGA即為異面直線BG與AC所成的角,

BC=AG=AB，ABG為等邊二角形，???NBGA=60,C正確;

對于D,?,CDHAB,C￡>〃平面ABBA，AB2BNB,8Nu平面483渴，

.?.8與BN為異面直線，D正確.

故選：BCD.

11.（2021?江蘇?濱?？h八灘中學(xué)高一期中）如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中（）

A.BM與E￡＞平行B.A尸與CN垂直

C.CN與BE是異面直線D.CW與成60。角

【答案】BD

【解析】如圖，展開圖翻折成的正方體，8M與EZ）分別在正方體平行的兩個側(cè)面上，而由C。與EF平行且

相等得。跖是平行四邊形，因此有AE//CF,C尸與BM相交，因此OE與是異面直線，A錯；

同理CN//BE,BE1AF，因此CNJ_AF,B正確，C錯；

NMBE或其補(bǔ)角是CN與所成的角，AWBE是等邊三角形，NMBE=6O。，所以CN與所成的角是

60°,D正確.

故選:BD.

12.（2021?河北石家莊?高一月考）如圖1,E,尸分別為等腰梯形底邊心?，切的中點,

AB=2AD=2CD=2BC=4,將四邊形加⑵沿跖進(jìn)行折疊，使力到達(dá)用G位置，連接A4,CtD,如圖

5

圖1圖2

A.理」平面Am

B.平面AE8J/平面。尸G

明與?所成角的正切值為嚕

C.

3

D.多面體AE8CQ尸的體積為］

【答案】ABC

【解析】因為旦AELEF,AEc4E=E,所以所_L平面AE與，A正確.

因為AE//。尸，且AEU平面。FC-DFu平面DFC-AE〃平面QFC一同理4E//平面。FC.乂

AEcB、E=E,所以平面AE4〃平面。尸G,B正確.

延長BC，EF,儀?相交于點〃，過與作用GLAE于點￡連接做

因為EFL平面AE旦，所以qGLEF,AE^EF=E,則用G,平面/|0》,故ZBkG為8G與平面4%力

所成的角.

因為AB=2AD=2CD=2BC=4,所以N8=(,所以EH=2石.在RtaB1GE中，2AEB、=鼻,EB,=2,可

___________Rrhhq

得EG=1,B1G=\/3,則HG=JHE?+GE?=，所以tan/B、HG=J=4=—~?C正確.

HG,1313

延長力〃交于點〃，易證多面體AEgCQF為三棱臺，SAEB\=；AE,B,G=；X2X6=6.

VH_AE%=]S?EBJEH=—x\f3x2A/3=2,VH_DFJ=~^S&DFCJHF=§~^S博EB/《EH=§丫月_從鶴="多面體

7

AEBCIQF的體積v=‘，D錯誤.

4

故選：ABC

三、填空題（每題5分，共20分）

13.（2021?湖南?長沙市第二十一中學(xué)高一期中）已知直線w,n,平面。，￡,若a〃尸，sue,”u〃,

則直線m與n的關(guān)系是

【答案】平行或異面

【解析】由題意，a邛,“zua,nup

故直線m與"沒有交點

故直線如與〃平行或異面

故答案為：平行或異面

14.（2021?全國?高一課時練習(xí)）已知圓柱的軸截面是正方形，若圓柱的高與球的直徑相等，則圓柱的表

面積與球的表面積之比為.

【答案】3：2

【解析】設(shè)球的半徑為必由題意得圓柱的底面半徑為"，高為2兄

，圓柱的表面積為：S=2*冷＜2彳+2萬川=6乃川，

球的表面積為：S=4〃〃，

所以圓柱的表面積與球的表面積之比為："

4）齊2

故答案為：3:2

15.（2021?湖北?鐘祥市實驗中學(xué)高一期中）在正三棱錐S-ABC中，AB^BC=CA=6,點。是54的中

點，若SBLCD,則該三棱錐外接球的表面積為.

【答案】54乃

【解析】設(shè)A/3C的中心為G,連接SG,BG,，SG_L平面ABC,

ACu面ABC,...SGI.AC,

又ACJ_BG,BGcSG=G,，4?_1_平面586,

S8u平面SBG,AACA.SB,

又SBLCD,AC|CD=C,SBL平面ACS.

SASCu平面ACS,/.SBISA,SBISC,

?.?5-718。為正三棱錐，，&4，SB,SC兩兩垂直，

;.SA=SB=SC=3五.

故外接球直徑為J(3&『+(3夜『+(3我『=3屈，

故三.棱錐S-ABC外接球的表面積為4萬xf您］=54".

故答案為：54%.

D,

AB

16.（2021?上海?華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)）如圖，OWC是邊長為1的正方形，AC是四分之一圓弧,

則圖中陰影部分繞軸0C旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積為.

OA

【答案】y

【解析】幾何體是一個圓柱挖去一個半球后剩余的部分，且圓柱的底面半徑是1,高是1,球的半徑是1,

14-、2乃97777

所以圓柱的體積是萬XFX1=T,半球的體積是5,1萬、13=羊，因此所求幾何體的體積為萬一芋=5,

故答案為：y.

四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）

17.（2021?浙江?嘉興市第五高級中學(xué)高一期中）如圖所示，在三棱柱/配AUG中，E,F,G,〃分別是

AB,AC,Afi,AG的中點，求證:

（1）8,C,II,G四點共面；

⑵A|勿平面BCHG.

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；

【解析】⑴?"，〃分別是AA，AG的中點,

:.GHIIB\C\,而B|G〃BC,

J.GHIIBC,即8,C,H,。四點共面.

⑵?；￡,。分別是力8,A）的中點,

AG,EB平行且相等，所以四邊形AE8G為平行四邊形，即AE〃G8,又面3C"G,GBu而BCHG,

：.AE〃面BCHG,

18.（2021?四川省南充市白塔中學(xué)高一月考）如圖，在正方體ABCO-4&G"中，E、尸分別是4反714

的中點.

（1）證明：四邊形目力。是梯形；

（2）求異面直線所與即所成角.

【答案】（1）證明見解析，（2）2TT

【解析】⑴證明：連接4出,

因為E、尸分別是4從的中點,

所以E尸〃A8,EF=g&B,

因為在正方體ABC3-A4GA中，AQ〃8C,AR=8C,

所以四邊形ARC8為平行四邊形，

所以A8〃QC,A/=AC,

所以E尸〃。C,EF=^D,C,

所以四邊形身4c是梯形；

⑵連接AG，

由（1）得E尸〃AB,

所以ZA,BC,異面直線即與比；所成角，

因為VABC為等邊三角形，

TT

所以

所以異面直線。、與6G所成角為？

19.（2021?全國?高一課時練習(xí)）如圖所示的一塊四棱柱木料ABCO-AgGA，底面ABC。是梯形，且

CD//AB.

4伍

（1）要經(jīng)過面內(nèi)的一點尸和側(cè)棱力R將木料鋸開，應(yīng)怎樣畫線？

（2）所畫的線之間有什么位置關(guān)系？

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析

【解析】（1）如圖所示，連接RP并延長交A用于E,過E作EF//AA交AB于F,連接。尸，則。E,EF,H>

就是應(yīng)畫的線.

⑵由">"/A4,,E尸〃的,即RO//EF.

與EF確定一個平面a,又面ABCD//面AqGR,ac面ABC￡>=OF,a而A￡GR=RE,

AD.EHDF,顯然。尸,RE都與EF相交.

20.（2021襁江福一單元測試）點反尸分別是正方形力時的邊48,8C的中點，點在邊力8上，且AB=34W,

沿圖1中的虛線如，EF,FD將「ADE,：BEF,CDF,折起使4B,。三點重合，重合后的點記為點只如圖

2.

圖1圖2

（1）證明：PF1DM-.

（2）若正方形ABCD的邊長為6,求點材到平面叱的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）申2

【解析】（1）因為ABC。是正方形，

所以折起后有尸￡>_LPF,PEYPF.

又PD,PE交子前P,

所以平面PDE.

又。Wu平面PDE,

所以PFLDM.

（2）設(shè)點P到平面DEF的距離為h,

因為月廬34%，所以小3,傷，

所以點M到平面龐尸的距離為g.

又22尸及尸尸兩兩垂直，

所以「。_1平面「上戶.

9

因為S2杯=子PD=6,

19

所以%.PM=§X]X6=9.

一一927

UHSMF=SARCI）~SHEF~SCDH~SCDF=36---9-9=—,

II?7

所以％-附=15.陽/=§*夏*/7=/_際=9，

解得〃=2,

h2

所以點M到平面DEF的距離為g=：

21.（2021?廣東?南方科技大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，△R4B是等邊三角形,

。3_1.平面尸48,40//8（;且尸8=8。=24）=2,F為PC中點.

（1）求證：OF”平面BAB;

⑵求直線AB與平面PDC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）正

4

【解析】（1）如圖所示：

取心邊的中點￡,連AE/E,

則三角形中位線可知：EF//BC[].EF=^BC,

由題可知：ADUBCftAD=-BC,

2

:.AD//EF且.AD=EF,

即四邊形AEFD為平行四邊形，

：.DF//AE

乂?.DFo平面PA8,AEu平面月鉆,

故。尸〃平面R4B；

(2)取8c邊的中點6,

則￡)(5//鉆，RDG=AB=2,

直線AB與平面PDC所成角即為。G與平面PDC所成角，

又S°1M=1,且易得DC=PD,所以Ssp