單元綜合測試二(其次章綜合測試)時(shí)間：120分鐘分值：150分一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列表格可以作為X的分布列的是(D)解析：依據(jù)分布列的性質(zhì)各概率之和等于1，易知D正確．2．甲射擊命中目標(biāo)的概率是eq\f(1,2)，乙射擊命中目標(biāo)的概率是eq\f(1,3)，丙射擊命中目標(biāo)的概率是eq\f(1,4).現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為(A)A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,5) D.eq\f(7,10)解析：甲、乙、丙都沒有擊中目標(biāo)的概率是(1－eq\f(1,2))(1－eq\f(1,3))(1－eq\f(1,4))＝eq\f(1,4)，故目標(biāo)被擊中的概率為1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).3．某地區(qū)氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率是eq\f(4,15)，刮風(fēng)的概率為eq\f(2,5)，既刮風(fēng)又下雨的概率為eq\f(1,10)，設(shè)A為下雨，B為刮風(fēng)，那么P(B|A)等于(B)A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,10) D.eq\f(8,75)解析：P(A)＝eq\f(4,15)，P(AB)＝eq\f(1,10)，由條件概率公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,10),\f(4,15))＝eq\f(3,8).4．已知ξ～N(0，σ2)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，則P(ξ>2)等于(A)A．0.1B．0.2C．0.6D．0.8解析：由正態(tài)曲線的性質(zhì)知P(0≤ξ≤2)＝0.4，∴P(－2≤ξ≤2)＝0.8，∴P(ξ>2)＝eq\f(1,2)×(1－0.8)＝0.1.5．4張卡片上分別寫著數(shù)字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為(C)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析：從4張卡片中隨機(jī)抽取2張共有Ceq\o\al(2,4)種抽法，抽取的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的抽法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)種，所以所求概率為eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，故選C.6．一個(gè)盒子中裝有7只好晶體管，3只壞晶體管，任取兩次，每次取一只，取后不放回．若已知第一只是好晶體管，則其次只也是好晶體管的概率為(B)A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)解析：設(shè)Ai(i＝1,2)為“第i只是好晶體管”．由題意知要求P(A2|A1)．因?yàn)镻(A1)＝eq\f(7,10)，P(A1A2)＝eq\f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，所以P(A2|A1)＝eq\f(PA1A2,PA1)＝eq\f(\f(7,15),\f(7,10))＝eq\f(2,3).7．已知隨機(jī)變量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝eq\f(5,9)，則P(η≥2)的值為(B)A.eq\f(32,81) B.eq\f(11,27)C.eq\f(65,81) D.eq\f(16,81)解析：由P(ξ≥1)＝eq\f(5,9)，得Ceq\o\al(1,2)p(1－p)＋Ceq\o\al(2,2)p2＝eq\f(5,9)，即9p2－18p＋5＝0，解得p＝eq\f(1,3)或p＝eq\f(5,3)(舍去)．所以P(η≥2)＝Ceq\o\al(2,4)p2(1－p)2＋Ceq\o\al(3,4)p3(1－p)＋Ceq\o\al(4,4)p4＝6×(eq\f(1,3))2×(eq\f(2,3))2＋4×(eq\f(1,3))3×eq\f(2,3)＋(eq\f(1,3))4＝eq\f(11,27).8．船隊(duì)若出海后天氣好，可獲利5000元；若出海后天氣壞，將損失2000元；若不出海也要損失1000元．依據(jù)預(yù)料知天氣好的概率為0.6，則出海效益的均值是(B)A．2000元 B．2200元C．2400元 D．2600元解析：出海效益的均值為EX＝5000×0.6＋(1－0.6)×(－2000)＝3000－800＝2200元．9．如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)．當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為(B)A．0.960 B．0.864C．0.720 D．0.576解析：可知K、A1、A2三類元件正常工作相互獨(dú)立．所以當(dāng)A1，A2至少有一個(gè)能正常工作的概率為P＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系統(tǒng)能正常工作的概率為PK·P＝0.9×0.96＝0.864.10．將一粒質(zhì)地勻稱的骰子(它是一種各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6的正方體玩具)先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是(D)A.eq\f(5,216) B.eq\f(25,216)C.eq\f(31,216) D.eq\f(91,216)解析：質(zhì)地勻稱的骰子先后拋擲3次，共有6×6×6種結(jié)果．“3次均不出現(xiàn)6點(diǎn)向上”的有5×5×5種結(jié)果．由于拋擲的每一種結(jié)果都等可能出現(xiàn)的，所以“不出現(xiàn)6點(diǎn)向上”的概率為eq\f(5×5×5,6×6×6)＝eq\f(125,216)，由對(duì)立事務(wù)的概率公式，知“至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上”的概率是1－eq\f(125,216)＝eq\f(91,216).故選D.二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中的橫線上)11．已知正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在區(qū)間(－3，－1)里的概率和落在區(qū)間(3,5)里的概率相等，那么這個(gè)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望為1.解析：正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在這兩個(gè)區(qū)間里的概率相等，說明在這兩個(gè)區(qū)間上位于正態(tài)曲線下方的面積相等．另外，因?yàn)閰^(qū)間(－3，－1)和區(qū)間(3,5)的長度相等，說明正態(tài)曲線在這兩個(gè)區(qū)間上是對(duì)稱的．因?yàn)閰^(qū)間(－3，－1)和區(qū)間(3,5)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望就是1.12．某市公租房的房源位于A，B，C三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的．該市的4位申請(qǐng)人中恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為eq\f(8,27).解析：每位申請(qǐng)人申請(qǐng)房源為一次試驗(yàn)，這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)申請(qǐng)A片區(qū)房源記為事務(wù)M，則P(M)＝eq\f(1,3)，所以恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)的概率為P＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(8,27).13．某校要從5名男生和2名女生中選出2人作為世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量X表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望EX＝eq\f(4,7).解析：隨機(jī)變量X聽從超幾何分布，其中N＝7，M＝2，n＝2，則EX＝2×eq\f(2,7)＝eq\f(4,7).14．某次考試有20道題目可供選擇，對(duì)每道題考生甲答對(duì)的概率均為eq\f(1,2).現(xiàn)隨機(jī)抽考6道題，考生答對(duì)4道題就算合格，答對(duì)5道題就算優(yōu)秀．在甲知道自己合格的狀況下，則甲得優(yōu)秀的概率為eq\f(2,5).解析：對(duì)抽取的每道題，甲答對(duì)的概率為eq\f(1,2)，記“甲合格”為事務(wù)A，“甲優(yōu)秀”為事務(wù)B，所求概率為P(B|A)，則P(A)＝Ceq\o\al(4,6)(eq\f(1,2))4·(eq\f(1,2))2＝eq\f(15,64)，P(B)＝Ceq\o\al(5,6)(eq\f(1,2))5(eq\f(1,2))1＝eq\f(6,64).因?yàn)锽?A，所以P(AB)＝P(B)，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(2,5).15．某一部件由三個(gè)電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的運(yùn)用運(yùn)用壽命(單位：小時(shí))均聽從正態(tài)分布N(1000,502)，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的壽命超過1000小時(shí)的概率為eq\f(3,8).解析：本題考查了正態(tài)分布有關(guān)學(xué)問．三個(gè)電子元件的運(yùn)用壽命均聽從正態(tài)分布N(1000,502)得：三個(gè)電子元件的運(yùn)用壽命超過1000小時(shí)的概率為p＝eq\f(1,2).超過1000小時(shí)時(shí)元件1或元件2正常工作的概率P1＝1－(1－p)2＝eq\f(3,4)，那么該部件的運(yùn)用壽命超過1000小時(shí)的概率為p2＝p1×p＝eq\f(3,8).正確理解正態(tài)分布的意義是解題的關(guān)鍵．三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共75分，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)16．(本題滿分12分)甲、乙、丙三人在同一辦公室工作，辦公室里只有一部電話機(jī)，設(shè)經(jīng)該機(jī)打進(jìn)的電話打給甲、乙、丙的概率依次為eq\f(1,6)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2).若在一段時(shí)間內(nèi)打進(jìn)三個(gè)電話，且各個(gè)電話相互獨(dú)立，求：(1)這三個(gè)電話是打給同一個(gè)人的概率；(2)這三個(gè)電話中恰有兩個(gè)是打給甲的概率．解：(1)由互斥事務(wù)有一個(gè)發(fā)生的概率公式和獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率公式，得所求的概率為(eq\f(1,6))3＋(eq\f(1,3))3＋(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,6).(2)這是n＝3，p＝eq\f(1,6)的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故所求的概率為P3(2)＝Ceq\o\al(2,3)×(eq\f(1,6))2×eq\f(5,6)＝eq\f(5,72).17．(本題滿分12分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任選3人參與學(xué)校的義務(wù)勞動(dòng)．(1)設(shè)所選3人中女生人數(shù)為X，求X的分布列；(2)求男生甲或女生乙被選中的概率；(3)設(shè)“男生甲被選中”為事務(wù)A，“女生乙被選中”為事務(wù)B，求P(B)和P(B|A)．解：(1)X的全部可能取值為0,1,2，依題意得P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).∴X的分布列為X012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)(2)設(shè)“甲、乙都不被選中”為事務(wù)C，則P(C)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)；∴所求概率為P(eq\x\to(C))＝1－P(C)＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).(3)P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)；P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(A)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2)，即P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(2,5).18．(本題滿分12分)某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)用ξ表示．據(jù)統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表：ξ0123P0.10.32a(1)求a的值和ξ的均值；(2)假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響，求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率．解：(1)由概率分布的性質(zhì)有0.1＋0.3＋2a＋a＝1，解得aξ的概率分布列為ξ0123P0.10.30.40.2故Eξ＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)設(shè)事務(wù)A＝{兩個(gè)月內(nèi)共被投訴2次}；事務(wù)A1＝{兩個(gè)月內(nèi)有一個(gè)月被投訴2次，另外一個(gè)月被投訴0次}；事務(wù)A2＝{兩個(gè)月內(nèi)每個(gè)月均被投訴1次}．則由事務(wù)的獨(dú)立性得P(A1)＝2×0.4×0.1＝0.08，P(A2)＝0.32＝0.09，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.故該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率為0.17.19．(本題滿分12分)一批產(chǎn)品須要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.假如n＝3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；假如n＝4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他狀況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為eq\f(1,2)，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立．(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；(2)已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都須要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事務(wù)A，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事務(wù)C，其次次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事務(wù)B，其次次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事務(wù)D，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事務(wù)E，依題意有E＝(AB)∪(CD)，且AB與CD互斥，∴P(E)＝P(AB)＋P(CD)＝P(A)P(B|A)＋P(C)P(D|C)＝Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,2))3×eq\f(1,2)×(eq\f(1,2))4＋(eq\f(1,2))4×eq\f(1,2)＝eq\f(3,64).(2)由題意知，需檢驗(yàn)產(chǎn)品的件數(shù)分別為4(n≤2)，5件(n＝4)，8件(n＝3)，故X的可能取值為400、500、800，并且P(X＝400)＝1－Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,2))3×eq\f(1,2)－(eq\f(1,2))4＝eq\f(11,16)，P(X＝500)＝eq\f(1,16)，P(X＝800)＝Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,2))3×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，∴X的分布列為X400500800Peq\f(11,16)eq\f(1,16)eq\f(1,4)EX＝400×eq\f(11,16)＋500×eq\f(1,16)＋800×eq\f(1,4)＝506.25.20．(本題滿分13分)一個(gè)袋中有若干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中隨意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是eq\f(2,5)；從袋中隨意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是eq\f(7,9).(1)若袋中共有10個(gè)球，①求白球的個(gè)數(shù)；②從袋中隨意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ；(2)證明：從袋中隨意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于eq\f(7,10).并指出袋中哪種顏色的球的個(gè)數(shù)最少．解：(1)①記“從袋中隨意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球”為事務(wù)A，設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x，則P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,10－x),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,9)，解得x＝5或x＝14(舍去)，故白球有5個(gè)．②隨機(jī)變量ξ的全部可能取值為0,1,2,3，且P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，所以隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ0123Peq\f(1,12)eq\f(5,12)eq\f(5,12)eq\f(1,12)故Eξ＝eq\f(1,12)×0＋eq\f(5,12)×1＋eq\f(5,12)×2＋eq\f(1,12)×3＝eq\f(3,2).(2)證明：設(shè)袋中有n個(gè)球，其中有y個(gè)黑球，由題意得y＝eq\f(2,5)n，所以2y<n,2y≤n－1，故eq\f(y,n－1)≤eq\f(