慣用數(shù)學(xué)軟件介紹——Maple在若干領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)用1/75第一部分慣用數(shù)學(xué)軟件2/75

當(dāng)前在科學(xué)研究與工程計算中慣用數(shù)學(xué)軟件約30余個，可分為通用與專用兩大類。專用軟件主要是為處理數(shù)學(xué)中某個分支特殊問題而設(shè)計。慣用專用軟件有:1.SAS和SPSS(統(tǒng)計分析)；2.Lindo、Lingo和CPLEX(運籌與優(yōu)化計算)；3/753.Cayley和GAP(群論研究)；4.PARI(數(shù)論研究)；5.Origin(科技繪圖與數(shù)據(jù)分析)；6.DELiA(微分方程分析)；7.ANSYS(有限元計算)。通用軟件普通能夠求解數(shù)學(xué)許多分支中大部分問題。通用軟件又可分為數(shù)值計算型與解析計算型。4/75慣用通用型數(shù)值計算軟件有：

Matlab、Xmath、Gauss、MLAB等。慣用通用型解析計算軟件有：Maple、Mathematica、Macsyma、Axiom和Reduce等。Matlab、Mathematica、Maple與另一個面向大眾普及型數(shù)學(xué)軟件Mathcad并稱數(shù)學(xué)軟件中“四大天王”。5/75Matlab意思為“矩陣試驗室”，是美國計算機科學(xué)家CleveMoler在70年代末開發(fā)出以矩陣數(shù)值計算為主數(shù)學(xué)軟件，如今已發(fā)展成為融科技計算、圖形可視化與程序語言為一體功效強大通用數(shù)學(xué)軟件。Matlab最突出特點是其帶有一系列“工具包”，可廣泛應(yīng)用于自動控制、信號處理、數(shù)據(jù)分析、通訊系統(tǒng)和動態(tài)仿真等領(lǐng)域。高版本Matlab也可進行符號計6/75符號計算，不過它代數(shù)運算系統(tǒng)是從解析計算軟件Maple移植而來。當(dāng)前,Matlab最高版本為7.2。Mathematica是美國物理學(xué)家StephenWolfram開發(fā)第一個將符號計算、數(shù)值計算和圖形顯示很好地結(jié)合在一起數(shù)學(xué)軟件，在國內(nèi)較為流行，擁有廣泛用戶。它最大優(yōu)點是帶有圖形用戶接口計算機上Mathematica支持一個專用Notebook7/75接口。經(jīng)過Notebook接口，能夠顯示輸出結(jié)果、圖形、動畫和聲音等。Mathematica另一個特點是它能夠和C、Excel、Word等相互調(diào)用。

Mathcad是MathSoft企業(yè)在80年代開發(fā)一個交互式數(shù)學(xué)文字軟件，與Matlab和Mathematica不一樣是，該軟件市場定位是:向廣大教師、學(xué)生、工程技術(shù)人員提供一個兼?zhèn)湮淖帧?shù)學(xué)和圖形處理能力集8/75集成工作環(huán)境，而并不致力于復(fù)雜數(shù)值計算與符號計算問題，含有面向大眾普及特點。不過，現(xiàn)在Mathcad計算能力已遠(yuǎn)超出了其早期設(shè)計目標(biāo)。SPSS(社會科學(xué)統(tǒng)計軟件包)是世界著名統(tǒng)計分析軟件之一。SPSS基本功效包含數(shù)據(jù)管理、統(tǒng)計分析、圖表分析、輸出管理等。其過程包含描述性統(tǒng)計、均值比較、普通線性模型、相關(guān)分析、回歸9/75分析、聚類分析、生存分析、時間序列分析等。SPSS中還有專門繪圖系統(tǒng)，能夠依據(jù)數(shù)據(jù)繪制各種圖形。Origin是與SigmaPlot和Axum齊名科技繪圖和數(shù)據(jù)處理軟件。Origin除了能夠很方便地畫出各種二維和三維圖形外，它最突出功效是曲線擬合。它不但能夠用內(nèi)置上百種函數(shù)很方便地進行曲線擬合,而且能夠依據(jù)用戶需要添加線型。10/75

Lindo是美國芝加哥大學(xué)Schrage教授開發(fā)專門用于求解數(shù)學(xué)規(guī)劃專用軟件包，版權(quán)現(xiàn)歸屬于美國Lindo系統(tǒng)企業(yè)。Lindo包含Lindo、Gino、Lingo、LingoNL和“What’sBest”等多個組件，這些組件統(tǒng)稱為Lindo，其中Lindo和Lingo最為慣用。

Lindo可求解線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃和二次規(guī)劃；Lingo除了能夠求解線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃和二次規(guī)劃外，還能夠求解非線11/75性規(guī)劃和線性、非線性方程組。除此之外,Lingo還包含了內(nèi)置建模語言和一些慣用數(shù)學(xué)函數(shù)，能夠簡便、直觀地描述大規(guī)模優(yōu)化問題。Lingo有各種版本，如學(xué)生版、演示版、高級版、發(fā)行版、工業(yè)版等，其主要區(qū)分在于對優(yōu)化規(guī)模(變量和約束個數(shù))有不一樣限制。12/75第二部分Maple及應(yīng)用13/75Maple是加拿大Waterloo大學(xué)符號計算研究小組于80年代初開始研發(fā)，1985年才面世計算機代數(shù)軟件，起初并不為人們所注意，但MapleVrelease2于1992年面世后，人們發(fā)覺它是一個功效強大、界面友好計算機代數(shù)系統(tǒng)。伴隨版本不停更新，Maple已日益得到廣泛認(rèn)可和歡迎，用戶越來越多，聲譽越來越高，從1995年以后，Maple一直在IEEE數(shù)學(xué)軟件評選14/75中居符號計算軟件第一名。當(dāng)前，Maple最高版本為MapleVrelease11.2。Maple是一個對大眾公開計算機代數(shù)系統(tǒng)，主要由三部分組成:用戶界面、代數(shù)運算器和外部函數(shù)庫。用戶界面負(fù)責(zé)輸入數(shù)學(xué)表示式初步處理、運算結(jié)果和圖像顯示等。代數(shù)運算器進行輸入編譯及基本代數(shù)運算。外部函數(shù)庫中包含數(shù)千個數(shù)學(xué)函數(shù)和過程，幾乎涵蓋了數(shù)學(xué)中15/75全部分支。Maple支持函數(shù)、序列、集合、列表、數(shù)組、表等各種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。用戶能夠查看Maple非內(nèi)部函數(shù)源程序，也能夠?qū)⒆约壕幒秃瘮?shù)、過程添加到Maple函數(shù)庫中或建立自己函數(shù)庫。Maple一個突出特點是它界面非常友好。它有一個非常好幫助系統(tǒng)，能夠很方便地查找函數(shù)和命令使用方法。16/75

總之，Maple是一個功效強大、輕易掌握、不停發(fā)展數(shù)學(xué)解析軟件。有了良好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)加上Maple就能使你如虎添翼，有能力和信心去處理各種各樣數(shù)學(xué)計算問題。17/751.Maple在核磁共振研究中應(yīng)用

弛豫計算是核磁共振中非常主要工作。長久以來，因為計算方法、計算軟件和計算工具所限，許多學(xué)者在計算弛豫時都做了不一樣程度簡化，這就使得計算結(jié)果不夠精細(xì)，缺乏說服力。本人依據(jù)核磁共振弛豫理論和相關(guān)數(shù)學(xué)知識提出了“改進矩陣計算方法”。應(yīng)用此方法，借助于Maple軟件，本人計算18/75出了各種主要核磁共振體系完整弛豫方程組，已發(fā)表相關(guān)論文十余篇，其中五篇被SCI檢索，并被中國、印度和美國多名學(xué)者引用。上述計算是極為復(fù)雜，不借助功效強大解析計算軟件和高檔計算機是難以完成。19/752.Maple在濺射物理研究中應(yīng)用我校張竹林老師是研究濺射物理國際著名教授。張老師在與俄羅斯物理學(xué)家Glazov論戰(zhàn)時需要用到大量復(fù)雜解析計算和高精度數(shù)值計算。張老師和我共同指導(dǎo)張萊(張老師之子，本人碩士)應(yīng)用Padé迫近和Maple，分別用解析和數(shù)值兩種方法，計算了動量和能量淀積空間分分布，從而證實了Glazov推導(dǎo)出方程是20/75不正確。所得結(jié)果被美國權(quán)威學(xué)者稱為張公式，研究結(jié)果被中科院、清華大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)五位學(xué)者判定為國際領(lǐng)先水平，并已在《PhysicalReviewB》、《RadiationEffectsandDefectsinSolids》等國際著名期刊上發(fā)表。本工作中數(shù)據(jù)高達(dá)600位小數(shù)，由最新版Maple和高檔計算機完成。

21/753.Maple在石油測井研究中應(yīng)用

核磁共振在石油勘探測井中有著非常主要應(yīng)用。本人與中石油科學(xué)技術(shù)研究院測井研究所合作了一個項目《球管孔隙模型弛豫機制及核磁試驗數(shù)據(jù)研究》。

項目內(nèi)容為：1.油水兩相球管孔隙模型弛豫機制理論研究，要求給出Bloch方程完整求解過程；22/752.應(yīng)用化學(xué)位移及油氣擴散識別孔隙結(jié)構(gòu)和油氣方法研究，須考慮分子鍵共振頻率與核磁共振頻率之間關(guān)系，并提供可供編程算法；3.依據(jù)對甲方提供試驗數(shù)據(jù)，提出油水弛豫信號分離方法，要求提供可供編程算法；4.依據(jù)甲方提供試驗數(shù)據(jù)，進行N

OE識別巖石孔隙結(jié)構(gòu)和流體應(yīng)用方法探

23/75探索性研究，并提供可行試驗方案。項目中第一和第二個工作已完成，其中第一個工作現(xiàn)已被用于現(xiàn)場測井，并取得了很好效果。本項目除了需要一定專業(yè)背景和數(shù)學(xué)知識外，較高計算技能和先進計算軟件起到了至關(guān)主要作用。本項目中全部解析計算和數(shù)值模擬均由Maple完成。24/754.Maple在碩士數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用本人在和年分別指導(dǎo)我校碩士參加了全國第三、第四屆碩士數(shù)學(xué)建模。競賽論文“確定高精度參數(shù)問題”(2006)和“六緯度機械臂運動路徑設(shè)計問題”()分別取得三等獎和二等獎。競賽中所采取計算軟件為Matlab和Maple。

25/75今年建模中我校采取方法是其它獲獎隊所沒有采取，而且是仿真做得最好一個隊。在頒獎大會上，出題人華中科技大學(xué)王以治教授尤其提到這一點

。注：原來安徽理工大學(xué)取得是一等獎，但因為一些技術(shù)原因，最終調(diào)整為二等獎，可惜！26/755.Maple在其它方面應(yīng)用Maple軟件還被用于處理我校教師和學(xué)生在科研和學(xué)生中碰到各類計算問題。比如，“空間巷道最短距離計算”(新集三礦工程碩士)、“高性能混凝土強度與滲透性關(guān)系”(張集礦)、“齒輪間面積計算”、“超越方程求解”(機械學(xué)院)、“微分方程求解”(化工學(xué)院)、“實習(xí)經(jīng)費合理分配”(財務(wù)處)等。27/75

最終，需要指出是，盡管數(shù)學(xué)軟件功效強大，但它畢竟只是一個純粹計算工具，只有將其應(yīng)用于有意義實際問題才能表達(dá)出它價值。另外，數(shù)學(xué)軟件不是萬能。再好數(shù)學(xué)軟件也有不足。比如,Maple存在著占用內(nèi)存大、計算時間長、數(shù)值計算速度較慢、部分?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)域問題未包括等問題。28/75第一次作業(yè)1、安裝Maple、Lingo、Origin、Matlab；2、瀏覽上述軟件相關(guān)資料；3、自學(xué)范紅兵著《數(shù)學(xué)軟件Maple及其應(yīng)用》，初步掌握Maple基本操作；4、給出“導(dǎo)彈追蹤問題”數(shù)學(xué)模型，用Maple求出模型解析解與數(shù)學(xué)解，并畫出導(dǎo)彈軌跡圖。29/75導(dǎo)彈追蹤問題某導(dǎo)彈基地發(fā)覺正北方向120km處海面上有敵艦一艘以90km/h速度向正東方向行駛。該導(dǎo)彈基地馬上發(fā)射一枚導(dǎo)彈跟蹤追擊敵艦，導(dǎo)彈速度為450km/h，自動導(dǎo)航系統(tǒng)使導(dǎo)彈在任一時刻都能對準(zhǔn)敵艦。試問導(dǎo)彈在何時何處擊中敵艦？30/7531/75假如發(fā)射導(dǎo)彈時，敵艦馬上由儀器覺察。假定敵艦為一高速快艇，它即刻以135km/h速度與導(dǎo)彈方向成一夾角逃逸，問導(dǎo)彈何時何地?fù)糁袛撑灒恳罁?jù)計算結(jié)果，你能否指出敵艦與導(dǎo)彈方向成何夾角逃逸才好？提醒：可假設(shè)導(dǎo)彈與敵艦相距足夠近時敵艦即被擊中。

32/75第三章Maple介紹3.1Maple安裝與開啟不一樣版本Maple安裝過程略有不一樣，有版本需要序列號。Maple工作環(huán)境是經(jīng)典windows界面，下面給出Maple7經(jīng)典界面和Maple11新界面。33/7534/7535/753.2Maple命令輸入與顯示1、>命令提醒符；大小寫敏感。2、Maple命令以；或：結(jié)尾，以；結(jié)尾顯示結(jié)果，而以：結(jié)尾則不顯示結(jié)果。3、Maple賦值號為：=。4、光標(biāo)放在命令行任意位置，然后回車即可運行此命令；在書寫命令時如需換行，須按Shift+回車。36/753.3Maple數(shù)值與解析計算Maple可進行無誤差符號計算和高精度數(shù)值計算。比如，100!,Pi,sqrt(2),sin(3)。3.4Maple圖形顯示1、普通函數(shù)做圖plot(f(x),x=a..b,option);plot3d(f(x,y),x=a..b,y=c..d,option);37/752、極坐標(biāo)做圖plot([sin(3*x),x,x=-2*Pi..2*Pi],cords=polor);3、隱函數(shù)做圖implicitplot(表示式,x=a..b,y=c..d);with(plots);impliciplot(y=sin(x+y),x=1..20,y=-1..1);4、參數(shù)方程做圖plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi]);38/755、同一坐標(biāo)系中做多圖方法1:plot([f1(x),…,fn(x)],x=a..b);plot([x^3-6*x+2,3*x^2-6],x=-5..5):切勿與參數(shù)方程做圖混同.方法2:F1:=plot():F2:=plot():…Fn:=plot():Display(F1,…,Fn);39/75with(plots):F:=plot([cos(x),sin(x),x=0..2*Pi]):G:=plot([cos(x),sin(x)],x=-2*Pi..2*Pi):display(F,G):3.4Maple微積分計算1、解方程solve(f(x),x);求解析解fsolve(f(x),x);求全部實數(shù)數(shù)值解40/75fsolve(f(x),x,complex);求全部復(fù)數(shù)數(shù)值解2、求極限limit((tan(x)-sin(x))/x^3,x=0);limit(sqrt(x^2+x)-sqrt(x^2-x),x=infinity);3、求導(dǎo)數(shù)diff((x/(1+x))^x,x);diff(sin(x),x$2);diff(ln(tan(x/y)),x,y);41/75simplify(diff(ln(tan(x/y)),x,y));implicitdiff(y=sin(x+y),y,x);4、求積分int(exp(-x)*cos(x),x);int(sqrt(1+cos(2*x),x=0..Pi);5、解微分方程dsolve(diff(y(x),x)=x+y(x),y(x));dsolve({diff(y(x),x)=x+y(x),y(0)=2},y(x));42/753.5Maple幫助功效

Maple有非常強大、完善在線幫助功效。Maple可經(jīng)過Introduction,TopicSearch和鍵盤命令等方式尋求幫助。比如，?inter;?dsolve;43/753.6Maple函數(shù)庫Maple有數(shù)以千計函數(shù)，這些函數(shù)被分成四大類:標(biāo)準(zhǔn)庫、混合庫、專用軟件包和共享軟件包。1、標(biāo)準(zhǔn)庫標(biāo)準(zhǔn)庫分為內(nèi)部函數(shù)、外部函數(shù)和惰性函數(shù)三類。見P38~39。內(nèi)部函數(shù)在Maple內(nèi)核中，不能查看其代碼。外部函數(shù)和惰性函數(shù)能夠查看44/75其代碼。惰性函數(shù)主要用來顯示函數(shù)名。2、混合庫混合庫中存放是不太慣用函數(shù)，系統(tǒng)開啟時不自動調(diào)入內(nèi)存。需要用時需用命令readlib(函數(shù)名)調(diào)入。見P39。3、專用軟件包Maple有幾十個專用軟件包，分別處理不一樣數(shù)學(xué)分支問題。見P40。45/75專用軟件包在使用時要用命令with(軟件包名)調(diào)入。4、共享庫共享庫是由Maple興趣者開發(fā)軟件包。這些程序用戶可上網(wǎng)搜尋。46/75第四章Maple語言基礎(chǔ)Maple是一個可編程數(shù)學(xué)環(huán)境。本章介紹Maple符號集、語句、表示式、基本數(shù)據(jù)類型以及基本程序語言。4.1標(biāo)識符與變量名4.1.1標(biāo)識符標(biāo)識符是語言基本元素。Maple47/75標(biāo)識符由26個大小寫字母、10個數(shù)字字符以及一些特殊符號組成(P49)。4.1.2變量名變量名第一個符號必須是字母，后面能夠跟字母、數(shù)字、下劃線。Maple中關(guān)鍵詞是系統(tǒng)內(nèi)部使用字符串，不能作為變量名(P50)。另外，內(nèi)部函數(shù)名也不能作為變量名(P38)。48/754.2語句和表示式4.2.1語句類型1、賦值語句變量名:=表示式注:初學(xué)者最輕易犯錯誤是將賦值號“:=”誤寫為“=”。2、條件語句if條件then語句組fi49/75if條件then語句組else語句組fiif條件then語句組elif條件then語句組fiif條件then語句組elif條件then語句組else語句組fi3、循環(huán)語句for循環(huán)變量名from初值by步長to終值do語句組od50/75

考查以下程序中循環(huán)和條件語句。restart:n:=10000:count:=0:forifrom1tondor1:=rand(0..1):r2:=rand(0..1):ifr1()=1orr2()=1thencount:=count+1:fi:od:prizeA:=1000*evalf(count/n);51/754.2.2表示式Maple表示式由常數(shù)、變量、函數(shù)、運算符和括號等組成。比如，1、序列、列表、集合；(第五章)2、尤其運算符：復(fù)合@、自復(fù)合@@、取模mod。比如，(sin@ln)(x)結(jié)果為sin(ln(x))；(ln@@2)(x)結(jié)果為ln(ln(x))；52/7510mod3結(jié)果為1?？疾橐韵鲁绦蛑袕?fù)合運算。restart:f:=x->x^3-3*x-1:plot(f(x),x=-3..3);fsolve(f(x));x:=-4:n:=9:g:=x->x-(x^3-3*x-1)/(3*x^2-3):53/75forifrom1tondox:=evalf((g@@i)(x)):od;3、布爾表示式和邏輯運算Maple中關(guān)系運算符為<,<=,>,>=,=,<>；邏輯運算符為and,or,not?！氨硎臼疥P(guān)系運算符表示式”稱為關(guān)系式，其值為true或false。54/75由關(guān)系式、邏輯運算符和括號組成表示式稱為布爾表示式。比如，a:=1;b:=2;c:=3;a>b,c>b;false,truea>bandc>bfalse考查第38張幻燈片程序中邏輯表示式。

4、過程與函數(shù)(第五章)55/754.3類型與判別Maple含有豐富表示式、函數(shù)和數(shù)據(jù)類型，以適應(yīng)不一樣數(shù)學(xué)領(lǐng)域和用戶要求?？匆粋€表示式是什么類型，除憑經(jīng)驗外，還可用命令type對變量類型進行判別,用命令whattype對表示式類型進行問詢。4.3.1判別類型命令

函數(shù)type(表示式,類型)判別此表示式56/75是否屬于該類型。屬于時函數(shù)值為1，不然為0。比如，type(5,float)值為false。Maple中全部表示式類型見P57。4.3.2類型問詢函數(shù)whattype(表示式)返回表示式基本數(shù)據(jù)類型。Maple中基本數(shù)據(jù)類型見P57。57/75比如，whattype(x-y)值為+，whattype(x^y)值為^。4.4基本數(shù)據(jù)類型本節(jié)介紹一些慣用基本數(shù)據(jù)類型：整數(shù)(integer),分?jǐn)?shù)(fraction),浮點數(shù)(float),常數(shù)(constant),函數(shù)(functions),復(fù)數(shù)(complex),代數(shù)數(shù)(algebraicnumber)。下一章將深入介紹慣用復(fù)合數(shù)據(jù)類型。58/754.4.1整數(shù)、分?jǐn)?shù)Maple能夠計算和表示最大整數(shù)長度為2^19-1=524279位。慣用整數(shù)運算函數(shù)見P58。Maple分?jǐn)?shù)計算是符號計算，Maple在處理含有分?jǐn)?shù)表示式時，自動地對分?jǐn)?shù)進行約分，將分母表示成正整數(shù)。4.4.2浮點數(shù)、符號常數(shù)59/75浮點數(shù)通常指帶有小數(shù)數(shù)，它運算不屬于符號運算。1、浮點數(shù)有常規(guī)和指數(shù)兩種表示法。比如，314.5和3.145e2。2、可用命令evalf(表示式,精度)求表示式浮點數(shù)。比如，evalf(22/7,20)。3、Maple默認(rèn)浮點精度為10，可用60/75命令“Digits:=精度”進行重新設(shè)置。比如，Digits:=40;evalf(22/7);Maple對數(shù)學(xué)中主要常數(shù)做了特殊定義，見P61。注：Maple各版本中定義略有不一樣。4.4.3復(fù)數(shù)、代數(shù)數(shù)

Maple用I代表虛數(shù)單位，如1+3*I。復(fù)數(shù)慣用運算有Re(取實部)、Im(61/75取虛部)、argument(求幅角)、conjugate(求共軛)。代數(shù)數(shù)是指有理多項式方程根。代數(shù)數(shù)計算是符號計算。4.5Maple程序語言用本章介紹語句能夠編制出簡單Maple程序。

下面給出用數(shù)值積分計算程序。62/75因為，只要計算出右邊積分，即可得到值。我們分別采取數(shù)值分析中復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式計算。復(fù)化梯形公式：復(fù)化Simpson公式：63/75Pi:=evalf(Pi,50);a:=0:b:=1:n:=1000:f:=x->4/(1+x^2):Pi1:=evalf((b-a)/n*(sum(f(a+i*(b-a)/n),i=1..n-1)+(f(a)+f(b))/2),50);Pi2:=evalf((b-a)/6/n*(f(a)+f(b)+2*sum(f(a+i*(b-a)/n),i=1..n-1)+4*sum(f(a+(i+1/2)*(b-a)/n),i=0..n-1)),50);64/751.在同一坐標(biāo)系中作出和它Taylor展式前項組成多項式圖象。對不一樣，觀察多項式迫近情形,并經(jīng)過計算證實Taylor級數(shù)收斂于。2.對不一樣n，畫出在上圖象。經(jīng)過觀察圖像猜測當(dāng)時，這個函數(shù)趨向于什么函數(shù)，并證實之。65/75第五章Maple復(fù)合數(shù)據(jù)類型本章深入介紹Maple語言數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，包含慣用復(fù)合數(shù)據(jù)類型、函數(shù)定義方法和函數(shù)運算。最終介紹復(fù)合數(shù)據(jù)三個主要命令：代換(subs)，映射(map)和轉(zhuǎn)換(convert)。66/755.1序列、集合、列表序列、集合和列表是三種最慣用復(fù)合型數(shù)據(jù)類型。本節(jié)介紹它們使用和相互轉(zhuǎn)換方法。5.1.1序列(sequence)形以以下類型數(shù)據(jù)稱為序列。表示式1,表示式2,…,表示式n比如，1,2,3和x,y,z均為序列。67/751、序列是Maple中一個基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，可用于函數(shù)、集合、列表等語句中。比如，f(1,2,3)(三元函數(shù)),{x,y,z}(集合),[a,b,c](列表)。2、兩個序列可用逗號連成一個序列。比如，a:=1,2,3;b:=4,5,6;，則語句c:=a,b;產(chǎn)生序列是1,2,3,4,5,6。3、可用函數(shù)seq、$、op生成序列。68/75(1)seq(f(i),i=m..n)生成序列f(m),f(m+1),…,f(n)。(2)語句“表示式$n”表示將表示式重復(fù)n次，即生成序列“表示式,…,表示式”。比如，a$3生成序列a,a,a。語句“表示式(i)$