第五章萬有引力與宇宙航行微專題35衛(wèi)星(天體)的追及相遇若兩衛(wèi)星軌道共面，當(dāng)衛(wèi)星同向運動時，由最近至下一次最近有ω1t－ω2t＝2nπ或eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝n(n＝1,2,3，…)。由最近至最遠(yuǎn)有ω1t－ω2t＝(2n＋1)π或eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝n＋eq\f(1,2)(n＝0,1,2,3，…)。1．(2023·江蘇無錫期中)木星是太陽系中最大的行星，當(dāng)?shù)厍蛭挥谔柡湍拘侵g且三者幾乎排成一條直線時，稱之為“木星沖日”，2023年11月3日出現(xiàn)了一次“木星沖日”。已知木星與地球幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽近似做勻速圓周運動，木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍。則下一次的“木星沖日”時間在()A．2024年B．2025年C．2034年D．2035年答案A解析地球公轉(zhuǎn)周期為T1＝1年，設(shè)木星公轉(zhuǎn)周期為T2，則eq\f(T12,T22)＝eq\f(R13,R23)，解得T2＝eq\r(\f(R23,R13))T1＝eq\r(53)T1≈11.18年，設(shè)經(jīng)過時間t再次出現(xiàn)“木星沖日”，則ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝eq\f(2π,T1)，ω2＝eq\f(2π,T2)，解得t≈1.1年，則下一次的“木星沖日”時間在2024年。故選A。2．假設(shè)有一載人宇宙飛船在距赤道地面高度為4200km的上空繞地球做勻速圓周運動，地球半徑約為6400km，地球同步衛(wèi)星距地面高為36000km，宇宙飛船和一地球同步衛(wèi)星繞地球同向運動，每當(dāng)兩者相距最近時，宇宙飛船就向同步衛(wèi)星發(fā)射信號，然后再由同步衛(wèi)星將信號發(fā)送到地面接收站，某時刻兩者相距最遠(yuǎn)，從此該開始，在一晝夜的時間內(nèi)，接收站共接收到信號的次數(shù)為()A．4次B．6次C．7次D．8次答案C解析根據(jù)圓周運動的規(guī)律，求解出一個晝夜同步衛(wèi)星與宇宙飛船相距最近的次數(shù)，即為飛船發(fā)射信號的次數(shù)，也為接收站接收到信號的次數(shù)。設(shè)宇宙飛船的周期為T，由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，則eq\f(T2,24h2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6400＋4200,6400＋36000)))3，解得T＝3h。設(shè)兩者由相距最遠(yuǎn)至第一次相距最近所用的時間為t1，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)－\f(2π,T0)))·t1＝π，解得t1＝eq\f(12,7)h，以后每次相距最近的時間間隔為t2，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)－\f(2π,T0)))·t2＝2π，解得t2＝eq\f(24,7)h，由n＝eq\f(24h－t1,t2)＝6.5知，接收站共接收到信號的次數(shù)為7次，故C項正確。3.(多選)(2024·甘肅張掖高臺縣第一中學(xué)開學(xué)考)如圖所示為三顆衛(wèi)星a、b、c繞地球沿逆時針方向做勻速圓周運動的示意圖，其中b、c是地球同步衛(wèi)星，a在半徑為r的軌道上，此時a、b恰好相距最近，已知地球質(zhì)量為M，地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω，引力常量為G，則()A．衛(wèi)星a、c與地心的連線單位時間掃過的面積相等B．衛(wèi)星c加速一段時間后就可能追上衛(wèi)星bC．到衛(wèi)星a和b下一次相距最近，還需經(jīng)過時間eq\f(2π,\r(\f(GM,r3))－ω)D．若已知近地衛(wèi)星的周期為T，則可計算得出地球的平均密度ρ答案CD解析根據(jù)開普勒第二定律，同一軌道上的行星在相同時間內(nèi)，與中心天體的連線掃過的面積相等，而衛(wèi)星a、c在不同軌道，故A錯誤；根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(\f(GM,R))可知在同一圓形軌道繞中心天體做圓周運動，其線速度大小相等，即衛(wèi)星b、c線速度大小相等，在同一軌道上將穩(wěn)定運動，若衛(wèi)星c加速，則衛(wèi)星c將向高軌道變軌，不可能追上b，故B錯誤；根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力有Geq\f(Mm,r2)＝mωa2r，可得衛(wèi)星a的角速度為ωa＝eq\r(\f(GM,r3))而ωb＝ω，設(shè)衛(wèi)星a和b下一次相距最近的時間為t，則應(yīng)滿足ωat－ωt＝2π解得t＝eq\f(2π,\r(\f(GM,r3))－ω)，故C正確；根據(jù)M＝ρV＝ρ×eq\f(4,3)πR03可知，若要得到地球的平均密度，則必須知道地球的半徑，而近地衛(wèi)星的軌道半徑近似等于地球的半徑，由萬有引力充當(dāng)向心力有Geq\f(Mm,R02)＝meq\f(4π2,T2)R0聯(lián)立可得ρ＝eq\f(3π,GT2)，故D正確。4．(多選)(2023·重慶卷·10)某衛(wèi)星繞地心的運動視為勻速圓周運動，其周期為地球自轉(zhuǎn)周期T的eq\f(3,10)，運行的軌道與地球赤道不共面(如圖)。t0時刻，衛(wèi)星恰好經(jīng)過地球赤道上P點正上方。地球的質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G。則()A．衛(wèi)星距地面的高度為－RB．衛(wèi)星與位于P點處物體的向心加速度大小比值為C．從t0時刻到下一次衛(wèi)星經(jīng)過P點正上方時，衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)過的角度為20πD．每次經(jīng)最短時間實現(xiàn)衛(wèi)星距P點最近到最遠(yuǎn)的行程，衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)過的角度比地球的多7π答案BCD解析由題意，知衛(wèi)星繞地球運轉(zhuǎn)的周期為T′＝eq\f(3,10)T，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，衛(wèi)星距地面的高度為h，有Geq\f(Mm,R＋h2)＝m(R＋h)(eq\f(2π,T′))2，聯(lián)立解得h＝－R，故A錯誤；衛(wèi)星的向心加速度大小a1＝(R＋h)ω′2＝(R＋h)(eq\f(2π,T′))2，位于P點處物體的向心加速度大小a2＝Rω2＝R(eq\f(2π,T))2，可得eq\f(a1,a2)＝eq\f(R＋h,R)(eq\f(T,T′))2＝，故B正確；要想衛(wèi)星再次在P點的正上方，則只能有兩種情形，第一種情形是經(jīng)過一段時間都回到了當(dāng)