第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)有理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪湘教版

數(shù)學(xué)

必修第一

冊課標要求1.通過對有理指數(shù)冪(a>0,m,n∈N且n≥2)含義的認識,了解指數(shù)冪的拓展過程.2.通過對實數(shù)指數(shù)冪au(a>0,且u∈R)含義的認識,了解指數(shù)冪的拓展過程.3.掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達標目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點一根式1.n次方根的定義若一個(實)數(shù)x的n次方(n∈N,n≥2)等于a,即xn=a,則稱x是

.

2.n次方根的性質(zhì)a的n次方根03.根式的定義

4.根式的性質(zhì)

名師點睛1.在n次方根的概念中,關(guān)鍵是數(shù)a的n次方根x滿足xn=a,因此求一個數(shù)a的n次方根,就是求一個數(shù)的n次方等于a.2.n次方根實際上就是平方根與立方根的推廣.3.n次方根的概念表明,乘方與開方是互逆運算.|a|過關(guān)自診

提示

不一定,當n為大于1的奇數(shù)時,a∈R;當n為大于1的偶數(shù)時,a≥0.知識點二分數(shù)指數(shù)冪當a>0,m,n∈N且n≥2時,規(guī)定

(3)0的正分數(shù)指數(shù)冪為0,0沒有負分數(shù)指數(shù)冪.那么,對于任意有理數(shù)r,s仍有下列運算法則:ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).名師點睛

2.正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪總表示正數(shù),而不是負數(shù).3.我們可以類似得出:一般地,給定正數(shù)a,對任意有理數(shù)α,aα都是一個確定的實數(shù).這就把整數(shù)指數(shù)冪推廣為有理指數(shù)冪了.過關(guān)自診

知識點三有理數(shù)指數(shù)冪的基本不等式名師點睛有理數(shù)指數(shù)冪的基本不等式為我們提供了比較大小的另一種方法:過關(guān)自診比較大小(填“>”或“<”):(1)2.32.1

1;

(2)0.490.59

1;

(3)2.3-0.21

1;

(4)0.49-1.7

1;

(5)2.3-0.59

2.3-0.51;

(6)0.352.59

0.353.1.

><<><>知識點四實數(shù)指數(shù)冪在冪的表達式au(a>0)中,a叫作底數(shù),u叫作指數(shù).可以證明,有理數(shù)指數(shù)冪的前述運算規(guī)律,對實數(shù)指數(shù)冪仍然成立.類似地,我們有更一般的冪運算基本不等式:對任意的正實數(shù)u和正實數(shù)a,若a>1,則au>1;若a<1,則au<1.對任意的負實數(shù)u和正實數(shù)a,若a>1,則au<1;若a<1,則au>1.名師點睛實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)除了上述三個外,還有如下兩個常用性質(zhì):(1)ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈R);過關(guān)自診化簡:(2)1.14-π·1.1π-2.解

1.14-π·1.1π-2=1.14-π+π-2=1.12=1.21.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一根式的概念【例1】

(1)27的立方根是

;16的4次方根是

.

(2)已知x6=2021,則x=

.

3±2[-3,+∞)規(guī)律方法

根式概念問題應(yīng)關(guān)注的兩點(1)n的奇偶性決定了n次方根的個數(shù);(2)n為奇數(shù)時,被開方數(shù)a的正負決定著n次方根的符號.變式訓(xùn)練1已知a∈R,n∈N+,給出下列4個式子:A.1個

B.2個

C.3個

D.0個

A探究點二根式的化簡(求值)【例2】

求下列各式的值:解

原式=a-b+b-a=0.∵-3<x<3,∴當-3<x<1時,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;當1≤x<3時,原式=(x-1)-(x+3)=-4.變式探究(1)該例中的(2),若x<-3呢?(2)該例中的(2),若x>3呢?解

由例題解析可知原式可化為|x-1|-|x+3|.(1)若x<-3,則x-1<0,x+3<0,故原式=-(x-1)-[-(x+3)]=4.(2)若x>3,則x-1>0,x+3>0,故原式=(x-1)-(x+3)=-4.探究點三指數(shù)冪的簡單計算【例3】

計算:規(guī)律方法

1.對于既含有分數(shù)指數(shù)冪,又含有根式的式子,一般把根式統(tǒng)一化成分數(shù)指數(shù)冪的形式,以便于計算.如果根式中的根指數(shù)不同,也應(yīng)化成分數(shù)指數(shù)冪的形式.2.對于計算題的結(jié)果,不強求統(tǒng)一用什么形式來表示,但結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù),也不能既含有分母又含有負指數(shù).3.規(guī)定了無理數(shù)指數(shù)冪的意義以后,冪ax中指數(shù)x的取值范圍就擴展到了全體實數(shù),指數(shù)冪的運算性質(zhì)也就擴展到了全體實數(shù).變式訓(xùn)練2計算:(1)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c)(a>0,b>0,c≠0);探究點四冪運算基本不等式的應(yīng)用【例4】

(1)比較大小(填“>”或“<”):><<><<(2)已知a>1,β<0,?α∈R,試比較aα+2β-aα+β與aα+β-aα的大小.規(guī)律方法

1.熟練記憶并能應(yīng)用指數(shù)冪基本不等式;2.作商法的應(yīng)用——注意適用條件:a>0,b>0.探究點五條件求值(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)a2-a-2.得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.(2)由a+a-1=3,兩邊平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.(3)設(shè)y=a2-a-2,兩邊平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.規(guī)律方法

解決條件求值問題的一般方法——整體法對于條件求值問題,一般先化簡代數(shù)式,再將字母取值代入求值.當字母的取值未知或不易求出時,可將所求代數(shù)式恰當?shù)刈冃?構(gòu)造出與已知條件相同的結(jié)構(gòu),從而通過“整體法”巧妙地求出代數(shù)式的值.變式訓(xùn)練3解

∵x+y=12,xy=9,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標A級必備知識基礎(chǔ)練1234567891011121.下列運算正確的是(

)D解析

a2·a3=a5,故A錯誤;(3a)3=27a3,故B錯誤;123456789101112A1234567891011123.已知x2+x-2=3,則x+x-1的值為(

)C123456789101112D123456789101112123456789101112B級關(guān)鍵能力提升練A123456789101112D123456789101112∴由①2-②2,得t2=4.∵x>1,∴x2>x-2,∴t>0,于是t=2,即x2-x-2=2,故選D.1234567891011128.(多選題)下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是(

)CD1234567891011121234567891011121123456789101112解析

由已知條件知a≤0,則(a-2)-2=(2-a)-2,12345678910111211.已知x+x-1=3(x>0),求下列各式的值:123456789101112C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練12.已知實數(shù)x滿足3×16x+2×81x=5×36x,則x的值為

.

解析

因為3×16x+2×81x=5×36x,所以