PAGE22-安徽省六安市第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期模擬卷（八）理（含解析）共150分，考試時(shí)間120分鐘第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法，化簡(jiǎn)集合A，再求交集.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法和集合和基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知i是虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)虛數(shù)單位i的性質(zhì)以及復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算法則，干脆計(jì)算化簡(jiǎn)．【詳解】故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．除法中關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，實(shí)現(xiàn)分母實(shí)數(shù)化．3.等差數(shù)列滿意：，若的前項(xiàng)和為，公差為，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有，再依據(jù)推斷.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，所以B，C，D都正確，故A錯(cuò)誤.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，還考查了轉(zhuǎn)化問(wèn)題求解的實(shí)力，屬于中檔題.4.已知橢圓的離心率為，且橢圓的長(zhǎng)軸與焦距之差為4，則該橢圓為方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用已知條件求出a，b，即可求解橢圓方程．【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，由條件可得，故，由橢圓的長(zhǎng)軸與焦距之差為4可得，即，所以，，，故，故該橢圓的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)潔性質(zhì)橢圓方程的求法，是基本學(xué)問(wèn)的考查．5.公元五世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率的值的范圍是：3.1415926＜＜3.1415927，為紀(jì)念祖沖之在圓周率的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國(guó)數(shù)學(xué)的宏大成就.某小學(xué)老師為幫助同學(xué)們了解“祖率”，讓同學(xué)們把小數(shù)點(diǎn)后的7位數(shù)字1，4，1，5，9，2，6進(jìn)行隨機(jī)排列，整數(shù)部分3不變，那么可以得到大于3.14的不同數(shù)字有（）A.2280 B.2120 C.1440 D.720【答案】A【解析】分析】整體上用間接法求解，先算出1，4，1，5，9，2，6這7位數(shù)字隨機(jī)排列的種數(shù)，留意里面有兩個(gè)1，多了倍，要除去，再減去小于3.14的種數(shù)，小于3.14的數(shù)只有小數(shù)點(diǎn)前兩位為11或12，其他全排列.【詳解】由于1，4，1，5，9，2，6這7位數(shù)字中有2個(gè)相同的數(shù)字1，故進(jìn)行隨機(jī)排列，可以得到的不同狀況有，而只有小數(shù)點(diǎn)前兩位為11或12時(shí)，排列后得到的數(shù)字不大于3.14，故小于3.14的不同狀況有，故得到的數(shù)字大于3.14的不同狀況有.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的排列問(wèn)題，還考查了理解辨析的實(shí)力，屬于中檔題.6.運(yùn)行如圖所示的程序，輸出的結(jié)果為（）A.8 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序語(yǔ)句，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的改變狀況，可得答案．【詳解】所給程序的運(yùn)行過(guò)程如下：，；，；，；，，不滿意，輸出b的值為4.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．7.已知某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A.6π B.8π C.6π+6 D.8π+4【答案】C【解析】【分析】幾三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱的，結(jié)合直觀圖求相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入柱體的表面積公式計(jì)算即可．【詳解】三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱的，故表面積為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，依據(jù)三視圖推斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征及求相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答本題的關(guān)鍵．8.已知直線與之間的距離為2，則直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】由條件可知，直線過(guò)圓心，則圓心C到直線的距離等于直線與之間的距離2，依據(jù)勾股定理可求直線被圓截得的弦長(zhǎng)【詳解】由條件可知，直線過(guò)圓心，則圓心C到直線的距離等于直線與之間的距離2，故直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，以及直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，屬于中檔題．9.已知實(shí)數(shù)滿意不等式組，且目標(biāo)函數(shù)的最小值為，最大值為n，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，變形目標(biāo)函數(shù)為，平移直線，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，在y軸上的截距最小，所以目標(biāo)函數(shù)在此處取得最大值，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，在y軸上的截距最大，所以目標(biāo)函數(shù)在此處取得最小值，然后再計(jì)算定積分的值..【詳解】不等式組表示平面區(qū)域如下圖中的陰影部分所示：

且點(diǎn)，變形目標(biāo)函數(shù)為，平移直線，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，在y軸上的截距最小，所以目標(biāo)函數(shù)在此處取得最大值5，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，在y軸上的截距最大，所以目標(biāo)函數(shù)在此處取得最小值，故.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要線性規(guī)劃及定積分的計(jì)算，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.10.在邊長(zhǎng)為1的正中，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，，，則，，則由求出，即可得到.【詳解】設(shè)，，，則，，則故，即.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題.11.已知定義在上的函數(shù)，滿意，且時(shí)，，圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)，得到的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由圖象可知，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得到，而，解得，再依據(jù)圖象，當(dāng)時(shí)，求解.【詳解】因?yàn)樗运缘膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，由圖象可知，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，而，即，解之得，并且由圖象可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則為最大值，故，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.12.已知函數(shù)，其周期為，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】其中，所以，因?yàn)?，所以，選D.點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的三種類型(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特別角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特別角的三角函數(shù).(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.(3)給值求角：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上.）13.在正方體中，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則與所成角的正切值為_(kāi)_________.【答案】2【解析】【分析】依據(jù)異面直線所成角的定義可得即為與所成角，在中計(jì)算即可.【詳解】即為與所成角，取中點(diǎn)N，連接，則，則.即答案為2.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角定義及計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.14.已知雙曲線的離心率為2，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)垂直于x軸的直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)為m，則__________.【答案】6【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的離心率求出a、b的關(guān)系，再求出過(guò)右焦點(diǎn)

且垂直于x軸的直線被雙曲線截得的弦長(zhǎng)m，即可計(jì)算的值．【詳解】雙曲線的焦距為，則，即，則把代入雙曲線可得，故，所以，.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．15.已知函數(shù)，若，且的最小值為m，則__________.【答案】3【解析】【分析】由題意，由可得，即，結(jié)合，且的最小值為m，即可求出的值．【詳解】由可得，即，∴，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值2.故.即答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬中檔題．16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________.【答案】【解析】【分析】利用數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，由及解得，當(dāng)時(shí)由得，，兩式相減整理得，即，利用等比數(shù)列的定義知是等比數(shù)列，求得，則，利用錯(cuò)位相減法求，則，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，再求其最小值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，由及可得，由①可得時(shí)，②，由①－②可得，即，所以，，其中，當(dāng)時(shí)，，故對(duì)隨意總成立，即是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故，則，則③，④由③④可得，所以，，由，得，設(shè)，則，易得在時(shí)遞減，在時(shí)遞增，且，故的最小值為，故，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，錯(cuò)位相減法和數(shù)列不等式恒成立，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于難題.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若.（1）若，求；（2）若的面積為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)由正弦定理可得，再由余弦定得求解.（2）依據(jù)的面積為，可得，再由正弦定理把角轉(zhuǎn)化為邊，即，然后由余弦定理求解.【詳解】(1)因?yàn)橛烧叶ɡ砜傻?，由余弦定理得所以，解得?）因?yàn)榈拿娣e為可得，由正弦定理可得，，由余弦定理可得.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.18.如圖，三棱錐中，平面平面，，且.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接.依據(jù)，得，再由，依據(jù)線面垂直的判定定理得平面，則，再利用三線合一證明.（2）由三條直線兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的一個(gè)法向量，再利用二面角的向量法公式求解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接.，，平面，平面，又OC平面，，而是的中點(diǎn)，.（2）平面平面，平面，平面平面，平面，再由（1）可知三條直線兩兩垂直.以所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由條件可得，.則，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由可得，令，則.同理可得平面的一個(gè)法向量為，則.由圖易知，二面角為銳角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理和二面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.19.某搜尋引擎廣告依據(jù)付費(fèi)價(jià)格對(duì)搜尋結(jié)果進(jìn)行排名，點(diǎn)擊一次付費(fèi)價(jià)格排名越靠前，被點(diǎn)擊的次數(shù)也可能會(huì)提高，已知某關(guān)鍵詞被甲、乙等多個(gè)公司競(jìng)爭(zhēng)，其中甲、乙付費(fèi)狀況與每小時(shí)點(diǎn)擊量結(jié)果繪制成如下的折線圖.（1）若甲公司安排從這10次競(jìng)價(jià)中隨機(jī)抽取3次競(jìng)價(jià)進(jìn)行調(diào)研，其中每小時(shí)點(diǎn)擊次數(shù)超過(guò)7次的競(jìng)價(jià)抽取次數(shù)記為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）若把乙公司設(shè)置的每次點(diǎn)擊價(jià)格為x，每小時(shí)點(diǎn)擊次數(shù)為，則點(diǎn)近似在一條直線旁邊.試依據(jù)前5次價(jià)格與每小時(shí)點(diǎn)擊次數(shù)的關(guān)系，求y關(guān)于x的回來(lái)直線.（附：回來(lái)方程系數(shù)公式：）.【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)折線圖，甲公司每小時(shí)點(diǎn)擊次數(shù)為9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，的取值可能為0，1，2，3，再求出相應(yīng)的概率，寫出分布列求期望.（2）依據(jù)折線圖列出x，y的數(shù)據(jù)，求得，代入公式求解.【詳解】（1）由題圖可知，甲公司每小時(shí)點(diǎn)擊次數(shù)為9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，由條件可知，的取值可能為0，1，2，3，且，所以，的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望為.（2）依據(jù)折線圖可得數(shù)據(jù)如下：點(diǎn)擊次數(shù)y24687點(diǎn)擊價(jià)格x12345則，則，所求回來(lái)直線方程為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查離散性隨機(jī)變量的分布列以及回來(lái)直線方程的求法，還考查了數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.20.如圖，直線與y軸交于點(diǎn)，與拋物線交于，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，連接并延長(zhǎng)分別與x軸交于點(diǎn).（1）若，求拋物線的方程；（2）若直線的斜率分別為.①求證：為定值；②若，求.【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析②【解析】【分析】（1）由可得，再由弦長(zhǎng)公式求解.（2）①依據(jù)斜率公式.，再計(jì)算.②設(shè)直線的方程為：，直線的方程為：，得到，則，再利用求解.【詳解】（1）由可得，設(shè)點(diǎn)，則，即.，故.由可得（舍去負(fù)值），拋物線的方程為.（2）①由條件可得.，（定值）.②直線的方程為：，直線的方程為：，則，則，由可得，，，，且，.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）若在處的切線與軸平行，求的極值；（2）當(dāng)或時(shí)，試探討方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).【答案】（1）極大值，無(wú)微小值（2）當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)數(shù)根【解析】【分析】（1），，依據(jù)在處的切線與軸平行，則，解得，然后求極值.（2）將方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，令，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，分，，，三種狀況，利用導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行分類探討.【詳解】（1），，由條件可得，解之得，，，令可得或（舍去）.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故有極大值，無(wú)微小值；（2）設(shè)，則.①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故有極大值，此時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，由可得*由可知，*有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為，則，則必有，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故有極大值，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.③當(dāng)時(shí)，，，即在上單調(diào)遞增，，，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，且，故.當(dāng)時(shí)，，，即，方程有1個(gè)實(shí)數(shù)根.綜上可知，當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)數(shù)根.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸，分類探討的思想和運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于難題.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào).選修4—4坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.以原點(diǎn)為極點(diǎn)