限時(shí)集訓(xùn)(四十)直接證明與間接證明(限時(shí)：45分鐘滿分：81分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a，b為正實(shí)數(shù)，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，則A，B，C的大小關(guān)系為()A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A2．(·成都模擬)設(shè)a，b∈R，則“a＋b＝1”是“4ab≤1”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，則P、Q的大小關(guān)系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值確定4．(·銀川模擬)設(shè)a，b，c是不全相等的正數(shù)，給出下列判斷：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b，a<b及a＝b中至少有一個(gè)成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同時(shí)成立，其中正確判斷的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．35．不相等的三個(gè)正數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，并且x是a，b的等比中項(xiàng)，y是b，c的等比中項(xiàng)，則x2，b2，y2三數(shù)()A．成等比數(shù)列而非等差數(shù)列B．成等差數(shù)列而非等比數(shù)列C．既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D．既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列6．在R上定義運(yùn)算：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc.若不等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1a－2,a＋1x))≥1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(3,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,2)二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個(gè)問(wèn)題：函數(shù)f(x)在[0,1]上有意義，且f(0)＝f(1)，如果對(duì)于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求證：|f(x1)－f(x2)|<eq\f(1,2).那么他的反設(shè)應(yīng)該是________．8．(·株洲模擬)已知a，b，μ∈(0，＋∞)且eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝1，則使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范圍是________．9．若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f(c)>0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是________．三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10．已知a>0，eq\f(1,b)－eq\f(1,a)>1，求證：eq\r(1＋a)>eq\f(1,\r(1－b)).11．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．12．已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1＝1，且點(diǎn)(eq\r(an)，an＋1)(n∈N*)在函數(shù)y＝x2＋1的圖象上．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求證：bn·bn＋2<beq\o\al(2,n＋1).答案限時(shí)集訓(xùn)(四十)直接證明與間接證明1．A2.A3.C4.C5.B6.D7．“?x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|則|f(x1)－f(x2)|≥eq\f(1,2)”8．(0,16]9.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))10．證明：∵eq\f(1,b)－eq\f(1,a)>1，a>0，∴0<b<1，要證eq\r(1＋a)>eq\f(1,\r(1－b))，只需證eq\r(1＋a)·eq\r(1－b)>1，只需證1＋a－b－ab>1，只需證a－b－ab>0，即eq\f(a－b,ab)>1，即eq\f(1,b)－eq\f(1,a)>1.這是已知條件，所以原不等式成立．11．解：(1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))解得d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)證明：由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數(shù)列，則beq\o\al(2,q)＝bpbr.即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))．∴(q2－pr)＋eq\r(2)(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N*，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q2－pr＝0，,2q－p－r＝0.))∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋r,2)))2＝pr，(p－r)2＝0.∴p＝r.與p≠r矛盾．∴數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列．12．解：(1)由已知得an＋1＝an＋1，則an＋1－an＝1，又a1＝1，所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．故an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知，an＝n，從而bn＋1－bn＝2n.bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝eq\f(1－2n