人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊PAGEPAGE1章末復(fù)習(xí)課〖知識系統(tǒng)整合〗〖規(guī)律方法收藏〗1．導(dǎo)數(shù)的概念，要注意結(jié)合實例理解概念的實質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程，要注意當(dāng)切線平行于y軸時，導(dǎo)數(shù)不存在，此時的切線方程為x＝x0.2．利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和四則運算法則求導(dǎo)數(shù)，熟記基本求導(dǎo)公式，熟練運用法則是關(guān)鍵，有時先化簡再求導(dǎo)，會給解題帶來方便．因此觀察式子的特點，對式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问莾?yōu)化解題過程的關(guān)鍵．3．對復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵在于選取合適的中間變量，弄清每一步求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)，不要混淆，最后要把中間變量換成自變量的函數(shù)．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(高考要求f(ax＋b)的形式的)，在學(xué)習(xí)的過程中不要無限制地拔高．4．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)注意的幾點(1)確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號，來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于0的點外，還要注意定義區(qū)間內(nèi)的不連續(xù)點或不可導(dǎo)點．(3)f′(x)>0是函數(shù)f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，因為當(dāng)f(x)在(a，b)上為增函數(shù)時，f′(x)≥0，如f(x)＝x3.由于f′(x)≥0時，f′(x)可能恒為0，則f(x)為常函數(shù)，所以由f′(x)≥0不能得到f(x)為增函數(shù)．因此，課本上關(guān)于單調(diào)性的結(jié)論在解題時要注意，它并非充要條件．5．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值應(yīng)注意的幾點(1)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點x0取得極值的充分必要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)，f′(x)的符號不同，f′(x0)＝0是x0為極值點的必要非充分條件．(2)極值點也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)f(x)＝|x|在極小值點x0＝0處不可導(dǎo)．(3)求一個可導(dǎo)函數(shù)的極值時，常常把使f′(x0)＝0的點x0附近的函數(shù)值的變化情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然．6．極值與最值的區(qū)別(1)函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題，是一個局部概念，而函數(shù)的最值是對整個定義區(qū)間而言，是在整體范圍內(nèi)討論問題，是一個整體性概念．(2)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值．(3)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有極值．7．導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究實際問題的最值的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型，因此要認(rèn)真審題，分析各個量的關(guān)系，列出函數(shù)式y(tǒng)＝f(x)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f(x)的最值，求函數(shù)f(x)的最值時，若f(x)在區(qū)間(a，b)上只有一個極值點，要根據(jù)實際意義判斷是最大值還是最小值，不必再與端點的函數(shù)值比較．8．可導(dǎo)函數(shù)的圖象的陡峭程度與|f′(x)|有關(guān)，即|f′(x0)|越大，圖象在x＝x0處的圖象越陡峭，否則越平緩．9．用導(dǎo)數(shù)解題的步驟(1)確定y＝f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)、化簡導(dǎo)函數(shù)、令f′(x)＝0得導(dǎo)函數(shù)的零點(特別地，當(dāng)f′(x)＝0無解或解是定義域區(qū)間的端點時，要么f′(x)≥0，要么f′(x)≤0)；(3)列表、計算、判斷(通常可先作出導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象再作出f(x)的圖象來判斷)．10．導(dǎo)數(shù)在解題的幾個應(yīng)用(1)求曲線的切線方程，步驟為設(shè)出切點坐標(biāo)，并用切點坐標(biāo)寫出切線的點斜式方程(過某點作曲線的切線不一定只有一條)；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求函數(shù)的極值、最值；(4)由含參數(shù)的不等式恒成立或有解求參數(shù)的范圍；(5)證明不等式；(6)作出復(fù)合函數(shù)圖象或聯(lián)合零點存在定理判斷函數(shù)零點的個數(shù)．〖學(xué)科思想培優(yōu)〗一、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)求曲線y＝f(x)過點P(x0，y0)的切線方程時，應(yīng)注意：(1)判斷點P(x0，y0)是否在曲線y＝f(x)上；(2)(ⅰ)若點P(x0，y0)為切點，則曲線y＝f(x)在點P處的切線的斜率為f′(x0)，切線的方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)；(ⅱ)若點P(x0，y0)不是切點，則設(shè)切點為Q(x1，y1)，則切線方程為y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切線過點P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，①又y1＝f(x1)，②由①②求出x1，y1的值．即求出了過點P(x0，y0)的切線方程．〖典例1〗設(shè)曲線C：y＝x3－3x和直線x＝a(a>0)的交點為P，過P點的曲線C的切線與x軸交于點Q(－a,0)，求a的值．〖規(guī)律方法〗要求a的值，需利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出過P點的曲線C的切線方程，求出該切線與x軸的交點，通過列方程求解．本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要注意條件a>0.二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間準(zhǔn)確求出導(dǎo)函數(shù)并在函數(shù)的定義域內(nèi)準(zhǔn)確的解不等式f′(x)>0或f′(x)<0是求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基礎(chǔ)，如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個，這些單調(diào)區(qū)間不能用“∪”“或”連接，而只能用逗號“，”或者“和”字隔開．〖典例2〗已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有極大值32.(1)求實數(shù)a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．〖規(guī)律方法〗利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是高考中最常見的考查方式，對函數(shù)性質(zhì)的研究涉及到方方面面，涉及方法思想較多，數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、逆向思維等等．三、求函數(shù)的極值與最值設(shè)f(x)是在閉區(qū)間〖a，b〗上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)，則求f(x)在閉區(qū)間〖a，b〗上最值的步驟如下：(1)求f′(x)＝0在區(qū)間(a，b)內(nèi)的根，即導(dǎo)數(shù)為0的點．導(dǎo)數(shù)為0的點是否是極值點，取決于這個點左、右兩邊的增減性，即兩邊的y′的符號，若左正右負(fù)，則該點為極大值點．若左負(fù)右正，則該點為極小值點．若符號相同，則為非極值點．求出這些導(dǎo)數(shù)為0的點的函數(shù)值；(2)求f(x)在閉區(qū)間〖a，b〗兩端點處的函數(shù)值，即f(a)與f(b)；(3)將導(dǎo)數(shù)為0的函數(shù)值與兩端點處的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大的一個即為最大值，最小的一個即為最小值．〖典例3〗已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx在x＝－1時取極小值，x＝eq\f(2,3)時取極大值．(1)求函數(shù)y＝f(x)在x＝－2時的對應(yīng)點的切線方程；(2)求函數(shù)y＝f(x)在〖－2,1〗上的最大值與最小值．〖規(guī)律方法〗一般地，對于“雙峰”函數(shù)(只有一個極大值和一個極小值的函數(shù))，當(dāng)函數(shù)f(x)的極大值小于零或函數(shù)f(x)的極小值大于零時，圖象與x軸僅有一個交點．四、恒成立問題〖典例4〗已知f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋5，當(dāng)x∈〖－1，2〗時，f(x)<m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．〖規(guī)律方法〗本題中要使m>f(x)恒成立，只要m大于f(x)的最大值即可，從而求出f(x)的最大值，問題就可得到解決，若將本題中“f(x)<m恒成立”改為“f(x)>m恒成立”，則只需求出f(x)的最小值即可．五、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式對于某些不等式的證明，常常通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)討論函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明．這種構(gòu)造轉(zhuǎn)換的過程與方法，體現(xiàn)了深刻的化歸思想．〖典例5〗已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－alnx(a∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：當(dāng)x>1時，eq\f(1,2)x2＋lnx<eq\f(2,3)x3.〖規(guī)律方法〗“構(gòu)造”是一種重要而靈活的思維方式，應(yīng)用好構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵是：一要有明確的方向，即為什么目的而構(gòu)造；二是要弄清條件的本質(zhì)特點，以便重新進(jìn)行邏輯組合．六、利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，求函數(shù)在區(qū)間〖a，b〗上的最大(小)值或利用求導(dǎo)法解決一些實際問題是函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)與延伸，這種解決問題的方法使復(fù)雜的問題簡單化，因而已逐漸成為高考的又一新熱點．利用導(dǎo)數(shù)求實際問題的最大(小)值時，應(yīng)注意的問題：(1)求實際問題的最大(小)值時，一定要從問題的實際意義去考察，不符合實際意義的值應(yīng)舍去；(2)在實際問題中，由f′(x)＝0常常僅解到一個根，若能判斷函數(shù)的最大(小)值在x的變化區(qū)間內(nèi)部得到，則這個根處的函數(shù)值就是所求的最大(小)值．〖典例6〗兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關(guān)，對城A和城B的總影響度為對城A與對城B的影響度之和，記C點到城A的距離為xkm，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y.統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k，當(dāng)垃圾處理廠建在弧的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065.(1)將y表示成x的函數(shù)；(2)討論(1)中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最?。咳舸嬖?，求出該點到城A的距離；若不存在，說明理由．〖規(guī)律方法〗在利用導(dǎo)數(shù)解決這類優(yōu)化問題時，其一般步驟是(1)設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗浚⒋_定未知量的取值范圍(即函數(shù)定義域)；(2)依題意將所求最值的量表示為未知量的函數(shù)；(3)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，得到導(dǎo)數(shù)為0的點；(4)通過單調(diào)性確定出函數(shù)的最值點以及最值．

▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁〖學(xué)科思想培優(yōu)〗一、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用〖典例1〗〖解〗依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x3－3x，,x＝a，))解得P(a，a3－3a)，y′＝3x2－3，所以過P點的曲線C的切線方程為y－(a3－3a)＝(3a2－3)(x－a)．令y＝0得切線與x軸的交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a3,3a2－3)，0))，則有eq\f(2a3,3a2－3)＝－a，解得a＝±eq\f(\r(15),5).由已知，知a>0，所以a的值為eq\f(\r(15),5).二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間〖典例2〗〖解〗(1)f(x)＝ax3－4ax2＋4ax，所以f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x－2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝eq\f(2,3)或x＝2.因為f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有極大值32，而當(dāng)x＝2時，f(2)＝0，所以當(dāng)x＝eq\f(2,3)時，f(x)有極大值32.即eq\f(2,3)aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－2))2＝32，解得a＝27，經(jīng)檢驗知符合題意，故a＝27.(2)由(1)得f′(x)＝27(3x－2)(x－2)，由f′(x)>0，得x>2或x<eq\f(2,3)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))和(2，＋∞)．由f′(x)<0，得eq\f(2,3)<x<2，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2)).三、求函數(shù)的極值與最值〖典例3〗〖解〗(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.因為x＝－1，x＝eq\f(2,3)分別是函數(shù)f(x)的極小值點、極大值點，所以－1，eq\f(2,3)為方程－3x2＋2ax＋b＝0的兩個根．所以eq\f(2,3)a＝－1＋eq\f(2,3)，－eq\f(b,3)＝(－1)×eq\f(2,3).于是a＝－eq\f(1,2)，b＝2，經(jīng)檢驗知符合題意，則f(x)＝－x3－eq\f(1,2)x2＋2x，f′(x)＝－3x2－x＋2，當(dāng)x＝－2時，f(－2)＝2，f′(－2)＝－8，故所求切線方程為y－2＝－8(x＋2)，即為8x＋y＋14＝0.(2)x在變化時，f′(x)及f(x)的變化情況如下表：x－2(－2，－1)－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))1f′(x)－0＋0－f(x)2↘－eq\f(3,2)↗eq\f(22,27)↘eq\f(1,2)則f(x)在〖－2,1〗上的最大值為2，最小值為－eq\f(3,2).四、恒成立問題〖典例4〗〖解〗因為f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋5，所以f′(x)＝3x2－x－2.令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(2,3).當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(2,3)))時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(1,2)時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)．所以當(dāng)x＝－eq\f(2,3)時，f(x)取得極大值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝5＋eq\f(22,27)；當(dāng)x＝1時，f(x)取得極小值f(1)＝eq\f(7,2).又f(－1)＝eq\f(11,2)，f(2)＝7，因此，f(x)在〖－1,2〗上的最大值為f(2)＝7.要使f(x)<m恒成立，須f(x)max<m，即m>7.所以所求實數(shù)m的取值范圍是(7，＋∞)．五、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式〖典例5〗〖解〗(1)f′(x)＝x－eq\f(a,x)＝eq\f(x2－a,x)，f(x)的定義域為(0，＋∞)，當(dāng)a≤0時，f′(x)>0恒成立，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)；當(dāng)a>0時，令f′(x)>0，又x∈(0，＋∞)，得x>eq\r(a)，令f′(x)<0，結(jié)合x∈(0，＋∞)，得0<x<eq\r(a)，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(eq\r(a)，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，eq\r(a))．(2)證明：設(shè)F(x)＝eq\f(2,3)x3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋lnx))，故F′(x)＝