人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)PAGEPAGE15.1.1變化率問題〖目標(biāo)導(dǎo)航〗課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀初步了解導(dǎo)數(shù)概念的背景，掌握平均變化率與瞬時(shí)變化率的概念及幾何意義.會(huì)求函數(shù)的平均變率與瞬時(shí)變化率.并能結(jié)合實(shí)際問題求曲線在某點(diǎn)處與某點(diǎn)附近點(diǎn)的切線與割線的斜率的極限值.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)求函數(shù)的平均變化率與瞬時(shí)變化率.〖知識(shí)精講〗1.函數(shù)的平均變化率函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率(1)定義式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2)實(shí)質(zhì)：的增量與的增量之比．(3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間〖x1，x2〗上變化的快慢．(4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數(shù)y＝f(x)的圖象上兩點(diǎn)，則平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示割線P1P2的．2.瞬時(shí)速度(1)物體在的速度稱為瞬時(shí)速度．(2)一般地，設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s＝s(t)，則物體在t0到t0＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt無限趨近于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)無限趨近于某個(gè)常數(shù)v，我們就說當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)的極限是v，這時(shí)v就是物體在時(shí)刻t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度，即瞬時(shí)速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).〖即學(xué)即練1〗一物體的運(yùn)動(dòng)方程是，則t在內(nèi)的平均速度為（）A．0.41 B．4.1 C．0.3 D．3〖即學(xué)即練2〗設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量由改變到時(shí)，函數(shù)的改變量是（）A． B．C． D．〖即學(xué)即練3〗若函數(shù)f(x)＝－x2＋10的圖象上一點(diǎn)及鄰近一點(diǎn)，則＝()A．3 B．－3C．－3－ D．－－3〖即學(xué)即練4〗已知函數(shù)的圖象上一點(diǎn)及鄰近點(diǎn)，則（）A．2 B． C． D．〖即學(xué)即練5〗如果函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為,則（）A． B． C． D．〖即學(xué)即練6〗物體運(yùn)動(dòng)時(shí)位移s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是s＝－4t2＋16t，此物體在某一時(shí)刻的速度為零，則相應(yīng)的時(shí)刻為()A．t＝1 B．t＝2 C．t＝3 D．t＝4〖即學(xué)即練7〗將物體以速度v0(v0＞0)豎直上拋，ts時(shí)的高度為s(t)＝v0t－gt2，求物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度．〖即學(xué)即練8〗一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系為s(t)＝t2＋1，該質(zhì)點(diǎn)在2到2＋Δt(Δt>0)之間的平均速度不大于5.求Δt的取值范圍．〖能力拓展〗考法01函數(shù)的平均變化率：1.求函數(shù)的平均變化率；2.平均變化率的幾何意義.〖典例1〗求函數(shù)y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均變化率，取Δx都為eq\f(1,3)，哪一點(diǎn)附近的平均變化率最大？〖典例2〗過曲線y＝f(x)＝x2－x上的兩點(diǎn)P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲線的割線，已知割線PQ的斜率為2，求Δx的值．考法02求瞬時(shí)速度〖典例3〗某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示.（1）求物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度．（2）試求物體的初速度．（3）試問物體在哪一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s.

▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁〖知識(shí)精講〗1.函數(shù)的平均變化率(2)函數(shù)值 自變量(4)斜率2.瞬時(shí)速度(1)某一時(shí)刻．〖即學(xué)即練1〗〖答案〗B〖解析〗，故選：B.〖即學(xué)即練2〗〖答案〗D〖解析〗自變量由改變到，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，.故選：D.〖即學(xué)即練3〗〖答案〗D〖解析〗，.故選：D.〖即學(xué)即練4〗〖答案〗A〖解析〗由題意得，所以，故選A．〖即學(xué)即練5〗〖答案〗C〖解析〗根據(jù)平均變化率的定義，可知.故選.〖即學(xué)即練6〗〖答案〗B〖解析〗Δs＝－4(t＋Δt)2＋16(t＋Δt)－(－4t2＋16t)＝16Δt－8t·Δt－4(Δt)2.所以當(dāng)Δt→0時(shí)，＝16－8t－4Δt→16－8t.又因?yàn)樵谀硶r(shí)刻的瞬時(shí)速度為零，所以16－8t＝0，解得t＝2,選B.〖即學(xué)即練7〗〖解〗因?yàn)棣＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，所以＝v0－gt0－gΔt，當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，趨近于常數(shù)v0－gt0.故物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為v0－gt0.〖即學(xué)即練8〗〖解〗質(zhì)點(diǎn)在2到2＋Δt之間的平均速度為又≤5，即4＋Δt≤5，∴Δt≤1.又Δt>0，∴Δt的取值范圍為(0,1〗．〖能力拓展〗考法01函數(shù)的平均變化率：1.求函數(shù)的平均變化率；2.平均變化率的幾何意義.〖典例1〗〖解〗在x＝1附近的平均變化率為k1＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1＋Δx2－1,Δx)＝2＋Δx；在x＝2附近的平均變化率為k2＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－22,Δx)＝4＋Δx；在x＝3附近的平均變化率為k3＝eq\f(f3＋Δx－f3,Δx)＝eq\f(3＋Δx2－32,Δx)＝6＋Δx.當(dāng)Δx＝eq\f(1,3)時(shí)，k1＝2＋eq\f(1,3)＝eq\f(7,3)，k2＝4＋eq\f(1,3)＝eq\f(13,3)，k3＝6＋eq\f(1,3)＝eq\f(19,3).由于k1<k2<k3，所以在x＝3附近的平均變化率最大．〖典例2〗〖解〗割線PQ的斜率即為函數(shù)f(x)從1到1＋Δx的平均變化率eq\f(Δy,Δx).∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，∴割線PQ的斜率k＝eq\f(Δy,Δx)＝1＋Δx.又∵割線PQ的斜率為2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.考法02求瞬時(shí)速度〖典例3〗〖解〗（1）∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)＝eq\f(1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1,Δt)＝3＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(3＋Δt)＝3.∴物體在t＝1處的瞬時(shí)變化率為3.即物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度為3m/s.（2）求物體的初速度，即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度．∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq\f(0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1,Δt)＝1＋Δt，∴eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(1＋Δt)＝1.∴物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)變化率為1，即物體的初速度為1m/s.（3）設(shè)物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s.又eq\f