1/1sars的預測控制模型SARS的預測控制模型摘要本問題是一個關于傳染病控制的數學預測模型。

首先，我們對附件1的模型進行了深入的分析，認為它具有一定的合理性，但是對于預測而言，實用性卻不強。

為了能夠達到準確預測的效果，我們建立了一個微分方程組的傳染病控制模型來描述SARS傳播的過程，此模型在研究了SARS傳播過程的基礎上，采用了差分計算的方法深入地分析了感染人數的變化規(guī)律，度量傳染病蔓延的程度并對制止其蔓延的手段進行了較深入的討論。

在模型中根據政府相關控制措施來確定日治愈率)(t，日接觸率)(t的值，預測了傳染病高潮的到來時刻。

此外，針對SARS對北京市接待海外旅游人數的影響，利用時間數列分析方法建立了預測模型，并且得到9-12月北京地區(qū)海外旅游人數分別為:19.6、24.5、26.7、22.6(萬人)。

一、問題的重述：

SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，嚴重急性呼吸道綜合癥,俗稱：

非典型肺炎）是21世紀第一個在世界范圍內傳播的傳染病。

SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，這其中有許多重要的經驗和教訓，特別應當認識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。

問題歸結為對SARS的傳播建立數學模型，其具體要求如下：

（1）對附件1所提供的一個早期的模型，評價其合理性和實用性。

（2）建立模型，并說明其優(yōu)于附件1中模型的原因；并說明建立一個真正能夠預測以及能為預防和控制需要提供哪些信息、將面臨哪些困難，并對衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論。

（3）根據所提供的SARS對北京旅游業(yè)影響的數據，建立相應的數學模型并進行預測。

（4）給當地報刊寫一篇通俗短文，說明建立傳染病數學模型的重要性。

二、對附件1的早期模型的評價：

1）附件1模型的參數說明：

0N：

初始時刻的病例數。

K：

平均每病人每天可傳染人數。

L：

平均每個病人在被發(fā)現前后可以造成直接傳染的期限。

t：

表示時間，以天數為單位。

2）附件1模型的基本假設：

(1)設病人在L期限后失去傳染作用，其原因可能是被嚴格隔離、病愈不再傳染或者死去等等；對于不同的疫區(qū)和疫情階段，在20天這個值。

(2)不考慮疫情出現失控或反復的狀態(tài)。

(3)將整個SARS疫情的過程分為初期、過渡期、穩(wěn)定期。

初期：

指從疫情開始到疫情的高峰期，此階段，整個社會的防范程度都比較低，K值相對高；過渡期：

指初期過后的10天，此時由于社會加強了宣傳力度，提高了人們的防范L的值在1525之間，為了簡單把L固定意識，使得K值逐步下降到很小。

穩(wěn)定期：

指疫情得到基本控制，3）附件1模型的建立：

K降低到一個很小的穩(wěn)定值，直到沒有病例。

假定初始時刻的病例數為0N，平均每病人每天可傳染K個人(K一般為小數)，平均每個病人可以直接感染他人的時間為L天。

則在L天之內，病例數目的增長隨時間t(單位天)的關系是：

tKNtN)1(0)(如果不考慮對傳染期的限制，則病例數將按照指數規(guī)律增長。

考慮傳染期L的作用后，變化將顯著偏離指數率，增長速度會放慢。

4）附件1模型的求解：

為了簡單起見，可以根據香港、廣東及北京的非典時期的數據來進行擬合，定出對應階段的K值。

從開始至到高峰期均采用同樣的K值（從擬合這一階段的數據定出），即假定這階段社會的防范程度都比較低，感染率比較高。

到達高峰期后，在10天的范圍內逐步調整K值到比較小，然后保持不變，擬合其后在控制階段的全部數據，即認為社會在經過短期的劇烈調整之后，進入一個對疫情控制較好的常態(tài)。

根據附件1模型的假設(1)(2)，采用半模擬循環(huán)計算的方法，把到達L天的病例從可以引發(fā)直接傳染的基數中去掉。

I對疫情發(fā)展的初期分成兩個階段來考慮：

（1）：

從開始到第L天在這一段時間之內，所有的病人都會有傳染給別的正常人的能力，所以，總的病例數可以近似的看成一個指數的增長，即)()1(0)(LtKNtNt（*）（2）：

第L天后到高峰期由于假設L天前的病人不再有傳染能力，根據半模擬循環(huán)方法在計算病例數增量的時候，則要把不會傳染的人數從總人數中分開。

那么當1Lt天時,因為第一天的病人失去了傳染力，所以得到)1(LN的病例總數為：

)0(N)1)](0()([)1(KNLNLN同理，可以這樣求出：

)1()1)](1()1([)2(NKNLNLN因為在高峰期前，由假設K值是一個定值，所以，用數學歸納法可以得到：

)1()1)](1()1([)(iNKiNiLNiLN（**）北京在3月1號發(fā)現了第一例患者，那么可以認為，對于北京來N（0）=1，且北京疫情的開始是3月1號。

將1)0(N代入（*），（**）式，用c語言對半模擬循環(huán)計算方法進行編程（源程序見附錄1），可以很容易的得到北京從疫情開始到高峰期的這59天里每天的患者總數（見下表）患者數（計算值）患者數（實際值）日期患者數（計算值）患者數（實際值）日期患者數（計算值）患者數（實際值）3.21--3.2215--4.11164--3.31--3.2317--4.12184--3.41--3.2419--4.13207--3.52--3.2522--4.14233--3.62--3.2627--4.15262--3.72--3.2728--4.16294--3.82--3.2831--4.17331--3.93--3.2935--4.18372--3.103--3.3040--4.19418--3.114--3.3145--4.204703393.124--4.150--4.215284823.135--4.257--4.225945883.145--4.364--4.236686933.156--4.472--4.247517743.167--4.581--4.258448773.178--4.691--4.269499883.189--4.7102--4.27106711143.1910--4.8115--4.28119911993.2012--4.9129--4.29134713473.2114--4.10146--從上表中可以看出，由該模型計算出的數值和實際的數值相差不大，將得到數值的誤差和實際數值相比，不會超過5%。

可見，這個模型還是有一定的合理性，比較正確的反映了在疫情發(fā)生的初期，患者總數和天數之間的關系。

5）附件1模型的不足：

1)附件1建立的早期模型實際上是個指數增長模型，雖然考慮到了傳染期的限制，但是這個模型的誤差隨著時間的推移將會增大。

所以，用這個模型去預測過渡期以及穩(wěn)定期的情況就會產生較大的誤差。

2)附件1的模型中由于將L表示的平均每個病人在被發(fā)現前后可以造成直接傳染的期限定在了20天這個固定的值，而沒有考慮到高峰期時政府為了有效控制該病的傳播而加大了宣傳的力度，可能會使得病人的有效傳播期減小。

3)附件1模型中對廣東和香港的數據擬合得到的K值只是適用于當地，如果用于北京的情況則表現出較大的誤差。

這就說明了由公布的SARS病人數據得到的相對固定的K值對其它地方下次預測沒有太大的實際作用。

三、對SARS問題建立新的模型1．問題的分析與假設社會、經濟、文化、風俗習慣等因素都會影響SARS的傳播及最終的結果,但是,最直接的因素是：

自由傳染者的數量及其在健康人群中的分布,被傳染者的數量,傳播形式及病毒本身的傳播能力等。

在建立模型時不可能也沒有必要考慮所有的因素,只能抓主要的因素進行合理的假設和建模。

由此,我們做如下的假設:1）國家衛(wèi)生部提供的全國疫情統(tǒng)計真實可靠。

2）將SARS所有可能的傳播途徑都視為與病源的直接接觸。

3）在疾病傳播期內所考察的地區(qū)的總人數N視為常數，不考慮人口的流動。

4）根據目前的醫(yī)學調查資料，SARS康復者尚未復發(fā)。

因此，我們可以假設一個SARS康復者再次感染SARS的概率為0，這些人勢必會注意個人衛(wèi)生遠離傳播源，所以他們既不是易感染者，也不是已感染者，可視為他們已經退出SARS傳染體系。

5）相對于傳統(tǒng)的傳染病，SARS的傳播時間不是很長，故假設不考慮這段時間內的人口出生率和自然死亡率，而對于由SARS引起的死亡人數,也將其視為退出者。

２．模型的參數說明：

)(tI：

第t天患病的人數。

)(tR：

第t天退出傳染系統(tǒng)的人數。

)(tS：

第t天易感染人群的人數，即健康者的人數。

)(R：

第t天死亡的人數。

)(R：

第t天治愈出院的人數。

)(ti：

第t天病人占該地區(qū)總人口的比例。

)(tr：

第t天退出傳染系統(tǒng)的人數占該地區(qū)總人口的比例。

)(ts：

第t天易感染人群的人數占該地區(qū)總人口的比例。

：

日接觸率，即每個病人在傳染期內每天有效接觸的平均人數。

：

日治愈率，即每天被治愈的病人數占病人總數的比例。

：

傳染期接觸數，每個病人在傳染期內有效接觸人數。

3．模型的建立：

3.1微分方程組模型：

由假設3)顯然有：

1t2tNtStRtI)()()(即：

1)()()(tstrti(1)設)(tI是連續(xù)、可微的函數，考察從t到tt病人人數的增加，就有：

)()()(/))()((tItstIttIttI當0t時，得到微分方程：

(I))0()0(I/000IIllsdtdl為記初始時刻的患病人數除以總人數N即為：

i0)0(iiisdtdi(2)對于病愈或死亡的退出者而言同理應有：

0)0()0(R/統(tǒng)的人數為記初始時刻退出傳染系ldtdR即為：

r0)0(r/idtdr(3)再記初始時刻的易感者人數是)0(00SS其比例是)0(00ss,那么可以將易感人群的函數)(tS表示成為：

S0)0(S/SidtdS除以總人數N即為：

0)0(sssidtds(4)3.2差分方程組的模型:由于微分方程組(1)(2)(3)(4)無法給出解析解,為了得到模型的數值解,特建立以下差分方程組：

tsttStS()1()1()(N()1t)1ItNtStstStRtItIRttRtIttsttItItI/)()())()()1()1(()1()()1()1()1()1()1()1()(其中)(t，)(t是關于t的函數。

四、模型的求解為了得到(5)式中的)(t與)(t的表達式，由附件(二)的數據得到)(t與日接觸率)(t與時間t的關系。

(5)(6)(7)(8)(9)從圖中可知，在第25天前，)(t基本為一條直線，由(6)經過擬合得258119.0487.810274.310442.510422.32400.0108)(223446ttttttt在第25天后，)(t也基本為一條直線，經過擬合得25002.02404412.007335.0004559.00.0009419-)(23tttttt解得以下一組解：

日期累計病例數（計算值）433累計病例數（實際值）482日期累計病例數（計算值）2470累計病例數（實際值）25124.215.234.225515885.24247425144.236786935.25247725174.248107745.26248125204.259418775.27248425214.2610669885.28248625224.27118211145.29249025224.28128911995.30249325224.29138413475.31249525224.30147214406.1249825225.1155415536.2250025225.2163116366.3250225235.3170517416.4250425225.4178118036.5250625225.5185818976.6250825225.6193819606.7250925235.7202220496.8251125235.8210821366.9251325225.9219521776.10251425225.10228022276.11251525225.11235722656.12251625215.12242023046132461237061424712388615244024056.16251925215.162443242061724482434618245224446.19252125215.19245524656.20252125215.20246024906.21252125215.21246224996.22252125215.22246725046.2325212521該組解與北京實際值的比較見圖(1)：

五、模型的評價該模型與附件1的模型相比，具有以下優(yōu)點：

1．預測性強，與可以根據當時的情況變化而變化，并且應用此模型可以有效預測以后的情況。

2．考慮了免疫人群SARS患者經治愈后，至今為止尚未發(fā)現一例復發(fā)的情況，因此可以將SARS患者以及由于患SARS而殘廢的人群視為免疫人群，從而保證了模型的準確性。

模型的不足：

1．未給出)(t，)(t與政府制定的相關政策的解析關系式；2．由于影響的因素多、收集信息困難、傳播途徑不明確，模型得出的計算值與實際值仍有一定偏差。

對衛(wèi)生部門采取的措施的評價：

由圖可知，在衛(wèi)生部門采取嚴格措施(4月20日)以后，累計病例仍有一個為期25天左右的上升過程，因此及時發(fā)現和采取嚴格隔離措施能夠有效地降低累計病例的峰值，經此模型計算，提前5天采取隔離措施將使峰值得到明顯的降低。

六、SARS對經濟的影響模型1．問題分析：

今年的SARS疫情雖然已經過去，但是不可否認的是SARS對我國的經濟有著不小的影響。

將今年北京市接待海外旅游人數與往年做一個比較，可以發(fā)現今年的海外旅游人數大大低于往年，所以可以從這些數據中大致了解到SARS對我國經濟的影響。

旅游每年人數的發(fā)展變化都是許多因素共同影響的結果。

而對旅游業(yè)一個長時間的統(tǒng)計來看，各時期指標數值受到多種因素的影響，其中有些屬于基本因素，它對于各個時期都起著普遍的、長期性的、決定性的作用，例如旅游業(yè)受季節(jié)影響的成份；有些屬于偶然因素，它只起局部的、臨時的、非決定性的作用，且作用的大小、方向不定，從而使時間數列出現短期的不規(guī)則的波動，如一些突發(fā)的自然災害和疾病的傳播等。

2．模型的建立及求解：

對于北京市接待海外旅游人數的附表進行統(tǒng)計分析，結合時間數列與預測分析的數學模型來分析SARS爆發(fā)對北京市接待海外旅游人數的影響。

由于一般情況下，時間數列包含長期趨勢、月份變動、循環(huán)變動和不規(guī)則變動，分別用T、S、C和I表示。

可以把時間數列設想為上述四種變動相乘的模型，即：

STY式中：

Y代表時間數列中的指標數值（觀察值）。

為了簡化模型，以各年同月份為考察對象，可以將時間數列中包含的循環(huán)變動和月份變動以及不規(guī)則變動的影響忽略不計，設其值均為1，僅考慮各年同月份的長期趨勢。

此外，統(tǒng)計表中的異常數據也可以予以剔除。

2.1用最小二乘法擬合長期趨勢分析從1997年到2002年的統(tǒng)計數據發(fā)現，各年同月間北京市接待的海外旅游人數直線趨勢總體成上升趨勢。

所以可以用直線趨勢方程來進行擬合。

直線趨勢方程的一般形式為：

ICbtaye式中：

ey時間數列中的長期趨勢值；t時間數列中的序時值；a常數，是0t時的ey的數值；b直線的斜率，表示t變動一個單位時，ey的變動量，也是常數。

用最小二乘法擬合直線方程，其待定參數a、b決定于標準方程組bt2tatytbnay式中：

y代表時間數列中的實際觀測值n代表時間數列中觀測值的項數。

上式中t、y、n都是已知數，解聯(lián)立方程可得a、b的計算公式：

2)(tty2)(t222ttnynbtntytyta在實際計算時，由于t只是序時值，可用,2,1,0等來代替。

我們將取作1997年。

根據上面的方法，分別求得每個月的長期趨勢方程為：

ty81.092.81tttttttttty26.401.92ty35.153.153y97.167.184y24.279.185y21.225.176y39.198.187y74.111.238y53.132.239y46.132.2410y84.194.1911y08.114.16123．模型的應用依據上面建立的數學模型，我們可以把時間2003年（此時t=6）代入先前建立的方程中，可計算出2003年2月之后的預測值與實際值之間的差值較大，特別是在五月份相差了近20倍。

在建立模型的時候，根據前幾年的統(tǒng)計數據與理論值之間誤差不大（例如下表一月份數據）。

年份實際值19979.419989.6199910.1200011.4200111.5200213.7從這個巨大差距上，可以看出SARS病毒作為旅游業(yè)的無規(guī)則變動因素對時間數列模型的觀察值有很大影響。

我們可以假設2003年12月份的海外旅游人數已經回到正常值，由先前的預測模型得到的方程可知，12月的預測值為22.6萬人，而八月份的預測值為33.6（萬）。

八月份后，隨著SARS疫情的遠去，人們的心態(tài)逐漸回到以前，那么可以認為，9、趨勢值8.929.7310.5411.3512.1612.9710、11、12月旅游人數逐漸正常，（即逐漸靠近正常預測值），不妨假設這四個月的實際旅游人數與正常預測值的差值d=4.3為一等差變換，由預測公式可以求出8、9、10、11、12月的正常預測旅游人數分別為33.6，32.5，33.1，31.0，22.6（萬人）。

可以得到8月份的理論實際差值為33.6-16.2=17.4（萬人）9、10、11月的實際旅游人數將分別比正常預測值要低12.9，8.6，4.3（萬人）所以9、10、11月經過SARS后預測旅游人數分別為：

19.6，24.5，26.7（萬人）。

七短文建立傳染病模型的重要性傳染病一直是人類健康的大敵,每年全世界都會有很多人死于各類傳染病.霍亂、天花甚至于現在很普通的流行性感冒,都曾奪走千千萬萬人的生命,給社會帶來了巨大的損失.隨著衛(wèi)生設施的改善，醫(yī)療水平的提高以及人類文明的不斷發(fā)展，這些曾經肆虐全球的傳染性疾病已經得到有效的控制.但是一些新的,不斷變異著的傳染病都悄悄向為類襲來.20世紀80年代十分惡的愛滋病毒開始在全球蔓延，今年來歷不明的SARS病毒突襲人間，所有的這些，都給人們的生命財產和社會的安定帶來了極大的危害。

在同傳染病斗爭的歲月里，人們逐漸的認識到，不僅要從醫(yī)學的角度著手去認識和了解傳染病，而且，為了更徹底的防范和控制傳染病，我們還應該建立有效的預報機制，這種機制就得要依靠合理而實用的數學模型，長期以來，建立數學模型來描述傳染病的傳染過程，分析受感染人數，變化規(guī)律，探索罅傳染病蔓延的方法等，一直是各國有關專家和官員關注的課題。

在當今社會，數學模型的概念已經日漸深入到了社會生活的各個領域，數學模型的應用已經變得越來越廣泛，在不同的領域里建立不同類型，不同方法，不同深淺程度的模型的余地相當大，馬克思就曾經說過一門科學只有成功地運用數學時，才算達到了完善的地步。

誠然數學模型對防治傳染病而言作用就更大了。

今年全世界流行的SARS病毒，不僅給社會帶來了巨大的損失，也給人們帶來了極大的恐慌，在政府的嚴格控制政策下，在全國人民的積極配合下，我們最終打贏了這場沒有硝煙的戰(zhàn)爭，但是當SARS再次來臨的時候，我們應該采取怎樣的措施呢？古人有云：

知己知彼，百戰(zhàn)不殆，一方面我們要盡快提高我國的醫(yī)療水平，另一方面我們更要對SARS疫情有個全面的了解，比如疫情大致分為幾個什么階段，各個階段有些什么特點，什么時候到達疫情的高峰期等等，要解決以上幾個問題，光從醫(yī)學上著手可能就無能為力了，這時就需要對傳染病的傳播的整個過程建立一個可靠的發(fā)展預測模型，以達到對整個疫情了解的目的。

可能有人會提出這樣的質疑，疫情已經過去了，你現在事后去建立數學模型又有什么意義？我們知道數學模型的作用主要在于預測，所以就要求建立的模型有實用性和合理性，這樣建立起來的數學模型就有很好的指導性了。

首先，數學模型的建立可以提前預計高峰期的來臨，以致于不造成人們過度的恐慌，維持較好的社會程序。

談SARS色變很大程度上是因為人們并不了解SARS疫情的規(guī)律，只是一味的因為SARS患者數目的增加而感到恐懼。

其實北京今年SARS的高峰期在4月29號到5月8號，在5月9號以后雖然每天患者人數增加得較多，但是卻已經進入了疫情控制的后期了，如果人們都能清楚的知道這一點，就不至于陷入如此大的恐慌。

。

其次，數學模型可以為政府提供較為精確的預報數據，方便政府制訂合適有效的防范措施，今年的SARS疫情最初發(fā)生廣東，由于當時人們對SARS的了解較少，對于SARS也沒有任何參考數據可言，所以廣東經過100天才達到疫情的高峰期，而從高峰期回落到1/10以下大約用了7080天，而香港、北京因為有了廣東的數據作為參考，整個疫情的時間只延續(xù)了廣東省一半左右，由此便可見數學模型的重要性了。

另外，建立可行的數學模型還可以將發(fā)生疫情后經濟損失降低到一個最低值，也為日后在最短時期內的經濟復蘇提供最優(yōu)的方案。

縱觀以上幾點，建立傳染病數學模型的作用就舉足輕重了，而且隨著科學技術的發(fā)展，數學模型在與傳染病的斗爭當中必將發(fā)揮更大更好的效果，給人們的帶來更大的福音。

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