第十三章函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)§1一致收斂性討論下列函數(shù)列或函數(shù)項級數(shù)在所示區(qū)間D上是否一致收斂，并說明理由：（1）（2）（3）-(n+1)x+1,0,(4),n=1,2,…(?)D=[0,,D=[0,1000](5)sin(?)D=[-l,+l],(??)D=(-)(6)=(-)(7)(?)D=(-)(??)[1/10,10]2.證明：設(shè)若對每一個自然數(shù)n有在D上一致收斂于f.3.設(shè)為定義在[a,b]上的函數(shù)列，且對每一個n,在點a右連續(xù)，但是發(fā)散的，證明在任何開區(qū)間（a,b+）(這里a+)內(nèi)都不一致連續(xù)。4．設(shè)函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂于S(x),函數(shù)g(x)在D上有界。證明級數(shù)g(x)S(x).5.判別下列函數(shù)項級數(shù)在所示區(qū)間上的一致連續(xù)性：（1）（2）（3）（4）6．若在區(qū)間I上，對任何自然數(shù)n,證明當在I上一致收斂時，級數(shù)在I上一致收斂。7．設(shè)，（n=1,2,…）是[a,b]上的單調(diào)函數(shù)，證明：與都絕對收斂，則級數(shù)在[a,b]上絕對并一致收斂。8．在[0,1]上定義函數(shù)數(shù)列 ,= n=1,2….. 0，證明：級數(shù)在[0，1]上一致收斂，但它不存在優(yōu)級數(shù)。9．討論下列函數(shù)列或函數(shù)項級數(shù)愛所示區(qū)間D上的收斂性：（1）（2）（3）（4）（5）（7）10．試構(gòu)造一個定義在（0，1）上的函數(shù)項級數(shù)，使得它在有理點上收斂，在無理點上發(fā)散。11．證明：級數(shù)在[0，1]上絕對并一致收斂，但由其各項絕對值組成的級數(shù)在[0，1]上卻不一致收斂。12．設(shè)f為定義在區(qū)間（a,b）內(nèi)的任一函數(shù)，記證明函數(shù)列在（a,b）內(nèi)一致收斂于f.13.設(shè)為[a,b]上正的遞減且收斂于0的函數(shù)列，每一個都是[a,b]上的單調(diào)函數(shù)，則級數(shù)在[a,b]上不僅收斂而且一致收斂。§2一致收斂函數(shù)列和函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)討論下列各函數(shù)列在所定義的區(qū)間上：（a）與的一致收斂性；（b）是否具有定理13.8，13.9，13.10的條件于結(jié)論。（1）（2）x-(3)nx2.證明：若函數(shù)列在[a,b]上滿足13.10的條件，則在[a,b]上一致連續(xù)。3定理13.11和13.13。4．設(shè)S(x)=5.設(shè)S(x)=6.設(shè)S(x)=7.證明：函數(shù)f(x)=在（上連續(xù)，且有連續(xù)的導函數(shù)。8．證明：定義在[0，2上的函數(shù)項級數(shù)滿足定理13.12條件，且9.討論下列函數(shù)列在所定義區(qū)間的一致收斂性及其極限函數(shù)的連續(xù)性，可積性和可微性：（1）x(2)(?)),(ii)10．證明函數(shù)在（1，+）內(nèi)連續(xù)，且有連續(xù)的各階導數(shù)。11．證明：若函數(shù)列在的某鄰域U（x0,）內(nèi)一致收斂于f,且=a,