高考復(fù)習(xí)材料

二次函數(shù)的應(yīng)用的核心知識(shí)點(diǎn)精講

復(fù)京露||

1.會(huì)利用二次函數(shù)的知識(shí)解決面積、利潤(rùn)等最值問題.

2.經(jīng)過面積、利潤(rùn)等最值問題的教學(xué)，學(xué)會(huì)分析問題，解決問題的方法，并總結(jié)和積累解題經(jīng)驗(yàn)。

考藐

考點(diǎn)1：用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題

利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決許多生活和生產(chǎn)實(shí)際中的最大和最小值的問題，它的一般方法是：

（1）列出二次函數(shù)的解析式，列解析式時(shí)，要根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍

（2）在自變量取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值或最小值

考點(diǎn)2：用二次函數(shù)圖象解決幾何問題

二次函數(shù)與幾何知識(shí)聯(lián)系密切，互相滲透，以點(diǎn)的坐標(biāo)和線段長(zhǎng)度的關(guān)系為紐帶，把二次函數(shù)常與全相似、

最大（小）面積、周長(zhǎng)等結(jié)合起來，解決這類問題時(shí)，先要對(duì)已知和未知條件進(jìn)行綜合分析，用點(diǎn)的等、坐標(biāo)

和線段長(zhǎng)度的聯(lián)系，從圖形中建立二次函數(shù)的模型，從而使問題得到解決.解這類問題的關(guān)鍵就是要善于利

用幾何圖形和二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達(dá)到解題目的

V典例期領(lǐng)

【題型1：用二次函數(shù)解決拋物線型問題】

【典例1】（2024?溫州）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8加的/處射門，球射向球門的路線呈拋物

線.當(dāng)球飛行的水平距離為6加時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面3加.已知球門高02為2.44加，現(xiàn)以。

為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）；

（2）對(duì)本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)

多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25m處？

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（2）當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)1米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25僅處.

【解答】解：（1）：8-6=2,

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,3）,

設(shè)拋物線為y=a（x-2）2+3,

把點(diǎn)/（8,0）代入得：36a+3=0,

解得。=-A,

12

...拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-A.（x-2）2+3；

當(dāng)x=0時(shí)，y—-_l_X4+3=—>2.44,

123

球不能射進(jìn)球門.

（2）設(shè)小明帶球向正后方移動(dòng)加米，則移動(dòng)后的拋物線為夕=-吉（x-2-%）2+3,

把點(diǎn)（0,2.25）代入得：2.25=-（O-2-w）2+3,

12

解得m=-5（舍去）或m=\,

???當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)1米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25相處.

工目口時(shí)梏泅

1.（2024?蘭州）一名運(yùn)動(dòng)員在10m高的跳臺(tái)進(jìn)行跳水，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線,

運(yùn)動(dòng)員離水面的高度y（m）與離起跳點(diǎn)/的水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，運(yùn)動(dòng)員離

起跳點(diǎn)A的水平距離為1m時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為3m時(shí)離水面的距離為

7m.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離的長(zhǎng).

L

、

押

后

狂

法

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，拋物線過（0,10）和（3,7）,對(duì)稱軸為直線x=l,

設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=a/+6x+c,

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'c=10

9a+3b+c=7

，a=-l

解得：，b=2，

tc=10

關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式為歹=-X2+2X+10；

(2)在尸-/+2x+10中，令尸。得0=-/+2x+10,

解得x=JTI+1或x=-J五+1(舍去)，

???運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離03的長(zhǎng)為(丁五+1)米.

2.(2024?河南)小林同學(xué)不僅是一名羽毛球運(yùn)動(dòng)愛好者，還喜歡運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)羽毛球比賽進(jìn)行技術(shù)分析,

下面是他對(duì)擊球線路的分析.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C在x軸上，球網(wǎng)N8與y軸的水平距離OA=3>m,CA=2m,擊球

點(diǎn)尸在y軸上.若選擇扣球，羽毛球的飛行高度y(m)與水平距離x(m)近似滿足一次函數(shù)關(guān)系了=-

0.4x+2.8；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度y(加)與水平距離x(加)近似滿足二次函數(shù)關(guān)系y=a(x-

1)2+3.2.

(1)求點(diǎn)尸的坐標(biāo)和a的值；

(2)小林分析發(fā)現(xiàn)，上面兩種擊球方式均能使球過網(wǎng).要使球的落地點(diǎn)到C點(diǎn)的距離更近，請(qǐng)通過計(jì)

(2)選擇吊球方式，球的落地點(diǎn)到C點(diǎn)的距離更近.

【解答】解：(1)在y=-0.4x+2.8中，令x=0得>=2.8,

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,2.8)；

把尸(0,2.8)代入y=a(x-1)?+3.2得：。+3.2=2.8,

解得：a--0.4,

?'?a的值是-0.4；

(2)'：OA=3m,CA=2m,

：.OC=5m,

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：.C(5,0),

在y=-0.4x+2.8中，令y=0得x=7,

在y=-0.4(x-1)2+3.2中，令y=0得工=-2弧+1(舍去)或彳=2&+1心3.82,

V|7-5|>|3.82-5|,

.?.選擇吊球方式，球的落地點(diǎn)到C點(diǎn)的距離更近.

3.(2024?陜西)某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線型拱門，并要求所設(shè)計(jì)的拱門的跨度與拱高

之積為48加2,還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計(jì)部門按要求給出了兩個(gè)設(shè)計(jì)方案.現(xiàn)把這

兩個(gè)方案中的拱門圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：

方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12”,拱高產(chǎn)E=4m.其中，點(diǎn)N在x軸上，PE±ON,OE=EN.

方案二，拋物線型拱門的跨度ON'=8加，拱高PE=6m.其中，點(diǎn)N'在x軸上，P'E'10'N',

OE'=E'N'.

要在拱門中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好(框架的粗細(xì)忽略不計(jì)).方案一中，矩形框架ABCD

的面積記為點(diǎn)/、。在拋物線上，邊8c在ON上；方案二中，矩形框架48C'。的面積記為$2,

點(diǎn)4,O在拋物線上，邊笈。在ON上.現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)4笈=3加時(shí)，

2;

S2=12^m請(qǐng)你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問題：

(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在方案一中，當(dāng)48=3相時(shí)，求矩形框架的面積&并比較Si，$2的大小.

【答案】(1)方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式為夕=-上^+芻；

93

(2)&=18加2；SX>S2.

【解答】解：(1)由題意知，方案一中拋物線的頂點(diǎn)P(6,4),

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=aG-6)2+4,

把。(0,0)代入得：0=。(0-6)2+4,

解得：a=-―,

9

-—(x-6)2+4=-Ar2+Ar；

993

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...方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式為>=-lx2+Ar；

9O

（2）在^=--x2+—x中，令y=3得：3=-^-x2+—x；

9393

解得x=3或x=9,

：.BC=9~3=6(m),

：.Si=AB^C=3X6=lS(加2)；

V18>12V2，

：.Si>S2.

A

工典例第箍

【題型2：用二次函數(shù)解決最優(yōu)化問題】

【典例2】（2024?丹東）某品牌大米遠(yuǎn)近聞名，深受廣大消費(fèi)者喜愛，某超市每天購(gòu)進(jìn)一批成本價(jià)為每千克

4元的該大米，以不低于成本價(jià)且不超過每千克7元的價(jià)格銷售.當(dāng)每千克售價(jià)為5元時(shí)，每天售出大

米950奴；當(dāng)每千克售價(jià)為6元時(shí)，每天售出大米900彷，通過分析銷售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：每天銷售大米的數(shù)量

y（kg）與每千克售價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系.

（1）請(qǐng)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）超市將該大米每千克售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售該大米的利潤(rùn)可達(dá)到1800元？

（3）當(dāng)每千克售價(jià)定為多少元時(shí)，每天獲利最大？最大利潤(rùn)為多少？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）根據(jù)題意設(shè)

當(dāng)每千克售價(jià)為5元時(shí)，每天售出大米950幅；

當(dāng)每千克售價(jià)為6元時(shí)，每天售出大米900恒，

則［5k+b=950,

l6k+b=900

解得：。=-50,

lb=1200

則y與x的函數(shù)關(guān)系式；y=-50x+1200（44W7）,

（2）...定價(jià)為x元，每千克利潤(rùn)（x-4）元，

由（1）知銷售量為y=-50x+1200（4WxW7）,

則（x-4）（-50x+1200）=1800,

解得：=22（舍去），尤2=6,

超市將該大米每千克售價(jià)定為6元時(shí)，每天銷售該大米的利潤(rùn)可達(dá)到1800元;

（3）設(shè)利潤(rùn)為沙元，

根據(jù)題意可得：W=（x-4）（-50x+1200）,

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即W=-50X2+1400X-4800=-50(x-14)2+5000,

"：a=-50<0,對(duì)稱軸為x=14,

...當(dāng)x<14時(shí)，少隨x的增大而增大，

又：4WxW7,

；.x=7時(shí)，平最大值=-50（7-14）2+5000=2550（元），

.?.當(dāng)每千克售價(jià)定為7元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)為2550元.

60時(shí)檢測(cè)

1.（2024?綿陽）隨著國(guó)家鄉(xiāng)村振興政策的推進(jìn)，鳳凰村農(nóng)副產(chǎn)品越來越豐富.為增加該村村民收入，計(jì)劃

定價(jià)銷售某土特產(chǎn)，他們把該土特產(chǎn)（每袋成本10元）進(jìn)行4天試銷售，日銷量/（袋）和每袋售價(jià)x

（元）記錄如下：

時(shí)間第一天第二天第三天第四天

x/兀15202530

w袋25201510

若試銷售和正常銷售期間，日銷量y與每袋售價(jià)x的一次函數(shù)關(guān)系相同，解決下列問題：

（1）求日銷量y關(guān)于每袋售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）請(qǐng)你幫村民設(shè)計(jì)，每袋售價(jià)定為多少元，才能使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤(rùn)最大？并求出最大利

潤(rùn).（利潤(rùn)=銷售額-成本）

【答案】（1）y=~x+40；

（2）每袋的銷售價(jià)應(yīng)定為25元，每日銷售的最大利潤(rùn)是225元.

【解答】解：（1）依題意，根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，設(shè)日銷售量y（袋）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式為了=

kx+b,

得［25=15k+b

l20=20k+b，

解得［k=T,

lb=40

故日銷售量》（袋）與銷售價(jià)X（元）的函數(shù)關(guān)系式為：y=-X+40；

（2）依題意，設(shè)利潤(rùn)為w元，

得尸（x-10）（-x+40）=-X2+50X-400,

配方，得卬=-(x-25)2+225,

V-1<0

.?.當(dāng)x=25時(shí)，W取得最大值，最大值為225,

故要使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤(rùn)最大，每袋的銷售價(jià)應(yīng)定為25元，每日銷售的最大利潤(rùn)是225元.

2.（2024?荷澤）某學(xué)校為美化學(xué)校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個(gè)一面靠墻（墻足夠長(zhǎng)）的矩

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形花園，用一道籬笆把花園分為/,3兩塊(如圖所示)，花園里種滿牡丹和芍藥.學(xué)校已定購(gòu)籬笆120

米.

(1)設(shè)計(jì)一個(gè)使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；

(2)在花園面積最大的條件下，A,2兩塊內(nèi)分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，已知牡丹每株

售價(jià)25元，芍藥每株售價(jià)15元，學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買費(fèi)用不超過5萬元，求最多可以購(gòu)買多少株牡丹？

/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/

AB

【答案】(1)垂直于墻的邊為20米，平行于墻的邊為60米，花園面積最大為1200平方米；

(2)最多可以購(gòu)買1400株牡丹.

【解答】解：(1)設(shè)垂直于墻的邊為x米，圍成的矩形面積為S平方米，則平行于墻的邊為(120-3%)

米，

根據(jù)題意得：S=x(120-3x)=-3X2+120X=-3(x-20)2+1200,

：-3<0,

...當(dāng)x=20時(shí)，S取最大值1200,

/.120-3x=120-3X20=60,

.?.垂直于墻的邊為20米，平行于墻的邊為60米，花園面積最大為1200平方米；

(2)設(shè)購(gòu)買牡丹機(jī)株，則購(gòu)買芍藥1200X2-加=(2400-加)株，

???學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買費(fèi)用不超過5萬元，

.,.25加+15(2400-m)W50000,

解得"zW1400,

最多可以購(gòu)買1400株牡丹.

3.(2024?黃石)某工廠計(jì)劃從現(xiàn)在開始，在每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型號(hào)設(shè)備，該設(shè)備的生產(chǎn)成本

為10萬元/件.設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期設(shè)備的售價(jià)為z萬元/件，售價(jià)z與龍之間的函數(shù)解析式是z=

<15,°<x<12,其中x是正整數(shù).當(dāng)工=16時(shí)，z=14；當(dāng)x=20時(shí)，z=13.

mx+n,12<x<20

(1)求加，n的值；

(2)設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售完設(shè)備的數(shù)量為y件，且y與x滿足關(guān)系式y(tǒng)=5x+20.

①當(dāng)12cxW20時(shí)，工廠第幾個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤(rùn)最大？最大的利潤(rùn)是多少萬元？

②當(dāng)0<xW20時(shí)，若有且只有3個(gè)生產(chǎn)周期的利潤(rùn)不小于。萬元，求實(shí)數(shù)0的取值范圍.

【答案】(1)m=-?7=18；

4

(2)①工廠第14個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤(rùn)最大，最大的利潤(rùn)是405萬元；

②a的取值范圍400<aW403.75.

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【解答】解：(1)把x=16時(shí)，z=14；x=20時(shí)，z=13代入歹=加工+〃得：

(16m+n=14

[20m+n=13

解得m=-—,〃=18；

4

(2)①設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤(rùn)為攸萬元，

由(1)知，當(dāng)12VxW20時(shí)，z=-_lx+18,

4

(z-10)y=(-Xx+18-10)(5x+20)=(-Ax+8)(5x+20)=-^-x2+35x+160=-(x-14)

4444

2+405,

；-5<0,12cxW20,

4

.?.當(dāng)x=14時(shí)，w取得最大值，最大值為405,

工廠第14個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤(rùn)最大，最大的利潤(rùn)是405萬元;

②當(dāng)0cxW12時(shí)，z=15,

；.w=(15-10)(5x+20=25x+100,

’25x+100(0<x<12)

(x-14)2+405(12<x<20),

由圖象可知，若有且只有3個(gè)生產(chǎn)周期的利潤(rùn)不小于a萬元,

.?.當(dāng)x=13,15時(shí)w=403.75,

當(dāng)x=12,16時(shí)，w=400,

：.a的取值范圍400<aW403.75.

FJMM

【題型3：二次函數(shù)的綜合應(yīng)用】

【典例3】(2024?煙臺(tái))如圖，拋物線>="2+加+5與x軸交于/,2兩點(diǎn)，與了軸交于點(diǎn)C,48=4.拋物

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線的對(duì)稱軸x=3與經(jīng)過點(diǎn)/的直線y=fcc-1交于點(diǎn)。，與x軸交于點(diǎn)￡.

(1)求直線4D及拋物線的表達(dá)式；

(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)使得△4DM是以40為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)M

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)以點(diǎn)8為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)尸為08上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出PC+LP/的最小值.

2

備用圖

【答案】(1)直線/。的解析式為y=x-1；拋物線解析式為y=x2-6x+5；

(2)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,-3)或(0,5)或(5,0)；

⑶V41.

【解答】(1)解：??,拋物線的對(duì)稱軸x=3,AB=4,

：.A(1,0),B(5,0),

將/(1,0)代入直線》=履-1,得左-1=0,

解得k=1,

/.直線AD的解析式為y=x-1；

將N(1,0),B(5,0)代入'=0?+樂+5,得

(a+b+5=0，解得(a=l,

125a+5b+5=0lb=_6

，拋物線的解析式為夕=x2-6x+5；

(2)存在點(diǎn)M,

,/直線AD的解析式為y=x-1,拋物線對(duì)稱軸x=3與無軸交于點(diǎn)E,

當(dāng)x=3時(shí)，y=x-1=2,

：.D(3,2),

①當(dāng)NZX4M=90。時(shí)，

設(shè)直線的解析式為y=-x+c,將點(diǎn)/坐標(biāo)代入，

得-1+。=0,

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解得c=l,

直線AM的解析式為y=-x+1,

解方程組,得（x=l或卜=4,

Ly=x-6x+5ly=Oly=-3

，點(diǎn)Af的坐標(biāo)為（4,-3）；

②當(dāng)N/OM=90°時(shí)，

設(shè)直線0M的解析式為y=-x+d,將。（3,2）代入，

得-3+d=2,

解得d=5,

???直線DM的解析式為y=-x+5,

解方程組,解得（x=0或卜=5,

Ly=x-6x+5ly=5ly=0

.?.點(diǎn)”的坐標(biāo)為（0,5）或（5,0）,

綜上，點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（4,-3）或（0,5）或（5,0）；

（3）如圖，在N8上取點(diǎn)R使8尸=1,連接CR

yk

"：PB=2,

,?BF-1,

PB2

.??PB=2=1,

AB42

???BFZ2---PB，

PBAB

又,:ZPBF=ZABP,

：.△PBFsAABP,

.?.更QL。，即尸尸二。4,

PAPB22

...PC+ljiA=PC+PF>CF,

2

高考復(fù)習(xí)材料

當(dāng)點(diǎn)C、P、尸三點(diǎn)共線時(shí)，尸。+工尸工的值最小，即為線段CF的長(zhǎng),

2

VOC=5,OF=OB-1=5-1=4,

C7?=VOC2-K)F2=VS2+42，

：.PC+^A的最小值為yr

1.(2024?攀枝花)如圖，拋物線y=ax2+6x+c(aWO)經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且頂點(diǎn)為N(2,-4).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)設(shè)拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)為2,點(diǎn)尸位于拋物線上且在x軸下方，連接04、PB,若NN02+

/PBO=90°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(2)P(X-1).

24

【解答】解：⑴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-2)2-4,

將O(0,0)代入得：4a-4=0,

解得a=lj

??.歹=(x-2)2-4=x2-4x；

(2)過/作軸于T,過尸作尸K_Lx軸于K,如圖:

在y=N-4x中，令y=0得x=0或x=4,

：.B(4,0)；

VZAOB+ZAOT=90°,ZAOB+ZPBO=90°,

：.ZAOT=/PBO,

高考復(fù)習(xí)材料

VZATO=90°=ZPKB,

：./\AOT^/\PBK,

?AT=OT；

"PKEK'

'：A(2,-4),

2―4,

-m2+4m4-m

解得加機(jī)=4（此時(shí)尸與8重合，舍去）,

2

：.P(X-工).

24

2.（2024?自貢）如圖，拋物線＞=-生^+公+4與x軸交于/（-3,0）,2兩點(diǎn)，與了軸交于點(diǎn)C.

3

（1）求拋物線解析式及瓦C兩點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）以/,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)。坐標(biāo);

（3）該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)E,使得//CE=45°,若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說

【答案】（1）拋物線的解析式為y=-9Y2-g_x+4,點(diǎn)c的坐標(biāo)為（0,4）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（1,0）.

33

（2）點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-4,4）或（-2,-4）或（4,4）,

(3)E的坐標(biāo)為(-1,ZL).

7

【解答】解：（1）把點(diǎn)/的坐標(biāo)代入解析式得6=3,

3

...拋物線的解析式為了=-A?-&X+4,

33

高考復(fù)習(xí)材料

:.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,4）,點(diǎn)2的坐標(biāo)為（1,0）.

（2）以4,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分三種情況:

①若NC為對(duì)角線，設(shè)NC的中點(diǎn)為R則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得尸的坐標(biāo)為（-3,2）,

2

f1+a3

------——---

22

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（a,b）,則有1,

地_9

解得4=-4,6=4,此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-4,4）,

②若以N8為對(duì)角線，設(shè)N8的中點(diǎn)為尸，則尸的坐標(biāo)為（-1,0）,

（0+a_,

丁=7

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（。，6）,則有1,

等=。

解得4=-2,b=-4,此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-2,-4）,

③若以5c為對(duì)角線，設(shè)8c的中點(diǎn)為尸，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（/，2）,

~3+a1

-2~下

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（。，b）,則有《，

Ojk_9

解得。=4,b=4,此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,4）,

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4,4）或（-2,-4）或（4,4）；

（3）存在，理由如下:

tan//CO=迫=Ji<1,

CO4

ZACO<45°,

不可能出現(xiàn)在直線NC下方，也不可能在直線/C上，

當(dāng)點(diǎn)￡在直線NC上方時(shí)，ZACE=45°,過點(diǎn)E作瓦0L/C,如圖:

高考復(fù)習(xí)材料

根據(jù)點(diǎn)/(-3,0)和點(diǎn)C(0,4)可得直線NC的解析式為>=生乂+4,設(shè)直線/C與對(duì)稱軸交于點(diǎn)

3

.,.點(diǎn)〃(-1,A),HC=L,

33

軸，

/.ZEHM=ZHCO,

.*.tanNEHM=tanZHCO=9=A=趴，

CO4HM

4

VZACE=45°,

：.EM=CM,

：.HC=HM+CM,即3小幺

34

解得〃收=型，

21

7

在RtZkEM/中，^=VEM2+HM2;

解得￡77=空，

21

：.E的縱坐標(biāo)為&僖=21，

3217

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-1,27).

7

3.(2024?阜新)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-N+bx-°的圖象與％軸交于點(diǎn)％(-3,0)

高考復(fù)習(xí)材料

和點(diǎn)8(1,0),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)如圖1,二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與直線NC：y=x+3交于點(diǎn)D,若點(diǎn)M是直線/C上方拋物線上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△MCD面積的最大值.

(3)如圖2,點(diǎn)尸是直線/C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線/與2C平行，則在直線/上是否存在點(diǎn)

使點(diǎn)8與點(diǎn)尸關(guān)于直線C。對(duì)稱？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴y=-x2-2x+3；

(2)旦；

8

(3)Q(1-遙，-遙)或(1+遙，炳).

【解答】解：(1)由題意得，

y—-(x+3)(x_1)=-/-2x+3；

(2)如圖1,

作般_L/C于0,作a于尸，交4c于E,

'：OA=OC=3,ZAOC=90°,

：.ZCAO=ZACO=45°,

ZMEQ=ZAEF=90°-ZCAO=45°,

拋物線的對(duì)稱軸是直線：x=WL=_i，

2

?3~-1+3=2,

高考復(fù)習(xí)材料

：.D(1,2),

VC(0,3),

：.CD=42>

故只需△肱7￡>的邊CD上的高最大時(shí)，叢MCD的面積最大,

設(shè)過點(diǎn)M與NC平行的直線的解析式為：y=x+m,

當(dāng)直線y=x+加與拋物線相切時(shí)，△MCD的面積最大，

由x+m=-無2-2x+3得，

X2+3X+(m-3)=0,

由A=0得，

32-4(m-3)=0得，

m-3=—,

4

.'.x2+3x+—=0,

4

?.?％1—_X2—_—^3―，

2

.\v=-(_3)2_2X(/_)+3=里

212}4

y=x+3=-=

’22

;.胸=型力"，

424

：.MQ=ME'sinZMEQ=ME-sin45a=上乂^2上區(qū)

428

S&MCD最大=、■XV2X￡■；

288

圖2

當(dāng)點(diǎn)P在線段NC上時(shí)，連接AP,交C。于夫,

丁點(diǎn)2和點(diǎn)0關(guān)于C0對(duì)稱，

：.CP=CB,

高考復(fù)習(xí)材料

設(shè)P5什3）,

由CP2=CB2得,

2於=10,

**-t\=-^2=V5（舍去），

:.P（-V5，3-遙），

'JPQ//BC,

.CRBR」

：.CR=QR,

四邊形BCPQ是平行四邊形，

1+（-y/s）-0=1-yfs，0+（3-y/s）-3—-A/5，

--Q（1-依，-粕）；

如圖3,

圖3

當(dāng)點(diǎn)尸在/C的延長(zhǎng)線上時(shí)，由上可知：尸（返，3+灰），

同理可得：Q（1+V3，A/5）,

綜上所述：0（1-V5>-Vs）或（1+。^,

4.（2024?浙江）在二次函數(shù)>=/-2女+3（f>0）中.

（1）若它的圖象過點(diǎn)（2,1）,貝卜的值為多少？

（2）當(dāng)04W3時(shí)，y的最小值為-2,求出/的值；

（3）如果/（加-2,a）,B（4,b）,C（m,a）都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且a<b<3.求機(jī)的取值

范圍.

【答案】（1）-3；

2

（2）f的值為遙；

（3）3<加<4或加>6.

【解答】解：⑴將（2,1）代入產(chǎn)N-2及+3得：

高考復(fù)習(xí)材料

1=4-4什3,

解得：-3；

2

(2)拋物線歹=/-2a+3對(duì)稱軸為x=t.

若0V/W3,當(dāng)x="寸函數(shù)取最小值，

:,住-2P+3=r2,

解得/=

若方>3,當(dāng)x=3時(shí)函數(shù)取最小值，

???9-6什3=-2,

解得t上(不符合題意，舍去)；

13

綜上所述，f的值為遙；

(3)'：A(m-2,a),C(m,a)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，

???二次函數(shù)y=N-2及+3的對(duì)稱軸直線％=￡即為直線工=出@%=加-1,

2

??t~~YYl-1,

,》0,

.9?m-1>0,

解得m>L

Vm-2〈冽,

???4在對(duì)稱軸左側(cè)，。在對(duì)稱軸右側(cè)，

在y=/-2tx+3中，令x=0得y=3,

???拋物線y=4-2枕+3與。軸交點(diǎn)為(0,3),

/.(0,3)關(guān)于對(duì)稱軸直線工=加-1的對(duì)稱點(diǎn)為(2m-2,3),

?"V3,

/.4<2m-2,

解得m>3；

①當(dāng)4(m-2,a),B(4,b)都在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，

9?y隨x的增大而減小，且a<b,

.".4<zw-2,

解得冽>6,

此時(shí)m滿足的條件為m>6；

②當(dāng)/-2,a)在對(duì)稱軸左側(cè)，B(4,b)在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，

?:a〈b,

：.B(4,b)到對(duì)稱軸直線工=m-1距離大于4(m-2,a)到對(duì)稱軸直線工=切-1的距離,

高考復(fù)習(xí)材料

.*.4-（m-1）>m-1-（m-2）,

解得：m<4,

此時(shí)m滿足的條件是3<m<4,

綜上所述，3〈加V4或冽>6.

好嬴

￡基礎(chǔ)過關(guān)

選擇題（共7小題）

1.在2024年中考體育考試前，小康對(duì)自己某次實(shí)心球的訓(xùn)練錄像進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)心球飛行路線是一

條拋物線，若不考慮空氣阻力，實(shí)心球的飛行高度夕（單位：米）與飛行的水平距離x（單位：米）之間

具有函數(shù)關(guān)系y=--2+旦共3,則小康這次實(shí)心球訓(xùn)練的成績(jī)?yōu)椋ǎ?/p>

【答案】B

【解答】解：當(dāng)y=0時(shí)，貝｝上_d+3+3=0,

1682

解得x=-2（舍去）或x=12.

故選：B.

2.物理課上我們學(xué)習(xí)了豎直上拋運(yùn)動(dòng)，若從地面豎直向上拋一小球，小球的高度〃（單位：m）與小球運(yùn)

動(dòng)時(shí)間f（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論：

①小球在空中經(jīng)過的路程是40m

②小球拋出3s后，速度越來越快

③小球拋出3s時(shí)速度為0

④小球的高度〃=30加時(shí)，f=1.5s

其中正確的是（）

高考復(fù)習(xí)材料

A.①②③B.①②C.②③④D.②③

【答案】D

【解答】解：①由圖象知小球在空中達(dá)到的最大高度是40加；故①錯(cuò)誤；

②小球拋出3秒后，速度越來越快；故②正確；

③小球拋出3秒時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)即速度為0；故③正確；

④設(shè)函數(shù)解析式為：h=a(f-3)2+40,

把。(0,0)代入得0=a(0-3)2+40,解得樸一^，

@9

2

/.函數(shù)解析式為h=—典(t-3)+40，

9

把〃=30代入解析式得，30=-理■(t-3)2+40，

9

解得：，=4.5或f=1.5,

...小球的高度〃=30加時(shí)，f=1.5s或4.5s,故④錯(cuò)誤；

故選D

3.某超市銷售某款商品每天的銷售利潤(rùn)y(元)與單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式為＞=-/+iox+i25,則

銷售這款商品每天的最大利潤(rùn)為()

A.125元B.150元C.175元D.200元

【答案】B

【解答】解：-/+iox+125=-(x-5)2+150,且開口向下，

...當(dāng)x=5時(shí)，y有最大值，最大值＞=150,

銷售這款商品每天的最大利潤(rùn)為150元.

故選：B.

4.向空中發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)過x秒后的高度為y米，且時(shí)間與高度y的關(guān)系式為y=a/+6x+c(aNO),若

此炮彈在第6秒與第14秒時(shí)的高度相等，則下列時(shí)間中炮彈所在高度最高的是()

A.第8秒B.第9秒C.第10秒D.第11秒

【答案】C

【解答】解：：此炮彈在第6與第14秒時(shí)的高度相等，

.?.拋物線的對(duì)稱軸是直線》=也支=10,

2

炮彈所在高度最高是10秒，

故選：C.

5.某水果銷售商有100千克蘋果，當(dāng)蘋果單價(jià)為15元/千克時(shí)，能全部銷售完，市場(chǎng)調(diào)查表明蘋果單價(jià)每

提高1元，銷售量減少6千克，若蘋果單價(jià)提高x元，則蘋果銷售額y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為()

A.y=x(100-x)B.y=x(100-6x)

C.y=(100-x)(15+x)D.y=(100-6x)(15+x)

高考復(fù)習(xí)材料

【答案】D

【解答】解：根據(jù)題意得，y=（100-6x）（15+x）,

故選：D.

6.飛機(jī)著陸后滑行的距離s（單位：加）與滑行的時(shí)間，（單位：s）的函數(shù)解析式是s=-1.5P+603那么

飛機(jī)著陸后滑行多長(zhǎng)時(shí)間才能停下來（）

A.10sB.20sC.30sD.40s

【答案】B

【解答】解：-1.5<0,

.?.函數(shù)有最大值，

當(dāng)t=-2=---------K------=20（秒），

2a2X（1.5）

即飛機(jī)著陸后滑行20秒能停下來，

故選：B.

7.如圖，小明在某次投籃中，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線y=-02x2+3.5的一部分，若命中籃圈中心，則他與

籃圈底的距離/是（）

【答案】C

【解答】解：如圖,

把C點(diǎn)縱坐標(biāo)y=3.05代入y=0.2x2+3.5中得:

x=±1.5（舍去負(fù)值），

高考復(fù)習(xí)材料

即02=1.5,

所以/=48=2.5+1.5=4.

故選：C.

填空題(共3小題)

8.如圖所示，要建一個(gè)長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng)，養(yǎng)雞場(chǎng)的一邊靠墻，如果用60加長(zhǎng)的籬笆圍成中間有一道籬笆的

養(yǎng)雞場(chǎng)，設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為xw,當(dāng)x=30加時(shí),養(yǎng)雞場(chǎng)的面積最大.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：

設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為X”，則寬為處工打，設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的面積為S,

3

根據(jù)題意可得S=x(60-x.)=_AX2+20X=-—(x-30)2+300,

333

-A<o,

3

拋物線開口向下，

...當(dāng)x=30時(shí)，S有最大值，

即當(dāng)尤=30加時(shí)，養(yǎng)雞場(chǎng)的面積最大，

故答案為：30.

9.東方商廈將進(jìn)貨單價(jià)為70元的某種商品按零售價(jià)100元一個(gè)售出時(shí)，每天能賣出20個(gè)，若這種商品的

零售價(jià)在一定范圍內(nèi)每降價(jià)1元，其日銷量就增加1個(gè)，為了獲取最大利潤(rùn)，則應(yīng)降價(jià)5元.

【答案】5.

【解答】解：設(shè)降價(jià)x元時(shí)，則日銷售可以獲得最大利潤(rùn)為憶由題意，得

W=(100-70-x)(20+x),

W=-X2+10X+600,

W=-(x-5)2+625,

"：a=-l<0,

當(dāng)尤=5時(shí)，平最大=625.

故答案為：5.

10.如圖，小明以拋物線為靈感，在平面直角坐標(biāo)系中設(shè)計(jì)了一款高?！?4的獎(jiǎng)杯，杯體軸截面N8C是

拋物線+5的一部分，則杯口的口徑/C為9.

高考復(fù)習(xí)材料

【解答】解：為14,

.?.令14=AX2+5,

9

解得x=±9,

2

：.A(-旦,14),C(9,14),

22

：.AC=^--(-9)=9,

22

故答案為：9.

三.解答題(共4小題)

11.如圖，學(xué)校要用一段長(zhǎng)為32米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形花圃，墻長(zhǎng)為14米.

(1)若矩形/BCD的面積為96平方米，求矩形的邊N3的長(zhǎng).

(2)要想使花圃的面積最大，N8邊的長(zhǎng)應(yīng)為多少米？最大面積為多少平方米？

AD

花圃

Bc

【答案】⑴12米；

(2)48邊的長(zhǎng)應(yīng)為9米時(shí)，有最大面積，且最大面積為126平方米.

【解答】解：(1)設(shè)為x米，貝ij5C=(32-2x)米，

由題意得：x(32-2x)=96,

解得：肛=4,工2=12,

,?,墻長(zhǎng)為14米，32米的籬笆，

.*.32-2x^14,2x<32,

??x=12,

高考復(fù)習(xí)材料

.?.42=12,

答：矩形的邊的長(zhǎng)為12米；

(2)設(shè)為x米，矩形的面積為了平方米，則5C=(32-2x)米，

.\y=x(32-2x)=-2X2+32X=-2(x-8)2+128,

?；9Wx<16,且-2<0,故拋物線開口向下，

.?.當(dāng)x=9時(shí)，y有最大值是126,

答：N2邊的長(zhǎng)應(yīng)為9米時(shí)，有最大面積，且最大面積為126平方米.

12.綜合與實(shí)踐

問題情境：如圖1所示的是山西晉城景德橋，又名沁陽橋、西關(guān)大橋，是山西晉城市城區(qū)通往陽城、沁

水的交通要道，是繼趙州橋之后我國(guó)現(xiàn)存歷史悠久的古代珍貴橋梁之一.橋拱截面OA4可以看作拋物線

的一部分(如圖2),在某一時(shí)刻，橋拱內(nèi)的水面寬約20米，橋拱頂點(diǎn)8到水面的距離為4米.

模型建立：

(1)如圖2,以該時(shí)刻水面為x軸，橋拱與水面的一個(gè)交點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線

的解析式.

問題解決：

(2)求在距離水面2米處橋拱寬度.

(3)現(xiàn)有兩寬為4米，高3米(帶貨物)的小舟，相向而行，恰好同時(shí)接近拱橋，問兩小舟能否同時(shí)從

橋下穿過，并說明理由.

2;

【答案】⑴y=-^(x-10)+4(0<x<20)

(2)在距離水面2米處橋拱寬度為1CK舊米；

(3)兩小舟能同時(shí)從橋下穿過，理由見解析.

【解答】解：(1)由題意得，點(diǎn)。和點(diǎn)/的坐標(biāo)分別為(0,0)和(20,0),

???2為函數(shù)頂點(diǎn),

：.B(10,4),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x-h)2+k,

?.?頂點(diǎn)8(10,4),

'?y—a(x-10)2+4,

再將O(0,0)代入解析式可得，a(0-10)2+4=0,

高考復(fù)習(xí)材料

拋物線的解析式為y=4(x-10)2+4(0<x420)；

(2)由題意得，令y=2可得，——(x-10)2+4=2f

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解得X[=10+5&,x2=10-572;

橋拱寬度為：10+5加-(10-5&)=10我(米)

(3)兩小舟能