第五章函數(shù)應(yīng)用全章總結(jié)提升北師大版

數(shù)學(xué)

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易錯(cuò)易混·銜接高考網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·歸納整合專(zhuān)題突破·素養(yǎng)提升專(zhuān)題一利用函數(shù)性質(zhì)判定方程的解1.一個(gè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)必須同時(shí)滿足:①函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線;②f(a)·f(b)<0.這兩個(gè)條件缺一不可,否則結(jié)論不一定成立,如函數(shù)f(x)=,易知f(-1)·f(1)=-1×1<0,但顯然f(x)=在(-1,1)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn).2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的,且在兩端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)異號(hào),則函數(shù)y=f(x)的圖象至少穿過(guò)x軸一次,即方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根c.3.零點(diǎn)存在定理只能判斷出零點(diǎn)的存在性,而不能判斷出零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【例1】

(1)[2024安徽亳州期末]若函數(shù)f(x)=2x-+a在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn),則a的取值范圍為

.

★(2)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx-2(a≠0)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=,且f(2)=0.①求函數(shù)f(x)的解析式;②若方程f(x)=m(x+1)的一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi),另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.變式訓(xùn)練1(1)已知關(guān)于x的方程a·4x+b·2x+c=0(a≠0),常數(shù)a,b同號(hào),b,c異號(hào),則下列結(jié)論中正確的是(

)A.此方程無(wú)實(shí)根B.此方程有兩個(gè)互異的負(fù)實(shí)根C.此方程有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根D.此方程僅有一個(gè)實(shí)根D解析由常數(shù)a,b同號(hào),b,c異號(hào),可得a,c異號(hào),令2x=t,則方程變?yōu)閍t2+bt+c=0,t>0,由于此方程的判別式Δ=b2-4ac>0,故此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且兩根之積為

<0,故關(guān)于t的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,故關(guān)于x的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.★(2)函數(shù)f(x)=ax2-2x+1,若y=f(x)在區(qū)間

內(nèi)有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

(-∞,0]專(zhuān)題二二分法求方程的近似解(或函數(shù)的零點(diǎn))二分法求方程的近似解的步驟:(1)構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn).(2)明確精確度和函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間(最好區(qū)間左右端點(diǎn)相差1).(3)利用二分法求函數(shù)的零點(diǎn).(4)歸納結(jié)論.【例2】

(1)用二分法求方程lnx-2+x=0在區(qū)間[1,2]上的近似解,先取區(qū)間中點(diǎn)c=,則下一個(gè)含根的區(qū)間是

.

★(2)求函數(shù)f(x)=x3-x-1在(1,1.5)內(nèi)的零點(diǎn)(精確度為0.1).解

f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,用二分法逐次計(jì)算,列表如下:區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)近似值(1,1.5)1.25-0.30(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.3125-0.05(1.3125,1.375)1.343750.08因?yàn)閨1.375-1.312

5|=0.062

5<0.1,所以函數(shù)的一個(gè)近似零點(diǎn)為x=1.312

5.變式訓(xùn)練2用二分法求方程x2-5=0的一個(gè)近似正解(精確度為0.1).解

令f(x)=x2-5,因?yàn)閒(2.2)=-0.16<0,f(2.4)=0.76>0,所以f(2.2)·f(2.4)<0,說(shuō)明這個(gè)函數(shù)在區(qū)間(2.2,2.4)內(nèi)有零點(diǎn)x0.取區(qū)間(2.2,2.4)的中點(diǎn)x1=2.3,f(2.3)=0.29>0,因?yàn)閒(2.2)·f(2.3)<0,所以x0∈(2.2,2.3).再取區(qū)間(2.2,2.3)的中點(diǎn)x2=2.25,f(2.25)=0.062

5>0,因?yàn)閒(2.2)·f(2.25)<0,所以x0∈(2.2,2.25).由于|2.25-2.2|=0.05<0.1,所以原方程的近似正解可取為2.24.專(zhuān)題三已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題解決已給出函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題,關(guān)鍵要分清函數(shù)類(lèi)型,并要注意相應(yīng)函數(shù)定義域以及實(shí)際生活中的自變量取值的限制條件,然后結(jié)合所給模型,列出函數(shù)關(guān)系式,最后結(jié)合其實(shí)際意義作出解答.【例3】

某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為200元,每桶水的進(jìn)價(jià)是5元,銷(xiāo)售單價(jià)與日均銷(xiāo)售量的關(guān)系如表所示.銷(xiāo)售單價(jià)/元6789101112日均銷(xiāo)售量/桶480440400360320280240請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析,這個(gè)經(jīng)營(yíng)部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)?解

由表中數(shù)據(jù)可知,銷(xiāo)售單價(jià)每增加1元,日均銷(xiāo)售量就減少40桶,設(shè)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上增加x元后,日均銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元,在此情況下的日均銷(xiāo)售量為480-40(x-1)=(520-40x)(桶).令520-40x>0,則0<x<13.y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200=-40(x-6.5)2+1

490,0<x<13.易知,當(dāng)x=6.5時(shí),y有最大值.所以只需將銷(xiāo)售單價(jià)定為11.5元,就可獲得最大利潤(rùn).變式訓(xùn)練3某熱力公司每年燃料費(fèi)約24萬(wàn)元,為了“環(huán)評(píng)”達(dá)標(biāo),需要安裝一塊面積為x(x≥0)(單位:平方米)可用15年的太陽(yáng)能板,其工本費(fèi)為(單位:萬(wàn)元),并與燃料供熱互補(bǔ)工作,從此,公司每年的燃料費(fèi)為(k為常數(shù))萬(wàn)元,記y為該公司安裝太陽(yáng)能板的費(fèi)用與15年的燃料費(fèi)之和.(1)求k的值,并建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)求y的最小值,并求出此時(shí)所安裝太陽(yáng)能板的面積.

專(zhuān)題四用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題解決實(shí)際問(wèn)題的流程

【例4】

某地政府招商引資,為吸引外商,決定第一年產(chǎn)品免稅.某外資廠該年A型產(chǎn)品出廠價(jià)為每件60元,年銷(xiāo)售量為11.8萬(wàn)件,第二年,當(dāng)?shù)卣_(kāi)始對(duì)該商品征收稅率為p%(0<p<100,即銷(xiāo)售100元要征收p元)的稅收,于是該產(chǎn)品的出廠價(jià)上升為每件

元,預(yù)計(jì)年銷(xiāo)售量將減少p萬(wàn)件.(1)將第二年政府對(duì)該商品征收的稅收y(單位:萬(wàn)元)表示成p的函數(shù),并指出這個(gè)函數(shù)的定義域.(2)要使第二年該廠的稅收不少于16萬(wàn)元,則p的取值范圍是多少?(3)在第二年該廠的稅收不少于16萬(wàn)元的前提下,要讓廠家獲得最大銷(xiāo)售金額,則p應(yīng)為多少?化簡(jiǎn)得p2-12p+20≤0,即(p-2)(p-10)≤0,解得2≤p≤10,故當(dāng)2≤p≤10時(shí),稅收不少于16萬(wàn)元.變式訓(xùn)練4某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷(xiāo)售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律:每生產(chǎn)產(chǎn)品x(單位:百臺(tái)),其總成本為G(x)(單位:萬(wàn)元),其中固定成本為2.8萬(wàn)元,并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本).銷(xiāo)售收入R(x)(單位:萬(wàn)元)滿足假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷(xiāo)平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣(mài)掉),根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律,請(qǐng)完成下列問(wèn)題:(1)寫(xiě)出利潤(rùn)函數(shù)y=f(x)的解析式(利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-總成本).(2)要使工廠有盈利,求產(chǎn)量x的取值范圍.(3)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí),可使盈利最多?解

(1)由題意得G(x)=2.8+x.(2)①當(dāng)0≤x≤5時(shí),由-0.4x2+3.2x-2.8>0得x2-8x+7<0,解得1<x<7,∴1<x≤5.②當(dāng)x>5時(shí),由8.2-x>0,得x<8.2,所以5<x<8.2.綜上,當(dāng)1<x<8.2時(shí),有y>0.即當(dāng)產(chǎn)量x的范圍是(1,8.2)(百臺(tái))時(shí),能使工廠有盈利.(3)當(dāng)0≤x≤5時(shí),函數(shù)f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,當(dāng)x=4時(shí),f(x)有最大值為3.6;當(dāng)x>5時(shí),∵函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,∴f(x)<f(5)=3.2(萬(wàn)元).綜上,當(dāng)工廠生產(chǎn)4百臺(tái)時(shí),可使盈利最多,為3.6萬(wàn)元.易錯(cuò)易混·銜接高考1234561.[2024云南昭陽(yáng)期末]函數(shù)f(x)=3x+2x-7的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(

)B123456B1234561234563.[2024文峰期末](多選題)已知函數(shù)

函數(shù)g(x)=[f(x)]2-(m+3)f(x)+3m,則(

)A.函數(shù)f(x)的值域?yàn)?0,+∞)B.存在實(shí)數(shù)m,使得f(m)=f(-m)C.若g(x)≥-1恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為[1,5]D.若函數(shù)g(x)恰好有5個(gè)零點(diǎn),則函數(shù)g(x)的5個(gè)零點(diǎn)之積的取值范圍是(-∞,0]BCD123456解析

對(duì)于A選項(xiàng),畫(huà)出函數(shù)的大致圖象,如圖所示,可知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,+∞),其中f(1)=|log21|=0,A錯(cuò)誤;123456對(duì)于D選項(xiàng),∵函數(shù)g(x)=[f(x)]2-(m+3)f(x)+3m恰好有5個(gè)不同的零點(diǎn),∴方程[f(x)]2-(m+3)f(x)+3m=0有5個(gè)根,可得[f(x)-m][f(x)-3]=0,有f(x)=3或f(x)=m,不妨設(shè)x1<x2<x3<x4<x5,如圖所示,可知x2=,x5=8,x1≤0,|log2x4|=|log2x3|,可得x4x3=1,故x1x2x3x4x5=x1∈(-∞,0],D正確.1234561234564.[2024云南昭陽(yáng)期末]已知函數(shù)

函數(shù)f(x)有________

個(gè)零點(diǎn);若方程f(x)-k=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是

.

2(0,4)解析

畫(huà)出f(x)的圖象,如圖所示,由圖象可知,f(x)的零點(diǎn)有2個(gè),方程f(x)-k=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,等價(jià)于方程f(x)=k有三個(gè)不同的解,即函數(shù)f(x)的圖象與直線y=k有三個(gè)不同的交點(diǎn),結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象,又因?yàn)閒(2)=4,則k的取值范圍是(0,4).1234561234565.[2024福建三明期末]已知函數(shù)f(x)=ax2+4x-1,若方程f