青海省大通縣教學研究室24屆高三第二次模擬考試

數學(理科)

考生注總：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。

2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚。

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡

上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上

各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作

答小尊。一..‘,,一..一.....一一

4.耒底新題范圍：高考范圍。

一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的。

1.在復平面內，復數z=(2—5i)(—1—2i)對應的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.設集合A={l,2a+l},B={3,a—1,3a—2},若A三則a—

A.-2B.—1C.1D.3

3.已知直線=與直線4力++2)y+2/n+4=0平行，則m的值為

A.4B.-4C.2或一4D.—2或4

4.已知根,舞,2,qGN*，且數列{“〃}是等比數列，則是“a+%=p+q”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

5.已知。是的AB邊上一點，若人。==。&。。=/，4+〃。8(儲/0,則入一幺=

119

A.——B.0C.-D.—

6.將函數v=3sin(3z+q)的圖象向右平移差個單位長度,得到的函數圖象關于、軸對稱，則

的最小值為

A2LR女cI】"pi上

-6-18-18-6

7.在某電路上有M、N兩個獨立工作的元件，每次通電后，需要更換M元件的概率為0.3,需要

更換N元件的概率為0.2,則在某次通電后M、N有且只有一個需要更換的條件下,M需要

更換的概率是

【高三第二次模擬考試?數學理科第1頁(共4頁)】243687Z

8.已知tana+tan0=5,cosQCOS，則sin(a+/?)

A,飛B-lc4D-f

9.在△ABC中，內角A,B.C的對邊分別為a,6,c,若6=?c,且乃siny+cosy=2cosC,則cosC

的值為

e76c730n/W

6464

10.17世紀，在研究天文學的過程中，為了簡化大數運算，蘇格蘭數學家納皮爾發(fā)明了對數，對

數的思想方法即把乘方和乘法運算分別轉化為乘法和加法運算，數學家拉普拉斯稱贊“對數

的發(fā)明在實效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍”.已知1g2心0.3010.1g3=^0.4771,

設N=4&X15i。，則N所在的區(qū)間為

A.(1013,1014)B.(1014,1015)

C.(1015.1016)D.(1016,1017)

11.已知橢圓C：，+/=l(a>6>0)的左頂點、上頂點分別為A、B,右焦點為F,過F且與丁

軸垂直的直線與直線AB交于點E,若直線AB的斜率小于中,0為坐標原點,則直線AB

的斜率與直線OE的斜率之比值的取值范圍是

A.6'+8)B.

12.在棱長為4的正方體ABCD-A出GA中,E是CD的中點,F是CQ上的動點，則三棱錐

A-DEF外接球半徑的最小值為

A.3B.273C.713D./15

二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。

產一了一3<0,

13.若實數…滿足約束條件“+2廠2>0,則之="外的最大值為.

22

14.已知雙曲線也一本=l(a>0,6>0)的一條漸近線平行于直線/：z—2廣5=0,且雙曲線的

一個焦點在直線/上，則該雙曲線的方程為.

15.(：—1卜z+2)4展開式的常數項為.

16.記r(z)是不小于z的最小整數，例如丁(1.2)=2,工(2)=2,置一1.3)=—1,則函數/(7)=

r(z)—z—21+4的零點個數為

O----------

【高三第二次模擬考試?數學理科第2頁(共4頁)】243687Z

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每

個試題考生都必須作答。第22,23題為選考題，考生根據要求作答。

（一）必考題：共60分。

17.（本小題滿分12分）

只要騎車，都應該戴頭盔.騎行頭盔是騎行中生命堅實的保護屏障.騎行過程中的摔倒會對

頭部造成很大的損害，即使騎行者是以較低的車速沿著坡度平穩(wěn)的自行車道騎行，也同樣不

可忽視安全問題.佩戴頭盔的原因很簡單也很重要——保護頭部，減少傷害.相關數據表明，

在每年超過500例的騎車死亡事故中，有75%的死亡原因是頭部受到致命傷害造成的.醫(yī)

學研究發(fā)現(xiàn),騎車佩戴頭盔可防止85%的頭部受傷,并且大大減小了損傷程度和事故死

亡率.

某市對此不斷進行安全教育，下表是該市某主干路口連續(xù)5年監(jiān)控設備抓拍到通過該路口

的騎電動車不戴頭盔的人數的統(tǒng)計數據：

年份20192020202120222023

年份序號工12345

不戴頭盔人數V1450130012001100950

（1）求不戴頭盔人數？與年份序號工之間的線性回歸方程；

（2）預測該路口2024年不戴頭盔的人數.

參考公式：回歸方程$=%+￡中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為B=

18.（本小題滿分12分）

,,,7

已知數列的刖n項和為S“，且S3=^,2a^+i—a?=0（z；eN,）.

（1）求｛a“｝的通項公式；

（2）若數列勾=一?！?11噸2念，求數列｛6“｝的前〃項和T“.

19.（本小題滿分12分）

如圖，在直二棱枉ABC-G中,A%=4,AB=AC=2,BC=2加"，點D是棱AAi上的

一點，且4D=3DA,點E是棱CG的中點.

（1）求證：平面平面ACBi；

（2）求直線AC與平面所成角的正弦值.

【高三第二次模擬考試?數學理科第3頁（共4頁）】243687Z

20.(本小題滿分12分)

在平面直角坐標系了?！分?，已知點P(2,1)是拋物線C^=2py{p>0)上的一點，直線,交

C于兩點.

(1)若直線/過C的焦點，求示?荏的值；

(2)若直線PA,PB分別與？軸相交于M,N兩點，且。宓?水=1,試判斷直線Z是否過定

點？若是,求出該定點的坐標;若不是，請說明理由.

21.(本小題滿分12分)

已知函數/(JC)=jclnj;—(Z(JC2—1)(aGR).

(1)若a=—1,求函數/(丁)的圖象在z=l處的切線方程；

(2)若/(①)<0對任意的zG(1,+8)恒成立，求.的取值范圍；

⑶求證----卜，)]〉片(2"+1)，"GN*.

(二)選考題:共10分。請考生在第22、23兩題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一

題計分。

22.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標系與參數方程

/支—23cosa

在直角坐標系了。》中，曲線C的參數方程為_’(a為參數)，以。為極點，工軸

l;y=l十3sina

的正半軸為極軸建立極坐標，直線I的極坐標方程為psinW+￡)=2根.

(1)求C的普通方程和直線/的直角坐標方程；

(2)若點P的直角坐標為(2,2),直線/與C交于A,B兩點，求前-前的值.

23.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講

已知函數f(工)=]2了一4|+|J；—11.

(D求不等式/(z)08的解集；

,一,/力22

(2)右函數/(久)的最小值為相，且正數a,b,c滿足求證:不

【高三第二次模擬考試?數學理科第4頁(共4頁)】243687Z

青海省大通縣教學研究室24屆高三第二次模擬考試?數學（理科）

參考答案、提示及評分細則

1.B因為復數z=（2—5i）（一1—2D=—12+i,所以z對應的點為（一12,1），位于第二象限.故選B

2.C由已知得，若2a+l=3,解得a=l,此時A={0,1,3},符合題意;若2a+l=a—1,解得a=

—2,此時4={1,-3},8={—8,—3,3},不符合題意；若24+1=3°—2,解得°=3,此時人={1.7},_6=

{2,3,7},不符合題意，綜上所述:a=L故選C.

3.B因為直線wjz+2y+zn+2=0與直線4支+（根+2）y+2"z+4=0平行，所以（>"+2〉7M—2X4=0,解得

根=2或m=-4.當根=2時，直線2z+2y+4=0與直線4z+4y+8=0重合,不符合題意；當，"=—4時，直

線―4工+2，一2=0與直線4z—2，一4=0平行,符合題意.綜上，根=—4.故選B.

4.B設等比數列{a?}的公比為qi.若s=1，當加=1,"=2,力=3,<?=4時,a"a"=<2/。，但是以+"片力+g,所

以"a?>a”=a.a（；"不是"》?+附=力+q”的充分條件；

若>"+〃=2+g,則。，/“二曷翼一""一1=曷比+"T,%勾=a：g?T+"T=曷賞,所以a,?a?,所以

=a.aJ'是+〃=/+q”的必要條件綜上,“a?,a”=00。/'是""z+"=2+q"的必要不充分條件.故選B.

5.C因為所以CD=CA+AD=CA+母AB=CA+等（CB—CA）=^CA+等CB.所以廣告,

乙Oo?joo

"=9，/一尸（—爭=9?故選C.

了=3sin（3z—^+中）的圖象關于了軸對稱，所以—，解得分=普十后兀（正2）,當￡=

—1時，|g|取得最小值*.故選A.

7.A記事件A為在某次通電后M、N有且只有一個需要更換，事件B為M需要更換，則P(A)=0.3X

(1—0.2)+(1—0.3)X0.2=0.38,P(AB)=0.3X(1-0.2)=0.24,由條件概率公式可得P(B|A)=

P(AB)_0.24_12.、生、

P(A)—0.38—19.故選A

8.C因為tana+tan0=‘山℃。0,+cosasin°=5,又CQSaCOS￡=《，所以sjnaCOSf+cosasin8=sin(?+/?)

仁cosacosB16

5

=5cosacosS=至.故選C.

9.B因為悟sin等+cos等=2cosC,所以2cosC=2(cos等cos段■+sin-5-sin等)=2cos—等)，即

OOOO00OO

cosC=cos(《■一年)，因為0VA<7t,0<C<7t,則0V《■一等〈囁,且余弦函數尸cosz在(0,冗)上單調遞

減，所以C=-^~一等，所以A+3c=兀，又A+B+C=7t,所以B=2C,由正弦定理得二紜=/即

33smDsinC

2sin3cosC=.'所以C0SC=f.故選R

【高三第二次模擬考試?數學理科參考答案第1頁（共6頁）】243687Z

10.D因為N=48X15W，所以1gN=lg48+lg1510=lg216+10(lg3+lg5)=161g2+101g3+10(l-lg2)

=61g2+101g3+10^6X0.3010+10X0.4771+10=16.577,所以<1辭，10"%故選D.

11.D由已知得，直線AB的方程為y=設橢圓的焦距為200)，由題意設點ECc,y0)，則y0=^

全+6_________

+以即E(c,女+“，所以瓦~'=，又心5=互〈空，所以《=￡=/1一(0J即

\。/caca4avxa74

b

}<e<L設直線AB的斜率與直線OE的斜率之比值為m，則機=反言77=1=#1=1一告1，又

ac

白Ve<l,所以根<年.故選D.

452

12.C連接AE,取AE中點G,設CF=m(0<m<4),連接EF,過G作GO

垂直于平面ABCD,設60=小0為三棱錐A-DEF的外接球的球心.以

。為原點,分別以DA,DC,。?！克谥本€為之軸建立空間直角坐標

系，則A(4,0,0),E(0,2,0),0(2,1,72)，尸(0,4,a),則球半徑R=OF=

OE=OA,所以R=/13+(加一x)2=不，所以療一2+8=0,則

,=*+8=,+且22仔,當且僅當m=272時取等號，所以Rmin=

乙m/m

/13.故選C.

六一y—3W0,

13.13實數處了滿足約束條件2V—2)0,表示的可行域如圖陰影部分所示.當直線之=1+4)經過點A

(x—y—3—0,

時,Z取得最大值.由《解得"=5,y=2,所以z111ax=5+4X2=13.

1，=2

14.柒一4=1由題意可知，雙曲線的其中一條漸近線y=4與直線/：工一2，一5=0平行，所以互=得，又

」UDCLCLLJ

雙曲線的一個焦點在直線/上，所以C=5,又c2=Y+62,解得。=2"涉=西，所以該雙曲線的方程為

右—武=1

205

15.48因為Cz+2)4的展開式的通項是Z+1=CQ4r?2「，所以所求常數項為-24+2??23=48.

16.3令/(])=0，則JMz)—2=2七一-令g(z)=——%,%(%)=2P--卜，則g(z)與為(％)的交點

OO

【高三第二次模擬考試?數學理科參考答案第2頁(共6頁)】243687Z

個數即為了（1）的零點個數，當一ICzWO時，g（z）=。一1=一]￡匚0,1）,又g（i+l）=T（2+1）一

（1+1）=?。?）一1=g（z），所以g（z）是周期為1的函數，無（1）在R上單調遞減，且A（—1）＞1,A（O）

7

=下,九（3）=0,所以可作出g（z）與/1（支〉的圖象如圖,

O

所以g（z）與九（久）有3個交點，故/（z）的零點個數為3.

1.,1、士斯義如—1+2+3+4+5°_1450+1300+1200+1100+9501

17.解：(1)由題息知x=-------------------=3,/=--------------------------------------------=1290n0n,1分

2

所以2(4一三)2=(1—3)2+(2—3)2+(3—3)2+(4—3)2+(5-3)=10,S(4一方)(y一夕)=

(1-3)X(1450-1200)+(2-3)X(1300-1200)+(3-3)X(1200-1200)+(4-3)X

(1100—1200)+(5-3)X(950-1200)=-!200,3分

5

,央―〉℃〉T200

所以b=-120,5分

510

S(Xj-X)2

￡=1

所以2=9一反=1200+120X3=1560,7分

所以不戴頭盔人數，與年份序號z之間的線性回歸方程為9=—120工+1560.9分

⑵當z=6時；=—120X6+1560=840,即預測該路口2024年不戴頭盔的人數為840.12分

18.解：⑴因為S3=?,2a“+i—?=0（,代V），所以管■=4,所以數列｛&｝是公比為方的等比數歹I],

3分

<217

所以S3=一=彳，解得?=1，5分

1-1

1

所以口6分

2”i

⑵由（1）知勾=一卷log2=8分

隹2T-_0I1?2?In—2?7?-1

所以十聲十聲^^折了^—加-，

r-rinIT_0I1I2IIn—2In—1

所以/■/“=方十聲十?Hkr，

1

一

相減得卜+一^~^=2"n-1__1__"+1

/H22〃+i―三―2〃+i'11分

2〃一〃一1

所以12分

4=2〃

【高三第二次模擬考試?數學理科參考答案第3頁（共6頁）】243687Z

19.⑴證明：在直三棱柱ABC-AiBG中,AAiJ_平面ABC,又AB,ACU平面ABC,

所以AAi_LAB.AAi±AC,又AB=AC=2,BC=2虛■，所以AB，+AC2=BG,所以AB±AC,

又ABDAA,=A,AB,AAiU平面ABBJAJ，所以AC_[_平面ABBiAi,

又8DU平面ABBiAi，所以AC，BD.......................................................................................................2分

因為tan/DBA=/4,tan/BAAj=J,所以/DBA=ZB1AA1,又/ABD+/ADB=*,

/\,DN/VAINN

所以N5AAi+NADB=｝，所以BLLLABI,...........................................................................................4分

又ABip|AC=A,AB,ACU平面ACBi，所以BD_L平面ACBi,...............................................................5分

又BDU平面BDE,所以平面BDE,平面ACB........................................................................................6分

(2)解:以A為坐標原點,AB,AC,AA所在的直線分別為z軸~軸,二軸,

建立空間直角坐標系，如圖所示.所以B(2,0,0),D(0,0,l),E(0,2,2),

Ai(0,0,4),C(0,2,0).設平面BDE的法向量為〃=(x9y,z)，又BD=

_(n?BD=—2z+z=0,

(―2,0,l),BE=(—2,2,2)，所以《一令丁=1,

?BE=-2久+2)+2N=0,

解得、=—1,N=2,所以平面BDE的一個法向量—1,2).

...................................................................................................................9分

又&=(0,-2,4),設直線AC與平面BDE所成角的大小為6,

_______2+8_______/30

所以sin6=|cos<w,cC>I=_

IJn||CA]|71+1+4X74+166

即直線AC與平面BDE所成角的正弦值為空..........................................12分

20.解：(1)因為點PC2,1)是拋物線口/=2”＜力＞0)上的一點，

所以2。=2力,解得力=2,所以C的方程為工z=4》，...........................................2分

所以C的焦點為＜0,1).顯然直線I的斜率存在,設直線I的方程為》=心+1叢(為小),B〈&，北)，

=

(ykjc-\-\J

由＜得力2—4%%―4=0,所以+12=4氏，512=-4,................................................................3分

卜2=4)

所以V1V2=蓍?蓍=1,...............................................................................................................................4分

所以a?08=622+)12=-4+1=-3................................................................................................5分

(2)設A("i，M)，8(@)，顯然直線PA的斜率存在，且斜率為匹==工

JC1乙3C1

所以直線PA的方程為了-1=Ci—2),............................................................................................6分

所以加=]+力j2.(-2)=^-乃，即OM=(0,—1-21)，...............................7分

同理可得，加=(0,一聶2),.......................................................................................................................8分

【高三第二次模擬考試?數學理科參考答案第4頁(共6頁)】243687Z

所以OM?ON=(—^""1)°(—=1，所以"i&=4,即g=-，①........................9分

遞_轉

顯然直線I的斜率存在，且斜率為"&=2一1=

X2—Xi熱―￡]4

所以直線/的方程為，一苧=包產〈工一辦)，②.........................................10分

將①式代人②式,整理得(m+：)了一4y—4=0,

所以直線/恒過定點(0,一1)....................................................................................................................12分

21.(1)解:若a=—1,則f(^)=rrlnz+/一]，所以/(Z)=&工+i+2z,所以，〈1)=3,又/〈1)=0,所以

函數/(%)的圖象在％=1處的切線方程為了-0=3(Z—1),即31一)一3=0..............................3分

(2)解:若"G<0對任意的iG(1,+8)恒成立,即島z一。(比一!)<0對任意的正(1,+8)恒成立.

.........................................................................................................................................................................4分

令g(比)=lni-Q(久一?I；)，尤>1,所以g，(i)=十一=—“比~~

若Q&0,則g'(1)〉0,所以g(i)在(1,+8)上單調遞增，所以g(z>>g(l)=o,不符合題意....5分

若。>0,方程一af+元一。=0的判別式△=].—4/,

當△=：!—4°2>0*即0<.<總■時，令/8>0,解得1<工<吐得三近，令/解得工〉

1，所以g〈工)在(1J+q)—4/)上單調遞增,在(1±4產二+8)上單調遞減，所以

g(1+4政)>g〈1)=0,不符合題意；...............................................6分

當△=-4/10,即時，則g(z)(0,所以g<<z)在(1,十8〉上單調遞減，所以g(jcXgd)=0,

符合題意............................................................................7分

綜上,a的取值范圍為[],+s)................................................................................................................8分

(3)證明：由(2)知，當z>l,a=[■時.In工〈春(n——)，令工=”+:(?EN,)，

ZN\1/An—1

2%+]12%+1-----1——AA

所以In；^----7V?2n-12〃+1=T~2—7,所以—7>ln(2n+l)-ln(27z-1),....................10分

Zn—1No-----74〃-14n—1

[Ln—1J

所以[L]++…+4J)]>In3—In1+In5-In3+…+In(27z+l)—In(2%-1)=

ln(2n+l)，即+----H豆工^〉ln(2〃+1)N*.................................................12分

(1=2+3cosa,

22.解：(1)因為曲線C的參數方程為(a為參數)，

[V=l+3sina

所以(4—2)2+(y—1)2=(3cosa*+(3sina)2=9,

即C的普通方程為(i—2)2+()—iy=9................................................................................................3分

【高三第二次模擬考試?數學理科參考答案第5頁(共6頁)】243687Z

直線I的極坐標方程為psin（jd~~手）=