2024年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題訓(xùn)練：

求最短路徑（勾股定理的應(yīng)用）

1.如圖，圓柱高為7cm,底面周長(zhǎng)為48cm,螞蟻在圓柱表面爬行，求從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最

短路程.（作出展開(kāi)圖再求）

2.如圖，圓柱形無(wú)蓋玻璃容器，高18cm,底面圓的直徑為一cm,在外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)C

7C

處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開(kāi)口1cm的尸處有一蒼蠅，試求急于捕

獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)度.（結(jié)果保留根號(hào)）

3.如圖，要在河邊修一個(gè)水泵站，分別向A、8兩村送水，已知A、B兩村到江邊的距離分

另II為2萬(wàn)〃和7Am,且A、8兩村相距13歷〃.

B

*

A

,河邊

（1）水泵站應(yīng)修建在何處，可使所用水管最短，請(qǐng)?jiān)趫D中設(shè)計(jì)出水泵站P的位置；

（2）若鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米4000元，為了使鋪設(shè)水管費(fèi)用最節(jié)省，請(qǐng)求出最節(jié)省鋪設(shè)水

管的費(fèi)用為多少元？

4.如圖，在筆直的公路旁有一座山，為方便運(yùn)輸貨物，現(xiàn)要從公路A3上的。處開(kāi)鑿隧

道修通一條公路到C處，已知點(diǎn)C與公路上的?？空続的距離為151?,與公路上另一停靠

站B的距離為20km,?？空続,3之間的距離為25km,且

c

⑴求—ACB的度數(shù)及修建的公路8的長(zhǎng)；

（2）公路8修通后，求一輛貨車(chē)從C處經(jīng)過(guò)點(diǎn)D到3處的路程是多少？

5.如圖，某海濱浴場(chǎng)岸邊A處救生員發(fā)現(xiàn)海中的8處有人求救，救生員沒(méi)有直接從A處游

向8處,而是沿岸邊自A處跑到離B處最近的點(diǎn)C,然后從點(diǎn)C游向B處,經(jīng)測(cè)量4c=400m,

BC=300m,若救生員在岸邊行進(jìn)的速度是5m/s,在海中行進(jìn)的速度是2m/s,請(qǐng)分析救生

員的選擇合理嗎？

B

300m

----------------10

400m

6.如圖，河CO的同側(cè)有A、B兩個(gè)村，MAB=2>/i3km,A、3兩村到河的距離分別為

AC=2km,比>=6km.現(xiàn)要在河邊8上建一水廠(chǎng)分別向A、B兩村輸送自來(lái)水，鋪設(shè)水

管的工程費(fèi)每千米需2000元.請(qǐng)你在河岸8上選擇水廠(chǎng)位置。，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，

并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用?。ㄔ?

7.如圖1,一只螞蟻要從圓柱的下底面的點(diǎn)A爬到上底面的點(diǎn)2處，求它爬行的最短距離.

已知圓柱底面半徑為R,高度為瓦小明同學(xué)在研究這個(gè)問(wèn)題時(shí)，提出了兩種可供選擇的方案,

方案1：沿A-C-8爬行；方案2：沿圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的線(xiàn)段爬行，如圖2.（〃取3）

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

⑵當(dāng)尺=1,/z=l時(shí)，哪種方式的爬行距離更近？

⑶當(dāng)R與滿(mǎn)足什么條件時(shí)，兩種方式的爬行距離同樣遠(yuǎn)？

8.如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)寬高分別為12cm,8cm,30cm,在A(yíng)E中點(diǎn)M處有一滴蜜糖,

有一只小蟲(chóng)從G點(diǎn)爬到/處去吃，有很多種走法，請(qǐng)你求出最短路線(xiàn)長(zhǎng).

9.(1)如圖1,矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為5和3,某一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的最短路線(xiàn)長(zhǎng)

是;

(2)如圖2,在棱長(zhǎng)分別為5,3,11的長(zhǎng)方體模型中，若設(shè)定動(dòng)點(diǎn)尸從頂點(diǎn)G以1個(gè)單位

/秒的速度在長(zhǎng)方體的外部沿C-C向下勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從頂點(diǎn)A出發(fā)在長(zhǎng)方體外部側(cè)

面上勻速運(yùn)動(dòng)，若要使動(dòng)點(diǎn)。在第5秒時(shí)恰好攔截到動(dòng)點(diǎn)P,則動(dòng)點(diǎn)。的速度至少應(yīng)設(shè)定

為多少？

10.如圖①，長(zhǎng)方體長(zhǎng)為8cm,寬8。為6皿，高為4cm.在該長(zhǎng)體的表面上，螞

蟻怎樣爬行路徑最短？

圖①圖②

⑴螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)G,且經(jīng)過(guò)棱EF上一點(diǎn)，畫(huà)出其最短路徑的平面圖，并標(biāo)出它的長(zhǎng).

(2)設(shè)該長(zhǎng)方體上底面對(duì)角線(xiàn)EG、FH相交于點(diǎn)。(如圖②)，則OE=OF=OG=OH=5cm.

①螞蟻從點(diǎn)2爬行到點(diǎn)0的最短路徑的長(zhǎng)為一cm；

②當(dāng)點(diǎn)尸在BC邊上，設(shè)8P長(zhǎng)為acm,求螞蟻從點(diǎn)P爬行到點(diǎn)。的最短路的長(zhǎng)(用含。的

代數(shù)式表示).

11.如圖，A村和8村在河岸C。的同側(cè)，它們到河岸C。的距離AC,8。分別為1千米和

3千米，又知道的長(zhǎng)為3千米，現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠(chǎng)向兩村輸送自來(lái)水，鋪設(shè)水

管的工程費(fèi)用為每千米20000元.

(1)請(qǐng)?jiān)贑D上選取水廠(chǎng)的位置，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省；

(2)求鋪設(shè)水管的最省總費(fèi)用.

B

CD

12.在MAABC中，ZABC=90°,BA=BC,點(diǎn)。為邊AC上一動(dòng)點(diǎn).

(1)如圖1,若。C=6,ZABD=15°,求8。的長(zhǎng)；

(2)如圖2,以BD直角邊作狡△8DE,使得BD=BE,連接AE,點(diǎn)/為AE中點(diǎn)，請(qǐng)猜

想8RAD.OE之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(3)如圖3,若48=4而，當(dāng)點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)G為射線(xiàn)BC上一點(diǎn)，滿(mǎn)足CD=0

BG,求AG+gz)G的最小值.

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

圖2

13.如圖，圓柱形容器的容積為81升，它的底面直徑是高的2倍.(萬(wàn)取3)

(1)這個(gè)圓柱形容器的底面直徑為多少分米？

(2)現(xiàn)用一根繩子繞圓柱側(cè)面兩周，繩子的兩個(gè)端點(diǎn)分別與點(diǎn)A、點(diǎn)8重合，則繩子長(zhǎng)度至

少為多少分米？

14.為了更好地提升居民的生活水平和居住滿(mǎn)意度，某小區(qū)進(jìn)行小范圍綠化，要在一塊如圖

所示的四邊形空地A3CD內(nèi)進(jìn)行綠化改造，NA=90。，AB=12m,AD=9m,BC=17m,

CD=8m.

(1)若要在3,。兩點(diǎn)間鋪一條鵝卵石路，鋪設(shè)成本為120元/m；最低花費(fèi)為多少元?

⑵如果種植草皮的費(fèi)用是200元/nf,那么