（12）圖形的相似

一、單選題

1.[2024年重慶中考真題]若兩個相似三角形的相似比為1:4,則這兩個三角形面積的

比是（）

A.l:2B.l:4C.l:8D.l:16

2.[2024年內蒙古赤峰中考真題]如圖，中，AB=BC=1,NC=72。.將

△ABC繞點A順時針旋轉得到△AB'C',點8與點3是對應點，點C與點C是對應

點.若點C恰好落在3c邊上，下列結論：①點3在旋轉過程中經過的路徑長是工兀；

5

②B'AIIBC；③BD=C'D；④四=歿.其中正確的結論是（）

ACBD

A.①②③④B.①②③C.①③④D.②④

3.[2024年湖南中考真題]如圖，在△回（7中，點。，E分別為邊AB,AC的中點.下

列結論中，錯誤的是（）

A.DEHBCB.AADE^AABCC.BC=2DED.5A/\4ADUFtL=-5A4Br

4.[2024年山東棗莊中考真題]如圖，點E為，ABCD的對角線AC上一點，AC=5,

CE=1,連接OE并延長至點E使得EF=DE,連接5萬，則5萬為（）

57

A.-B.3C.-D.4

22

二、填空題

5.[2024年四川成都中考真題]如圖，在RtzXABC中，ZC=90°,A。是△回（?的一

條角平分線，E為AD中點，連接班.若5石=5。，CD=2,則應＞=.

6.[2024年云南中考真題]如圖，與交于點。，且若

OA+OC+AC1AC

——9則—?

OB+OD+BD2BD

7.[2024年湖北武漢中考真題]如圖是我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出

的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個大

正方形ABCD.直線交正方形ABCD的兩邊于點E,F,記正方形ABCD的面積為

正方形MNPQ的面積為S?.若=（左＞1）,則用含左的式子表示業(yè)的值是

8.[2024年吉林長春中考真題]如圖，A5是半圓的直徑，AC是一條弦，。是AC的中

點，于點E,交AC于點R05交AC于點G,連結AT＞.給出下面四個結

論：

?ZABD=ZDAC；

②AF=FG；

③當。G=2,Gfi=3時,EG=母

2

④當6￡>=2A。，AB=6時，△DEG的面積是G.

上述結論中，正確結論的序號有，

9.[2024年吉林中考真題]如圖，正方形ABCD的對角線AC,相交于點。，點E

是Q4的中點，點R是。。上一點.連接所.若NFEO=45。，則空的值為

BC

三、解答題

10.[2024年河北中考真題]如圖，的面積為2,A。為邊上的中線，點A,

G，C2,C3是線段CC4的五等分點，點A,R,2是線段的四等分點，點A是

線段8片的中點.

（1）△AG，的面積為；

（2）△耳。4鼻的面積為.

11.[2024年湖北中考真題]如圖，矩形ABCD中，E,R分別在AD,BC上,將四邊

形ABEE沿所翻折，使E的對稱點尸落在A3上，R的對稱點為G,PG交BC于H.

(1)求證：△￡￡＞尸

(2)若P為中點，且AB=2,BC=3,求G”長.

(3)連接BG,若P為C。中點，”為中點，探究BG與A3大小關系并說明理由.

12.[2024年貴州中考真題]綜合與探究：如圖，NAO6=90。，點尸在NA03的平分線

上，PALQ4于點A

⑴【操作判斷】

如圖①，過點P作PCLOB于點C,根據題意在圖①中畫出PC,圖中NAPC的度數

為度；

(2)【問題探究】

如圖②，點M在線段AO上，連接過點尸作尸交射線05于點N,求

證：OM+ON=2PA；

(3)【拓展延伸】

點航在射線A。上，連接PM,過點P作交射線08于點N,射線;W與射

線P0相交于點E若ON=3OM,求的值.

OF

13.[2024年四川廣元中考真題]數學實驗，能增加學習數學的樂趣，還能經歷知識“再

創(chuàng)造”的過程，更是培養(yǎng)動手能力，創(chuàng)新能力的一種手段.小強在學習《相似》一章中

對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形(如圖1)產生了如下問題，請同學們幫他

解決.

cc

在△ABC中，點。為邊A3上一點，連接CD.

(1)初步探究

如圖2,若NACD=4,求證：AC2^ADAB；

(2)嘗試應用

如圖3,在(1)的條件下，若點。為A5中點，BC=4,求的長；

(3)創(chuàng)新提升

如圖4,點E為中點，連接BE,若NCDB=NCBD=30°,ZACD=NEBD,

AC=2A/7,求BE的長.

14.[2024年四川南充中考真題]如圖，正方形ABCD邊長為6cm,點E為對角線AC

上一點，CE=2AE,點尸在邊上以lcm/s的速度由點A向點3運動，同時點。在

邊上以2cm/s的速度由點C向點3運動，設運動時間為/秒(0<?<3).

(2)當△EPQ是直角三角形時，求才的值.

(3)連接AQ,當tanZAQE=；時，求△AEQ的面積.

15.[2024年內蒙古赤峰中考真題]數學課上，老師給出以下條件，請同學們經過小組

討論，提出探究問題.如圖1,在△ABC中，AB=AC,點。是AC上的一個動點，過

點。作DELBC于點E,延長ED交心延長線于點R

圖2

請你解決下面各組提出的問題:

(1)求證：AD=AF-,

DF.ADJV，/與

(2)探究——與——的關系;

DEDC

某小組探究發(fā)現，當處=J■時,DF2.當處8

；

DC3~DE3DC5

請你繼續(xù)探究：

①當處=1時，直接寫出空的值；

DC6DE

②當42=生時，猜想小的值(用含加，〃的式子表示)，并證明;

DCnDE

(3)拓展應用：在圖1中，過點R作EPLAC,垂足為點P,連接CT,得到圖2,

當點。運動至魔時‘若卷子直接寫出器的值(用含如〃的式

子表示).

參考答案

1.答案：D

解析：兩個相似三角形的相似比為1:4,.?.這兩個三角形面積的比是儼：42=1：16,

故選：D.

2.答案：A

解析：AB=BC,NC=72。，

ZBAC=ZC=72°,ZABC=180°-2ZC=36°,

由旋轉的性質得ZAB'C=ZABC=36°,AB'AC=ABAC=72°,ZAC'B'=ZC=72°,

ZAC,B,=ZADC=72°,AC'=AC,

ZACC=ZC=72°,

NC4c=36。，

ZCACZBAC=36°,

N5'AB=72°—36°=36°,

由旋轉的性質得A"=AB,

ZABB'=ZAB'B=1(180°-36°)=72°,

①點3在旋轉過程中經過的路徑長是當匚=」兀；①說法正確;

1805

②ZB'AB=ZABC=36°,B'AIIBC；②說法正確；

(3)ZDCB=180°-2x72°=36°,

ZDC'B=ZABC=36°,

:.BD=CD；③說法正確；

④ZBB'D=ZABC=36°,ZB'BD=ABAC=72°,

片=盟.④說法正確;

綜上，①②③④都是正確的，

故選：A.

3.答案：D

解析：點。，E分別為邊AB,AC的中點,

DEHBC,BC=2DE,故A、C正確；

DEHBC,

AADE^AABC,故B正確；

△ADE^AABC,

二。/與

S-BCVBC)l2j4

SAADE=S^ABC'故D錯誤；

故選：D.

4.答案：B

解析：延長。歹和A5,交于G點,

四邊形ABC。是平行四邊形，

DCHAB,OC=即DC//AG,

△DECS/\GAE

CEDEDC

"AE~GE~AG'

AC=5,CE=1,

AE=AC-CE=5-1=4,

CEDEDC1

AE^GE~AG~^

DEDE_1

又EF=DE,

EF+FG~^

EF_1

~FG~3

DCDC

DC=AB,

AG-AB+BG4

DC1

----——,

BG3

EFDC1

"FG~BG

BGFG3

"AG"￡U"4

AE//BF,

△BGFs/\AGE,

BFFG3

"AE~EG~4

AE=4,

BF=3.

故選：B.

5.答案：姮擔

2

解析：連接CE,過E作EF_LCD于E設=EF=m,

ZACS=90°,E為AO中點，

CE=AE=DE,又CD=2,

CF=DF=-CD=1,ZEAC^ZECA,NECD=NEDC,

2

ZCED=2ZCAE,AC=2EF=2m,

BE=BC,

ZBEC=NECB,則NB￡C=N￡DC,又/BCE=NECD,

Z\CBE^Z\CED,

,NCBE=NCED=2NCAE,

CDCE

CE2=CDCB=2(2+x)=4+2x,

則根2=EF~=CE2—CT?=3+2%；

A。是△ABC的一條角平分線，

ZCAB=2ZCAE=ZCBE,又ZACB=ZBFE=90。，

Z\CAB^>Z\FBE,

ACBC

一而一赤’

二g=3,則2和2=(X+1)(X+2),

2(3+2%)=(x+l)(x+2),即%—4=0,

解得％=姮±1(負值已舍去)，

2

故答案為：姮口.

6答案:I

解析：AC//BD,

:.△ACOs^BDO,

ACOA+OC+AC1

BD~OB+OD+BD~2

故答案為：1

k2+l

7.答案:

(左-1)2

解析：作EG_L4V交⑷V于點G,不妨設=設EG=1,

B]C

四邊形MNPQ是正方形，

.-.ZPMN=45°,

:.ZEMG=NPMN=45。,

:.EG=MG=1,

在△AEG和△ABN中，NEAG=NBAN,ZAGE=ZANB=90。,

:.△AEGS/\ABN,

AEEG_AG

"AB~BNAN?

BE=kAE(k>1),

AB=AE+BE=AE(k+1),

.AE-1AG1

"AB~BN~AN~k+lf

:.BN=l+k,

由題意可知，AABNqADAM,

:.BN=AM=l+k,

AG=AM—GM=1+左一1=左,

.-GAGk1

"AN~AM+MN~k+l+a~k+1'

ci—k~~1?

:.AN^AG+GM+MN^k+l+k2-l^k2+k,

正方形ABC。的面積S[=A§2=BN2+AN2=(k+1)2+(/+幻2=伏+1)2伏2+1),

正方形M2VPQ的面積§2=MN2=a-=(k2-lf=(k+V)2(k-l)2,

.S1=((+1)2伏2+1)

"S2—a+1)2(左一1)2，

k>l,

.?.(左+1)2WO,

.Sj_F+i

一寸(01)2?

8.答案：①②③

解析：如圖：連接。C,

B

。是AC的中點,

AD=DC9

ZABD=ADAC,即①正確；

AB是直徑，

ZADB=90°,

ZZMC+ZAG￡>=90°,

DE±AB

ZBDE+ZABD=90°,

ZABDADAC,

ZBDE=ZAGD,

DF=FG,

ZBDE+ZABD=90°,ZBDE+ZADE=90°,

ZADE=ZABD,

ZABD=ZDAC,

ZADE^ZDAC,

AF=FD,

AF=FG,即②正確；

在△ADG和△BQA,

ZADG=ZBDA=90°

ZDAG=ZDBA'

Z\ADG^Z\BDA,

ADGDnnADGD

BD~AD'DG+BGAD

AD

—,即AD=麗,

2+3AD

AG=VAD2+DG2=V14,

AF=FG,

FG=-AG=—,即③正確；

22

如圖：假設半圓的圓心為。，連接OD,CO,CD,

BD=2AD,AB^6,。是AC的中點，

AD=DC=^AB,

ZAO。=ZDOC=60°,

OA=OD=OC,

AAOD,Z\ODC是等邊三角形，

OA^AD=CD^OC^OD=6,即ADCO是菱形，

NDAC=ZOAC=-ZDAO=30°,

2

ZADB=90°,

tanADAC=tan30°=,即且=空，解得：DG=20

AD36

SAADG=|AD-DG=1X6X2V3=6A/3,

AF=FG,

故答案為：①②③.

9.答案：|

解析：正方形ABC。的對角線AC,30相交于點

ZOAD=45°,AD=BC,

點E是Q4的中點，

OE_1

~OA~2,

NFEO=45。,

EF//AD,

△OEFsAOAD,

EFOE1EF1

——=——=-,即nn——=-,

ADOA2BC2

故答案為：

2

10.答案：（1）1

（2）7

解析：（1）連接與〃、53、4G、B?、CR,

△ABC的面積為2,AD為邊上的中線，

一SAABD==5^AABC=萬義2=1,

點A,G，。2，。3是線段CC4的五等分點，

AC=AC,=QC2=C2c3=C3c4=1cc4,

點A,2，3是線段的四等分點，

AD=AD,=D、D,=D,D、=—DD^，

11ZZ343

點A是線段5月的中點，

AB=AB】=—BB],

在△ACR和△ACO中，

AQ=AC

<NC[ADi=ZCAD,

ADX=AD

AAQD^AACDfSAS),

S^ACD=S^ACD=1，ZCjDjA=ZCDA,

△AC1。的面積為1,

故答案為：1;

(2)在△A與0和△A3。中，

ABX=AB

<HAD]=ZBAD,

AD]=AD

：.△ABRg△ABD(SAS),

'''SAABR=S^ABD=1，/BRA=/BDA,

ZBDA+ZCDA=1SQ0,

ZB1D1A+ZC1DIA=18O°,

.??G、D、三點共線，

…&AB1G=+S^XAGA=1+1=2,

ACX=CjC2=C2c3=C3C4,

?V―4Q=4x2=8,

??UaAB1c4-

AD】=DXD2=D2D3,S^ABR=1，

-e-S△9烏=3s△A8Q=3x1=3,

在△AG2和△ACD中，

2=3=也，ZC3AD3=ZCAD,

ACAD33

△C3AD3s△CAD,

一工。3世=9Se。=9x1=9,

44

=

,，,^AAC4D3~SM3AD3=§x9=12,

…S△用C4R=^△AC4D3ZA瓦A—S.ABG=12+3—8=7

「.△與C'A的面積為7,

故答案為：7.

11.答案：(1)見詳解

3

(2)GH=-

4

(3)AB=娓BG

四邊形ABC。是矩形，ZA=ZD=ZC=90°,/.Zl+Z3=90°,E,R分別在

AD,BC上,將四邊形ABEE沿所翻折，使A的對稱點P落在。C上，

ZEPH=NA=90°,Zl+Z2=90°,二Z3=Z2,/.△EDPs&CH；

四邊形ABCD是矩形，:.CD=AB=2,AD^BC=3,ZA=ZD=ZC=90°,P

為CO中點，DP=CP=-x2=l,^EP=AP=x,ED^AD-x=3-x,在

2222

入△EOP中，EP=EDr+DP,BPx=(3-x)+1,解得x=；,

54FDFP

EP=AP=x=-,ED=AD-AE=~,Z\EDP^Z\PCH,——=——，

33PCPH

45

,3=2,解得p“=9,PG=AB=2,GH=PG-PH=~；

1PH44

(3)如圖：延長AB,PG交于一點M,連接AP,E,歹分別在A￡>,BC上,將四

邊形ABFE沿跖翻折，使A的對稱點P落在CD上，.?.”，川,8GL直線E尸，

BG//AP,AE=EP,:.ZEAP=ZEPA,:.ZBAPZGPA,二△MAP是等腰三角

形，MA=MP,P為中點，.?.設DP=CP=y,:.AB=PG=CD=2y,H為

中點，BH=CH,ZBHM=NCHP,ZCBM=ZPCH,

：.AMBH^APCH(ASA),

M

i3

：.BM=CP=y,HM=HP,:.MP=MA=MB+AB^3yHP=-PM=-y,在

RtZiPCH中，CH=dPH2-PC?=￥「，:.BC=2CH=0,AD=BC=45y,

在RtAAPD中，AP=^JAD2+PD2=寂y,BG//AP,△BMG^/XMAP,

世=也<：.BG=0,.

嗡瓜’‘ABMBG.

APAM33'=a=

Ty

12.答案：（1）畫圖見解析，90

（2）見解析

2T8

（3）一或一

33

解析：（1）如圖，PC即為所求,

ZAOB90°,PA±OA,PCLOB,

二四邊形Q4PC是矩形，

NAPC=90。，

故答案為：90；

(2)證明：過尸作PCL05于C,

由(1)知：四邊形Q4PC是矩形，

點尸在NAOB的平分線上，PALOA,PC±OB,

PA=PC,

二矩形Q4PC是正方形，

OA=AP=PC^OC,ZAPC=90°,

PNLPM,

ZAPM=Z.CPN=90°-ZMPC,

又ZA=/PC7V=90°,AP=CP,

AAPM^AC/W,

AM=CN,

OM+ON=OM+CN+OC

=OM+AM+AP

^OA+AP

=2AP；

(3)①當M在線段AO上時，如圖，延長NM、相交于點G,

由(2)知QW+ON=2Q4,

設OAf=x,貝1JON=3x,AO^PA=2x,

AM=AO-OM=x=OM,

ZAOB^ZMAG^90°,ZAMG=ZOMN,

/\AMG^Z\OMN（ASA）,

AG—ON=3x，

ZA（9B=90°,PA1OA,

AP//OB,

△ONFS/XPGF,

.OFON3x_3

"~PF~~PG~3x+2x-丁

PF5

----——,

OF3

.OP5+38

一而一亍-3；

②當/在AO的延長線上時，如圖，過尸作尸CLOfi于C,并延長交MN于G

由（2）知：四邊形Q4PC是正方形，

OA=AP=PC=OC,ZAPC^90°,PC//AO,

PN±PM,

ZAPM=Z.CPN=90°-ZMPC,

又ZA=NPCN=9Q。,AP=CP,

AAPM^ACP/V,

AM=CN,

ON-OM

=OC+CN-OM

=AO+AM-OM

=AO+AO

=2AO,

ON=3OM=3x

AO=x,CN=AM=2x,

PC//AO,

Z\CGN^Z\OMN,

CGCNRnCG2x

OMONx3x

...C”G=-2x,

3

PC//AO,

△OMFS/\PGF,

.OF_0M_X_3

"~PF~~PG-J-5'

x+—x

3

PF5

?----=-9

OF3

,OP5-32

一而一亍-

綜上，”的值為2或號.

OF33

13.答案：(1)證明見解析

(2)CD=242

(3)A/21

解析：

14.答案：(1)見解析

(2)6-26秒或2秒

(3)4cm2

解析：(1)證明：四邊形ABCD是正方形,

:.NPAE=NQCE=45。.

CE=2AE,AP=t,CQ—2t,

.AEAP1

"'CE~'CQ^2,

:./\AEP^/\CEQ.

(2)過點E作石于點M,過點E作ENLBC于點N.

由題意知AC==6&,

CE=2AE,

AE=2V2,

ZPAE=45°,

AM=ME=2,EN=CN=4,

由已知，

AP=t,CQ=2t,BQ=6—2t,MP=\t-?\,BP=6-t,QN=\BN-B^=\2t-4\.

EP?=EM2+MP2,即ED?=2?+(2—=產—4/+8,

PQ?=BP?+BQ2,gpPg2=(6-02+(6-202=5r-36z+72,

EQ2=EN2+NQ2,即EQ2=4?+(2t-4)2=4z2-16?+32.

①當NEPQ=90。時，WEQ1=EP~+PQ2.

即4/一16f+32=/_4f+8+5〃-36f+72,整理得「一12f+24=0.

解得「6-2百，^=6+2百(不合題意，舍去).

②當NPEQ=90。時，＜PQ1=EP-+EQ2.

即5產一36。+72=/―4Z+8+4/—16。+32,整理得f—2=0,解得y2.

③當NPQE=90。時，＜EP2=PQ2+EQ2.

即產—4/+8=5?—36/+72+4產一16/+32,整理得產-6/+12=0,該方程無實數解.

綜上所述，當△EPQ是直角三角形時，/的值為6-2百秒或2秒.

(3)過點A作交CB的延長線于點E連接FE交AQ于點G.

AF±AC,ZACF=45°,

:.AF=AC.

AEAE_1

~AC~~AF~3,

,tanNAFE=—.

3

tanNAQE=—,

,ZAFE=ZAQE,

ZAGF=ZEGQ,

AAGFS/\EGQ,

AGGF

~EG~~G