通的候舍啟用題

與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算

特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究

圓的綜合應(yīng)用題中?？碱}型

情景與應(yīng)用題型

中考圓的命題趨勢主要圍繞圓的有關(guān)概念和性質(zhì)進(jìn)行考查，包括弦弧角的關(guān)系、圓周角與圓心角、圓內(nèi)接

四邊形、切線等知識點(diǎn)。這些知識點(diǎn)常以選擇題、填空題和解答題的形式出現(xiàn)，既考察學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的

掌握程度,也考察學(xué)生運(yùn)用這些知識解決實(shí)際問題的能力。

模型01與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算

與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算近兩年主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)。在選擇題和填空題中，通常會(huì)直接

考查學(xué)生對圓心角與圓周角及圓的切線等知識的理解和應(yīng)用。在解答題中，可能會(huì)涉及到圓的對稱性、圓與

三角形或四邊形的綜合應(yīng)用，需要學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理和計(jì)算。止匕外，還可能會(huì)涉及到與其他

知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用，如與三角形的相似和全等、四邊形的存在性問題等知識點(diǎn)的結(jié)合。

模型02特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究

特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)研究，該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，第一問基本上考查的為圓的性質(zhì)，主

要以求解和證明的形式出現(xiàn)。圓與四邊形結(jié)合時(shí)，需要我們對四邊形的判定和性質(zhì)有清晰認(rèn)識,尤其是菱形、

矩形的相關(guān)知識點(diǎn)。圓的綜合問題是中考數(shù)學(xué)中的壓軸題中的一類,也是難度較大的一類，所以，對應(yīng)的訓(xùn)練

很有必要。

模型03情景與應(yīng)用題型

情景與應(yīng)用題型是圓知識點(diǎn)的綜合考查應(yīng)用，通常和我們的日常生活中所接觸的事物或者生活現(xiàn)象緊密

結(jié)合，需要同學(xué)們有較強(qiáng)的閱讀和理解題意的能力，同時(shí)還要有一定的知識儲(chǔ)備。在解題時(shí)要根據(jù)題意把轉(zhuǎn)

化為我們所學(xué)習(xí)的圓的相關(guān)知識應(yīng)用。

總結(jié)?通型鈾建［

模型01與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算

考I向I項(xiàng)I惻

與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算該題型近年主要以選擇、填空形式出現(xiàn),在綜合性大題考試中，難度系數(shù)不

大，在各類考試中都以中檔題為主。解這類問題的關(guān)鍵是結(jié)合圓的性質(zhì)及相關(guān)判定定理與推論并結(jié)合圓

和其它幾何的相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行解題。

答I題I技I巧

第一步：靈活應(yīng)用弦弧角之間的關(guān)系，弦和弧最終轉(zhuǎn)化為角，一般情況下是圓周角；

第二步：碰到直徑想直角，直徑所對的圓周角為90°；

第三步：看到切線--連半徑--90°,證明切線時(shí)注意證明90°；

第四步：圓內(nèi)接四邊形一一對角互補(bǔ)，外交等于內(nèi)對角；

［題型王＜5'1

題目工（2023?河南）如圖，在中，/B=30°,AB=3.以。為圓心，04為半徑的圓。交OB于點(diǎn)C.

點(diǎn)。在OO上，連接CD,4D,若/40。=30°,則圓。的半徑為（）

A.1B.V3C.2D.V5

【答案】B

【詳解】

解：：AADC=30°,

：./AOC=24ADC=60°,

?/ZB=30°,

AOAB=180°-60°-30°=90°,

tanB=tan30°=,

AB

；AB=3,

OA=3x=V3,

o

故選：B.

（2023?安徽）如圖，在4ABC中，/A=90°,AB=AC=9,以點(diǎn)A為圓心、6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)P.連接AP、BP、CP,則■|BP+C尸的最小值是（）

O

2

A.3V13B.V97C.D.2+3V13

【答案】8

【詳解】解:如圖，在AB上取一點(diǎn)F,使得AF=4,

AB=9,AP=6,AF=4,

./E=g=2則=

"AB93JAP639ABAP9

???AFAP=APAB,

：.△FAP?AF4B,

.PF=AP=2

9'~PB~~AB~~39

9

:.PF瓷BP,

當(dāng)F、P、。共線時(shí)，PP+CP的值最小，最小值為CF,

在Rt/\FCA中，CF=V92+42=V97,

??.?BP+CP的最小值為V97.

o

故選：B.

【題目⑶（2023?湖北）如圖，AB是。。的直徑，AB=10,。是AB延長線上一點(diǎn)，。在。。上，連接AC,

（1）求證：。。是。。的切線；

⑵若tan/A=/,求CD的長.

【答案】（1）詳見解析

⑵CD=5

【詳解】⑴

證明：連接OG,BC,如圖，

?.?AB為。。的直徑，

ZACB=90°,

AZA+ZABC=90°.

■：OB=OC,

：./ABC=ZBCO.

NBCD=NA,

：.ABCD+ZBCO=90°,即ADCO=90°,

OC±CD.

-.-。。是。。的半徑，

.?.CD是。。的切線；

解：TAB為。O的直徑，

???乙4cB=90°,

1

*.*tanZA=—,

.BC_1

"AC~2f

???ZA=/BCD,ZD=ZD,

???/\ACD?叢CBD,

.BD=BC=1

"CD-AC-T，

設(shè)BD—x,CD—2x,

???AB=10,

:.OB—OC—b,

???ZDCO=90°,

002=CD2+OC2,

：.0+5)2=(202+52,

解得劣=￡或a;=0(不合題意舍去),

:.CD—5.

模型02特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究

考|向|項(xiàng)|瀏

胞除四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究模型該題型主要以解答題的形式出現(xiàn),綜合性較強(qiáng)，有一定難度,主要考查

對圓性質(zhì)的理解與三角形或四邊形綜合知識的應(yīng)用。實(shí)際題型中對數(shù)形結(jié)合的討論是解題的關(guān)鍵。許多問

題的討論中需要我們對四邊形的判定和性質(zhì)有清晰認(rèn)識。

答I題I技I巧

第一步：圓的性質(zhì)應(yīng)用，根據(jù)專題1的解題思路進(jìn)行求解；

第二步：注意結(jié)合的四邊形的形狀,特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定熟練應(yīng)用；

第三步：四邊形的存在性問題注意假設(shè)、反推；

第四步：數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析、解答

I題型學(xué)＜5*1

題目回（2023?湖北）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于?O,點(diǎn)E在CD的延長線上.若AADE=70°,

則ZAOC=度.

【答案】140

【詳解】解：；四邊形ABCD內(nèi)接于。O,NADE=70°,

A/B+/ADC=180°,

又AADE+AADC=180°,

A/B=/ADE=70°,

"00=2/8=140°.

故答案為：140.

〔題目回（2023?江西）課本改編

（1）如圖1,四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，AC為。O的直徑，則2D=_度,ABAD+ABCD

一度.

（2）如果0O的內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC不是OO的直徑，如圖2,求證:圓內(nèi)接四邊形的對角互

補(bǔ).

知識運(yùn)用

（3）如圖3,等腰三角形48。的腰AB是③。的直徑，底邊和另一條腰分別與O。交于點(diǎn)D,E,F是線

段CE的中點(diǎn)，連接DF,求證：DF是?。的切線.

【答案】⑴90,180;（2）見解析；（3）見解析

【詳解】（1）：四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，AC為⑷。的直徑,

48=40=90度,

?/ABAD+ABCD+ZB+ZD=360°

A/BAD+ABCD=360°-ZB-ND=180°

故答案為：90,180

（2）證明：如圖，連接AO并延長，交。O于點(diǎn)E,連接BE,DE.

由（1）可知，/ABE=90°,/ADE=90°,

AABE+AADE=180°

ABAD+2BED=180°

?/ABED=AC,2CDE=ACBE

：.ZBAD+ZC=180°,ZABC+ZADC=180°

即圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)

⑶證明：連接OD,DE,如圖所示

?：OB=OD,

：.NB=NODB

?：ABAC,

：.2B=ZC

:"ODB=2C

：.OD//AC

?：四邊形ABDE是圓內(nèi)接四邊形,

：.AB+AAED=18QQ

?/ADEC+AAED=180°,

NB=NDEC

：.NC=/DEC

：.DC=DE

?.?F是線段CE的中點(diǎn)，

：.DF±AC

：.DF_LOD

???OO是。。的半徑，

.?.OF是（DO的切線

模型03情景與應(yīng)用題型

考|向|殖|惻

圓結(jié)合的情景與應(yīng)用模型近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易得滿分。

該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，一般較為靠后,有一定難度。該題型通常和我們的日常生活中所接觸的事

物或者生活現(xiàn)象緊密結(jié)合，需要同學(xué)們有較強(qiáng)的閱讀和理解題意的能力，同時(shí)還要有一定的知識儲(chǔ)備。在解

題時(shí)要根據(jù)題意把轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)習(xí)的圓的相關(guān)知識應(yīng)用。

答I題I技I巧

第一步：理解題意，聯(lián)系圓的相關(guān)知識點(diǎn)；

第二步：圓的相關(guān)證明與判定依據(jù)模型1的思路總結(jié)；

第三步：利用四邊形、圓、直角三角形或相似的相關(guān)知識點(diǎn)解題；

即型三例

[題目|1]（2022?河南）為弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運(yùn)動(dòng)會(huì)的比賽項(xiàng)目.滾

鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成.小明對滾鐵環(huán)的啟動(dòng)階段進(jìn)行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時(shí)，鐵環(huán)。。與水平地

面相切于點(diǎn)。，推桿與鉛垂線AD的夾角為/歷LD,點(diǎn)。，在同一平面內(nèi).當(dāng)推桿4B與

鐵環(huán)OO相切于點(diǎn)B時(shí),手上的力量通過切點(diǎn)B傳遞到鐵環(huán)上，會(huì)有較好的啟動(dòng)效果.

（1）求證：ZBOC+ZBAD=gO0.

（2）實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，切點(diǎn)B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時(shí)，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動(dòng).圖中點(diǎn)B是該區(qū)域內(nèi)最低

位置，此時(shí)點(diǎn)A距地面的距離AD最小,測得cosZBAD=1-.已知鐵環(huán)。0的半徑為25cm,推桿AB的

長為75cm，求此時(shí)AD的長.

6

【答案】(1)見解析

(2)50cm

【詳解】(1)證明：?.?。O與水平地面相切于點(diǎn)C,

：.OC1.CD,

???AD_LCD,

AADHOC,

???AB與。。相切于點(diǎn)

???ABVOB,

??.AOBA=9Q°,

過點(diǎn)、B作BE〃AD,

：.ABAD=AEBA,BEUOC

???/COB=/OBE,

：.4cOB+ABAD=/OBE+AABE=AOBA=90°,

即ZBOC+ABAD=90°.

⑵如圖，過點(diǎn)B作CO的平行線，交4D于點(diǎn)G,交OC于點(diǎn)R,

??.FG±AD,FG_LOC,則四邊形CFGD是矩形，

???ABOC+ABAD=90°,AABO=90°,

??.AOBF=90°-AFOB=ZA,

在Rt/\ABG中，=cosN_BAD=§,AB=75cm,

5

AG=ABxcosABAD=75x=45(cm),

5

Q

在Rt/\OBF中，cosZOBF=cosA=--,OB—25cm,

5

BF=OBx3=25xg=15(cm),

55

??.OF=^OB2-BF2=V252-152=20(cm),

/.FC=OC—OF=25-20=5(cm),

:.DG=FC=5cm,

/.AD=AG+GD=45+5=50(cm).

目。（2022.江蘇）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點(diǎn)。是圓心，直徑AB的長是12cm,C是半圓弧上的

一點(diǎn)（點(diǎn)。與點(diǎn)不重合），連接

AOBAOB

備用圖

⑴沿AC、剪下ZVIBC,則△ABC是三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；

（2）分別取半圓弧上的點(diǎn)E、F和直徑上的點(diǎn)G、H.已知剪下的由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是

一個(gè)邊長為6cm的菱形.請用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個(gè)符合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫作

法）；

（3）經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點(diǎn)。，一定存在線段AC上的點(diǎn)河、線段BC上的點(diǎn)N

和直徑AB上的點(diǎn)P、Q,使得由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長為4cm的菱形.小明的猜想

是否正確？請說明理由.

【答案】（1）直角

（2）見詳解

（3）小明的猜想正確，理由見詳解

【詳解】（1）解:如圖，

?.?AB是。。的直徑，

ZACB=90°,

乙4cB是直角,

即△ABC是直角三角形，

故答案為：直角；

（2）解：以為圓心，49為半徑畫弧交。。于點(diǎn)E,再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于?O點(diǎn)F連接

EF、FO.EA,G、〃點(diǎn)分別與A、O點(diǎn)重合，即可，

作圖如下：

由作圖可知AE=EF=FH=HG=OA==6,

即四邊形EFHG是邊長為6cm的菱形；

（3）解：小明的猜想正確，理由如下：

如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)A時(shí)，設(shè)CM=^-CA,CN=春CB,

oo

,CM=CN=\

??.MN//AB,

.MN=CAI=1

"~AB~~CA~Jy

ii

MN=-^-AB=--X12=4cm.

oo

分別以河，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點(diǎn)P,Q,作AB于點(diǎn)O,NE_LAB于點(diǎn)石，

??.MN=MP=NQ=4cm.

?/MN〃AB,MD_LAB,NE_LAB,

??.MD=NE,

在Rt'MDP知Rt'NEQ中，震;嗯

：.RtAMDPxRIANEQ(HL),

ZMPD=ZNQE,

：.MP//NQ,

又；MP=NQ,

：.四邊形7WNQP是平行四邊形，

又：MN=MP,

：.四邊形兒WQP是菱形；

同理，如圖，當(dāng)點(diǎn)?？拷c(diǎn)B時(shí)，采樣相同方法可以得到四邊形上WQP是菱形,

故小明的猜想正確.

京夏?孤牝鈿續(xù)

題目包（2022?四川省）如圖，CD為。。的直徑，弦AB,CD,垂足為E,CE=1,AB=6,則。。的半徑為

A

E\OD

D.無法確定

【答案】。

【詳解】

連接04,

???CD為。O的直徑，弦ABLCD,

：.AE=^-AB=39

設(shè)04=OC=力，則OE=x-1,B\/

：.（/一1戶+32=/2,解得：x=5,F

???。0的半徑為5.

故選

題目20（2023.廣東）如圖，AD為。。的直徑，AD=6cm,/D4C=/4BC,則的長度為（）

B.2V2C.3V2D.3V3

【答案】。

【詳解】

解：連接CD,

?/是。。的直徑,

ZACD=90°,

?/ADAC=AABC,AABC=/LADC,\\

：.ADAC=AADC,\\

：.CD=AC,c

AC^CD,

又：ACi+CD1^AD1,

24。2=人。2,

；AD=6,

4。=3侑

故選：C.

題目回（2023?福建）。。的半徑為10cm,弦AB〃CD.若4B=12cm,CD=16cm,則4B和?CD的M距離為

A.2cmB.14cmC.2cm或14cmD.2cm或10cm

【答案】。

【詳解】

當(dāng)弦48和CD在圓心異側(cè)時(shí)，如圖1,

過點(diǎn)O作OE_L4B于點(diǎn)E,反向延長O石交CD于點(diǎn)F,連接。4,OCf

???ABIICD,

：.OF_LCDf

AB—12cm,CD—16cm,

/.AE—6cm,CF—8cm,

???OZ=OC=10cm,

???在Rt/XAOE中，由勾股定理可得；EO=NO^—AE?=V102-62=8cm,

在Rt/XCOF中，由勾股定理可得：OF=VOC2-CF2=V102-82=6cm,

/.EF=OF+OE=8+6=14cm.

當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時(shí)，如圖2,

過點(diǎn)O作。尸，CD,垂足為F,交AB于點(diǎn)E,連接OA,OC,

???AB//CD,

：.OE.LAB,

AB—12cm,CD—16cm,

AE=6cm,CF=8cm,

???OA=OC=5cm,

在Rt/\AOE中，由勾股定理可得：EO=y/O^-AE'2=V102-62=8cm,圖2

在R心COF中，由勾股定理可得：OF=y/OC2-CF2=V102-82=6cm,

/.EF=OE—OF=8—6=2cm;

故選C.

題目叵（2023?北京）如圖，AB為。。的直徑，點(diǎn)。在圓上，若乙4。。=130°,則/BAC的度數(shù)為（）

【答案】。

【詳解】解：?.?四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,

AZAnC+ZB=180°,

???NADC=130°,

???ZB=180°-130°=50°,

???AB為。O的直徑，

??.ZACB=90°,

??.ABAC=90°-ZB=40°.

故選：C.

題目⑶（2023?浙江）如圖，在△AB。中，AB=AC,以AB為直徑作圓，交于點(diǎn)。，延長CA交圓于點(diǎn)E,

連接DE,交于點(diǎn)F.若AF:BF=1：4,則EF：DF的值為（）

C.3:4D.1:2

【答案】B

【詳解】解:連接AD,

；AB為直徑，

NADB=90°,^：AD_LBC,

?：AB=AC,

.?.點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，

取4C的中點(diǎn)G,連接DG,則：DG//AB,DG=yAB,

AAEF-AGED,

.EF_AF

"15E~15G,

,：AF'.BF^VA,

AF=^AB,

5

.EF=AF=2

"DE-nc

2

:.EF==DE,

5

：.DF=—DE,

5

：.EF:DF=2:3;

故選8.

題目0（2023-陜西）如圖，。。是AABC的外接圓，乙4=72°.過點(diǎn)。作BC的垂線交互方于點(diǎn)。，連接

BD,則/。的度數(shù)為（）

C.46°D.361

【答案】B

【詳解】解:連接CD,

?.?四邊形48。。是圓內(nèi)接四邊形，乙4=72°,

ZCDB+ZA=180°,

AZBDC=180°一/A=108°,

?：OD±BC,

.?.E是邊3。的中點(diǎn)，

:.BD=CD,

：.NODB=2ODC=g2BDC=54°.

故選：B.

題目JJ（2023-上海）若一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于36°,那么這個(gè)正多邊形的中心角為度.

【答案】36

【詳解】解：?.?正多邊形的每一個(gè)外角都等于36°,

正多邊形的邊數(shù)n==io,

36

二.這個(gè)正多邊形的中心角=3：；=36°,

故答案為：36.

題百①（2022?上海）如圖，是RtAABC的外接圓，AB交?。于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)。，AE,CB的

延長線交于點(diǎn)F.如果。。=3,48=8,那么?。的長是.

【答案】10.

【詳解】解：?.?OE_LAB,

A/ADO=90°,

?//ABC=90°,

/ABC=/ADO=90°,

：.OD//BC,

■：OA=OC,

：.AD=DB=yAB=4,AE=EF,

.?.OE是AAFU的中位線，

：.CF=2OE,

在RtAADO中，AO=^AD2+OD2=V42+32=5,

；.CF=2OE=1Q,

故答案為：10.

題目①（2023-長寧）如圖，。。的直徑4B與弦CD交于點(diǎn)E,已知ACEA=45°,DE=7,OE=32,那

么cot/ABD的值為.

12

【答案］5,一1.

【詳解】解:作OF_LCD于尸，連接OD,

?.?/CEA=45°,

/OEF=45°,

-：OE=3V2,

：.OF=EF=3,

?:DE=7,

：.DF=4：,

.?.OD=V32+42=5,

：.OB=5,BE=5+3伍

作。H_LOB于H,

ADEH為等腰直角三角形,

?：DE=7,

:.EH=DH=%①,

???cotAABD=黑=三十=望一

DH7V2_7

2

故答案為：5史—1.

［題目亙（2023?湖南）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。O,對角線4。出。交于點(diǎn)打,連接。及若

。。的半徑為r,OE=m.

（1）若4ABe=/BAD,求證：0H平分AAEB-,

⑵試用含r,館的式子表示AC2+BD2的值；

（3）記△AOE,/\BCE,/\ABE,△CDE的面積分別為S2,S3,S4,當(dāng)J&+S2+S3+S4=后+宿時(shí),

求證：AC=BD.

【答案】（1）見解析；

（2）AC2+BL>2=4（2r2-m2）;

（3）證明見解析.

【詳解】⑴解:連接。4、OB,

由比=比,得:2CBD=NCAD,

又AABC=ABAD,

NABC-ACBD=ABAD-ACAD,即NABD=ACAB,

：.AE=BE,

?：OE=OE,OA=OB

：.^AEO邕ABEO(SSS)

NOEA=ZOEB，即：OE平分AAEB.

(2)解:如圖，作。M_LAC,ON_LBD,AC_LBD,連接OA、OB,得四邊形OMEN為矩形，ON=ME,

根據(jù)垂徑定理得AC=2AA/,BD=2BN

則A(f+BD2=(2AM)2+2(BAT)2

=4(AM2+BAT2)

=^r2-OM2+r2-ON2)

=4[2r2-(OM2+O7V2)]

=4[2r2-(OM2+Affi；2)]

=4(2/—。%

=4(2r2—m2)

即：AC2+BD2^4(2r2-m2)

⑶由J&+S2+S3+S4=4+宿兩邊同時(shí)平方化簡得：$+$2=2/5商

.?獸=獸=器（等高，面積之比等于底之比）

??S5=s3s4

??S1+S2=2宿￡,(后-癌)2=S1+S2—2S5=0

Si=S2,Si+S3—S?+S3,即SMDB=S^ACB

因?yàn)椤鰽DB和△ACB共底，則它們的高相等，由平行線之間的距離處處相等

-.AB//CD,

-.BC^AD,

■.BC+CD=AD+Cb,

\AC=BD,

?.AC=BD.

題目包（2022?浙江）如圖1所示的圓弧形混凝上管片是構(gòu)成圓形隧道的重要部件.管片的橫截面（陰影部

分）如圖2所示,是同心圓環(huán)的一部分，左右兩邊沿的延長線交于圓心，甲、乙、丙三個(gè)小組分別采用三種不

同的方法,測算三片不同大小的混凝土管片的外圓弧半徑.

14

圖1

⑴如圖2,BA,CD的延長線交于圓心O,若甲組測得4B=0.6wi,4D=3小，BC=4m■，求OB的長.

（2）如圖3,ED,FC的延長線交于圓心H,若乙組測得DE=0.8m,①=12m,頡=15力,直接寫出

的長.

（3）如圖4,有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用兩個(gè)完全相同的長方體木塊固定，管片與地面的接

觸點(diǎn)乙為府的中點(diǎn)，若丙組測得MN=PQ=0.5M，NL=LQ=2m,求該管片的外圓弧半徑.

【答案】（1）OB=2.4小

⑵EH=4m

（3）該管片的外圓弧半徑為4.25m

【詳解】⑴

解：?.?04=OD,OB=OC

ZOAD=ZODA=180。=AOBC=^OCB

：.△AO。?△OBC

.OA_=AD_=3_

設(shè)。8=*,則04=。-0.6

./—0.6_3

??x~~4

解得：力=2.4,經(jīng)檢驗(yàn)力=2.4是原方程的解，即OB=2.4m

（2）解：??,坦=黑，設(shè)明=g,貝］_HD=g—0.8

LEF乜H

.12_y—0.8

"15y

解得：？=4,經(jīng)經(jīng)檢驗(yàn),=4是原方程的解

：.EH=4m;

⑶

解:如圖所示，設(shè)圓心為O,連接。P、OM,OL.MP,O乙與交于點(diǎn)T,則40TM=驕，MT=NL=2

o

設(shè)外圓弧的半徑為r,則OT=r—0.5,

22

在Rt/^MOT中，勾股定理可得。河2=。丁2+村2，即產(chǎn)=（r_0.5）+2

解得：r=4.25

/.該管片的外圓弧半徑為4.25m

支支.題型

題目工（2024?陜西西安?一模）如圖，點(diǎn)4B在以CD為直徑的半圓上，B是血的中點(diǎn)，連結(jié)BRAC交于

點(diǎn)E,若/ECD=40°,則/BDC的度數(shù)是（）

【答案】。

【詳解】解:連接40,

???CD是直徑，

ZCAD=90°,

?：/ECO=40°,

/ADC=90。-40。=50。，

?.?B是念的中點(diǎn)，

ZBDC=^-ZADC=25°.

故選：D.

題目幻（2024.安徽池州.一模）如圖，已知△ABC內(nèi)接于。。，力。為直徑，半徑OD//連接OB,AD.

若乙403=140°,則/BAD的度數(shù)為（）

A.75°B.70°C.55°D.50°

【答案】。

【詳解】解：?.?卷=檢，ZAOB=140°,

:"C=-AAOB=70°,4BOC=180°-AAOB=40°,

-.-OD//BC,

：./。0。=/。=70°,

AABOD=ZBOC+4DOC=40°+70°=110°.

?：BD-BD,

：.ABAD=yZBOD=55°,

故選：c.

題目§（2024.安徽.一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,AC為OO的直徑，AACD+ABCD=180°,連

接。。，過點(diǎn)。作。ELAC,垂足為點(diǎn)E,過點(diǎn)。作OO的切線交的延長線于點(diǎn)F,則下列結(jié)論中不正

確的是（）

A.AD^DBB.NCDF=2BAC

C.DF±BFD.若。。的半徑為5,8=4,則

5

【答案】B

【詳解】??,ZACD+ZBCD=180°,AACD+ZACB+4DCF=180°,

???/BCD=AACB+/.DCF,

?//.BCD=AACB+Z.ACD,

???4ACD=4DCF,

?：四邊形ABCD內(nèi)接于。O,

???4DCF=/DAB,

???ZACD=ZDABf

???助=訪故A選項(xiàng)正確；

?：DE.LAC,

：./DEC=/DEA=90°,

：.ACDE+ADCE=90°,

???4。為。。的直徑，

??.AADE+ACDE=ZADC=90°,

??.ZDAC=ACDE9

???F。是。。的切線，

??.ZFDC+ODC=/ODF=90°,

???OA=OD=OC,

：.(DAC=AADO,AODC=AOCD,

???乙FDC=/EDC

2FDC=/EDC

在△CO石和△COR中，ADCF=AACDf

CD=CD

：./XCDE^^CDF

???ZDEC=ZDFC=90°

??.DF_LBF,故。選項(xiàng)正確;

???(DO的半徑為5,CD=4,

:.AC=10,

???NAD。=/DEC=90°,

zc=zc,

ADE。?△ADC

.DC=AC

??EC~DC

DC2=EC-AC,

42=ECX10,

EC=3

5

???^DCE^DCF

:.CF=EC*,

5

所以，。選項(xiàng)正確，

?/ZCDF=ACDE,2DAC=ACDE,

：.ZCDF=ADAC,

無已知條件證明BC=DC,

AZCDF=/DAC但不一定等于乙民4C,故選項(xiàng)B不成立，該選項(xiàng)符合題意；

故選：B.

題目⑷在①△ABC中，/。=90°,點(diǎn)。是斜邊AB邊上一點(diǎn)，以。為圓心，04為半徑作圓，OO恰好與邊

BC相切于點(diǎn)。，連接AD,若40=8。，。。的半徑為4,則。。的長度為（）

A.2V3B.4C.3D.5

【答案】A

【詳解】解：：。。恰好與邊BC相切于點(diǎn)D,/C=90°,

：.BC±OD,

：.ZODB=Z.C=90°,

：.OD//AC,

：.ZODA=ACAD,

?：OA^OD,

：.ZODA=ABAD,

：.NCAD=/BAD,

,：AD=BD,

：.ABAD=AB,

：.ACAD=ABAD=ZB,

???ACAD+ABAD+ZB=ACAB+ZB=90°,

??.ACAD=ABAD=ZB=30°,

.-.OB=2On=2X4=8,

??.AD=BD=VOB2-On2=V82-42=473,

18

CD=--AD=yx4V3=2V3,

故選：A.

題目回如圖，O。半徑長2cm,點(diǎn)4B、C是。。三等分點(diǎn)，。為圓上一點(diǎn)，連接AD,且40=2231,

CD交AB于點(diǎn)E,則/BED（）

A.75°B.65°C.60°D.55°

【答案】A

【詳解】解:如圖所示，連接OD,OA,BD,

?.?。。半徑長200(1,

:.OA=OD=2cm,

,/AD—2V2cm,

??.04+0。2=22+22=8=AD2,

??.A4OO是直角三角形，且乙400=90°,

ADBE=-j-ZAOZ?=45°,

?.?點(diǎn)4、B、。是?O三等分點(diǎn)，

ABDC=180°x：=60。，

O

ABED=180°一/BDE-4DBE=75°,

故選：A.

題目區(qū)（2023?浙江金華三模）如圖，已知直線片*c—3與立軸、。軸分別交于4B兩點(diǎn)，P是以。（0,1）

為圓心，1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA、PB.則△PAB面積的最小值是（）

C.8

【答案】A

【詳解】解：過。作CM±AB于河，連接AC,

，:直線y=~x—3與①軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),

.?.令2=0,則y=-3;令g=0,則c=4;

.?.點(diǎn)4為（4,0）,點(diǎn)B為（0,-3）,

.\AB=V42+（-3）2=5;

OA=4,BC=1-（-3）=4,

則由三角形面積公式得，:■xABxCM制xOAxBC,

.?.5xCM=16,

5

圓C上點(diǎn)到直線。=；力一3的最小距離是畢一1二4,

455

??.△P4B面積的最小值是JX5X圣=?；

故選:A.

題目可（2024.河南漠河?一模）如圖圓O的半徑是4,BC是弦，"=30°且力是弧BC的中點(diǎn)，則弦AB的

A.2V3B.4V3C.4D.6

【答案】。

【詳解】解:連接49、BO、8,

???ZB=30°,

乙40。=60°,

???A是弧BC的中點(diǎn)，

AAOB=AAOC=^°,

,：AO=BO,

：.△AOB是等邊三角形，

AB=AO=4.

故選：C.

題目⑥（2024.重慶.一模）如圖，AB是。O的直徑且AB=4V2,點(diǎn)。在圓上且AABC=60°,AACB的平分

線交。。于點(diǎn)。，連接并過點(diǎn)4作垂足為E,則弦的長度為（）

D

C

20

A.2V3B.V15C.4D.飛娓

o

【答案】。

【詳解】解：43是。O的直徑,

乙4cB=90°,

AABC=60°,AB=4V2,

sinB=sin60°=,

A.B2

AC=2V6,

???CD平分/ACB,

AAACE=yZACB=45°,

?：AE±CD,

：.△ACE是等腰直角三角形，

：.AE=^AC=2V3,

■：ZZ)=ZB=60o,

tanD=tan600==A/3,

DH

:.DE—2,

???ZDAE=90o-Zn=30°,

??.AD=20E=4,

故選：C.

題目可如圖，。。半徑長2cm,點(diǎn)人B、C是。。三等分點(diǎn)，點(diǎn)。為圓上一點(diǎn)，連接A。,且4D=22cm,

CD交AB于點(diǎn)E,則()

【答案】A

【詳解】

解：連接04、OB、OC、OD,則OA=OB=OC=OD=2cm,A

?.?點(diǎn)4及。是。。三等分點(diǎn)，

AAOB=ZBOC=ACOA=120°,AB^BC^AC,

：.NOBC=/OCB=30°,

OD—OA—2cm,AD—2\/2cm,

：.OD2+O^Alf,

：.△AOO為等腰直角三角形，

ZAOD=90°,ADOA=ZADO=45°,

弧BD對應(yīng)NDAB和ADCB,

21

???/DAB=/DCB

???AB=BC=AC,

：.ZACB=ABAC=ZABC=60°,

???ABED=/.EDA+ADAB,/.DAB=ADCB,

???/.BED=AADE+ZDCB,

???4ADE=/ADO+/ODC,NADO=45°,NO。。=ZOCD

：./ADE=45°+/OGD

??.ABED=45°+ZOCD+ADCB=45°+ZOCB=45°+30°=75°,

故選：A

題目［o］如圖，有圓O,內(nèi)部有四邊形ABC。,連接CO和AO,已知乙8=60°,CO是乙4CD的角平分線,

則/A。。的度數(shù)是（）

【答案】B

【詳解】

解：?.?四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

ZACD+ZB-180°,

?/ZB=60°,

乙4c0=120°,

???CO平分乙4CD,

NACO=-1-ZACD=60°,

?：OA^OC,

：.人?1。。是等邊三角形，

ZAOC=60°.

故選：B.

：題目11〕如圖，4B是③。的直徑,CD與0O相切于點(diǎn)C,AB的延長線交直線CD于點(diǎn)E,連接AC,BC.

若NACD=60°,AC=聰,則BE的長度是.

【答案】1

【詳解】解:連接OC,

22

AB是。。的直徑，CD與。。相切于點(diǎn)C,

/020=乙4cB=90°,

/AGO=60°,

AZOCB=ZACn=60°,

?/OC=OB,

：.△COB是等邊三角形，則ACOE=NABC=60°,

在Rt^ACB中，AC=血，則AB=—二7==4=2,

sinZABCV3_

2

OC=OB=}AB=I,

在RMCE中，OE=-=：=2,

cosACOEX

2

：.BE=OE-OB=1,

故答案為：1.

題目叵（2023?寧波）如圖，在Rt/XABC中，=90°,E為AB邊上一點(diǎn)，以AE為直徑的半圓O與BC相

切于點(diǎn)。,連結(jié)AD,BE=3,BD=3V5.P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AADP為等腰三角形時(shí)，AP的長為

【答案】6或2歷.

【詳解】解:如圖1,連接OD,DE,

?.?半圓。與相切于點(diǎn)。，

：.OD±BC,

在Rt/XOBD中，OB=OE+BE=OD+3,BD=3A/5.

：.OB2=BD2+OD2,

???(OD+3)2=(3V5)2+OZ)2,

解得OD=6,

:.AO=EO=OD=6,

①當(dāng)AP=P。時(shí)，此時(shí)P與O重合，

:.AP—AO—6;

②如圖2,當(dāng)AP，=4D時(shí)，

在放△ABC中，

vZC=90°,

???ACVBC,

：.OD//AC,

.-.△BOD-ABAC,

.OD=BD=BO

"AC-BC-BAJ

23

._6_=3函=3+6

"AC~3V5+GQ—3+6+6'

AC^W,CD=2瓜

：.AD=yjAC2+CD2=V100+20=2A/30,

：.AP'^AD^2V30;

③如圖3,當(dāng)DP〃=AD時(shí)，

?.?AZ)=2V30,

.?.”〃=AD=2溝，

-：OD=OA,

：.NODA=ABAD,

：.OD//AC,

：.NODA=ACAD,

AABAD=ACAD,

.?.AD平分/BAG,

過點(diǎn)。作DH_LAE于點(diǎn)、H,

：.AH=P"H,DH=DC=2娓,

■：AD=AD,

：.RtAADHWRtAADC(HL),

：.AH=AC