南開中學(xué)2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期期末檢測高一數(shù)學(xué)試卷考試時間：100分鐘Ⅰ卷（共32分）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷兩部分，共100分。考試結(jié)束后，將答題卡交回。一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，本大題共8小題，每小題4分，共32分．1．為幫助鄉(xiāng)村學(xué)校的學(xué)生增加閱讀、開闊視野、營造更濃厚的校園讀書氛圍，南開中學(xué)發(fā)起了“把書種下，讓夢發(fā)芽”主題捐書活動，現(xiàn)擬采用按年級比例分層抽樣的方式隨機招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名學(xué)生，其中高一年級680名，高二年級850名，高三年級510名，那么應(yīng)在高三年級招募的志愿者數(shù)目為（）A．3 B．4 C．5 D．62．一組數(shù)據(jù)：16，21，23，26，33，33．37，37的第85百分位數(shù)為（）A．34 B．35 C．36 D．373．已知三個不同的平面及兩條不同的直線，則下列四個命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．從裝有4個白球和3個紅球的盒子里摸出3個球，則以下哪個選項中的事件A與事件B互斥卻不互為對立（）A．事件A：3個球中至少有1個紅球；事件B：3個球中至少有1個白球B．事件A：3個球中恰有1個紅球；事件B：3個球中恰有1個白球C．事件A：3個球中至多有2個紅球：事件B：3個球中至少有2個白球D．事件A：3個球中至多有1個紅球；事件B：3個球中至多有1個白球5．為弘揚民族精神、繼承傳統(tǒng)文化，某校高二年級舉辦了以“濃情端午，粽葉飄香”為主題的粽子包制大賽．已知甲、乙、丙三位同學(xué)在比賽中成功包制一個粽子的概率分別為，，，且三人成功與否互不影響，那么在比賽中至少一人成功的概率為（）A． B． C． D．6．如圖，是以為直徑的半圓圓周上的兩個三等分點，，點為線段中點，則（）A． B． C． D）7．如圖，已知正方體的棱長為1，點在棱（不含端點）上運動，現(xiàn)有如下命題：①平面內(nèi)不存在直線與垂直；②平面與平面所成的銳二面角為；③當(dāng)點運動到棱的中點時，線段上存在點，使得平面；④設(shè)點為線段的中點，則三棱錐的體積為定值．其中真命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．48．月明天是我校一位登山愛好者，某天傍晚，她登上一座山尖（圖中點A處），剛好望到另一座遠(yuǎn)山，瞬間想起《送別》中“夕陽山外山”的歌詞，在這詩意的時刻，她正眺望到遠(yuǎn)山上一座涼亭（位于點B處），于是她想測算出涼亭到那座山頂（點C處）的距離，她在點A處利用測角儀器測得點B的俯角為5°，點C的仰角為40°，此后，她沿山坡下行100米至點D處，測得點A，B，C的仰角分別為80°，25°，55°，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，明天同學(xué)計算得到了涼亭到山頂?shù)木嚯x（）A．米 B．米 C．米 D．米Ⅱ卷（共68分）二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分，試題中包含兩個空的，答對1個的給2分，全部答對的給4分．9．i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則______10．已知正四面體的棱長為1，則直線與平面所成角的余弦值為______．11．已知向量，向量在向量上的投影向量，則的最小值為______．12．在5袋牛奶中，有2袋已經(jīng)過了保質(zhì)期，從中任取2袋，則取到的全是未過保質(zhì)期的牛奶的概率為______．13．設(shè)三角形是等邊三角形，它所在平面內(nèi)一點滿足，則向量與夾角的余弦值為______．14．為迎接我校建校120周年校慶，數(shù)學(xué)學(xué)科在八角形校徽中生發(fā)靈感，設(shè)計了一枚“立體八角形”水晶雕塑，寓意南開在新時代中國“保持真純初心，骎骎汲汲前行”，以下為該雕塑的設(shè)計圖及俯視圖，它由兩個中心重合的正四棱柱組合而成，其中一個正四棱柱可看作由另一個正四棱柱旋轉(zhuǎn)45°而成，已知正四棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，設(shè)該雕塑的表面積為，該雕塑內(nèi)可容納最大球的表面積為，該雕塑外接球表面積為，則______，______．三、解答題：本大題共3小題，共44分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分14分）某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取40名，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績（滿分100分，所有成績均為不低于40分的整數(shù)）分為6組：，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求出圖中實數(shù)a的值；（Ⅱ）若該校高一年級共有學(xué)生640名，試估計該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)；（Ⅲ）若從成績來自和兩組的學(xué)生中隨機選取兩名學(xué)生：（?。懗鲈撛囼灥臉颖究臻g；（ⅱ）求這兩名學(xué)生數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10的概率．16．（本小題滿分15分）在中，角所對的邊分別為，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）已知，（?。┤舻拿娣e為，求的周長；（ⅱ）求周長的取