將軍飲馬最值問題典例剖析

【傳說】早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫.一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他,

向他請教一個百思不得其解的問題.將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營B開會，應(yīng)該怎樣走才

能使路程最短？這個問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它.從此以后，這個被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今.

【問題原型】將軍飲馬造橋選址

【涉及知識】兩點之間線段最短，垂線段最短；三角形兩邊三邊關(guān)系；軸對稱；平移；

【解題思路】找對稱點，實現(xiàn)折轉(zhuǎn)直

【基本模型】1.兩定一動型：兩定點到一動點的距離和最小

例：在定直線1上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB最小.

作法：連接AB,與直線1的交點Q,Q即為所要尋找的點，即當(dāng)動點P跑到了點Q處，PA+PB最小，且最小值等于A

原理：兩點之間線段最短。

定'定直線

證明：連接AB,與直線1的交點Q,P為直線1上任意一點，在八PAB中，由三角~竭/

形三邊關(guān)系可知：AP+PBMAB（當(dāng)且僅當(dāng)PQ重合時取=）

定點打

例：在定直線1上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即

PA+PB的和最小.

關(guān)鍵：找對稱點

作法：作定點B關(guān)于定直線1的對稱點C,連接AC,與直線1的交點Q,即為所要尋找

的點，即當(dāng)動點P跑到了點Q處，PA+PB和最小，且最小值等于AC.

原理：兩點之間，線段最短

證明：連接AC,與直線1的交點Q,P為直線1上任意一點，在^PAC中,由三

角形三邊關(guān)系可知:AP+PCMAC（當(dāng)且僅當(dāng)PQ重合時取=）

2.兩動一定型［得

例:在ZMON的內(nèi)部有一點A,在0M上找一點B,在ON上找一點C,使得△BAC周長最短.

作法:作點A關(guān)于OM的對稱點A；作點A關(guān)于ON的對稱點A",連接A；A”與OM交于

點B,與ON交于點C,連接AB,AC,△ABC即為所求.

原理：兩點之間，線段最短

例：在NMON的內(nèi)部有點A和點B,在OM上找一點C,在ON上找一點D,使得四邊形ABCD周長最短.

作法：作點A關(guān)于OM的對稱點4,作點B關(guān)于0N的對稱點,夕，連接4、B',與0M交于點C,與ON交于點D,連接AC,

BD,AB.四邊形ABCD即為所求.

原理：兩點之間，線段最短

3.兩定兩動型最值

例：已知A、B是兩個定點，在定直線1上找兩個動點M與N,且MN長度等于定長d（動

點M位于動點N左側(cè)），使4M+MN+NB的值最小.

提示：存在定長的動點問題一定要考慮平移

A

作法一：將點A向右平移長度d得到點A，，作A，關(guān)于直線1的對稱點.4,連接4ms交直線1于點N,將點N向左平移長度d,

得到點Mo

作法二：作點A關(guān)于直線1的對稱點Ai,將點Ai向右平移長度d得到點.4,連接A2B,

交直線1于點Q,將點Q向左平移長度d，得到點Q。

原理：兩點之間，線段最短，最小值為A"B+MN

例：（造橋選址）將軍每日需騎馬從軍營出發(fā)，去河岸對側(cè)的瞭望臺觀察敵情，已知河流的寬度為30米，請問，在何地修浮

橋，可使得將軍每日的行程最短？

?軍營

I亞生臺

例:直線11〃卜，在直線h上找一個點C,直線12上找一^1\點D,使得（CD1b且AC+BD+CO最短.

作法：將點A沿CD方向向下平移CD長度d至點A',連接A'B,交12于點D,過點D作DC±。于點C,連接AC.則橋CD

即為所求.此時最小值為A'B+CD.

原理：兩點之間，線段最短，

4.垂線段最短型

例:在NMON的內(nèi)部有一點A,在OM上找一點B,在ON上找一點C,使得AB+BC最

短.

原理：垂線段最短

點A是定點,OM,ON是定線，點B、點C是OM、ON上要找的點，是動點.

作法:作點A關(guān)于OM的對稱點A',過點A作A，C_LON,交OM于點B,B、

C即為所求。

例：在定直線1上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之差最小,即PA-P

B最小.

作法：連接AB,作AB的中垂線與1的交點，即為所求點P,此時|PA-PB|=0

原理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等

例：在定直線1上找一個動點C,使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大,即

CA-CBI最大

作法:延長BA交/于點C,點C即為所求,即點B、A、C三點共線時，最大值為AB

的長度。

原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊

例：在定直線1上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PA—PBI最大

作法：作點B關(guān)于1的對稱點B',連接ABI交1于點P即為所求，最大值為AB的長度。

原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊

【經(jīng)典范例】

例1.如圖:知:AM±MN,BN_LMN,垂足分別為M,N.點C是MN上使AC+BC的值最小

的點若AM=3,BN=5,MN=15,貝!]AC+BC=17.

【分析】以MN為軸作A點對稱點A；連接A,B交MN于C,則A'B就是AC+BC最小值;根據(jù)勾股定理求得A'B的長，即可求

得AC+BC的最小值.

【解答】解:作A點關(guān)于直線MN的對稱點A',連接A,B交MN于C,則AC+BC=A'C+BC=A'B,A'B就是AC+BC的最小

直延長BN使ND=A'M,連接A'D,

VAM±MN.BN±MN,

...AA，〃BD,

，四邊形ADNM是矩形.

；.ND=AM=3,A'D=MN=15,

，BD=BN+ND=5+3=8,

A'B=V152+82=17,AC+BC=17?故答案為17.

例2.如圖,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,分別以A、D為圓心,1為半徑畫圓,E、F分別是。A、OD上的一動點,P是BC上的一

動點則PE+PF的最小值是工.

【分析】以BC為軸作矩形ABCD的對稱圖形ABCD以及對稱圓D\連接AD交BC于P,交。A、G)D于E、F,連接PD,交。

D于F,EF就是PE+PF最小值;根據(jù)勾股定理求得AD的長,即可求得PE+PF最小值.

【解答】解:如圖，以BC為軸作矩形ABCD的對稱圖形A，BCD以及對稱圓A；連接AD交BC

于P,則DE就是PE+PD最小值；

,矩形ABCD中,AB=2,BC=3.圓A的半徑為I.

A'D'=BC=3,AA'=2AB=4,AE=D'F=1,

二AD'=5,EF=5-2=3.

/.PE+PF=PF+PE=EF=3.

例3.如圖,NAOB=60。,點P是NAOB內(nèi)的定點且0P=百,若點M、N分別是射線OA、0B上異

于點0的動點，則△PMN周長的最小值是J_.

【分析】作P點分別關(guān)于OA、0B的對稱點C、D,連接CD分別交OA、OB于M、N,如圖,利用軸對稱的性質(zhì)得MP=MC,N

P=ND,OP=OD=OC=V3,ZBOP=ZBOD,NAOP=NAOC,所以NCOD=2NAOB=120。,利用兩點之間線段最短判斷此時△PMN周長最

小，作OH_LCD于H,則CH=DH,然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計算出CD即可.

【解答】解:作P點分別關(guān)于OA、OB的對稱點C、D,連接CD分別交OA、OB于M、N.如圖，則MP=MC,NP=ND,OP=OD

=OC=V3,ZBOP=ZBOD,ZAOP=ZAOC,

.,.PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC,ZCOD=ZBOP+ZBOD+ZAOP+ZAOC=2ZAOB=120°,

此時△PMN周長最小，作OH_LCD于H,則CH=DH,

KOCH=30OH=-OC=叵,CH=V3OH=CD=2CH=3

222，

例4.如圖.在矩形ABCD中=6,4。=3動點P滿足Sp.=白必加…，則點P到A、B兩點距離之和PA+PB的最小值為一2

V13

【分析】先由SpM=白詼匕RE得出動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線1上，作A關(guān)于直線1的對稱點E,連接

AE,BE,則BE的長就是所求的最短距離.然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即可得到.PA+PB的最小值.

【解答】解:設(shè)^ABP中AB邊上的高是h.

.‘PB-3^±JgABCD'

11

：.-AB-h=-AB-AD,

23

2

h=-AD=2,

3

???動點p在與AB平行且與AB的距離是2的直線1上，

如圖，作A關(guān)于直線1的對稱點E,連接AE,BE,則BE的長就是所求的最短距離.

在RtAABE中，；AB=6,AE=2+2=4,

:.BE=ylAB2+AE2=<62+42=2V13,gpPA+的最小值為2A.

例5.如圖,ZAOB=30。,，點M、N分別在邊OA、OB上，且（OM=1,ON=3“點NQ分別在邊OB、OA±,MMP+PQ+QN

的最小值是一VTo

【分析】作M關(guān)于OB的對稱點作N關(guān)于OA的對稱點N”,連接MN卿為,MP+PQ+QN的最小值.

【解答】解:作M關(guān)于OB的對稱點M，,作N關(guān)于OA的對稱點N',連接M'N',即為.MP+PQ+QN的最小值.根據(jù)軸對稱的

定義可知：XV'OQ=4M'O3=30。，4ON"=60°,

0NN，為等邊三角形,△0MM，為等邊三角形，

:.Z-N'OM'=90。，

???在Rt△M'ON'中,MN'=V32+l2=故答案為V10.

例6:如圖,在正方ABCD中,=6?MN是BC邊上的動線段,且MN=1,,則四邊形AMND周長的最小值為亞.

【分析】在AD上截取AE=1,作EF1BC于點G,則DE的長就是AN+DM的最小值，利用三角函數(shù)求得DF的長，則四邊形

周長的最小值即可求得.

【解答】解：在AD上截取AE=1,作EF1BC于點G.則DE的長就是.AN+DM的最小值，則在直角乙DEF中，DF=

VDE2+EF2=V（6-I）2+122=13.

則四邊形AMND的周長的最小值是13+6+1=20.故答案是:20.

例7.如圖.在矩形ABCD中,AB=4,4D=6,AE=4,AF=2,.是否在邊BC、CD上分別存在點G、H，使得四邊形EFGH的周

長最小？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由.

【分析】作E關(guān)于CD的對稱點作F關(guān)于BC的對稱點連接E/Z得到此時四邊形EFGH的周長最小，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)

得至UBF'=BF=AF=2,DE'=DE=2,^A=90。,于是得至!]AF'=6,AE'=8,求出E'F'=10,EF=2遮即可得至!]結(jié)論；

【解答】解:⑴如圖1,A4DC即為所求；

（2）存在,理由：作E關(guān)于CD的對稱點E',，作F關(guān)于BC的對稱點心連接EF,交BC于G,交CD于H,連接FG,EH,則FZ

=FG,1K'H=EH,則此時四邊形EFGH的周長最小，由題意得：B卜’=BF=AF=2,DE'=DE=2,乙4=90",

???AF'=6,AE'=8,.-.E'F'=10,EF=2V5,

二四邊形EFGH的周長的最小值=EF+iiG+GH+HE=EF+E'F'=245+10,

在邊BC、CD上分別存在點G、H，使得四邊形EFGH的周長最小，最小值為2西+10;

例8.如圖所示，AB、AC、BC是某新區(qū)的三條規(guī)劃路，其中4B=6km,AC=3km,AC=60°,BC瓦■所對的圓心角為（60°

,,新區(qū)管委會想在BC路邊建物資總站點P,在AB,AC路邊分別建物資分站點E、F,也就是，分別在曲線段AB和AC上選取點

P、E、F.由于總站工作人員每天都要將物資在各物資站點間按P-E-F-P的路徑進(jìn)行運輸，因此，要在各物資站點之間規(guī)劃道路

PE、EF和FP.為了快捷、環(huán)保和節(jié)約成本.要使得線段PE、EF、FP之和最短，試求PE+EF+FP的最小值.（各物資站點與所在道路

之間的距離、路寬均忽略不計）

【分析】設(shè)連接AP,OP,分別以AB、AC所在直線為對稱軸，作出P關(guān)于AB的對稱點為M,P關(guān)于AC的對稱點為N,連

接MN,交AB于點E,交AC于點F,連接PE、PF,所以AM=AP=4M設(shè)AP=r,易求得：MN=所以PE+EF+PF=ME+

EF+FN=MN=即當(dāng)AP最小時..PE+EF+PF可取得最小值.

【解答】解：設(shè)連接AP,OP分別以AB、AC所在直線為對稱軸，作出P關(guān)于AB的對稱點為M,P關(guān)于AC的對稱點為N,連

接MN,交AB于點E,交AC于點F.連接PE、PF,AM=AP=AN,

???^MAB=乙PAB,4NAC=乙PAC,

ZBAC=ZPAB+ZPAC=ZMAB+ZNAC=60°,

ZMAN=120°,

AM.P、N在以A為圓心,AP為半徑的圓上，

設(shè)AP=r,易求得:MN=V3r,

?.,PE=ME,PF=FN,，PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=V5r,

...當(dāng)AP最小時,PE+EF+PF可取得最小值，

1/AP+OP>OA,AP>OA-OP,即點P在OA上時,AP可取得最小值，設(shè)AB的中點為Q,AQ=AC=

3,,.,ZBAC=60°,.\AQ=QC=AC=BQ=3,

二ZABC=ZQCB=30°,/.ZACB=90°,由勾股定理可知:BC=3V3,

???乙BOC=60",OB=OC=3V3,

AOBC.,.ZOBC=60°,ZABO=90°,

由勾股定理可知：。4=3V7,

.,.PE+EF+PF的最小值為（3g-9）km.

例9.在等腰△4BC中,AB=AC=4,BC=3,AD1BC.點E、F分別在AD,CA上運動，且.AE=CF,當(dāng)E、F運動過程中，是否

可以得出.BF+CE的和的最小值？這個值是多少呢?

例10.如圖,在菱形ABCD中”BC=5,4C=8,對角線AC、BD交于點O,P、Q為BD上的兩個動點,且BP=OQ,則AAPQ的周長

的最小值是-3+V73

簡析：線線最值轉(zhuǎn)化點線最值

易得PQ=50=3,4。=4,

方法一：相對運動將軍飲馬問題相當(dāng)于PQ不動，點A在平行于BD且距離BD長度為4的直線上運動，作點P關(guān)于MN的對

稱點P',連接P'Q,則P'Q的長為AP+4Q的最小值，由勾股定理求得P'Q=V73,4PQ的周長的最小值是V73+3.

方法二：沿河飲馬

連接PC,則PC=4P,將PC平移至QC,連接CC\則QC=PC=AP,AQ+QC>AC=E,.?"APQ的周長的最小值是

V73+3.

【走向中考】

1.如圖，在R3ABC中，NC=90。,AC=3,BC=4,D、E分別是AB、BC邊上的動點則+DE的最小值為（）

c

E

D

24

A,.—48B.—C.5

55

【分析】作點A關(guān)于BC的對稱點A,,過點A作A1D±AB交BC、AB分別于點E、D,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題,A'D的

長度即為AE+DE的最小值，利用勾股定理列式求出AB,再利用.乙4BC的正弦列式計算即可得解.

【解答】解:如圖.作點A關(guān)于BC的對稱點A,,過點A作.A'D148交BC、AB分別于點E、D,則A,D的長度即為AE+DE的

最小值,AA'=2AC=2x3=6,

???ZACB=90°,BO4,AC=3,

:.AB=y/BC2+AC2=V32+42=5,

.nA/-<BC

smZ.BAC=—=-4

AB5

A'D=AA'°sinZBJ4C=6X、=g，即AE+DE的最小值是y.

故選:B.

2.如圖,/40B=30。,點P為ZAOB內(nèi)一點（OP=10,,點M、N分別在OA、OB上，求△PMN周長的最小值（）

P、

A.5B.10C.15D.20

【分析】分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點PAP2,連PI、Pz,交OA于M,交OB于NgPMN的周長=PiPz,然后證明AOPiPz

是等邊三角形，即可求解.

【解答】解：分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P*P2,連Pi、Pz,交OA于M,交OB于N,則OP\=OP=0P2,^P10A=

APOA,APOB=乙PzOB,

MP=PMPN=P2N,則4PMN的周長的最小值==PR^PiOP2=2/-AOB=6（）0

OPiPz是等邊三角形.△PMN的周長：=P1P2,--PR=0Pi=0P2=0P=10.

故選:B.

3.如圖,當(dāng)四邊形PABN的周長最小時,a的值為

【分析】作B關(guān)于x軸的對稱點C,連結(jié)CN,作平行四邊形PNCD,因為AB、PN為定值,所以PA+BN最小即可，因為BN=CN

=PD,所以只要AP+PD最小,作直線AD交x軸于Q,當(dāng)P與Q重合時,AP+PD=AD最小.

【解答】解:作B關(guān)于x軸的對稱點C,連結(jié)CN,作平行四邊形PNCD.

?；AB、PN為定值，；.PA+BN最小即可，,.,BN=CN=PD,.,.只要AP+PD最小

作直線AD交x軸于Q,當(dāng)P與Q重合時,AP+PD=AD最小

,?'A(1,3)、B(4,1),AC(4,-1),.,.D(2,-1)

，直線AD為:y=-4x+7當(dāng)y=0時,x=1,；.Q為

VP,Q重合a=\,

't紀(jì)3)

IDc

4.如圖,在五邊形ABCDE中，./.BAE=136。,NB=NE=90。,,在BC,DE上分別找一點M,N,使得△4MN的周長最小時，則

乙AMN+乙4NM的度數(shù)為四二.-------E

【分析】根據(jù)要使4AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和ED的對稱點A；

A；即可得出NAA，M+NA，=NHAA，=44。,進(jìn)而得出NAMN+NANM=2(NAA，M十NA")即可得出答案.

【解答】解:作A關(guān)于BC和ED的對稱點A;A",連接AA”,交BC于M,交ED于N,則AA”即為△AMN的周長最小值.作D

A延長線AH,

VZBAE=136°,AZHAA'=44°,AZA'+ZA'=ZHAA'=44°,

ZA'=ZMAA',ZNAE=ZA",且NA'+NMAA，=NAMN,ZNAE+ZA'=ZANM,

ZAMN+ZANM=ZA'+ZMAA'+ZNAE+ZA"=2(ZA,+ZA')=2x44°=88°,故答案為：88°.

5.如圖,△ABC中,AB=4,NBAC=30。,若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小,則這個最小值為一2b

AB

【分析】作點B關(guān)于AC的對稱點B,過B，作B'N±AB于N,交AC于M.此時BM+MN的值最小.通過證明^B'AB是等邊三角

形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解.

【解答】解:如圖，作點B關(guān)于AC的對稱點B,過B作B1N±AB于N,交AC于M.此時BM+MN的值最小.BM+MN=B'N.

^.^點B與點B關(guān)于AC對稱....AB，=AB,又^.^NBAC=30。，...NBAB=60。，.^.△B,AB是等邊三角形

.,.B'B=AB=4,ZB'BN=60°,又：：.B'N=B'B=2同故答案為:2篇

6.如圖所示，正方形ABCD的對角線長為6,AABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P,使P

D+PE的和最小，則這個最小值為_3V2

【分析】由于點B與D關(guān)于AC對稱.所以連接BD,交AC于P點.此時PD+PE的最小值=BE,而BE是等邊△4BE的邊，BE

=4B,由正方形ABCD的邊長為6,可求出AB的長，從而得出結(jié)果.

【解答】解:設(shè)BE與AC交于點P,連接BD,

點B與D關(guān)于AC對稱,PD=PB,PD+PE=PB+PE=8E最小.

即P在AC與BE的交點上時,PD+PE最小,為BE的長度；

?.,正方形ABCD的對角線長為6,.-.AB=-=3或又：△是等邊三角形，

BE=AB=3&.故所求最小值為3vl.故答案為：3VI

7.如圖,sinzC=，長度為2的線段ED在射線CF上滑動，點B在射線CA上，且BC=5,則△80E周長的最小值為2+2版.

F

【分析】如圖作BK〃CF,使得BK=DE=2,作K關(guān)于直線CF的對稱點G,連接BG交CF于D,此時△BDE的周長最小.

【解答】解:如圖作BK〃CF,使得.BK=DE=2,,作K關(guān)于直線CF的對稱點G,連接BG交CF于D；此時△BDE的周長最

小.在RtABGK中,易知.BK=2,GK=6,

BG=V22+62=2V10,

ABDE周長的最小值為BEC+D'E+BD=KD'+DE+BD'=D'E+BD'+GD'=D'E+BG=2+2V10.

故答案為：2+2V10.

8.如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8,點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別是邊AB、BC的中點，則.PM

+PN的最小值是“

【分析】要求PM+PN的最小值，PM、PN不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化PN、PM的值，從而找出其最小值求解.

【解答】解:如圖:作ME1AC交AD于E,連接EN,則EN就是PM+PN的最小值，

VM,N分別是AB、BC的中點，，BN=BM=AM,YMELAC交AD于E,，AE=AM,

，AE=BN,AE〃BN,...四邊形ABNE是平彳亍四邊形，...EN=AB,EN〃AB,

而由題意可知，可得AB=7(6-2)2+(84-2)2=5,.-.EN=AB=5,PM+RN的最小值為5.

故答案為:5.

a

A

9.如圖.AABC中,AB=AC,^BAC=45°,BC=2,,D是線段BC上的一個動點，點D是關(guān)于直線AB、AC的對稱點分別為M、

N,則線段MN長的最小值是_2+2V2.

【分析】連接AM,AN,AD,于是得到^MAN是等腰直角三角形,求得MN=當(dāng)AM取最小值時,MN最小,即AD取最

小值時,MN最小，當(dāng)AD±BC時,AD最小，過B作BH±AC于H,得到4爐=4+2企,根據(jù)勾股定理得到4D=魚+1,再根據(jù)

MN=近4。即可解決問題；

【解答】解:如圖,連接AM,AN,AD,

,?,點D是關(guān)于直線AB、AC的對稱點分別為M、N,，AM=AD=AN,

，ZMAB=ZDAB,ZNAC=ZDAC,

ZBAC=45°,ANMAN=90。，.?.△MAN是等腰直角三角形,MN=y[2AM,

當(dāng)AM取最小值時,MN最小,即AD取最小值時,MN最小，

當(dāng)AD_LBC時,AD最小,過B作BH_LAC于H,AH=BH=~AB,

CH=(1-BH2+CH2=BC2,.-.(當(dāng)?shù)?+[(1-=4,

AB2=4+2V2,

在RtAADB中,AD2=AB2-BD2=3+2V2???.AD=y/2+1,MN=V2AD=2+V2,

，線段MN長的最小值是2+VI

A

10.如圖矩形ABCD中,AB=2,BC=3,以A為圓心,1為半徑畫圓,E是OA上一動點,P是BC上的一動點，則PE+PD的最小值是

【分析】以BC為軸作矩形ABCD的對稱圖形A,BCD以及對稱圓A；連接A'D交BC于P,則DF就是PE+PD最小值；根據(jù)勾

股定理求得A'D的長，即可求得PE+PD最小值.

【解答】解:如圖，以BC為軸作矩形ABCD的對稱圖形A，BCD以及對稱圓A；連接A'D交BC于P,則DE就是PE+PD最小值;

:矩形ABCD中,4B=2,BC=3,圓A的半徑為1,.;A'D'=BC=3,DD'=2DC=4,AE'=1,&D=5,，DE，=5-1=4,，PE

+PD=PE'+PD=DE'=4.故答案為4.

11.如圖，矩形ABCD中.AB=4,BC=8,E為CD邊的中點，點P、Q為BC邊上兩個動點,且PQ=2,當(dāng)BP=支時,四邊形APQE的周

長最小.

【分析】要使四邊形APQE的周長最小，由于AE與PQ都是定值，只需.AP+EQ的值最小即可.為此，先在BC邊上確定點

P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2,作F點關(guān)于BC的對稱點G,連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的

平行線交BC于一點，即為P點，貝恥匕時.AP+EQ=EG最小,然后過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點,那么先證明.

乙GEH=45。,再由CQ=EC即可求出BP的長度.

【解答】解:如圖,在AD上截取線段AF=DE=2,作F點關(guān)于BC的對稱點G,連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ

的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點.

?.,GH=DF=6,EH=2+4=6,ZH=90°,/.ZGEH=45°,AZCEQ=45°,

設(shè)BP=x,貝[]CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x,

在^CQE中，；ZQCE=90°,ZCEQ=45°,，CQ=EC,，6-x=2,解得x=4.

故答案為4.

12.如圖，已知直線胡以5辦之間的距離為8,點P到直線。的距離為6,點Q到直線力的距離為,PQ=4聞,在直線A上有

一動點A,直線.A上有一動點B,滿足.4B1以且PA+AB+BQ最小.此時4PA+BQ=16.

【分析】作PE_L，i于E交。于F,在PF上截取PC=8,連接QC交。于B,作BA1。于A,此時PA+AB+BQ最短.作QD_LPF于

D.首先證明四邊形ABCP是平行四邊形,PA+BQ=CB+BQ=QC.利用勾股定理即可解決問題.

【解答】解:作PE_L。于E交卜于F,在PF上截取PC=8,連接QC交％于B.作BA1h于A,此時PA+AB+BQ最短作QD±

PF于D.

在RtAPQD中，?；/D=90°,PQ=4V30,PD=18,

DQ=yjPQ2-PD2=V156,CD=PD-PC=18-8=10,

AB=PC=8,AB//PC,四邊形ABCP是平行四邊形，，PA=BC,

4156+1()2=16.故答案為16.

13.如圖,在正方形ABCD中,AB=8,AC與BD交于點O,N是AO的中點點M在BC邊上,且BM=6.P為對角線BD上一點，則P

M-PN的最大值為-2.

【分析】作以BD為對稱軸作N的對稱點N',連接PN',MN\依據(jù)PM-PN=PM-PNMMN何得當(dāng)P,M,N三點共線時,取再

求得%=%=去即可得出PM〃AB〃CD,NCMN?90。,再根據(jù)△CM為等腰直角三角形，即可得到CM=MN'=2.

BMAN3

【解答】解:如圖所示，作以BD為對稱軸作N的對稱點N1,連接PN',MN',根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知,PN=pN',：.PM-PN

=PVM-PN'<MN'?當(dāng)P,M,N三點共線時,取“=”，

?..正方形邊長為8,AC=y]2AB=為AC中點,二AO=0C=4V2,

TN為OA中點,ON=2V2,0Nn=CN=2V2,AN=6a,;.BM=6,

;CM=48-8M=8-6=2,J.*=累=gJ.PM/AB/CD/CMN'=90°

?1,ZN'CM=45°,AN,CM為等腰直角三角形,CM=MAT=2,即PM-PN的最大值為2.故答案為:2.

14.如圖.矩形ABCD中,AB=20cm,BC=10cm,若在AC、AB上各取一點M、N,使BM+MN的值最小，求這個最小值.

【分析】作點B關(guān)于直線AC的對稱點B1,交AC與E,連接B'M,過B作B'G14B于G,交AC于F,再由對稱性可知B,M+MN=

BM+MN>B'G,再由等號成立條件得出4c=10遍,再根據(jù)△ABC的面積分別求出BE、BB，的值，由相似三角形的判定定理得出△方

GBAABC),再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解:如圖，作點B關(guān)于直線AC的對稱點B；交AC與E,連接B'M,過B作B'G148于G,交AC于F.由對稱性可知BM

+MN=BM+MN>B'G,當(dāng)且僅當(dāng)M與F、點N與G重合時,等號成立,AC=10V5,

?，點B與點B關(guān)于AC對稱，，BEJ_AC,

SABC=171C-BE=^AB-BQ得BE=4V5,BB'=2BE=8V5,

SZB'BG+ZCBE=ZACB+ZCBE=90°,貝!j.乙B'BG=乙ACB,又乙B'GB=/.ABC=90°,

得B'GBABC,*^

B'G=喀等=16,故BM+MN的最小值是16cm.故答案為：16cm.

10V5

15.如圖,點P、Q為NMON內(nèi)兩點，分別在0M與ON上找點A、B,使四邊形PAQB的周長最小.

【分析】作點P關(guān)于直線OM的對稱點P,作Q關(guān)于直線ON的對稱點Q；連接PQ交0M于A,ON于B,于是得到結(jié)論.

【解答】解作點P關(guān)于直線0M的對稱點P,作Q關(guān)于直線ON的對稱點Q；連接PQ交OM于AQN于B,則此時四邊形PA

QB的周長最小.

16.等腰△4BC中,AB=AC=5,BC=6,AD是BC邊上的高線,M是AD上的動點,E是AB上的一動點，求EM+BM的最小值.

【分析】作E關(guān)于AD的對稱點E',連接BF交AD于M,連接EM,過B作_1_4。于F.根據(jù)三線合一定理求出BD的長,根據(jù)

勾股定理求出AD,根據(jù)三角形面積公式求出BF,根據(jù)對稱性質(zhì)求出BM+EM=BE,根據(jù)垂線段最短得出BM+EM>弟即可得出答

案.

【解答】解:作E關(guān)于AD的對稱點F,連接BE交AD于M,連接EM,過B作BF±AC于F,

：AB=AC=5,BC=6,AD是BC邊上的高線,BD=DC=3,AD平分NBAC,

22

，E在AC上，在RtAABD中，由勾股定理得:AD=V5-3=4,.-.SABC=^xBCXAD=-xACXBF,

...BF=畛竺=第=胃，E關(guān)于AD的對稱點E',EM=E'M,

ACbb

.,.BM+EM=BM+E,M=BE',根據(jù)垂線段最短得出：BE'>BF,即BM+EM>,即BM+EM的最小值是g,

17.(1)如圖①，點A、B在直線1兩側(cè),請你在直線1上畫出一點P,使得/PA+PB的值最?。?/p>

(II)如圖②，點E、F在直線1同側(cè)，請你在直線1上畫出一點P，使得PE+PF的值最小；

(III)如圖③，點M、N在直線1同側(cè)，請你在直線1上畫出兩點0、P,使得(OP=1cm,MO+0P+PN的值最小.

(保留作圖痕跡，不寫作法)

?pN

4?M?

?B

圖①圖②圖③

【分析】⑴圖①，顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點；

(II)圖2,作E關(guān)于直線的對稱點.連接FE即可；

(III)圖③，畫出圖形，作N的對稱點N\作NQ//直線1,NQ=lcm,連接MQ得出點O即可.

【解答】解：(I)如圖①，連接A、B兩點與直線的交點即為所求作的點P,這樣PA+PB最小，理由是：兩點之間，線段最

短；

(H)如圖②，先作點E關(guān)于直線1的對稱點E',再連接EF交1于點P,則PE+PF=E，P+PF=EE由“兩點之間，線段最

短”可知，點P即為所求的點；

dE,/\p/

—\---------/--------'°\'、：

\!/p\\\

認(rèn)石Q*-XN'

圖①圖②圖③

(III)如圖③，作N關(guān)于直線1的對稱點N,過N作線段NQ〃直線1,且線段,N'Q=1cm,連接MQ,交直線1于O,在直線1上截

取(OP=1C7H,如圖,連接NP,貝1］此時.M0+0P+PN的值最小.

18.某課題組在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數(shù)學(xué)模型：

直線1同旁有兩個定點A、B,在直線1上存在點P，使得PA+PB的值最小.解法：作點A關(guān)于直線1的對稱點A1,連接AB,則

A,B與直線1的交點即為P,且PA+PB的最小值為A'B.AK

三

一

C1~A

々-------/B

圖①圖②

請利用上述模型解決下列問題：

(1)幾何應(yīng)用：如圖1,等腰直角三角形ABC的直角邊長為2,E是斜邊AB的中點,P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最

小值為一V10

(2)幾何拓展如圖2,AABC中,AB=2,ZBAC=30°,若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小，求這個最小值；

(3)代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式VP+1+7(4-%)2+4(0<x<4)的最小值.

【分析】⑴作點B關(guān)于AC的對稱點B',連接B'E交AC于P.此時PB+PE的值最小.連接AB：先根據(jù)勾股定理求出AB，的長，

再判斷出NB，AB=90。，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；

(2)作點B關(guān)于AC的對稱點B,過B，作B'N±AB于N,交AC于M.此時BM+MN的值最小.通過證明4B,AB是等邊三角形，

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解；

⑶將求代數(shù)式&E+7(4-x)2+4(0<x<4)的最小值轉(zhuǎn)化為軸對稱一最短路線問題.

【解答】解:⑴如圖1所示.作點B關(guān)于AC的對稱點B；連接B'E交AC于P,此時.PB+PE的值最小.連接AB'.

AB'=48=yjAC2+BC2=V22+22=2y/2,AE=^AB=V2,

VZB'AC=ZBAC=45°,AZB'AB=90°,

I22

.'.PB+PE的最小值=B'E=y/B'A2+AE2=』(2")+(V2)=同.故答案為：V10;

(2)如圖2,作點B關(guān)于AC的對稱點B,過B作B1N±AB于N,交AC于M.此時.BM+MN的值最小.

BM+MN=BN.I?點B與點B關(guān)于AC對稱，=AB

又,:ZBAC=30°,.IZB'AB=60°,AAB'AB是等邊三角形B'B=AB=2/B'BN=60°,

在RtABB'N中,BB'=2,ZB'BN=60°,.,.B'N=BB'sinZB'BN=V3;

(3)構(gòu)造圖形如圖3所示，

其中:AB=4,AC=1,DB=2,AP=x,CA±AB于A,DB±AB于B.

???PC+PD=VPT1+V(4-x)2+4,...所求的最小值就是求PC+PO的最小值.

作點C關(guān)于AB的對稱點C,過C作CE垂直DB的延長線于E.則C'E=AB=4,DE=2+1=3,CD=y/CE2+DE2=V42+32=5,

???所求代數(shù)式的最小值是5.

A

y\D

N-

圖1圖2圖3

19.作圖題：

(1)如圖1,一^牧童從P點出發(fā),趕著羊群去河邊喝水，則應(yīng)當(dāng)怎樣選擇飲水路線，才能使羊群走的路程最短？請在圖中畫出

最短路線.

(2)如圖2,直線1是一條河，A、B是兩個村莊，欲在1上的某處修建一個水泵站M,向A、B兩地供水，要使所需管道MA+

MB的K度耳又短1在圖中標(biāo)出M點.

(3)如圖3,在一條河的兩岸有AB兩個村莊，現(xiàn)在要在河上建一座小橋，橋的方向與河岸方向垂直，橋在圖中用一條線段C

D表示.試問：橋CD建在何處，才能使A到B的路程最短呢？請在圖中畫出橋CD的位置.畫出示意圖，并用平移的原理說明理由.

?p?B

?B