山東省齊魯名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期考前質(zhì)

量檢測數(shù)學(xué)試題

2023—2024學(xué)年(下)高三年級考前質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上

的指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.已知集合M=\x\lx-3I<1|,N=|x11,貝=

A.jx12<|B.|x12<x<41

C.|xl2D.(%11<xe[

2.已知復(fù)數(shù)2=乒，則2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位壬

1-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.樣本數(shù)據(jù)27,30,28,34,35,35,43,40的中位數(shù)和平均數(shù)分別為

A.34,35B.34,34

C.34.5,35D.34.5,34

4.已知直線"-y-3/c=0與圓O：x2+y2=l有公共點，則4的可能取值為

A.1B.yC.-1D.-2

5.在△48C中，角A,B,C的對邊分別是Q,6,C,且2asin4=(26+c)sin8+(2c+6)sin。，則cosA=

112

A--B.—C4-D—

,23%一3

6.已知正方體的棱長為2,尸為棱的中點，則四面體4CP，的體積為

A.2B.竽C.yD.2"

7.已知sin2a=一六,貝I」一‘'叱2a—=

5tan/a+—叮\

\4)

A.4B.2C.-2D.-4

數(shù)學(xué)試題第1頁(共4頁)

8.已知雙曲線C：J=i的上焦點為尸,圓4的圓心位于光軸上，半徑為招，且與C的上支交于8,。兩

點，則I8C+IOC的最小值為

A.273-2B."C.底-1D.A

二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部

選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知/(x),g(x)分別是定義域為R的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且/(x)+g(x)=以設(shè)函數(shù)C(x)，則C(x)

A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)

C.在R上單調(diào)遞減D.在R上單調(diào)遞增

10.將函數(shù)/(x)=sin(5+學(xué))(。>0)的圖象向左平移告?zhèn)€單位長度后，所得的圖象關(guān)于y軸對稱,則

AJ(x)的圖象關(guān)于直線/=宇寸稱B.3的最小值為去

CJ(x)的最小正周期可以為與DJ卜-竽)的圖象關(guān)于原點對稱

11.如圖,有一個棱臺形的容器48co-44G，(上底面A,BlC101無蓋)，其四條側(cè)棱均相等，底面為矩

形=yB,C,=1m,容器的深度為1m,容器壁的厚度忽略不計，則下列說法正確

的是

A.A4［二/2m

B.該四棱臺的側(cè)面積為(3也+35)m?

C.若將一個半徑為0.9m的球放入該容器中,則球可以接觸到容器的底面

D.若一只螞蟻從點4出發(fā)沿著容器外壁爬到點a，則其爬行的最短路程為居京m

三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.伊+5］的展開式中/的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

2A214/|

13.已知橢圓C：t+%=1(°>0)的左、右焦點分別為Ft,F2,A為C上一動點，則舟y的取值范圍是

14.已知兩個不同的正數(shù)a6滿足a+°),0則而的取值范圍是

a0

數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知函數(shù)/(X)=%，-y[x.

(I)求曲線y=/(x)在點(1J(l))處的切線/在y軸上的截距;

(U)探究/(工)的零點個數(shù).

16.(15分)

如圖，在直三棱柱4BC-4&G^,AB=2,BC=l,AC=^3,AAt=而,M為棱CG上一點，且4Ml.

(I)證明:平面平面4BC；

(0)求二面角B-AM-C的大小.

17.(15分)

設(shè)數(shù)列I滿足f=2(“+2)4,且%=4.

(I)求]?！沟耐椆?；

(H)求的前〃項和S..

數(shù)學(xué)試題第3頁(共4頁)

18.(17分)

在機器學(xué)習(xí)中，精確率Q、召回率R、卡帕系數(shù)人是衡量算法性能的重要指標.科研機構(gòu)為了測試某型號

掃雷機器人的檢測效果，將模擬戰(zhàn)場分為100個位點，并在部分位點部署地雷.掃雷機器人依次對每個

位點進行檢測,4表示事件“選到的位點實際有雷”，8表示事件“選到的位點檢測到有雷”，定義:精確率

Q=P(4IB),召回率R=P(8M),卡帕系數(shù)人=與二"，其中％=P(4B)+P(AB),Pt=P(A)P(+

1

-Pt

(I)若某次測試的結(jié)果如下表所示，求該掃雷機器人的精確率Q和召回率凡

實際有雷實際無雷總計

檢測到有雷402464

檢測到無雷102636

總計5050100

(D)對任意一次測試,證明：A=1-Q號叫

(DI)若0.6<Awl,則認為機器人的檢測效果良好;若0.2〈上W0.6,則認為檢測效果一般;若0這LW

0.2,則認為檢測效果差.根據(jù)卡帕系數(shù)人評價(1)中機器人的檢測效果.

19.(17分)

已知拋物線C-y1=4x的焦點為幾以點F為圓心作圓,該圓與x軸的正、負半軸分別交于點H,C,與C

在第一象限的交點為P.

(I)證明:直線PC與C相切.

(n)若直線PH,PF與C的另一交點分別為直線MN與直線PG交于點T.

(i)證明：I7MI=4I7WI；

(ii)求△PN7的面積的最小值.

數(shù)學(xué)試題第4頁(共4頁)

2023—2024學(xué)年(下)高三年級考前質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)?答案

-、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.

1.答案C

命題意圖本題考查集合的表示與運算.

解析因為M=|%I\x-3\<11=\x\2<x<4|,N=)^11,所以MON=

2.答案B

命題意圖本題考查復(fù)數(shù)的運算及幾何意義.

解析因為z=H=(13+1?+?=-4-2i=-2-i,所以2=-2+i,故2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(-2,

1-1(1-1)(,1+1；2

1),位于第二象限.

3.答案D

命題意圖本題考查中位數(shù)和平均數(shù)的概念.

解析將樣本數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列可得27,28,30,34,35,35,40,43,故中位數(shù)為歸尹■二34.5,平均

數(shù)為!x(27+28+30+34+35+35+40+43)=34.

O

4.答案B

命題意圖本題考查直線與圓的位置關(guān)系.

解析由直線版-y-3A：=0與圓。：%2+/=1有公共點，可得圓心o(o,o)到直線板_,一34=0的距離為八

//一：;)2W1，解得毛的取值范圍為［-字，川

5.答案A

命題意圖本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用.

解析由條件及正弦定理得2a2=(26+c)b+(2c+6)c,即。？=B+c?+兒，由余弦定理得a=b2+c2-26ccosA,

所以cosA=-

6.答案A

命題意圖本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征以及棱錐體積的計算.

解析設(shè)4c的中點為。，則「=/4。乂5根啊,4。=2",在對角面80，坊中，可以計算得叼=2x2"-

考-立=挈，所以『=呆2立x挈=2.

7.答案D

命題意圖本題考查三角恒等變換的應(yīng)用.

—1—

-RAU-C2sinacosa2tana4二匚山i,25,二匕…tan2a2tana

解A73析+C因為sin2a-------=-2----=一二,所以1+tana=-ktana,所以----------=------—x

sina+cosatana+13/\1-tana

tan^a+—j

1-tana_2tana2tana4

1+tana(1+tana)21+tan2a+2tana

8.答案B

命題意圖本題考查雙曲線與圓的位置關(guān)系.

ry2-x2=1,

解析由題可知?(0,笈).設(shè)圓4(％-。尸+/=2,8(%1，%),0(%2,%),聯(lián)立得2￡—

l(x-a)2+y2=2,

2ax+a-1=0,故％[+x2=a,xxx2——，因止匕%;+%；-(%i+出產(chǎn)-2化出=1,因為y；-%；=1,所以IBF\=

/；+(%-")2=唇-1,同理可得ID/IT,故+\DF\=^(yi+y2)-2+1+

O1)-2,當％;=0或％;=1時取得最小值立

二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分每小題全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的

得0分.

9.答案AD

命題意圖本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.

解析因為/(%)+g(%)=e”①,所以為-x)+g(-％)=「，即/(%)-g(%)=「②，聯(lián)立①②，解得/(%)=

重等二,g(”)=甘二，所以G(x)=[”.因為G(-x)=二二三=-G(x),所以G(”)是奇函數(shù)，又

乙乙e+ee-+e

G'(x)==4>o,所以G(g)在R上單調(diào)遞增.故A,D正確.

(e+e)(e+e)

10.答案ABD

命題意圖本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

解析對于A,將/(￡)的圖象向左平移左個單位長度后，關(guān)于y軸對稱，所以/(工)的圖象關(guān)于直線工=手對

稱，故A正確；

對于B,由題可知等+學(xué)=學(xué)+Hr(AeZ),解得3=1+3乂J2),又。>0,所以”的最小值為。，故B

正確；

對于C，若最小正周期T二竽，貝IJG二爺=尚■，由B項可知,不存在滿足條件的嘰故C錯誤；

對于D,因為/(-半[sin(-警+號■),代入口=\■+3人(人eZ)，得/(-苧)=sin(-2人仃)=0,所以/(%)

11.答案BD

命題意圖本題考查棱臺的結(jié)構(gòu)特征以及相關(guān)計算.

—2—

解析對于A,44

對于B,梯形4皿4的高為+冷，所以梯形4皿4的面積為第x苧=竽，梯形4叫4

的高為+（?’=在，所以梯形4B84的面積為1f2x"=竽，故該四棱臺的側(cè)面積為2x

段+孚）=3衣+3用故B正確;

對于C,若放入容器內(nèi)的球可以接觸到容器的底面，則當球的半徑最大時，球恰好與面、面BCC.B,、面

4BCD均相切，過三個切點的截面如圖（1）所示，由圖可知tanZMCW=2,所以tanZMOP=等匚，從而球的半

徑為鋁1<0.9,所以將半徑為0.9cm的球放入該容器中不能接觸到容器的底面，故C錯誤;

對于D,將平面ABCD與平面DCCR展開至同一平面，如圖（2）,則4G

，將平面ABCD與平面BCC,B,展開至同一平面，如圖（3）,則4G=+R）+32=

J普+瓦普+行-（手■+4立）=3+6-4在<0,所以最短路程為以/號+后,故D正確.

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.答案672

命題意圖本題考查二項式定理的應(yīng)用.

解析（2支++）的展開式的通項為rr+i=C；（2v）”[?）=2"‘C；x"",令7-2r=3,得r=2,所以了的系

數(shù)為27-2C5=672.

13.答案[十,3]

命題意圖本題考查橢圓的性質(zhì).

解析設(shè)橢圓C的半焦距為c（c>0），離心率為e.當MF】I取最小值a-c時，?取最大值?+c,反過來也

$，故事W窯

一樣，所以二^皿乏力卿不近萬百^^?又因為$3.

—3—

14.答案(0,7)

命題意圖本題考查函數(shù)與不等式的綜合.

解析將(1+“尸=(1:'"兩邊展開，得到J+3。+3+J-=*+36+3+5,從而(J_〃)+3(a-6)+

abab

j__A=0,故(a-6)(a+b+3二0,而。片6,故a+6+3-1=0,即二=a+b+3>2V+3,從而

ababab

2(/ab)3+3(A/OT)2<1.設(shè)函數(shù)g(%)=2d+3d,則g(^ab)<g(=1,由于g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞

增，故-/ab，即0<a6V

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.命題意圖本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點.

(I)由題意知/'(%)=^e擊,所以r⑴

解析了一彳,(2分)

又/（1）寸-1,所以2的方程為y=（5-卷）（％-1）+1-1，即y=（十-:卜-上，.........（5分）

所以/在y軸上的截距為.........................................................（6分）

（H）因為y二;/和丁=-」=在（。，+8）上均單調(diào)遞增，所以/'（%）二;/-」萬在（0,+8）上單調(diào)遞增.

42石42石

又因為r（十卜+e+-1<0,廣⑴=}e-）>0,所以3x0€（十,1卜使得/（%0）=0.

所以當％￡（0,3）時,/'（%）<0,/（以單調(diào)遞減;當%￡（3，+8）時/（%）>0,所以單調(diào)遞增......（10分）

又因為4看）吁，志-*>°J⑴=^e4-2>0,

所以/（%）有兩個零點..................................................................（13分）

16.命題意圖本題考查面面垂直的證明，以及利用空間向量計算二面角.

解析（I）在直三棱柱與G中,A41_L平面A41_LBC.

/AB2=AC2+BC2,BC1AC,

?.?4CG44]平面44CC............................................................................................................(3分)

?「4MU平面44]CiC,「.AMLBC,

vAMLAiB,AlBQBC=B,:.AMA.BC............................................................................................(6分)

又4MU平面4MB,

平面4MB_L平面4區(qū)C................................................................................................................................(7分)

（II）如圖，以點。為坐標原點,G4,CB,CG所在直線分別為％軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系Cxyz,

.............................................................................................................................................................................（8分）

則C(0,0,0),4(有,0,0),4(萬;0,而),5(0,1,0).

—4—

設(shè)點M(O,O,a),則病=(就=(有，-I,而)，屈=(0,1,0),同=(-后,1,0).(9分)

?.翁.麗<-3+辰i=0,解得。=咚].M(0,0,亨).........................(10分)

設(shè)平面AMB的法向量為m=(%,y,z),

m,AM=-^/3x+^~z=0,__

則2可取相二(1,方,衣)........................................(12分)

.m?AB=—B%+y=0,

易知〃二方二(0,1,0)為平面4MC的一個法向量..........................................(13分)

,/COS(7M,?)

故由圖可知二面角的大小為子................................................（15分）

17.命題意圖本題考查數(shù)列的通項公式和數(shù)列求和.

解析（I）由題易知"。，且，二絲產(chǎn)

所以區(qū)j(n+l);2'1="/+])<…，...............................................(4分)

由1x2

n

所以an=n(n+1)?2,a｝也滿足該式，

所以冊=幾5+1)?2"................................................................................................................................................................(6分)

12

(II)Sn=1x2X2+2x3x2+???+n(n+l)-2",①

2n+1

2Sn=lx2x2+???+n(n-l)-T+n(n+l)-2,0

②-①，得S"(7i+l)7i?2…-2x(1X21+2x22+?-?+n?2n)......................................................................(9分)

設(shè)T”=1x21+2x2?+…+〃?2",③

則27；=1x2?+2x2?+…+(n-1)-2n+n-2c，④..............................................................................................(11分)

n+112ren+1+1n+1

④一③，得Tn=n-2-(2+2+???+2)=n-2-(2"-2)=(n-l)2+2,.............................(13分)

所以S'=7i0+1)?2n+1-2(n-l)-2n+1-4=(n2-n+2)-2n+1-4............................................................(15分)

—5—

18.命題意圖本題考查條件概率、概率的運算性質(zhì).

解析(I)Q=P⑷B)=^^=1=0.625,.......................................................................................(3分)

R=P(8⑷=^^=卷=0.8....................................................................................................................(6分)

r\/\)DU

/IT、7Po-Pe11-Po11-P(AB)-P(AB)

(il)k=-j------=1-i-------=1----------------------------=.......-,

1~Pe1-Pe1-P(4)P(B)-P(A)P(B)

要證明1-華Q+R-2瑞P{AB)，需證明1-尸S(4)B尸⑶一一尸河⑷尸⑻Q？+三R-2P流(AB)y............*分)

等式右邊：

P(4一)-(48)?(—)-(48)

Q+R-2QR_P(4IB)+P(例4)-2尸(41區(qū))尸(BI4)_P(5)/(4)P(B)P(4)

==

Q+R-2P(AB)P(AIB)+P(BI4)-2P(AB)P(AB)~~P(AB)_9p/4px

瓦瓦"+"T()

_P(A)+P(B)-2P(AB)濟

~P(A)+P(B)-2P(A)P(B),,R

等式左邊：

因為P(4UB)=1-P(AB)"(4)+P(B)-P(AB),

所以1-P(AB)-*7)____________P(4)+尸(B)—2尸(4』)__________0(4)+尸(一)一2。(4月)

=

所i_p(A)P(B)-P(A)P(B)=1-0(冷尸(江-[1-0(4)][1-0(功]P(4)+P(B)-20(4)尸(8).

等式左右兩邊相等，因此上=1-言尚篝y成立......................................(14分)

(皿)由(I)得左=16*然”人，6*：0.8=032,因為0.2<0.32<0.6,

U.OZJ+U.o—ZXU.4

所以（I）中機器人的檢測效果一般......................................................（17分）

另解:p0=P（48）+P（AB）=0.4+0.26=0.66,

Pe=P（4）P（8）+P（J）P（B）=0.5xO.64+0.5xO.36=0.5,

所以及=戶區(qū)=駛=。.32.判斷結(jié)果同上.

1~pe0.5

19.命題意圖本題考查拋物線的性質(zhì),拋物線與直線的位置關(guān)系.

解析（I）由題意知,（1,0）,

設(shè)P（/,2九）5>0）,貝?。輡尸川二川+1,.......................................................................................................（1分）

所以|G?|二IbH|=1+1,所以c（-n2,o）,...............................................................................................（2分）

所以直線尸C的斜率為工,方程為丁二^-&+二）..........................................（3分）

nn

'j-——（x+n）,

聯(lián)立方程n得/_4叮+4］二0,

,y2=4x,

因為A=0,所以直線尸C與。相切..................................