2024高考壓軸卷新高考II卷

數(shù)學

1.本試卷分第I卷、第n卷兩部分，共4頁.滿分150分；考試時間：120分鐘.

2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目、試卷類型用2B鉛筆涂在答題卡

上.

3.用鉛筆把第I卷的答案涂在答題卡上，用鋼筆或圓珠筆把第n卷的答案寫在答題紙的相應

位置上.

4.考試結束，將答題卡和答題紙一并交回.

第I卷（選擇題，共58分）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.）

1.為評估一種農作物的種植效果，選了”塊地作試驗田.這”塊地的畝產量（單位:kg）分別為Xl，X2,

X",下面給出的指標中可以用來評估這種農作物畝產量穩(wěn)定程度的是

A.XI，X2,X”的平均數(shù)B.XI，X2,X”的標準差

C.XpX2,X”的最大值D.XI，X2,X”的中位數(shù)

2.已知向量6滿足同=1，a-b——1f貝同石-與的值為（）

A.4B.3C.2D.O

3.已知a>0,b>0,a+b=2,貝!1()

A.0<a<lB.0<ab<lC.a2+b2>2D.1<&<2

4.c6c是一種由60個碳原子構成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子結構由12個正五邊形和20個正

六邊形組成.如圖，將足球烯上的一個正六邊形和相鄰正五邊形展開放平，若正多邊形的邊長為1,A,B,C

為正多邊形的頂點，則行.就=（）

C

C.3D.4

5.標準對數(shù)視力表（如圖）采用的“五分記錄法”是我國獨創(chuàng)的視力記錄方式.標準對數(shù)視力表各行“E”字視

標約為正方形，每一行B的邊長都是上一行廿的邊長的二，若視力4.0的視標邊長約為10cm,貝岷力

助0

4.9的視標邊長約為（）

LU

Em*?

LU3，2

3E1114.3

3EID44

3ELUUJ4$

3EUJU4.6

33emii4.7

■■■um■4.8

■49

???■.???$.0

.....................................

????????51j

L,-11

A-版B.c-嗝D-

SriUS/lu

6.在△.c中，2siih4=3sin5,AB=2AC,則8sC=（）

1111

A.B.一-C.一D.一一

2v244

7.設4，Z2為復數(shù)，則下列命題正確的是（)

A.若Z[+Z2>0,則Z2=%

B若ZQ=0,則4=0且Z2=0

C.若區(qū)|=%|,則z；=z；

D.若|z-zj=|z-z2|,且z產Z2,貝!|z在復平面對應的點在一條直線上

8.已知。為圓+?2=1上動點，直線4:加工-町+3加+2〃=0和直線/2:nx+my-6m+n=0

（w,?eR,加2+〃2。0）的交點為尸，則尸。的最大值是（）

A.6+\/5B.4-y/5C.5+^5D-14--^5

二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得。分.）

9.若（耒+x）s展開式中常數(shù)項為28,則實數(shù)m的值可能為（）

A.B.1C.2D.3

10.已知/'(x)=sin勿r+布85。%(0>0)在區(qū)間上單調遞增，則⑦的取值可能在()

017D19

A[|]B停7)E[-T]-[T-

11.已知函數(shù)/(x)：/-、，下列說法正確的是()

A.7(x)在x=l處的切線方程為x-y=0B./(x)的最小值為:(l+ln2)

C.f(x)的最小值為;—ln2D.若如《￥(x)+ex恒成立，貝！]a?2e

第II卷(非選擇題，共92分)

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.已知集合4={-1,2,4},3={2,毋}.若3=4,則實數(shù)加的取值集合為.

13.《九章算術》中記錄的“羨除”是算學和建筑學術語，指的是一段類似隧道形狀的幾何體，如圖，羨除

ABCDEF中,底面/8CD是正方形，EF//平面ABCD,V/OE和疑叱均為等邊三角形，且

EF=2AB=6.則這個幾何體的外接球的體積為.

AB

14.某機器有四種核心部件4B,C,D,四個部件至少有三個正常工作時，機器才能正常運行，四個核心

部件能夠正常工作的概率滿足為尸(4)=尸(3),尸(C)=P(O),且各部件是否正常工作相互獨立，已知

4

尸(4)+尸(C)=H，設X為在〃次實驗中成功運行的次數(shù)，若E(X)=16,則至少需要進行的試驗次數(shù)為

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

15.年菜一詞指舊俗過年時所備的菜肴，也就是俗稱的“年夜飯”，為了了解消費者對年菜開支的接受區(qū)間,

某媒體統(tǒng)計了1000名消費者對年菜開支接受情況，經統(tǒng)計這1000名消費者對年菜開支接受區(qū)間都在[0,14]

內(單位：百元)，按照[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14]分組，得到如下頻率

分布直方圖(同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表).

(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出這1000名消費者對年菜開支接受價格的75%分位數(shù)(精確到0.D；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖可認為消費者對年菜開支接受價格X近似服從正態(tài)分布N(/Z,3.2"),其中4近

似為樣本平均數(shù).用樣本估計總體，求所有消費者對年菜開支接受價格大于972元的概率.

參考數(shù)據(jù)：若X?N(%a2)，則尸(〃-卜0.68,P[fi-2cr<X<//+2<r)?=0.95.

16.如圖，在四棱錐尸-45CD中，底面43cD是正方形，側面R4DJ_側面尸45，尸為5。中點，E是

P4上的點，PA=PD=2,PA±PD.

(1)求證：平面尸4D_L平面HBCO；

(2)若二面角E-O尸-4的余弦值為題，求E到平面尸的距離

17.已知函數(shù)/(x)=aex-sinx-a.

(1)當々=3時，求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)當。>0時，函數(shù)/(x)在區(qū)間10,()內有唯一的極值點國.

①求實數(shù)a的取值范圍；

②求證：/(x)在區(qū)間(0,外內有唯一的零點/,且與<2再.

18.已知雙曲線的右焦點為尸，點尸(七,%)(然工0)在雙曲線C上，。6,比).

(1)若為=3,且點尸在第一象限，點。關于x軸的對稱點為五，求直線網與雙曲線。相交所得的弦長;

(2)探究：△尸。尸的外心是否落在雙曲線C在點尸處的切線上，若是，請給出證明過程；若不是，請說

明理由.

19.如果n項有窮數(shù)列｛?！埃凉M足［=4，…，an=ai,即A=4-i+i（i=l，2...,n）,則稱有窮數(shù)

列｛4｝為“對稱數(shù)列”.

⑴設數(shù)列｛,｝是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列"，其中bl,b2,b3,b4成等差數(shù)列，且t=3,bs=5,依次寫出數(shù)列但｝

的每一項；

（2）設數(shù)列匕｝是項數(shù)為2左一1（左eN*且左之2）的“對稱數(shù)列”，且滿足以i-cj=2,記Sn為數(shù)列匕｝的

前n項和.

①若G，q,…，,構成單調遞增數(shù)列，且q=2023.當k為何值時，S21取得最大值？

②若G=2024,且521=2024,求k的最小值.

2024高考壓軸卷新高考II卷

數(shù)學答案

1【答案】B

【解析】評估這種農作物畝產量穩(wěn)定程度的指標是標準差或方差，故選B.

點睛:眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平；

中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)（起到分水嶺的作用），中位數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的中間水平；

平均數(shù)：反映一組數(shù)據(jù)的平均水平；

方差：反映一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大

?。?在樣本容量相同的情況下，方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定.

標準差是方差的算術平方根，意義在于反映一組數(shù)據(jù)的離散程度.

2【答案】C

【解析】a（a-b）=|3|2-ab=l2-（-1）=2C.

3【答案】B

【解析】對A：由b=2-a>0,故a<2,即0<。<2,故A錯誤；

對B：由a>0,b>Q,則ab>0,Aab<\j=1,

當且僅當a=b=l時，等號成立，故0<而<1,故B正確；

對C：由a+Z）=2,故（a+方）=a"+Z>'+2aZ>=4,即有a?+=4—2a6，

又由B可得0<而￡1,即24a2+方2<4，故C錯誤；

對D：由a=2—匕>0,故匕<2,即0<Z?<2,故D錯誤.故選：B.

4【答案】B

連接區(qū)4,BC,由對稱性可知，BA=BC,

取4C的中點H,則4C_LM,AH=-AC,

2

又因為正六邊形的邊長為1,所以4c=2,

所以45”0=卜。卜［44（：05/皿0=卜0卜,〃卜2,故選：B.

5【答案】A

【解析】由題意可得，視力4.9的視標邊長約為：10x（壺）=10x109=10、=胸cm.

故選：A

6【答案】D

由正弦定理可得，28c=34C,

又4B=24C,所以4C:BC:4B=2:3:4,

不妨設AC=2k,BC=3k,AB=4k,

所以由余弦定理得8sC=4必+泳'-16"=一！.故選：口.

2x2kx3k4

7【答案】D

【解析】設4=a+hi、z2=c+c&,a、b、c、deR-

對A：若Zi+Z2>0,則有a+c+(6+d)i>0,

即a+c>0且Z)+d=0,故A錯誤；

對B：取馬=0、z2=1,亦有馬馬;。，故B錯誤；

2

對C：取4=i,z2=1,則有㈤=同=1,zf=i=-l*Zj=1,故C錯誤;

對D：設z=x+yi,x、jeR.^|z-z1|=|z-z2|,

則有J(x_a/+(y-]/=^(x-c)2+(y-47)2，

即有x?—2ax+a?+—2與<+—2ct+c~+—2辦,+d，，

整理得(2a-2c)x+(2力-2d)y+d"+c，_a~—b~—0,

由4HZ2，故2a—2c=0與2Z）-2d=0不能同時成立，

故z在復平面對應的點在直線（2a-2c）x+（2右-2"）?+"2+，2—。2一戶=0上,

故D正確.故選：D.

8【答案】A

【解析】由4肛,+3加+2〃=0、l2：nx+my-6m+n=0,

有加x〃+(-〃)x?z=0,故ZK

對4有一3加一2〃+3加+2〃=0,故4過定點3(-3,2),

對4有一lx〃+6加一6掰+〃=0,故4過定點,

則BC中點”為F2，—,即Af(—2,4),

匹|=^(-3+1)2+(2-6)2=275，則=y/5，

故點尸在以3c為直徑的圓上，該圓圓心為M(-2,4),半徑為有，

又0在原+/=1,該圓圓心為4(1,0),半徑為1，

又■=’(1+2)2+42=5,貝!||尸。|皿=5+^+2=5+而+1=6+遂.故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于由直線/［、&的方程得到4,12,且4過定點4(—3,2),&過定點

C(-l,6),從而確定點尸的軌跡為以8C為直徑的圓，進而將問題轉化為圓上兩點的距離最值問題.

9【答案】AB

【解析】二項式4展開式的通項公式&］=C；(2廣'?/=/-'。＞丁,，48/€1＜,

yjx蛆

4y_8

由一--=0,解得廠=2,則烏=加肥；=28加6,于是28加6=28，解得m=±l,

所以實數(shù)m的值為T或1.故選：AB

10【答案】AC

【解析】〃x)=sindzr+gcos6Zt=2sin［3+右)，

兀兀兀兀乃兀兀

當XE,由。＞0,則5+工￡/+,

6436343

兀-7兀兀

——+2A71K—G+一

263

則有《左￡Z,

兀?,兀兀

一+2E之一G+一

.243

G）之—5+12k

解得2左￡Z,

/?—+8左

3

2

即一5+12左工—+8左，keZ

3?

217

有一5+12左4一+8左，keZ,即左W—,即左=0或左=1,

312

2一26

當左=0時，有0＜。4—,左=1時，有7K/M—，

33

故公的取值可能在(0,|］或［7,等］.故選：AC.

11.【答案】ABD

【解析】f(x)的定義域為(O,X),f'(x)=2x—：,則r==故切線方程為y-l=x—l,

即x-y=0,故A正確.由/—=3=0得，工=坐,/(0在區(qū)間］(),［?|單調遞減,

、

1(l+ln2),故B正確，C

在區(qū)間,+刃單調遞增，所以/(X)皿=/

7

錯誤.ax?ex2-elnx+eX恒成立，其中x＞0,所以.‘泣—elnx+e、,記

X

2.x2ex--+ex-x-(ex2-elnx+ex)

F(x)=elnx+e(x>0)；則尸,卜)=1-----__1__丁----------------:

XX

e(x2-l)+(x-l)ex+elnx

二-----，2--------，當xe(0,1)時，F(xiàn),(x)<0；當xe(l,+9)時，產'(x)>0,所以產(x)在

(0,1)上單調遞減，在(L2)上單調遞增，故尸(x)1nm=尸(1)=26,則實數(shù)a的取值范圍為a?2e,D正

確.故選ABD.

12【答案】{—2,2}

【解析】由題意3=4,所以冽2=-1或加2=4,則加=2或優(yōu)=-2,

所以實數(shù)冊的取值集合為{-2,2}.故答案為：{-2,2}.

13【答案】36兀

【解析】連接&)，分別取Ef、BD、4D中點G、H、I,連接GH、Hl、EI，

由底面HBCD是正方形，EF//平面4BCD,V4DE和Z^C戶均為等邊三角形，

故EG//田，GH_L底面ABCD,又EF=2AB=6,故EG=4D=243=3,

則以邛3乎，故如竹正|^=竽，

由H為底面正方形中心，HGLIH,故可在直線GH上取一點。，

便。為羨除43CDE/外接球球心，連接。/、OE、OA,

設半徑為r,OH=a,則。1=OE=尸，

由GHJ_底面4BCD,NDu平面4BCD，故GH上AD,

又AD上出,IH、GHi平面ZOH,故4Z>_L平面QH,

又Qu平面7OH,故4Z)_LQ,故;02=/一4/2=’—(：)，

又/O?=O/f.=/+停)，故有/—g)=/+仁)，即r'=a"+',

又EO'=/=-a+3?=a，—30a+工，

I2)2

故有a?----=a~+-,解得a=31^,

222

QQQ

故—=/+—=—+—=9,即r=3,

222

4,

則這個幾何體的外接球的體積為/=一兀7=36兀.

3

故答案為：367r.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查幾何體外接球問題，關鍵在于借助題目條件，找出垂直底面且過底面外接

圓圓心的直線，則該幾何體的外接球球心必在該直線上，設出該點位置，從而可結合勾股定理計算出該球

半徑，即可得解.

14【答案】27

【解析】設尸（4）=尸貝!］尸（C）=尸（。）=：

設一次實驗中成功運行的概率為P,

則0=E（4）?尸（5）?尸（C>E（0）+［1—尸（4）］尸（3）?尸（C）?尸（。）+

［1—尸（5）］尸（4）?尸（C）?尸（。）++［1—尸（C）］尸（4）?尸（3）?尸（0）+

［1—尸（刀）］尸（4）?尸（3）?尸（C）=/+

2/4Y,4127a4-724+72/-32。

2a--a1---F67=-----------------------,

13A3J9

令/(a)=27a4-72a3+72a2-32a,ae[g,1],

貝(If\a)=108a3-216a2+144a-32=4(3a-2)\

當時，r(a)<0,當時，，'⑷>0,

則/(a)在［上單調遞減，在|'g,l；上單調遞增,

故")”修卜27x(升72X5+72x?—32x修卜號,

16

故一工竺，

927

“竺〉竺=27

由X服從二項分布，故有E(X)=^=16,則已一生.故答案為：27.

27

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于借助導數(shù)求取一次實驗中成功運行的概率的最大值，結合二項分布

期望公式得到最少需要進行的試驗次數(shù).

15.解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，可得(0.04+0.08+0.12+0.10)x2=0.68<0.75,

(0.04+0.08+0.12+0.10+0.08)x2=0.84>0.75,

所以這1000名消費者對年菜開支接受價格的75%分位數(shù)是8+675-‘65?89.

0.08

(2)由/=0.08x1+0.16x3+0.24x5+0.20x7+0.16x9+0.10x11+0.06x13=6.48,

所以X?N(6.48,3.242),

/、y-P(U-cr<X<11+<7)1-0.68

所以尸(X>9.72)=-------——-----------C一L=1丁。=0.16,

故所有消費者對年菜開支接受價格大于972元的概率為0.16.

16證明:(1)

???平面R4D_L平面尸4S，平面R4Dc平面R43=R4,PA1PD，PDu平面R4D,

PD_L平面尸4S，又4Bu平面產4S，/.PD1AB;

???四邊形ABCD為正方形，.：人4。，

,：PDV\AD-D,尸D,4Du平面R4D，.:45人平面R4。，

;45u平面4SCD，，平面平面/BCD.

解:(2)取中點。，連接。尸歹，

?/PA=PD，。為ND中點，..O尸，40,

???平面RID_L平面45cD,平面RIDc平面43co=40,OPu平面R4O,

二0尸_1平面488,

???O,產分別為40,5。中點，\OFHAB,又二。產_LNZ＞；

以o為坐標原點，57,三,方正方向為KHZ軸正方向，可建立如圖空間直角坐標系,

?；PA=PD=2,PA1PD-.?.40=20，OP=^AD=-J1,

二0(—0,0,0),4(0,0,0),尸(0,0,0),5(忘,20,0),C(-0,20,O),尸(0,虛,0b

：.DF=(y/2,y/2,0),PB=(72,272,-72),就=(-260,0),刀=(一立0,0),

方=(20,0,0),

^7E=/7P(O<2<I),則”=(一040,拉;L),

：.DE=DA+AE=^2y/2->/2A,0,y/2A\,

設平面DEZ'的法向量五=(x,y,z),

DE-n=(2^2_加卜+五zA=0

則《令x=2,解得：y=-^,z=2-2,.,.方=(4一九丸一2)；

DF-n=y/2x+yjly=0

；z軸J_平面4DR，，平面40尸的一個法向量質=(0,0,1),

,I__|?麗?司I%/3m1

?Jcos嘰〃|=y^=]、、，、2=丁，解得：4=7(舍)或2=已

\m\-\n\^22+22+(2-2)112

設平面PBC的法向量7=(a,b,c),

PB-t=>/2a+2y/2b-y/2c=0

則《令5=1,解得：4=0C=2rF=(0,1,2),

BC?t=-2"x/^a=0

\EPt_72_Vio

???點E到平面PBC的距離d=Fi左―-5-

x

17.(1)解：當a=3時，/(x)=3e-sinx-3,則/(x)=3e'-8sx,所以f(0)=0,/*(0)=2,

故曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程為2x-y=0.

(2)①解：函數(shù)f(x)=ae*-sinx-(x)=ae'-cosx,

(i)當時，ae*>l,cosxe(0,l),所以f(x)〉O,

則y=/(X)在[(J,q)上單調遞增，沒有極值點，不合題意；

(ii)當0<。<1時，設°(x)=ae*-cosx,則0(x)=ae*+sinx>0在10弓)上恒成立，所以°(x)在

(0,()上單調遞增，即/(x)在(0,()上單調遞增，

又/(0)=a-1<0,/J=ae5>0,所以/(x)在10,上有唯一零點七，

當x?0,Xi)時，/(x)<0,函數(shù)f(x)單調遞減；當工6卜弓)時，/(x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增，

所以函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內有唯一極值.點，符合題意.

綜上，a的取值范圍是(0,1).

②證明：由QW10<a<l,當xe(,力)時，/(x)=aex-cosx>0,

當xe(O,xJ時，/(x)<0,函數(shù)/(x)單調遞減；當xe&/)時，/(x)>0,函數(shù)/'(x)單調遞增,

所以xe(O,xJ時，/(x)</(0)=0,則〃項)<0,

又因為/'(；r)=ae*-a=a(e"-l)>0,

所以f(x)在(再,乃)上有唯一零點X。，即/(X)在(0,萬)上有唯一零點X。.

由①(須)=0，所以ae的=cosX],

cosjq

則f(2%1)=々/A-sin2再一a=eX1cosjq-2sin玉cos西-

I1

=^e-2sin.x1-^8s甬，再ef0,y

設〃(x)=ex-2sinx-e~z,xef0,yj,貝?。萘?x)=e"-2cosx+e-x,

因為e1+e-1>2,2cosx<2，所以h(x)=e*+e-1-2cosx>0,

A（x）在上單調遞增，又"（0）=0,所以A（x）>0,

又會（畤時，8s再>0,所以/（2xJ=cosjq卜*-2sin七一白

>0,所以

由前面討論知玉<2X［西（/<%,/（x）在（再，力）單調遞增，所以/<2工1，

18解：（1）依題意，尸（2,3）,0（g,3）,&（g,—3）,則直線網的斜率為匚不

則直線尸滅：y-3=4（x-2）,即y=4x-5；

x2--=114

聯(lián)立〈3，得ISfTOx+ZguO，解得、=2或%=一，

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