中老檄學(xué)總復(fù)習(xí)費(fèi)解

代數(shù)部分

第一章：實(shí)數(shù)

基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)點(diǎn)：

-

‘正整數(shù)'

一、實(shí)數(shù)的分類(lèi)：整數(shù)＜零

有理數(shù)＜負(fù)整數(shù)有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)〃數(shù)

實(shí)數(shù)＜'正分?jǐn)?shù)

刀處

負(fù)分?jǐn)?shù)

，正無(wú)理數(shù)

無(wú)理數(shù)＞無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

、負(fù)無(wú)理數(shù),

1、有理數(shù)：任何一個(gè)有理數(shù)總可以寫(xiě)成"的形式，其中夕、。是互質(zhì)的整數(shù)，這

q

是有理數(shù)的重要特征。

2、無(wú)理數(shù)：初中遇到的無(wú)理數(shù)有三種：開(kāi)不盡的方根，如行、V4；特定結(jié)構(gòu)

的不限環(huán)無(wú)限小數(shù)，如1.1001...；特定意義的數(shù)，如"、sin45°等。

二、實(shí)數(shù)中的幾個(gè)概念

1、相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。

(1)實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是一a；(2)a和人互為相反數(shù)。0

2、倒數(shù)：

(1)實(shí)數(shù)a(aWO)的倒數(shù)是工；(2)a和b互為倒數(shù)o"=l；(3)留意0

a

沒(méi)有倒數(shù)

3、確定值：

（1）一個(gè)數(shù)a的確定值有以下三種狀況：

（2）實(shí)數(shù)的確定值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，從數(shù)軸上看，一個(gè)實(shí)數(shù)的確定值，就是數(shù)軸

上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

（3）去掉確定值符號(hào)（化簡(jiǎn)）必需要對(duì)確定值符號(hào)里面的實(shí)數(shù)進(jìn)行數(shù)性（正、

負(fù)）確認(rèn)，再去掉確定值符號(hào)。

4、〃次方根

（1）平方根，算術(shù)平方根：設(shè)a\0,稱(chēng)±6叫a的平方根，五叫a的算術(shù)平

方根。

（2）正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

（3）立方根：短叫實(shí)數(shù)a的立方根。

（4）一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；0的立方根是0；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根。

三、實(shí)數(shù)和數(shù)軸

1、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線稱(chēng)為數(shù)軸。原點(diǎn)、正方向、單

位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素。

2、數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，而每一

個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的唯一的點(diǎn)來(lái)表示。實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)

系。

四、實(shí)數(shù)大小的比較

1、在數(shù)軸上表示兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

2、正數(shù)大于0；負(fù)數(shù)小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)確定值大的反而小。

五、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

1、加法：（1）同號(hào)兩數(shù)相加，取原來(lái)的符號(hào)，并把它們的確定值相加；

(2)異號(hào)兩數(shù)相加，取確定值大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的確定值減去較小的

確定值?？蛇\(yùn)用加法交換律、結(jié)合律。

2、減法：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

3、乘法：(1)兩數(shù)相乘，同號(hào)取正，異號(hào)取負(fù)，并把確定值相乘。

(2)〃個(gè)實(shí)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0,積就為0；若〃個(gè)非0的實(shí)數(shù)相乘，積的

符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)確定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí),

積為負(fù)。

(3)乘法可運(yùn)用乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法安排律。

4、除法：(1)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把確定值相除。

(2)除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

(3)0除以任何數(shù)都等于0,0不能做被除數(shù)。

5、乘方和開(kāi)方：乘方和開(kāi)方互為逆運(yùn)算。

6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算依次：乘方、開(kāi)方為三級(jí)運(yùn)算，乘、除為二級(jí)運(yùn)算，力口、減是一

級(jí)運(yùn)算，假如沒(méi)有括號(hào)，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，不同級(jí)的運(yùn)算，

先算高級(jí)的運(yùn)算再算低級(jí)的運(yùn)算，有括號(hào)的先算括號(hào)里的運(yùn)算。無(wú)論何種運(yùn)算，

都要留意先定符號(hào)后運(yùn)算。

六、有效數(shù)字和科學(xué)記數(shù)法

1、科學(xué)記數(shù)法：設(shè)40,則aX10"(其中〃為整數(shù))。

2、有效數(shù)字：一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)，到精確到的數(shù)位為止，

全部的數(shù)字，叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。精確度的形式有兩種：(1)精確到那一位;

(2)保留幾個(gè)有效數(shù)字。

其次章：他式

學(xué)問(wèn)點(diǎn):

一、代數(shù)式

1、代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫代數(shù)式。

單獨(dú)一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也是代數(shù)式。

2、代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)里的字母，計(jì)算后得到的結(jié)果叫做代數(shù)式

的值。

3、代數(shù)式的分類(lèi):

'單項(xiàng)式

整式＜

有理式多項(xiàng)式

代數(shù)式

分式

無(wú)理式

二、整式的有關(guān)概念及運(yùn)算

1、概念（1）單項(xiàng)式：像筋7、lx2y,這種數(shù)和字母的積叫做單項(xiàng)式。單

獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。

單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，全部字母的指數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。

單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫單項(xiàng)式的系數(shù)。

（2）多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。

多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中每一個(gè)單項(xiàng)式都叫多項(xiàng)式的項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式含有幾

項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式。

多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。

不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng)。

升（降）幕排列：把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從?。ù螅┑酱螅ㄐ。?/p>

的依次排列起來(lái)，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母升（降）累排列。

(3)同類(lèi)項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同

類(lèi)項(xiàng)。

2、運(yùn)算

(1)整式的加減：

合并同類(lèi)項(xiàng)：把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母的指

數(shù)不變。

去括號(hào)法則：括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉，括號(hào)里

各項(xiàng)都不變；括號(hào)前面是“-”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“-”號(hào)去掉，括號(hào)里的

各項(xiàng)都變號(hào)。

添括號(hào)法則：括號(hào)前面是“+”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變；括號(hào)前面是

“-”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)。

整式的加減事實(shí)上就是合并同類(lèi)項(xiàng)，在運(yùn)算時(shí)，假如遇到括號(hào)，先去括號(hào)，

再合并同類(lèi)項(xiàng)。

(2)整式的乘除：

幕的運(yùn)算法則：其中必〃都是正整數(shù)

同底數(shù)幕相乘：am-an=am+n；同底數(shù)基相除：am^an=am-n-,幕的乘方：

{amy=*積的乘方:(ab)n=anbn。

單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對(duì)于相同的字母，用它

們的指數(shù)的和作為這個(gè)字母的指數(shù)；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同

它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式:就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加。

多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，

再把所得的積相加。

單項(xiàng)除單項(xiàng)式：把系數(shù)，同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除

式里含有字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)，再把所得的商相

加。

乘法公式：平方差公式：(a+b\a-b)=a2-b2；

完全平方公式：(?+Z?)2-a1+2ab+b2,-a2-2ab+b2

三、因式分解

1、因式分解概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫因式分解。

2、常用的因式分解方法：

(1)提取公因式法：ma+mb+me=m(a+b+c)

(2)運(yùn)用公式法：

平方差公式:a~-b~-(a+b)(a-b)；完全平方公式:a2+2ab+b~=(?±Z?)2

(3)十字相乘法：x2+(?+b)x+ab-{x+a)(x+Z?)

(4)分組分解法：將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)分組后能提公因式或運(yùn)用公式分解。

(5)運(yùn)用求根公式法：若江++C=0("0)的兩個(gè)根是％、x2,則有:

2

ax+bx+c=a(x-)(x-x2)

3、因式分解的一般步驟：

(1)假如多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；

(2)提出公因式或無(wú)公因式可提，再考慮可否運(yùn)用公式或十字相乘法；

(3)對(duì)二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

(4)最終考慮用分組分解法。

四、分式

1、分式定義：形如4的式子叫分式，其中46是整式，且6中含有字母。

B

(1)分式無(wú)意義：0時(shí)，分式無(wú)意義；爐0時(shí)，分式有意義。

(2)分式的值為0：0,郎0時(shí)，分式的值等于0。

(3)分式的約分：把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去叫做分式的約分。

方法是把分子、分母因式分解，再約去公因式。

(4)最簡(jiǎn)分式：一個(gè)分式的分子和分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫做最簡(jiǎn)分式。分

式運(yùn)算的最終結(jié)果若是分式，確定要化為最簡(jiǎn)分式。

(5)通分：把幾個(gè)異分母的分式分別化成和原來(lái)分式相等的同分母分式的

過(guò)程，叫做分式的通分。

(6)最簡(jiǎn)公分母：各分式的分母全部因式的最高次幕的積。

(7)有理式：整式和分式統(tǒng)稱(chēng)有理式。

2、分式的基本性質(zhì)：

(1)4=生絲(/是70的整式)；(2)4=生絲(又是70的整式)

BBMBB+M

(3)分式的變號(hào)法則：分式的分子，分母和分式本身的符號(hào)，變更其中任

何兩個(gè)，分式的值不變。

3、分式的運(yùn)算：

(1)力口、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分

式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加減。

(2)乘：先對(duì)各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子，分

母乘以分母。

(3)除：除以一個(gè)分式等于乘上它的倒數(shù)式。

(4)乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。

五、二次根式

1、二次根式的概念：式子，T(a?0)叫做二次根式。

(1)最簡(jiǎn)二次根式：被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開(kāi)方數(shù)中不

含能開(kāi)得盡方的因式的二次根式叫最簡(jiǎn)二次根式。

(2)同類(lèi)二次根式：化為最簡(jiǎn)二次根式之后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式，

叫做同類(lèi)二次根式。

(3)分母有理化：把分母中的根號(hào)化去叫做分母有理化。

(4)有理化因式：把兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，假如它們的積不含

有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式(常用的有理化因式有：行

和4a；a4b+c4d和a4b-c4d)

2、二次根式的性質(zhì)：

(1)(Va)2=a(a>0)；(2)-\la2=(；(3)Vab—y[a-y[b

11[-a(a<0)

(aNO,力三0)；(4)^|=^(a>0,/2>0)

3、運(yùn)算：

(1)二次根式的加減：將各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，合并同類(lèi)二次

根式。

(2)二次根式的乘法：4a-4b-Jab(aNO,b'O)。

(3)二次根式的除法：

二次根式運(yùn)算的最終結(jié)果假如是根式，要化成最簡(jiǎn)二次根式。

第三章：方程和方程組

基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)點(diǎn)：

一、方程有關(guān)概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方程的解，含有一

個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方推斷方程無(wú)解的過(guò)程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程變形時(shí)，產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做原方程的增

根。

二、一元方程

1、一元一次方程

（1）一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：0（其中x是未知數(shù)，a、5是已知數(shù)，aWO）

（2）一元一次方程的最簡(jiǎn)形式：（其中x是未知數(shù)，a、人是已知數(shù)，aWO）

（3）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)和

系數(shù)化為1。

（4）一元一次方程有唯一的一個(gè)解。

2、一元二次方程

（1）一元二次方程的一般形式：ax1+bx+c=O（其中x是未知數(shù)，a、b、

c是已知數(shù)，aWO）

（2）一元二次方程的解法：干脆開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法

（3）一元二次方程解法的選擇依次是：先特殊后一般，如沒(méi)有要求，一般

不用配方法。

(4)一元二次方程的根的判別式：A=&2-4?C

當(dāng)/>0時(shí)。方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)4=0時(shí)o方程有兩個(gè)

相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)0時(shí)。方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，無(wú)解；當(dāng)/三0時(shí)。方程有兩

個(gè)實(shí)數(shù)根

(5)一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系：

若事,是一元二次方程+笈+C=0的兩個(gè)根，那么：，

(6)以?xún)蓚€(gè)數(shù)和馬為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是：

X2-(%1+九2)%+=0

三、分式方程

(1)定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

(2)分式方程的解法：

一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母。

特殊方法：換元法。

(3)檢驗(yàn)方法：一般把求得的未知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)公分母，使最簡(jiǎn)公分母

不為0的就是原方程的根；使得最簡(jiǎn)公分母為0的就是原方程的增根，增根必需

舍去，也可以把求得的未知數(shù)的值代入原方程檢驗(yàn)。

四、^^組

1、方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組的解。

2、解方程組：求方程組的解或推斷方程組無(wú)解的過(guò)程叫做解方程組

3、一次方程組：

(1)二元一次方程組：

一般形式：（火,“2,仇也,。1，。2不全為°）

解法：代入消遠(yuǎn)法和加減消元法

解的個(gè)數(shù)：有唯一的解，或無(wú)解，當(dāng)兩個(gè)方程相同時(shí)有多數(shù)的解。

（2）三元一次方程組：

解法：代人消元法和加減消元法

4、二元二次方程組：

（1）定義：由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組以及由

兩個(gè)二元二次方程組成的方程組叫做二元二次方程組。

（2）解法：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，或者降次，轉(zhuǎn)化為二元一次方

程組。

第四章：列方程（組）解應(yīng)用題

學(xué)問(wèn)點(diǎn)：

一、列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟

1、審題：2、設(shè)未知數(shù)；3、找出相等關(guān)系，列方程（組）；

4、解方程（組）；5、檢驗(yàn)，作答；

二、列方程（組）解應(yīng)用題常見(jiàn)類(lèi)型題及其等量關(guān)系；

1、工程問(wèn)題

（1）基本工作量的關(guān)系：工作量=工作效率義工作時(shí)間

（2）常見(jiàn)的等量關(guān)系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作總量

（3）留意：工程問(wèn)題常把總工程看作“1”，水池注水問(wèn)題屬于工程問(wèn)題

2、行程問(wèn)題

(1)基本量之間的關(guān)系：路程=速度X時(shí)間

(2)常見(jiàn)等量關(guān)系：

相遇問(wèn)題：甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及問(wèn)題(設(shè)甲速度快)：

同時(shí)不同地：甲的時(shí)間=乙的時(shí)間；甲走的路程-乙走的路程=原來(lái)甲、乙相

距路程

同地不同時(shí)：甲的時(shí)間=乙的時(shí)間-時(shí)間差；甲的路程=乙的路程

3、水中航行問(wèn)題：

順流速度=船在靜水中的速度+水流速度;逆流速度=船在靜水中的速度-水流

速度

4、增長(zhǎng)率問(wèn)題：

常見(jiàn)等量關(guān)系：增長(zhǎng)后的量=原來(lái)的量+增長(zhǎng)的量；增長(zhǎng)的量=原來(lái)的量X(1+

增長(zhǎng)率)；

5、數(shù)字問(wèn)題：

基本量之間的關(guān)系：三位數(shù)=個(gè)位上的數(shù)+十位上的數(shù)X10+百位上的數(shù)X100

三、列方程解應(yīng)用題的常用方法

1、譯式法:就是將題目中的關(guān)鍵性語(yǔ)言或數(shù)量及各數(shù)量間的關(guān)系譯成代數(shù)式,

然后依據(jù)代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系找出等量關(guān)系。

2、線示法：就是用同始終線上的線段表示應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系，然后依據(jù)線

段長(zhǎng)度的內(nèi)在聯(lián)系，找出等量關(guān)系。

3、列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入表格，從而找出各種量之間

的關(guān)系。

4、圖示法：就是利用圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，它可以使量和量之間的關(guān)系更

為直觀，這種方法能幫助我們更好地理解題意。

第五章：不等式及不等式組

學(xué)問(wèn)點(diǎn)：

一、不等式和不等式的性質(zhì)

1、不等式：表示不等關(guān)系的式子。（表示不等關(guān)系的常用符號(hào)：#,<,>）。

2、不等式的性質(zhì)：

（，）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變更，如a

>b,c為實(shí)數(shù)na+c>6+c

（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，如

c>On>。

（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向變更，如a>6,

c<0=<.

注：在不等式的兩邊都乘以（或除以）一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，確定要養(yǎng)成好的習(xí)慣、

就是先確定該數(shù)的數(shù)性（正數(shù)，零，負(fù)數(shù)）再確定不等號(hào)方向是否變更，不能像

應(yīng)用等式的性質(zhì)那樣隨意，以防出錯(cuò)。

3、隨意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,人的大小關(guān)系（三種）：

（1）a-b>0oa>b（2）a-Oo（3）a-a〈b

4、（1）a>b>0<^4a>4b（2）a>b>Q<^a~<b2

二、不等式（組）的解、解集、解不等式

1、能使一個(gè)不等式（組）成立的未知數(shù)的一個(gè)值叫做這個(gè)不等式（組）的

一個(gè)解。

不等式的全部解的集合，叫做這個(gè)不等式的解集。

不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分叫做不等式組的解集。

2.求不等式(組)的解集的過(guò)程叫做解不等式(組)。

三、不等式(組)的類(lèi)型及解法

1、一元一次不等式：

(/)概念：含有一個(gè)未知數(shù)并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是一次的不等式，叫

做一元一次不等式。

(2)解法：和解一元一次方程類(lèi)似，但要特殊留意當(dāng)不等式的兩邊同乘以

(或除以)一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向要變更。

2、一元一次不等式組：

(/)概念：含有相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式所組成的不等式組，叫

做一元一次不等式組。

(2)解法：先求出各不等式的解集，再確定解集的公共部分。

注：求不等式組的解集一般借助數(shù)軸求解較便利。

第六章：函數(shù)及其圖像

學(xué)問(wèn)點(diǎn)：

一、平面直角坐標(biāo)系

1、平面內(nèi)有公共原點(diǎn)且相互垂直的兩條數(shù)軸，構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系。在平面

直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)和有序?qū)嵥挻缰g建立了一~■對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

2、不同位置點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：

(1)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)有如下特征：

點(diǎn)、P(x,y)在第一象限ox>0,y>0；點(diǎn)、P(x,y)在其次象限ox

<0,y>0；

點(diǎn)尸（x,y）在第三象限ox<0,y<0；點(diǎn)尸（x,y）在第四象限ox

>0,y<0o

（2）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)有如下特征：

點(diǎn)尸（4了）在x軸上。丁為0,x為隨意實(shí)數(shù)。

點(diǎn)尸（x,y）在y軸上ox為0,丁為隨意實(shí)數(shù)。

3.點(diǎn)尸（4y）坐標(biāo)的幾何意義：

（1）點(diǎn)尸（4y）至1Jx軸的距離是Iy；（2）點(diǎn)尸（4y）到y(tǒng)袖的距

離是Ix1；

（3）點(diǎn)尸（4y）到原點(diǎn)的距離是Jx?+產(chǎn)

4.關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：

（1）點(diǎn)尸（a,5）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是《3-加；（2）點(diǎn)尸（a,為關(guān)

于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是￡（-a力）；

（3）點(diǎn)尸（a,5）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是鳥(niǎo)（-/-加；

二、函數(shù)的概念

1、常量和變量：在某一變更過(guò)程中可以取不同數(shù)值的量叫做變量；保持?jǐn)?shù)

值不變的量叫做常量。

2、函數(shù)：一般地，設(shè)在某一變更過(guò)程中有兩個(gè)變量x和不假如對(duì)于x的每

一個(gè)值，丁都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)x是自變量，丁是x的函數(shù)。

（1）自變量取值范圍的確是：

①解析式是只含有一個(gè)自變量的整式的函數(shù)，自變量取值范圍是全體實(shí)數(shù)。

②解析式是只含有一個(gè)自變量的分式的函數(shù)，自變量取值范圍是使分母不為

0的實(shí)數(shù)。

③解析式是只含有一個(gè)自變量的偶次根式的函數(shù)，自變量取值范圍是使被開(kāi)

方數(shù)非負(fù)的實(shí)數(shù)。

留意：在確定函數(shù)中自變量的取值范圍時(shí)，假如遇到實(shí)際問(wèn)題，還必需使實(shí)

際問(wèn)題有意義。

(2)函數(shù)值：給自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)值所求得的函數(shù)的對(duì)應(yīng)值。

(3)函數(shù)的表示方法：①解析法；②列表法；③圖像法

(4)由函數(shù)的解析式作函數(shù)的圖像，一般步驟是：①列表；②描點(diǎn)；③連

三、幾種特殊的函數(shù)1、一次函數(shù)

自變量的

圖像

函數(shù)解析式取值范圍性質(zhì)

:

正比例y=kx全體!

函數(shù)(k#O)實(shí)數(shù)r0K

二>0k<0①當(dāng)k>0時(shí)y

隨x的增大而

增大

②當(dāng)kV0時(shí)y

2隨X的增大而

J減小.

J/b>0

y=kx=0

一次全體

+b

函數(shù)實(shí)數(shù)

(k^O)1、為。

k>0

k<0b<0

直線位置和A,人的關(guān)系：

(1)A>0直線向上的方向和x軸的正方向所形成的夾角為銳角;

(2)k<0直線向上的方向和x軸的正方向所形成的夾角為鈍角;

(3)人>0直線和y軸交點(diǎn)在x軸的上方；

(4)6=0直線過(guò)原點(diǎn)；

(5)b<0直線和y軸交點(diǎn)在x軸的下方;

(1)a確定拋物線的開(kāi)口方向

(2)c確定拋物線和y軸交點(diǎn)的位置：

c>0o圖像和y軸交點(diǎn)在x軸上方；Oo圖像過(guò)原點(diǎn)；KOo圖像和y軸交

點(diǎn)在x軸下方；

(3)a,5確定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置：a,〃同號(hào)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)；b=0,

對(duì)稱(chēng)軸是y軸；a,6異號(hào)。對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)；

4、正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的比照表:

函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)

解析式y(tǒng)-kx(kr。)y=—(4#0)

X

圖像直線，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)雙曲線，與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)

自變量取值范圍全體實(shí)數(shù)工,0的一切實(shí)數(shù)

圖像的位置當(dāng)人＞0時(shí)，在一、三象限；當(dāng)人＞0時(shí)，在一、三象限；

當(dāng)人＜0時(shí)，在二、四象限。當(dāng)人＜0時(shí)，在二、四象限。

性質(zhì)當(dāng)人＞0時(shí),y隨/增大而增大；當(dāng)人＞0時(shí),y隨％增大而減小；

當(dāng)人＜0時(shí),y隨*的增大而減小。當(dāng)人＜0吼y隨％增大布增夫。

第七章：統(tǒng)計(jì)初步

學(xué)問(wèn)點(diǎn)：

一、總體和樣本：

在統(tǒng)計(jì)時(shí)，我們把所要考察的對(duì)象的全體叫做總體，其中每一考察對(duì)象叫做

個(gè)體。從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做

樣本容量。

二、反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的特征數(shù)

1、平均數(shù)

-I

(1)占，%2，%3,…,X”的平均數(shù)，x=—(x+X+--?+%?)

n12

(2)加權(quán)平均數(shù)：假如A個(gè)數(shù)據(jù)中，引出現(xiàn)力次，馬出現(xiàn)人次，……，/

_1

出現(xiàn)/次(這里力+人+…+/=〃)，則X=—(再力+%272+-,+x/)

n

(3)平均數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算：

當(dāng)一組數(shù)據(jù)項(xiàng),0,…，當(dāng)中各數(shù)據(jù)的數(shù)值較大，并且都和常數(shù)a接近時(shí)，

-a,x2-a9x3-a,---,xn-a的平均數(shù)為二則:x=x'+a。

2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)接從小到大的依次排列，處在最中間位置上的數(shù)據(jù)

叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù),假如數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)中位數(shù)就是處在中間彳覆上兩個(gè)

數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

3、眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。一組

數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個(gè)。

三、反映數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的特征數(shù)：

1、方差：

⑺玉,%，/，…,X”的方差，S2=-區(qū)-->+…+區(qū)-工

n

2、標(biāo)準(zhǔn)差：方差I(lǐng)S?)的算術(shù)平方根叫做標(biāo)準(zhǔn)差(S)。

注：通常由方差求標(biāo)準(zhǔn)差。

四、頻率分布

1、有關(guān)概念

(1)分組：將一組數(shù)據(jù)依據(jù)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)分成若干組稱(chēng)為分組，當(dāng)數(shù)據(jù)在100

個(gè)以?xún)?nèi)時(shí)，通常分成5—12組。

(2)頻數(shù)：每個(gè)小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做該組的頻數(shù)。各個(gè)小組的頻數(shù)之

和等于數(shù)據(jù)總數(shù)

(3)頻率：每個(gè)小組的頻數(shù)和數(shù)據(jù)總數(shù)n的比值叫做這一小組的頻率，各

小組頻率之和為L(zhǎng)

(4)頻率分布表：將一組數(shù)據(jù)的分組及各組相應(yīng)的頻數(shù)、頻率所列成的表

格叫做頻率分布表。

(5)頻率分布直方圖：將頻率分布表中的結(jié)果，繪制成的，以數(shù)據(jù)的各分

點(diǎn)為橫坐標(biāo)，以頻率除以組距為縱坐標(biāo)的直方圖，叫做頻率分布直方圖。

圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的高等于該組的頻率除以組距。

每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于該組的頻率。

全部小長(zhǎng)方形的面積之和等于各組頻率之和等于lo

樣本的頻率分布反映樣本中各數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)分別占樣本容量n的比例的大小，

總體分布反映總體中各組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)分別在總體中所占比例的大小，一般是用樣

本的頻率分布去估計(jì)總體的頻率分布。

2、探討頻率分布的方法；得到一數(shù)據(jù)的頻率分布和方法，通常是先整理數(shù)

據(jù)，后畫(huà)出頻率分布直方圖，其步驟是：

（1）計(jì)算最大值和最小值的差；（2）確定組距和組數(shù)；（3）確定分點(diǎn)；（4）

列領(lǐng)率分布表；（5）繪頻率分布直方圖。

幾何部分

第一章：線段、角、相交線、平行線

學(xué)問(wèn)點(diǎn)：

一、直線：直線是幾何中不加定義的基本概念，直線的兩大特征是“直”和

“向兩方無(wú)限延長(zhǎng)”。

二、直線的性質(zhì)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線，直線的這條性

質(zhì)是以公理的形式給出的，可簡(jiǎn)述為：過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線，兩直線相交，

只有一個(gè)交點(diǎn)。

三、射線：

1、射線的定義：直線上一點(diǎn)和它們的一旁的部分叫做射線。

2.射線的特征：“向一方無(wú)限延長(zhǎng)，它有一個(gè)端點(diǎn)。”

四、線段：

1、線段的定義：直線上兩點(diǎn)和它之間的部分叫做線段，這兩點(diǎn)叫做線段的

端點(diǎn)。

2、線段的性質(zhì)（公理）：全部連接兩點(diǎn)的線中，線段最短。

五、線段的中點(diǎn)：

1、定義如圖1—1中，點(diǎn)6把線段分成兩條相等的線段，點(diǎn)夕叫做線段圖1

-1的中點(diǎn)。

2、法：?_______?_________?

ABC

7=圖1-1

???點(diǎn)6為的中點(diǎn)

或,.?=-

2

???點(diǎn)6為的中點(diǎn)，或二』?，.?.點(diǎn)￡為的中點(diǎn)

反之也成立

???點(diǎn)方為的中點(diǎn)，???=

或?點(diǎn)6為的中點(diǎn)，???-或???點(diǎn)6為的中點(diǎn)，A2

2

六、角

1、角的兩種定義：一種是有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形叫做角。要

弄清定義中的兩個(gè)重點(diǎn)①角是由兩條射線組成的圖形；②這兩條射線必需有一個(gè)

公共端點(diǎn)。另一種是一條射線圍著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖

形?？梢钥闯鲈谄鹗嘉恢玫纳渚€和終止位置的射線就形成了一個(gè)角。

2.角的平分線定義：一條射線把一個(gè)角分成兩

相等的角，

這條射線叫做這個(gè)角的平分線。表示法有三種：如圖

1—2

(1)Z=Z

(2)Z=2Z=2Z

(3)Z=Z-Z

2

七、角的度量：度量角的大小，可用“度”作為度量單位。把一個(gè)圓周分成

360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。

八、角的分類(lèi)：

(1)銳角：小于直角的角叫做銳角(2)直角：平角的一半叫做直角

(3)鈍角：大于直角而小于平角的角

(4)平角：把一條射線，圍著它的端點(diǎn)順著一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置和

起始位置成始終線時(shí)，所成的角叫做平角。

(5)周角：把一條射線，圍著它的端點(diǎn)順著一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊

重合時(shí)，所成的角叫做周角。

(6)周角、平角、直角的關(guān)系是：/周角=2平角=4直角=360°

九、相關(guān)的角：

1、對(duì)頂角：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，這兩個(gè)角

叫做對(duì)頂角。

2、互為補(bǔ)角：假如兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，這兩個(gè)角做互為補(bǔ)角。

3、互為余角：假如兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，這兩個(gè)角叫做互為余角。

4、鄰補(bǔ)角：有公共頂點(diǎn)，一條公共邊，另兩條邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角做

互為鄰補(bǔ)角。

留意:互余、互補(bǔ)是指兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，和兩個(gè)角的位置無(wú)關(guān)，而互為鄰

補(bǔ)角則要求兩個(gè)角有特殊的位置關(guān)系。

十、角的性質(zhì)

1、對(duì)頂角相等。2、同角或等角的余角相等。3、同角或等角的補(bǔ)

角相等。

十一、相交線

1、斜線：兩條直線相交不成直角時(shí)，其中一條直線叫做另一條直線的斜線。

它們的交點(diǎn)叫做斜足。

2、兩條直線相互垂直：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角

時(shí)，就說(shuō)這兩條直線相互垂直。

3、垂線：當(dāng)兩條直線相互垂直時(shí)，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線,

它們的交點(diǎn)叫做垂足。

4、垂線的性質(zhì)

(力過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和己知直線垂直。

(2)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)連結(jié)的全部線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)潔說(shuō)：

垂線段最短。

十二、距離

1、兩點(diǎn)的距離：連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)的距離。

2、從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離。

3、兩條平行線的距離：兩條直線平行，從一條直線上的隨意一點(diǎn)向另一條

直線引垂線，垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩條平行線的距離。

說(shuō)明：點(diǎn)到直線的距離和平行線的距離事實(shí)上是兩個(gè)特殊點(diǎn)之間的距離，它

們和點(diǎn)到直線的垂線段是分不開(kāi)的。

十三、平行線

1、定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

2、平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和這條直線平行。

3、平行公理的推論：假如兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線

也相互平行。

說(shuō)明：也可以說(shuō)兩條射線或兩條線段平行，這事實(shí)上是指它們所在的直線平

行。

4、平行線的判定：

（1）同位角相等，兩直線平行。（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

（3）同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

5、平行線的性質(zhì)

（1）兩直線平行，同位角相等。（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

（3）兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。

說(shuō)明：要證明兩條直線平行，用判定公理（或定理）在已知條件中有兩條直

線平行時(shí)，則應(yīng)用性質(zhì)定理。

6、假如一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互

補(bǔ)。

留意：當(dāng)角的兩邊平行且方向相同（或相反）時(shí)，這兩個(gè)角相等。當(dāng)角的兩

邊平行且一邊方向相同另一方向相反時(shí)，這兩個(gè)角互補(bǔ)。

其次章：三角形

學(xué)問(wèn)點(diǎn)：

一、關(guān)于三角形的一些概念

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

組成三角形的線段叫三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫三角形的頂點(diǎn)；相

鄰兩邊所組成的角叫三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的角。

1、三角形的角平分線。

三角形的角平分線是一條線段（頂點(diǎn)和內(nèi)角平分線和對(duì)邊交線間的距離）

2、三角形的中線三角形的中線也是一條線段（頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)間的距

離）

3.三角形的高三角形0

留意：三角形的中線和角平;

三、三角形三條邊的^^

三角形三邊都不相等，叫不等邊三角形；有兩條邊相等的叫等腰三角形；三

邊都相等的則叫等邊三角形。

等腰三角形中，相等的兩條邊叫腰，另一邊叫底邊，腰和底邊的夾角叫底角，

兩腰的夾角叫項(xiàng)角。

三角形接邊相等關(guān)系來(lái)分類(lèi):

「不等邊三角形

三角形三角形「底邊和腰不相等的等月虹角形

等腰三角形

、等邊三角形

用集合表示，見(jiàn)圖2—4

推論三角形兩邊的差小于第三邊。

三、三角形的內(nèi)角和

定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

由定理可知，三角形的二個(gè)角已知，那么第三角可以由定理求得。

由定理可以知道，三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角。

推論1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

三角形按角分類(lèi)：

「直角三角形

三角形'銳角三角形

斜三角形

車(chē)屯角三角形

用集合表示，見(jiàn)圖

三角形一邊和另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫三角形的外角。

推論2：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

推論3:三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

四、全等三角形-

三角形

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。一廠Z斜三角形\

兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，相互重合的頂白嘴嚼*卜唧逑力應(yīng)

邊，相互重合的角叫對(duì)應(yīng)角。/

全等用符號(hào)“會(huì)”表示

'BC表示力和」，￡和B,。和C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

AA'

圖2-7

如圖2—7,必匕葭RC,則有4B、3勺對(duì)應(yīng)點(diǎn)」、H、C；、、的對(duì)應(yīng)

邊是、

BCCAo

N4AB,N倒勺對(duì)應(yīng)角是N/、/H、/C。

：.=AB,=BC,=CA/力=/A,ZB=ZB,/C=/C

五、全等三角形的判定

1、邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)

寫(xiě)成“邊角邊”或“”）

留意：確定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角。

2、角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)

寫(xiě)成“角邊角“或）

3、推論有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成

“角角邊'域）

4、邊邊邊公理有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”

或）

由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質(zhì)：三角形的穩(wěn)定性。

除了上面的判定定理外，“邊邊角”或“角角角”都不能保證兩個(gè)三角形全

等。

5、直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相

等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊，直角邊”或）

六、角的平分線

定理1、在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

定理2、一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。

由定理1、2可知：角的平分線是到角的兩邊距離相等的全部點(diǎn)的集合。

可以證明三角形內(nèi)存在一個(gè)點(diǎn)，它到三角形的三邊的距離相等這個(gè)點(diǎn)就是三

角形的三條角平分線的交點(diǎn)(交于一點(diǎn))

在兩個(gè)命題中，假如第一個(gè)命題的題設(shè)是其次個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題

的結(jié)論又是其次個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆命題，假如把其中的

一個(gè)做原命題，那么另一個(gè)叫它的逆命題。

假如一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定

理叫互逆定理，其中一個(gè)叫另一個(gè)的逆定理。

例如：“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆

定理。

一個(gè)定理不確定有逆定理，例如定理：“對(duì)頂角相等”就沒(méi)逆定理,因?yàn)椤跋?/p>

等的角是對(duì)頂角”這是一個(gè)假命顆。

七、基本作圖

限定用直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)圖，稱(chēng)為尺規(guī)作圖

最基本、最常用的尺規(guī)作圖.通常稱(chēng)為基本作圖，例如做一條線段等于己知

線段。

1、作一個(gè)角等于已知角：作法是使三角形全等(),從而得到對(duì)應(yīng)角相等;

2、平分已知角：作法仍是使三角形全等().從而得到對(duì)應(yīng)角相等。

3、經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線：(1)若點(diǎn)在已知直線上，可看作是平分已

知角平角；（2）若點(diǎn)在已知直線外，可用類(lèi)似平分已知角的方法去做：已知點(diǎn)。

為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧交已知真線于4曬點(diǎn)，再以4￡為圓心，用相同的

長(zhǎng)為半徑分別作弧交于〃點(diǎn)，連結(jié)即為所求垂線。

4、作線段的垂直平分線：

線段的垂直平分線也叫中垂線。做法的實(shí)質(zhì)仍是全等三角形（）。

也可以用這個(gè)方法作線段的中點(diǎn)。

八、作圖題舉例

重要解決求作三角形的問(wèn)題

1、已知兩邊一夾角，求作三角形2、已知底邊上的高，求作等腰三角形

九、等腰三角形的性質(zhì)定理

等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等

角”）

推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，就是說(shuō)：等腰

三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。

推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°

例如：等腰三角形底邊中線上的任一點(diǎn)到兩腰的距離相等，因?yàn)榈妊切?/p>

底邊中線就是頂角的角平分線、而角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等〃

十、等腰三角形的判定

定理：假如一個(gè)三角形有兩個(gè)角相，那這兩個(gè)角所對(duì)的兩條邊也相等。（簡(jiǎn)

寫(xiě)成“等角對(duì)等動(dòng)”）。

推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

推論3：在直角三角形中，假如一個(gè)銳角等于3〃，那么它所對(duì)的直角邊等于

斜邊的一半。

十一、線段的垂直平分線

定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

就是說(shuō)：線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的全部點(diǎn)的

集合。

十二、軸對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)圖形

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊二假如能夠和另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這

兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線軸對(duì)稱(chēng)，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫關(guān)于這條直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

這條直線叫對(duì)稱(chēng)軸。

兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)也叫軸對(duì)稱(chēng)。

定理1：關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形。

定理2：假如兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直

平分線。

定理3：兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)，假如它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)相交。那

么交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上。

逆定理：假如兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形

關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)。

假如一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠相互重合，那么這個(gè)

圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線就是對(duì)稱(chēng)軸。

例如：等腰三角形頂角的分角線就具有上面所述的特點(diǎn)，所以等腰三角形頂

角的分角線是等腰三角形的一條對(duì)稱(chēng)軸，而等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形。

十三、勾股定理

勾股定理：直角三角形兩直角邊a、加勺平方和等于斜邊c的平方：a2+b2=c

勾股定理的逆定理：假如三角形的三邊長(zhǎng)a、Ac有下面關(guān)系：a2+b2=c2

那么這個(gè)三角形是直角三角形

第三章：四邊形

學(xué)問(wèn)點(diǎn)：

一、多邊形

1、〃邊形的對(duì)角線共有條。

說(shuō)明：利用上述公式，可以由一個(gè)多邊形的邊數(shù)計(jì)算出它的對(duì)角線的條數(shù)，

也可以由一個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)求出它的邊數(shù)。

2、多邊形內(nèi)角和定理：〃邊形內(nèi)角和等于（〃-2）180°o

3、多邊形內(nèi)角和定理的推論：〃邊形的外角和等于360°。

二、平行四邊形

1、平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2、平行四邊形性質(zhì)定理1：平行四邊形的對(duì)角相等。

3、平行四邊形性質(zhì)定理2：平行四邊形的對(duì)邊相等。

4、平行四邊形性質(zhì)定理2推論：夾在平行線間的平行線段相等。

5、平行四邊形性質(zhì)定理3：平行四邊形的對(duì)角線相互平分。

6、平行四邊形判定定理1：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

7、平行四邊形判定定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

8、平行四邊形判定定理3：對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形。

9、平行四邊形判定定理4：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。

三、矩形

矩形是特殊的平行四邊形，從運(yùn)動(dòng)變更的觀點(diǎn)來(lái)看，當(dāng)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)

角變?yōu)?0°時(shí)，其它的邊、角位置也都隨之變更。因此矩形的性質(zhì)是在平行四邊

形的基礎(chǔ)上擴(kuò)充的。

1、矩形：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做短形（通常也叫做長(zhǎng)方形）

2、矩形性質(zhì)定理1：矩形的四個(gè)角都是直角。

3.矩形性質(zhì)定理2：矩形的對(duì)角線相等。

4、矩形判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。

說(shuō)明：因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和等于360度，已知有三個(gè)角都是直角，那么第四

個(gè)角必定是直角。

5、矩形判定定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

說(shuō)明：要判定四邊形是矩形的方法是：

法一：先證明出是平行四邊形，再證出有一個(gè)直角（這是用定義證明）

法二：先證明出是平行四邊形，再證出對(duì)角線相等（這是判定定理1）

法三：只需證出三個(gè)角都是直角。（這是判定定理2）

四、菱形

1、菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

2、菱形的性質(zhì)1：菱形的四條邊相等。

3、菱形的性質(zhì)2：菱形的對(duì)角線相互垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

4、菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。

5、菱形判定定理2：對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形。

說(shuō)明：要判定四邊形是菱形的方法是：

法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。（這就是定義

證明）。

法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對(duì)角線相互垂直。（這是判定定

理2）

法三：只需證出四邊都相等。（這是判定定理1）

（五）正方形

正方形是特殊的平行四邊形，當(dāng)鄰邊和內(nèi)角同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，又能使平行四邊形

的一個(gè)內(nèi)角為直角且鄰邊相等，這樣就形成了正方形。

1、正方形：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2、正方形性質(zhì)定理1：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等。

3、正方形性質(zhì)定理2：正方形的兩條對(duì)角線相等，并且相互垂直平分，每條

對(duì)角線平分一組對(duì)角。

4、正方形判定定理互：兩條對(duì)角線相互垂直的矩形是正方形。

5、正方形判定定理2：兩條對(duì)角線相等的菱形是正方形。

留意：要判定四邊形是正方形的方法有

方法一：第一步證出有一組鄰邊相等；其次步證出有一個(gè)角是直角；第三

步證出是平行四邊形。（這是用定義證明）

方法二:第一步證出對(duì)角線相互垂直；其次步證出是矩形。（這是判定定理1）

方法三：第一步證出對(duì)角線相等；其次步證出是菱形。（這是判定定理2）

六、梯形

1、梯形：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。

2、梯形的底：梯形中平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底,

較長(zhǎng)的邊叫做下底）

3、梯形的腰：梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。

4、梯形的高：梯形有兩底的距離叫做梯形的高。

5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

6、等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。

7、等腰梯形性質(zhì)定理1：等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等。

8、等腰梯形性質(zhì)定理2：等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。

9、等腰梯形的判定定理在同一個(gè)底上鉤兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。

10、等腰梯形的判定定理2：對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。

探討等腰梯形常用的方法有：化為一個(gè)等腰三角形和一個(gè)平行四邊形；或兩

個(gè)全等的直角三角形和一矩形；或作對(duì)角線的平行線交下底的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)；或

延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)。

七、中位線

1、三角形的中位線連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

說(shuō)明：三角形的中位線和三角形的中線不同。

2、梯形的中位線：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形中位線。

3、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的

4、梯形中位線定理：梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

第四章：相像形

學(xué)問(wèn)點(diǎn):

一、比例線段

1、比：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段。a、力的長(zhǎng)度分別是必n,那么就

說(shuō)這兩條線段的比是a：b=m-.〃（或）

2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比&5中。a叫做比的前項(xiàng)，人叫做

比的后項(xiàng)。

說(shuō)明：求兩條線段的比時(shí)，對(duì)這兩條線段要用同一單位長(zhǎng)度。

3、比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，如

4、比例外項(xiàng)：在比例（或a：b=c：M中a、d叫做比例外項(xiàng)。

5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例（或a：b=c：/中6、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。

6、第四比例項(xiàng)：在比例（或a：b=c-.d）中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。

7、比例中項(xiàng)：假如比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為（或時(shí)，我們把b

叫做a和d的比例中項(xiàng)。

8、比例線段：在四條線段中，假如其中兩條線段的比等于另外兩條線段的

比，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段。

9、比例的基本性質(zhì)：假如&b=c：d那么=逆命題也成立，即假如=,那

么<3：b~-c：d

10、比例的基本性質(zhì)推論：假如d那么抗逆定理是假如百那么a：：c。

說(shuō)明：兩個(gè)論是比積相等的式子叫做等積式。比例的基本性質(zhì)及推例式和等積式

互化的理論依據(jù)。

11、合比性質(zhì)：假如，那么

12.等比性質(zhì)：假如，（2+d+…+*0）,那么

說(shuō)明：應(yīng)用等比性質(zhì)解題時(shí)常采納設(shè)已知條件為4,這種方法思路單一，方

法簡(jiǎn)潔不易出錯(cuò)。

13、黃金分割把一條線段分成兩條線段，使較長(zhǎng)的線段是原線段和較小的線

段的比例中項(xiàng)，叫做把這條線段黃金分割。

說(shuō)明：把一條線段黃金分割的點(diǎn)，叫做這條線段的黃金分割點(diǎn)，在線段上截

取這條線段的倍得到點(diǎn)C,則點(diǎn)。就是的黃金分割點(diǎn)。

三、相像三角形

1、相像三角形：兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相像三角形。

說(shuō)明：證兩個(gè)三角形相像時(shí)和證兩個(gè)三角形全等一樣，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)

的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣便于找出相像三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。

2、相像比：相像三角形對(duì)應(yīng)邊的比上叫做相像比(或叫做相像系數(shù))。

3、相像三角形的基本定理：平分于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊

的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相像。

說(shuō)明：這個(gè)定理反映了相像三角形的存在性，所以有的書(shū)把它叫做相像三角

形的存在定理，它是證明三角形相像的判定定理的理論基礎(chǔ)。