第05講錯位相減法求數(shù)列前n項和

X題分析

【例111.設(shè)Sn為數(shù)列｛詼｝的前〃項和,已知Cl?=l,2Sn=幾冊.

（1）求｛%｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛筌｝的前n項和7\.

【分析】（i）根據(jù)“=Ls>n=i即可求出；

l^n-Sn-V712

（2）根據(jù)錯位相減法即可解出.

【詳解】（1）因為2s九=荏斯，

當(dāng)九=1時，2al=%，即％=0；

當(dāng)九二3時，2（1+的）=3a3，即的=2,

當(dāng)九之2時，2s九_1=（n—l）an_1，所以2（Sn—S九_i）=nan—（n—1）冊=2an,

化簡得：（九一2）a九—（71—l）a_i,當(dāng)?123時，一、=71:=…=—■=!_,即a九二九一1,

n71—1n—22

當(dāng)ri=1,2,3時都滿足上式，所以即=n-l（neN*）.

（2）因為羅=/,........確定通項為“等差x等比”的形式，采用錯位相減

所以rn=”(J+2xG)2+3xG)3+…+”()，

23

^=lxg)+2xg)+...+(n-l)xg)%nxgp

........乘以“等比”的q,寫的時候，最好將兩式錯位對其，次數(shù)相同的項對齊，以便準(zhǔn)確的相減

兩式相減得,

n+1

簫=&+?2+?3+-+?"-nx(9ma—71X

........相減并化簡之后并沒有結(jié)束，注意前面的系數(shù)

即Tn=2—(2+n)(|)n,neN*.

滿分秘籍

⑴如果數(shù)列加力是等差數(shù)列，協(xié)小是等比數(shù)列，求數(shù)列;曬瓦J的前〃項和時，常采用錯位相減法.

(2)錯位相減法求和時，應(yīng)注意：

①在寫出與“”與ZSJ的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“s,一“SJ

的表達(dá)式.

②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比〃是否等于1,如果4=1,應(yīng)用公式公="?.

?變式訓(xùn)練

【變式1-1］已知數(shù)列｛a1的前幾項和為無,且的+2a2+3a34---------卜nan=(n-l)5n+2n.

(1)求內(nèi),。2,并求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

a

(2)若%=anTog2n，求數(shù)列｛bn｝的前幾項和

n

【答案】(1)的=2；a2=4；an-2

n+1

(2)7n=2(n-1)+2

【分析】(1)將n=l、n=2代入求ai，a?，根據(jù)amSn關(guān)系及遞推式可得%=2%-2(n22),再次由an,Sn

關(guān)系及等比數(shù)列定義寫出通項公式；

(2)應(yīng)用錯位相減及等比數(shù)列前〃項和公式求結(jié)果.

【詳解】(1)由題意由+2a2+3a3+—Fnan=(n—l)Sn+2律①，

當(dāng)n=1時的=2；當(dāng)=2時的+2a2=S2+4=a1+a2+4=>a2=4；

當(dāng)ri22時，a1+2a2+3a3+…+(n—1)與—i=(n—2)Sn_i+2(n—1)②，

①一②得n%=(zi-l)Sn-(n—2)Sn-1+2=Sn+(n-2)0n+2今Sn=2(1n-2(n22),

當(dāng)n=1時，%=2也適合上式，所以*=2an-2,所以n>2時Sn_i=2an_r-2,

兩式相減得an=2an_i(nN2),故數(shù)列｛冊｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以%=2".

(2)由(1)得以=展2%

Tn=1X2】+2X22+…+(n_1)2計1+712n③，

nn+1

2Tn=1x22+2x23+…+(?1—1)2+n2@,

③一④得：一g=21+22+…+2"-n2n+1=-n2n+1=2n+1(l-n)-2,

1—2

n+1

所以Tn=2(n-l)+2.

【變式1-21已知數(shù)列｛冊｝和也｝,%=2,=1,an+1=2bn.

bnan

⑴求證數(shù)列K-4是等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列梳｝的前n項和7n.

【答案】(1)證明見解析

2

(2)Tn=n+n-2+^

【分析】(1)通過題中關(guān)系，可得4-1=;(工-1),進(jìn)而可得數(shù)列［工-1)是以一;為首項，公比為;的等

an+i2\an/lan)22

比數(shù)列.

(2)由(1)可得an=《)bn=2n—親則==2n-親可利用分組求和與錯位相減求和解題.

Z—1ZDnL

【詳解】(1)由ai=2,-7----=1a=2味得，-工=1,

bnan9n+1an+lan

整理得二--1=if--1Y而工一1=一：70,

an+12\an/2

所以數(shù)歹u｛(-1｝是以-；為首項，公比為;的等比數(shù)列

n

知？1=一4T2

(2)由(1)an=g，

_2nn2n+1-l

?kD—_1an+1——n------------n--

,,n2n+122n：

―2-lbn2n

設(shè)Sn=(+*+“,+*則/=專+捺+…+向,

_乂次)

_i_...j_1___111-n1_n+2

兩式相減得|Sn=g+a1

''2n20+l2n+1―尹'

從而Sn=2-噤

?Tn(2+2n)c22?n.n+2

??Tn=—....Sn=n+n-2+—.

n

【變式1-3］在①Sn+i=2Sn+2,②須+i-%=2這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答

該問題.已知數(shù)列｛%｝的前n項和為S.,%=2,且滿足

(1)求an；

(2)若%=(n+1)-an,求數(shù)列電｝的前n項和〃.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(l)an=2n

n+1

(2)Tn=n-2

【分析】（1）若選①，利用an與Sn的關(guān)系即可求解；若選②，利用累加法結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式即可求

解.

(2)利用錯位相減法求解即可.

【詳解】(1)若選①，因為Sn+1=2Sn+2,

當(dāng)n22時，Sn=2sLi+2,兩式相減得a^i=2an,

當(dāng)n=l時，S2=2SI+2,即a1+a2=2a1+2,

又a1=2,所以a2-4,

故a2—2al也?兩足an+i—2a。，

所以｛an｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，故an=2,

若選②，因為an+i-an=2L

—aaa

所以ani=(2_i)+(a3—a2)++(an—an-。

=21+22+???+2-1=2(-)=2n—2,故an=2n.

1—2

n

(2)由(1)^Dbn=(n+1)-an=(n+1)-2,

則幾=2x2+3x22+4x23+…+(n+1)?21①

234n+1

2Tn=2x2+3x2+4X2+???+(n+1)-2,②

23nn+1

兩式相減得一Tn=4+2+2+-+2-(n+1)-2

=4+——―-(n+1)-2n+1

1—2

=4-4+2n+1-(n+1)-2n+1=-n-2n+1,

故幾=n-2n+1.

【變式1-4】記正項數(shù)列的前幾項和為右，已知點(冊,65")5GN*)在函數(shù)f(久)=(久+1)(%+2)的圖象上,

且%>1,數(shù)列｛勾｝滿足“+1=3%，b2=a3+l.

⑴求數(shù)列｛%｝,也｝的通項公式;

(2)設(shè)力二黑+誓1,求數(shù)列｛%｝的前n項和7\.

bn+lbn

【答案】(l)an=3n—1；bn=3n

⑵Tn*-GH)()

【分析】（1）由遞推關(guān)系可得數(shù)列｛an｝是首項為2,公差為3的等差數(shù)列，則可求得｛an｝通項公式，由,+i=3bn

知，｛、｝是以3為公比的等比數(shù)列，即可求出｛味｝的通項公式;

(2)可得d=篝，利用錯位相減法可求得幾.

【詳解】(1)因為點(an，6Sn)(neN*)在函數(shù)長乂)=。+1)缶+2)的圖象上，

所以6Sn=(an+l)(an+2)=a：+3an+2,

2

當(dāng)n=1時，6sl=at+3al+2,所以a——3a1+2=0,解得a1=1或a1=2,

因為a1>1,所以a1=2,

當(dāng)n22時，6Sn=a?4-3an+2,6Sn_i=a匕+3an_1+2,

兩式相減得：6an=-a?_1+3an-3an_lfBP(an+an_1)(an-a-D=3(an+a^),

因為an>0,所以an-an_i=3,

所以數(shù)列｛aj是首項為2,公差為3的等差數(shù)列，

所以an=2+(n—1),3=3n—1；

由bn+i=3bn知，｛bn｝是以3為公比的等比數(shù)列，又bz=a3+l=9,

所以bn=b2?3n-2=3n.①

aa

(2)甲因斗為tdc=備nI+年l-l=3布n-l+丁2-1=河3n+2，

Tn=Cl+C2+…+Cn=5x(J+8x以+nx…+(3n+2)xg)n+1

345n+2

lTn=5xg)+8x,1.+llxg)...+(3n+2)xg)

兩式相減可得gTn=5xG)2+3XG)3+3x(§4+…+3xG)n+1_(3n+2)x(l)n+2

3n+2

5

=9++…+—(3n+2)x(I)

l-G)n-li

5/1\n+2

=+—(3n+2)x

91

1-

3

51n-li

=—+—1—(3n+2)xg)(H+3G)

96(I)一=葛一

所以幾號.導(dǎo)3聯(lián)

【變式1-5］設(shè)｛an｝是公比不為1的等比數(shù)列，的=1,42為。3,。4的等差中項.

(1)求｛an｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛|(2n-10)c1n|｝的前n項和7\.

【答案】(l)an=(-2尸-1

n+1

OYT=f(6-n)-2-12,n<5

⑷l(5—6)2+1+116,1126

【分析】(1)求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解；

(2)設(shè)Cn=(5-n)2n,其前n項和為Sn，利用錯位相減法求出Sn，再分nW5和nN6兩種情況討論即可

得解.

【詳解】(1)設(shè)隨口公比為q,qH1,a2^a3,的等差中項，

2

即2a2=a2q+a2q,

即為q2+q—2=0,解得q=-2或q=1(舍去)，

所以an=「(-2)nT=(—2)n-l;

⑵1(2-0居|=1『512」能歌堂,

設(shè)Cn=(5—n)2L其前n項和為Sn，

n

所以Sn=c】+c2H---Fcn=4x2+3x2^H---1-(5—n)X2,①

23n+1

2Sn=4x2+3x2+■??+(5-n)x2,②

23n+1

①一②得一Sn=8-2-2----2n—(5—n)2

4-2n+1

=8----(5-n)2n+1

=12+(n-6)2n+1,

所以Sn=(6—n)2n+i—12,

n+1

所以當(dāng)nW5時,Tn=Sn=(6-n)2-12,

當(dāng)n26時,Tn=J+c2H---FC5—Cg-Cy----cn

=S5—(Sn—S5)=2S5—Sn

=(n-6)-2n+1+12+2x52

=(n-6)-2n+1+116,

n+1

訴“T(6-n)-2-12,n<5

n^l(n-6)-2n+1+116,n>6'

用真題專練

1.已知｛%｝是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其前幾項和為%.｛%｝是公比為q的等比數(shù)列.的=/=3,。4=b2,S4=q-

s2.

（1）求｛an｝和｛bj的通項公式;

%也“n為奇數(shù)

(2)設(shè)d=，求數(shù)列｛7｝的前幾項和

為偶數(shù)

n

【答案】(l)an=2n+l,bn=3

<(4n+l)-3n+2+9,1Ir3n+19]

1+

i168|[(n+l)(n+3)8_l,n為奇數(shù)

⑵Tn=：

1(4n-3)-3n+1+91II-3n+291

1I16+81[(n+2)(n+4)8_|,n為偶數(shù)

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差、等邊數(shù)列的通項公式列式求解即可;

（2）利用分組求和，結(jié)合裂項相消法和錯位相減法運(yùn)算求解.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d>0,

由題意可得：3c,解得[寧喊=-(舍去),

(12+6d=(6+d)q(q=3(q=-2

n-1n

所以an=3+2(n—1)=2n+1,bn=3x3=3.

(2)由(1)可得Sn="3+；n+l)=健+2n,

n

當(dāng)n為奇數(shù)時，則Cn=anbn=(2n+1)-3,

n

設(shè)An=C]+c3T---Fcn=3x3+7x3^T---卜(2n+1),3,

貝Ij9An=3x33+7x35+-+(2n+1)-3n+2,

兩式相減得-8An=9+4X33+4X35+…+4x3n-(2n+1)-3n+2=9+-(2n+1)-3n+2

(4n+l)3n+2+9

2’

(4n+l)-3n+2+9

所以An=

16

(2n-l)-3n(2n-l)-3n_1F3n+23n]

當(dāng)n為偶數(shù)時，則。=芒黑l_(n+2)(n+4)

（an十/八］(2n+8)(n2+2n)2n(n+2)(n+4)8n(n+2)J

AD1,1[3432.3634.3n+2扁用3什2

設(shè)Bn=C2+C4+…+6=百[無一有+病一病+…+g+2)(n+4)

(n+2)(n+4)9

113n+2

所以％=8L(n+2)(n+4)1]

(2n+1).3。n為奇數(shù)

綜上所述:

5舄白一就"為偶數(shù)

當(dāng)n為奇數(shù)時，則Tn=J+C24------Fcn=Q+c3T----卜cn)+Q+c44------卜cn_1)

(4n+l>3n+2+9J1[3n+l9

=An+Bn-i16十8L(n+l)(n+3)

當(dāng)n為偶數(shù)時，則Tn=Ci+c2T----Fcn=Q+c3T----卜+(c24-c44----卜cn)

(4n-3>3n+l+91[3n+2

=An-1+Bn=+11(n+2)(n+4)3

16

<4n+l>3n+2+911[311+1Jn為奇數(shù)

168L(n+l)(n+3)oj

綜上所述:兀=

(4n-3)?3n+l+9I“3n+2Jn為偶數(shù)

、16-8L(n+2)(n+4)oj

2.已知數(shù)列｛an｝的前幾項和為%,ai=0,且S“+i=2Sn+2(nGN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛bn｝滿足小=log2a,1+v求數(shù)列｛%+也｝的前幾項和G

【答案】⑴即二卜士；；：？

n+1

(2)Tn=(n—l)2+2

【分析】(1)由條件結(jié)合Sn，an的關(guān)系可得a2,an+1=2an(n>2),由此可求｛aj的通項公式;

(2)利用錯位相減法求和即可.

【詳解】(1)因為Sn+i=2Sn+2(neN*),

所以當(dāng)n=l時，S2=a2+a2=2ax+2=2,

a1=0,???a2=2,

丁Sn+l=2Sn+2,

???nN2時，Sn=2Sn.1+2,

所以Hn+i=2an(n22),

_(0,n=1

■-'n_(2nT,n>2；

(2)由(1)知bn=Iog2an+1=n.

令Cn=an+ibn=n?2、則

123n

Tn=1x2+2x2+3X24--+n2,

23nn+1

2Tn=1X2+2x2+???4-(n-l)2+n2,

n_nn+1

所以一Tn=21+22+23+…+211-n2n+1=———n2n+1=(1-n)2n+1-2,

1—2

n+1

Tn=(n-l)2+2.

3.已知數(shù)列｛冊｝的首項為1,前n項和%=層；

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若"=(冊+1)-2%求數(shù)列｛6n｝的前n項和的.

【答案】(1月=2n-l

(2)Tn=(n-1)-2n+2+4

【分析】(1)利用Sn與a。之間的關(guān)系可得，注意要驗證首項是否符合通項公式；

(2)一個等差數(shù)列乘以一個等比數(shù)列構(gòu)成一個新數(shù)列，利用錯位相減法求這個新數(shù)列的前n項和.

【詳解】(1)因為Sn=n2①，所以有Sn_i=(n—1)2②，

②—①得Sn—Sn-i=2n—1,即an=2n—1,

經(jīng)驗證a1=1符合an=2n-1,

所以數(shù)列｛aj的通項公式為an=2n-l.

nnn+1

(2)bn=(an+1)-2=2n-2=n-2,

所以又=1x22+2X23+3X24+???+n?2葉1①，

345+2

2Tn=1x2+2x2+3x2+-+n-2n②，

234n+1n+2

①一②可得一Tn=2+2+2+…+2-n-2,

Tn=

即一-n-2n+2,化簡得兀=(n-1)-2n+2+4,

所以數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn=(n—1)?2n+2+4.

4.在①ai+a4+ci7=15,②S5=20,③￡1363-9)=0這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并

解答.

已知公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前n項和為Sn,a7是與。曲的等比中項，.

(1)求｛冊｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛2%n｝的前刃項和7n.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(l)an=n+l

n+1

(2)Tn=nx2

【分析】(1)根據(jù)所選條件，等差數(shù)列通項公式，求和公式及等比中項的性質(zhì)得到方程組，解得aI、d,即

可求出通項公式；

(2)利用錯位相減法計算可得.

【詳解】(1)選條件①：設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d(d70),

3

則｛43al5所以儼+6*=：睢+一,得號=2,

(a1+a4+ay=15I3(a1+3d)=15<d=1

所以數(shù)列｛aj的通項公式為an=2+(n-1)=n+1.

選條件②：設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d(dKO),

lililfa,=a3a15SF?rif(ai+6d)2=(ai+2d)(ai+14d)科華1=2

“i5ai+10d=20f^a/2d=4，侍td=l'

所以數(shù)列｛aj的通項公式為an=2+(n-1)=n+1.

選條件③：因為a?是a?與ai5的等比中項，所以力0,由2363-9)=0,可得S3=9,

設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d(d豐0),

人43ai+3d=9'所以iai+d=3，得td=「

所以數(shù)列｛aj的通項公式為an=2+(n—1)=n+1.

nn

(2)令\=2an=(n+l)2,

則幾=b]+b2H---Fbn=2X21+3X2?+4x2，H---F(n+1)2"①，

234

2Tn=2x2+3x2+4x2+???+(n+1)2計1②，

①—②得一Tn=2x21+22+23+…+211-(n+l)2n+1=2+2(1~2^-(n+l)2n+1=一nx2n+1,

所以Tn=nx2n+i.

5.已知數(shù)列｛an｝的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公差和公比都是2,若對滿足m+的任

意正整數(shù)TH,n,均有dm+冊=Clm+n成立.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)令%=也0，求數(shù)列｛%｝的前n項和

?2n

——n,n=2k—1

【答案】(l)an=｛n(k€N*)

22,n=2k

(2)Tn=3-筆

【分析】(1)由題意分別令m=n=l,或m=Ln=2,根據(jù)數(shù)列｛aj的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等

比數(shù)列，且公差和公比都是2即可求出首項，寫出通項公式即可；

(2)利用錯位相減法即可求出數(shù)列｛、｝的前n項和

【詳解】(1)對滿足m+n45的任意正整數(shù)m,n,

均有am+an=am+n成立，

令m=n=1,則ai+a1=a2BPa2=2a「

令m=1,n=2,得a1+a2=a3,

a3=Hi+2,

**?3a]—a1+2,

解得a1=1,a2=2,

由題意數(shù)列｛aj的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公差和公比都是2,

1+2f—―1),n=2k—1n,n=2k—1

J

an=｛1之門(kEN*),即an=｛n(kGN*),

2-22-1,n=2k2"n=2k

(2)由(1)知bn=?F=絮，

a2n乙

則Tn=1W+3X(|)2+5X(i)3+...+(2n-1)X(1)n,

?1?/n=1x6)2+3x(1)3+5x(I)4+...+(2n-1)x(|)n+1,

11112134/I1n+1

???萬幾=5+2[(-)+(-)+(-)+...+(-Y-(2n-l)x(-)

乙乙乙乙乙\乙乙

=1+-3-l)x(1)n+1=|-(2n+3)X(|)n+1,

2

To2n+3

"■-Tn=3--.

2

6.已知數(shù)列｛an｝的前幾項的和為Sn,Sn=1n+1n,數(shù)列｛%｝為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且有b+/=9,b2-

63=8.

(1)求數(shù)列｛冊｝,｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛4｝滿足金=。2-1，設(shè)｛。勾｝的前幾項的和為〃，求心的值.

【答案】(l)an=n；bn=2-1

n

(2)Tn=(2n-3)-2+3

【分析】(1)根據(jù)an=L=：>9作差求出同｝的通項公式，根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)得至弧?b4=8,即可求

出也、b4,從而求出公比q,即可求出｛bn｝的通項公式；

(2)由(1)可得Cn=2n-1,則Cnbn=(2n-l)x2nT,利用錯位相減法求和即可.

【詳解】(1)因為Sn=gn2+：n,

當(dāng)n=l時，ai=Si=l,

222

當(dāng)n22時，Sn_i=1(n-I)+1(n-1),所以an=Sn-Sn_i=|n+|n-[|(n-l)+1(n-1)]=n,

經(jīng)檢驗n=1時an=n也成立，所以an=n；

因為｛、｝為等比數(shù)列，所以b2.b3=b「b4=8,結(jié)合bi+b4=9,可得二;或二;，

因為數(shù)列電｝單調(diào)遞增，所以心：]所以q3=^=8,則q=2；

即數(shù)列｛、｝為首項bl=l,q=2的等比數(shù)列，即可得bn=2-1.

(2)因為數(shù)列｛%｝滿足d=a2n_i，可得％=2n-1,

所以Cnbn=(2n—l)X2n-l,

數(shù)列｛Cnbn｝的前n項的和為Tn=1x1+3x2+-+(2n-1)-2計】，

2Tn=1x2+3x22+…+(2n-1)?2n,

將上面兩式相減可得—口=1+2X(2+2之+…+2rl-1)—(2n—1),211

=1+2x2(-1)_(2n-1)-2%

1-2''

化簡可得—Tn=(3—2n)-2n-3,

所以Tn=(2n-3>2n+3.

7.已知數(shù)列｛an｝的前幾項和為S”,且滿足即>0,Sn=①磬，數(shù)列｛%｝的前幾項積7n=2M

(1)求數(shù)列｛a“｝和｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛冊“｝的前“項和.

2n-1

【答案】⑴an=2n,bn=2

^(3n-l)-4n+1+4

【分析】⑴對于數(shù)列｛an｝,根據(jù)an>0,Sn=包普，利用an和Sn的關(guān)系求解;對于數(shù)列｛bn｝,因為其前n項積

4

Tn=2n2,根據(jù)bn=4(n22)即可求解；

(2)由(1)知anbn=n-4n,利用錯位相減法求解即可.

【詳解】(1)當(dāng)n=l時,ai=回抖，

二?ai=2,

an1：21,

當(dāng)n22時,=Sn-Sn_i=包普一區(qū)-凡-

化簡得a三一a—1=2(an+

,〉0,??—^n-1?2,

?,?數(shù)列｛aj是首項為2,公差為2的等差數(shù)列，

an=24-(n—1)X2=2n.

當(dāng)n=1時,bi=T1=2,

2

當(dāng)n22時,bn=4==22n-i,當(dāng)n=1時也滿足，

Tn-12(nT)

所以4=22-1.

2n-1n

(2)anbn=2n-2=n-4,

設(shè)Rn=aSi+a2b2+…+anbn=1,41+2,+…+n?4n①，

貝I」4Rn=1?42+2?43+…+n?平+1②，

①-②得一3&=爐+42+…+*一n?4n+1=-n-4n+1=—?4n+1-

1—433

,「(3n-l)-4n+1+4

??Rn=------g------?

8.已知Sn是公差不為0的等差數(shù)列｛冊｝的前力項和，是。1，。4的等比中項，512=78.

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

a

(2)已知小=a2AL3"T,求數(shù)列出n｝的前n項和7n.

【答案】⑴an=n

11

(2)Tn=(n-1)x3+1

【分析】(1)根據(jù)題意列式求解ai，d,即可得結(jié)果；

(2)由(1)可得：bn=(2n—l)x3nT,利用錯位相減法求和.

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛aj的公差為d,

因為a?是a°的等比中項,則成=am”

2

即(a1+d)=a1(a1+3d),且d力0,

整理得d=a】①，

又因為S”=12al+x12x11=78,整理得6al+33d=39②

由①②解得，a[=1,d=1,

所以an=1+(n—1)=n.

111n1

(2)由(1)知，bn=a2n_1x3-=(2n-l)x3-,

則％=1X3°+3X3+5X32+■??+(2n-1)x3計1，

可得3幾=1x31+3x32+5x33+…+(2n-3)x311-1+(2n-1)x3n,

兩式相減得—2Tn=1X3°+2X31+2X32+2X33+…+2xS11-1-(2n-1)x3n

=1+絲;-(2n-1)x3n=(2-2n)x311—2,

所以Tn=(n—l)x3n+l.

9.在①3Sn+l=4a“；②的=1,｛S”才與｛%｝都是等比數(shù)列；③35?=*—1,這三個條件中任選一個,

補(bǔ)充在下面的問題中，并作答.

己知數(shù)列｛%｝的前力項和為％,且.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若=(2n+2)an,求數(shù)列｛bn｝的前n項和

注：如果選擇多個條件分別作答，則按所作第一個解答計分.

【答案】(l)an=4-1

(2)口=一[+廊+2,+1

【分析】(1)若選①或③，已知an和Sn的關(guān)系，求解an即可；若選②設(shè)出公比求解即可；

(2)用錯位相減法求數(shù)列的和即可.

【詳解】(1)若選①：當(dāng)n=l時，3S1+I=4ai，解得a1=1；

當(dāng)n22時，3Sn+1=4an,3Sn_x+1=4an_1；

兩式相減得：3an=4an-4an_!，

BPan=4an_1,所以三-=4,

所以數(shù)列｛aj是以a】=1為首項，4為公比的等比數(shù)歹!j.

所以an=4n-1.

若選②：｛aj都是等比數(shù)列，設(shè)｛aj的公比為：q,

因為3n+g｝是等比數(shù)列,&+[)=31+3)33+目,

即(l+q+§=(1+§(1+q+q2+J,解得q=0(舍去)或q=4,

因為ai=1,所以an=411-1.

若選③：當(dāng)n=l時，3sl=41一1,解得ai=l；

當(dāng)n22時，3Sn=4“一1,3S-1=-1,

兩式相減得：3ali=曠一4-1,所以3an=3x4-1

所以an=4nT,當(dāng)n=l時，符合ai=1,

故an=4-1.

(2)由(1)可知：an=4f

2n1

所以bn=(2n+2)an=(2n+2)?限一1=(n+l)2-,

所以數(shù)列｛>｝的前n項和為：

135

Tn=2x2+3x2+4x2+???+(n+

3572n+1

4Tn=2x2+3x2+4X2+…+(n+l)2,

13572112n+1

兩式相減得：-3Tn=2X2+2+2+2+…+2*--(n+l)2,

所以-3Tn=2+21+23+25+27+…+22n-1-(n+l)22n+1,

所以—3Tn=2+:-(n+l)22n+1,

1—4

所以幾=±+包等空

10.已知數(shù)列｛冊｝是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列｛服｝是公比為2的等比數(shù)列，且滿足的+。3=比+62+

b3,a2+3將數(shù)列S力與｛0｝的公共項按照由小到大的順序排列，構(gòu)成新數(shù)列｛0｝.

(1)證明:cn=b2n；

(2)求數(shù)歹ij｛a?cn｝的前n項和％.

【答案】(1)證明見解析

n+1

(2)Sn=n4

【分析】(1)利用基本量代換列方程組求出a1,',得到｛aj,｛、｝的通項公式，進(jìn)而判斷出bk+2是數(shù)列｛aj

的項，即可證明；(2)利用錯位相減法求和.

【詳解】(1)由a1+a3=bi+b2+b3，得2al+6=7b1；

由a2+a4-b2+b4,得2al+12-lOb。

解得，a1=4,bi=2.

因為數(shù)列｛aQ的公差為3,數(shù)列｛、｝的公比為2,

n

所以an=3n+l,bn=2

bi=2不是數(shù)列｛aQ的項,b2=4是數(shù)列｛a"的第1項.

設(shè)bk=2k=3m+1,則

k+1

bk+1=2=2x2卜=2(3m+1)=3x2m+2,

所以bk+i不是數(shù)列｛a"的項.

因為k+2=2k+2=4X2k=4(3m+1)=3(2m+1)+1,

所以bk+2是數(shù)列｛a#的項.

所以r=b2n

nn

(2)由(1)可知，Cn=b2n=4,ancn=(3n+l)4.

23n

Sn=4x4+7x4+10X4+???+(3n+l)4

234n+

4Sn=4x4+7x4+10x4+-+(3n+l)4

nn+

所以—3Sn=16+3(4?+4，+4，+…+4)一(3n+l)4^

=4+3(4+42+43+44++4n)-(3n+l)4n+1

4(1-4n)

=4+3X~~甘-(3n+l)4n+1

1—4

=4n+1-(3n+l)4n+1=-3n4n+1,

所以Sn=n4n+1.

11.設(shè)正項數(shù)列｛an｝的前"項和為且刖=1,當(dāng)ri22時，廝=[Sn_].

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛幻｝滿足瓦=1,且0+i-"=25一冊，求數(shù)列｛%｝的通項公式.

【答案】(l)an=2n-l

1

(2)bn=(2n-5)-2"-+4

【分析】(1)根據(jù)an=Sn-Snr結(jié)合題意可得｛瘋｝是以何=1為首項，1為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而可得隨戶

的通項公式；

(2)根據(jù)累加法與錯位相減法求解即可.

【詳解】(1)由an=J3+解匚'，得Sn—SnT=商+居二，

因為Sn>0,所以居;一師7=1,

所以｛同｝是以店=1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以離=l+(n—l)=n,

所以，當(dāng)nN2時，an=+7Sn-i=n+n-l=2n-l,

當(dāng)n=l時，ai=l也滿足上式，

所以數(shù)列｛aQ的通項公式為an=2n-l.

(2)由bn+i-*=2-1.an=(2n-1)-2計】知：

當(dāng)n22時，bn=bi+(b2-bj+(b3-b2)+…+(6—b「i),

=1+1x2°+3x21+■■■+(2n-3)-2n菖①，

則26=2+1x21+3x22+…+(2n-3)-②，

由①-②得：一味=2(2]+22+…+2n-2)一(2n-3)-2^=2x^—(2n-3)-2^,

2—1

化簡得：bn=(2n-5)-211-1+4(n>2),

當(dāng)n=l時，5=1也滿足上式，

所以數(shù)列｛。｝的通項公式為必=(2n-5)-2-1+4.

12.已知等比數(shù)列｛%｝的前n項和為S%且Sn=%+i-2(幾eN*).

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

(2)在%與％+i之間插入幾個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個公差為%的等差數(shù)列，求數(shù)列｛￡｝的前n項和

【答案】⑴an=2n

【分析】(1)根據(jù)遞推關(guān)系求出等比數(shù)列的公比，由等比數(shù)列的通項公式求解;

(2)利用錯位相減法求和即可.

【詳解】⑴sn=an+1-2(neN*),

當(dāng)nN2時，Sn_i=an-2,

兩式相減可得，an+1=2an(n>2),

故等比數(shù)列｛aj的公比為2,

a2=a1+2=2a「

???a1=2,

故數(shù)列｛aj的通項公式為an=2n.

nn+1

(2)由(1)得：an=2,an+1=2,

故an+i=an+(n+1)4，即止=祟，

un4

Tn=2x1+3Xp-+4x妥+.??+(n+1)^■①,

|Tn=2X《+3X5+4X---F(n+1)■②,

①一②得：|Tn=2x1+(/+盤+…+-—(n+1)?備=1+￡---(n+1)?備=■|一黑,

故口=3-嘿

13.已知數(shù)列｛an｝的前n項和為%,且%+an=l.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)b“=an-(21og2￡-l),求數(shù)列｛勾｝的前n項和7\.

【答案】(1月=:

⑵Tn=3-等

【分析】(1)由an與Sn的關(guān)系即可求解；

(2)求出數(shù)列｛bj的通項公式后用錯位相減法求解.

【詳解】(1)因為Sn+an=1,

所以當(dāng)n22時，3n=Sn—Sn-i=1—an—(1—an-i)，所以2an=an-i,

又當(dāng)n=l時，2al=1,解得ai=g,

所以WO,所以上=1,

an-i2

所以凡｝是首項為a公比為券勺等比數(shù)列，

所以同｝的通項公式為an=泉

(2)由(1)知bn=an,(21og2(-1)

福［、

所以JT冗=挑1+,3齊+盧5+…+尹2n-3+/2n-l，

福

所以5幾=尹1+,3聲+…+2.n—3+2喬n—1p

兩式相減，得

1T_1,9P.M2n-l_1,)V"(1-杉)2n-l_32n+3

-Tn=-+2^+-+-J-^n-=-+2----布.一環(huán)

2

所以幾=3—甯.

n

14.在數(shù)列｛冊｝中，%=1,an+1-an=2(n6N*).

⑴求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

(2)若勾=nanf求數(shù)列｛4J的前n項和治.

【答案】(l)an=2n—1

n+1

(2)Sn=(n-l)-2-^i

【分析】(1)由an+i-an=2n,結(jié)合an=a[+(a?—a])+(a2-aQ…+(an—an.。,利用等比數(shù)列的求和

公式，即可求解；

(2)由(1)得到bn=nan=n-2n-n,結(jié)合等差、等比數(shù)的求和公式，以及乘公比錯位相減法