江蘇省徐州市區(qū)聯(lián)校2024屆中考數(shù)學最后一模試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題(每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分)

1.如圖，AABC中，DE垂直平分AC交AB于E,ZA=30°,NACB=80。，則NBCE等于()

C.60°D.50°

2.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,AD,AB,BC分別與。O相切于E,F,G三點，過點D作。O的切

線交BC于點M,切點為N,則DM的長為()

4713

D.275

3

3.如圖是拋物線yi=ax2+bx+c(a/0)圖象的一部分，其頂點坐標為A(-1,-3),與x軸的一個交點為B(-3,0),

直線y2=mx+n(m^O)與拋物線交于A,B兩點，下列結論：①abc>0；②不等式ax?+(b-m)x+c-nVO的解集為

-3<x<-1；③拋物線與x軸的另一個交點是(3,0)；④方程ax2+bx+c+3=0有兩個相等的實數(shù)根;其中正確的是()

A.①③B.②③C.③④D.②④

4.如圖，半。。的半徑為2,點尸是。。直徑A3延長線上的一點，PT切。。于點T,M是。尸的中點，射線TM與

半。。交于點C.若NP=20。，則圖中陰影部分的面積為()

T

5.點A（4,3）經過某種圖形變化后得到點B（-3,4）,這種圖形變化可以是（）

A.關于x軸對稱B.關于y軸對稱

C.繞原點逆時針旋轉90D.繞原點順時針旋轉90

1+%>0

6.在數(shù)軸上表示不等式組c“c的解集，正確的是（）

2%-4<0

013

01J

7.下列美麗的壯錦圖案是中心對稱圖形的是（

A.

8.下列運算正確的是（

A.a2+a3=a5B.(a3)2+a'=lC.a2?a3=a6D?（也+力）2=5

9.某市今年1月份某一天的最高氣溫是3℃,最低氣溫是一4℃,那么這一天的最高氣溫比最低氣溫高

A.—7℃B.7℃C.—1℃D.1℃

10.下列標志中，可以看作是軸對稱圖形的是（）

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11.在△ABC中，AB=13cm,AC=10cm,BC邊上的高為11cm,則△ABC的面積為cm1.

12.因式分解：x2-3x+（x-3）=.

13.一組“數(shù)值轉換機”按下面的程序計算，如果輸入的數(shù)是36,則輸出的結果為106,要使輸出的結果為127,則輸

入的最小正整數(shù)是.

14.如圖，菱形ABCD中，AB=4,NC=60。，菱形ABCD在直線1上向右作無滑動的翻滾，每繞著一個頂點旋轉60。

叫一次操作，則經過6次這樣的操作菱形中心（對角線的交點）O所經過的路徑總長為.

15.如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC可以看作是△OEb經過若干次圖形的變化（平移、旋轉、軸對稱）得

到的，寫出一種由△DEF得到△ABC的過程___.

16.在平面直角坐標系xOy中，位于第一象限內的點A（1,2）在x軸上的正投影為點A，，貝?。輈os/AOA，=__.

17.已知拋物線y=x2上一點A,以A為頂點作拋物線C：y=x2+bx+c,點3（2,7B）為拋物線C上一點，當點A在

拋物線7=產上任意移動時，則"的取值范圍是.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）先化簡代數(shù)式：-k-再代入一個你喜歡的數(shù)求值.

I"1a--1J<7-1

19.（5分）如圖，點A的坐標為（-4,0）,點B的坐標為（0,-2）,把點A繞點B順時針旋轉90。得到的點C恰

好在拋物線y=ax2上，點P是拋物線丫=2*2上的一個動點（不與點O重合），把點P向下平移2個單位得到動點Q,

則：

（1）直接寫出AB所在直線的解析式、點C的坐標、a的值；

（2）連接OP、AQ,當OP+AQ獲得最小值時，求這個最小值及此時點P的坐標；

（3）是否存在這樣的點P,使得NQPO=NOBC,若不存在，請說明理由；若存在，請你直接寫出此時P點的坐標.

20.(8分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=x與反比例函數(shù)了=七(左W0)的圖象相交于點

(2)直線x=b(Z?>0)分別與一次函數(shù)7=隊反比例函數(shù)y=幺的圖象相交于點V、N,當MN=2時，畫出示意

x

圖并直接寫出b的值.

21.(10分)已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB〃CD,對角線AC、BD交于點E,點F在邊AB上，連接CF交

線段BE于點G,CG2=GE?GD.求證：ZACF=ZABD；連接EF,求證：EF?CG=EG?CB.

22.(10分)如圖，在R3ABC中，ZC=90°,以AC為直徑作。O,交AB于D,過點O作OE〃AB,交BC于E.

(1)求證：ED為。。的切線；

(2)若。。的半徑為3,ED=4,EO的延長線交。O于F,連DF、AF,求△ADF的面積.

B

23.(12分)為了傳承祖國的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校組織了一次“詩詞大會”，小明和小麗同時參加，其中，有一道必答

題是:從如圖所示的九宮格中選取七個字組成一句唐詩，其答案為“山重水復疑無路”.

(1)小明回答該問題時，僅對第二個字是選“重”還是選“窮”難以抉擇，隨機選擇其中一個，則小明回答正確的概率

是；

(2)小麗回答該問題時，對第二個字是選“重”還是選“窮”、第四個字是選“富”還是選“復”都難以抉擇，若分別隨機選

擇，請用列表或畫樹狀圖的方法求小麗回答正確的概率.

九宮格

水重富

山疑路

無復窮

24.(14分)如圖(1),AB=CD,AD=BC,O為AC中點，過O點的直線分別與AD、BC相交于點M、N,那么N1

與N2有什么關系？請說明理由；

若過O點的直線旋轉至圖(2)、(3)的情況，其余，條件不變，那么圖(1)中的N1與N2的關系成立嗎？請說明理

由.

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1、D

【解題分析】

根據(jù)線段垂直平分線性質得出AE=CE,推出NA=NACE=30。，代入NBCE=NACB-NACE求出即可.

【題目詳解】

VDE垂直平分AC交AB于E,

.\AE=CE,

:.ZA=ZACE,

VZA=30°,

/.ZACE=30°,

VZACB=80°,

:.ZBCE=ZACB-ZACE=50°,

故選D.

【題目點撥】

本題考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線性質的應用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相

等.

2、A

【解題分析】

試題解析：連接OE,OF,ON,OG,

在矩形ABCD中，

；NA=NB=90。，CD=AB=4,

VAD,AB,BC分別與。O相切于E,F,G三點,

:.NAEO=NAFO=NOFB=NBGO=90。，

二四邊形AFOE,FBGO是正方形，

；.AF=BF=AE=BG=2,

ADE=3,

；DM是。O的切線，

；.DN=DE=3,MN=MG,

/.CM=5-2-MN=3-MN,

在RtADMC中，DM2=CD2+CM2,

(3+NM)2=(3-NM)2+42,

4

；.NM=一,

3

413

.\DM=3+-=—,

33

故選B.

考點：1.切線的性質；3.矩形的性質.

3、D

【解題分析】

①錯誤.由題意a>Lb>l,c<l,abc<l；

②正確.因為yi=ax?+bx+c(a/1)圖象與直線y2=mx+n(m#l)交于A,B兩點,當ax^+bx+cVinx+ii時,-3<x<-l；

即不等式ax?+(b-m)x+c-n<l的解集為故②正確；

③錯誤.拋物線與x軸的另一個交點是(1,1)；

④正確.拋物線y產ax2+bx+c(a再)圖象與直線y=-3只有一個交點，方程ax?+bx+c+3=l有兩個相等的實數(shù)根，故④

正確.

【題目詳解】

解：???拋物線開口向上，???aAl,

?拋物線交y軸于負半軸，.,.cVl,

b

?:對稱軸在y軸左邊，???—一<1,

2a

/.abc<l,故①錯誤.

Vyi=ax2+bx+c(arl)圖象與直線y2=mx+n(m#l)交于A,B兩點，

當ax2+bx+c<mx+n時,-3<x<-l；

即不等式ax?+(b-m)x+c-nVl的解集為-3VxV-l；故②正確，

拋物線與x軸的另一個交點是(1,1),故③錯誤，

??,拋物線y尸ax?+bx+c(arl)圖象與直線y=-3只有一個交點，

???方程ax2+bx+c+3=l有兩個相等的實數(shù)根，故④正確.

故選：D.

【題目點撥】

本題考查二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)與不等式，二次函數(shù)與一元二次方程等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解

決問題，學會利用數(shù)形結合的思想解決問題.

4、A

【解題分析】

連接OT、OC,可求得NCOM=30。，作CH^AP,垂足為H,則CH=L于是，S陰影=SAAOC+S扇形OCB,代入可得結論.

【題目詳解】

連接OT、OC,

；PT切。O于點T,

.\ZOTP=90°,

,:NP=20。，

/.ZPOT=70°,

?；M是OP的中點，

.\TM=OM=PM,

.,.ZMTO=ZPOT=70°,

VOT=OC,

:.NMTO=NOCT=70。，

:.ZOCT=180o-2x70°=40°,

.,.ZCOM=30°,

作CH_LAP,垂足為H,貝!|CH=LOC=L

2

130^x22n

S陰影SAAOC+S扇形OCB—OA?CH+------------=1+-，

23603

故選A.

【題目點撥】

本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑.運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接

圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題.也考查了等腰三角形的判定與性質和含30度的直角三角形三邊

的關系.

5、C

【解題分析】

分析：根據(jù)旋轉的定義得到即可.

詳解：因為點A(4,3)經過某種圖形變化后得到點B(-3,4),

所以點A繞原點逆時針旋轉90。得到點B,

故選C.

點睛：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩個圖形全等，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線段

的夾角等于旋轉角.

6、C

【解題分析】

解不等式組，再將解集在數(shù)軸上正確表示出來即可

【題目詳解】

解1+xK)得x*l,解2x-4V0得xV2,所以不等式的解集為-1WXV2,故選C.

【題目點撥】

本題主要考查了一元一次不等式組的求解，求出題中不等式組的解集是解題的關鍵.

7、A

【解題分析】

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義逐項進行判斷即可得.

【題目詳解】A、是中心對稱圖形，故此選項正確；

B、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

D、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤，

故選A.

【題目點撥】本題主要考查了中心對稱圖形，熟練掌握中心對稱圖形的定義是解題的關鍵；把一個圖形繞某一點旋轉

180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

8、B

【解題分析】

利用合并同類項對A進行判斷；根據(jù)塞的乘方和同底數(shù)幕的除法對B進行判斷；根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則對C進行

判斷；利用完全平方公式對D進行判斷.

【題目詳解】

解：A、a?與a3不能合并，所以A選項錯誤；

B、原式=a6+a6=l,所以A選項正確；

C、原式=a5,所以C選項錯誤；

D、原式=2+2八+3=5+2八，所以D選項錯誤.

故選：B.

【題目點撥】

本題考查同底數(shù)塞的乘除、二次根式的混合運算,：二次根式的混合運算先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二

次根式的乘除運算，再合并即可.解題關鍵是在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性

質，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

9、B

【解題分析】

求最高氣溫比最低氣溫高多少度，即是求最高氣溫與最低氣溫的差，這個實際問題可轉化為減法運算，列算式計算即

可.

【題目詳解】

3-(-4)=3+4=7℃.

故選B.

10、D

【解題分析】

根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【題目詳解】

解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；

B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；

D、是軸對稱圖形，符合題意.

故選D.

【題目點撥】

本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，解答時要注意：判斷軸對稱

圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部沿對稱軸疊后可重合；判斷中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉180度后

與原圖重合.

二、填空題(共7小題，每小題3分，滿分21分)

11,2或2

【解題分析】

試題分析：分兩種情況討論：銳角三角形和鈍角三角形，根據(jù)勾股定理求得BD=16,CD=5,再由圖形求出BC,在銳

角三角形中，BC=BD+CD=2,在鈍角三角形中，BC=CD-BD=2.

故答案為2或2.

考點：勾股定理

12、(x-3)(x+l)；

【解題分析】

根據(jù)因式分解的概念和步驟，可先把原式化簡，然后用十字相乘分解，即原式=x2-3x+x-3

=x2-2x-3=(X-3)(x+1)；或先把前兩項提公因式，然后再把X-3看做整體提公因式：原式=x(x-3)+(x-3)=

(x-3)(x+1).

故答案為(x-3)(x+1).

點睛：此題主要考查了因式分解，關鍵是明確因式分解是把一個多項式化為幾個因式積的形式.再利用因式分解的一般

步驟：一提(公因式)、二套(平方差公式1—〃二包+與包―與，完全平方公式。2±2而+從=(。土耳2)、三檢

查(徹底分解)，進行分解因式即可.

13、15

【解題分析】

分析：設輸出結果為y,觀察圖形我們可以得出x和y的關系式為：y=3x-2,將y的值代入即可求得x的值.

詳解：???y=3x-2,

當y=127時，3%-2=127,解得：x=43；

當y=43時，3%-2=43,解得：x=15；

17

當y=15時,3x-2=15,解得x=§.不符合條件.

則輸入的最小正整數(shù)是15.

故答案為15.

點睛：考查一元一次方程的應用，熟練掌握一元一次方程的應用是解題的關鍵.

144+86

14、-------n

3

【解題分析】

第一次旋轉是以點A為圓心，那么菱形中心旋轉的半徑就是OA,解直角三角形可求出OA的長，圓心角是60。.第

二次還是以點A為圓心，那么菱形中心旋轉的半徑就是OA,圓心角是60。.第三次就是以點B為旋轉中心，OB為半

徑，旋轉的圓心角為60度.旋轉到此菱形就又回到了原圖.故這樣旋轉6次，就是2個這樣的弧長的總長，進而得出

經過6次這樣的操作菱形中心O所經過的路徑總長.

【題目詳解】

解:..?菱形ABCD中，AB=4,ZC=60°,

.,.△ABD是等邊三角形，BO=DO=2,

AO=7AD2-D（92=2A/3,

第一次旋轉的弧長=6>x2占=2信，

1803

?.?第一、二次旋轉的弧長和=2岳+2岳=士辰，

333

第三次旋轉的弧長為：絲乎=：乃，

1803

故經過6次這樣的操作菱形中心O所經過的路徑總長為：2x（士岳+2〃）=4+8凡.

333

故答案為：士也I萬.

【題目點撥】

本題考查菱形的性質，翻轉的性質以及解直角三角形的知識.

15、先以點。為旋轉中心，逆時針旋轉90。，再將得到的三角形沿x軸翻折.

【解題分析】

根據(jù)旋轉的性質，平移的性質即可得到由4DEF得到AABC的過程.

【題目詳解】

由題可得，由AOEb得到△ABC的過程為：

先以點。為旋轉中心，逆時針旋轉90。，再將得到的三角形沿X軸翻折.（答案不唯一）

故答案為：先以點。為旋轉中心，逆時針旋轉90。，再將得到的三角形沿x軸翻折.

【題目點撥】

本題考查了坐標與圖形變化-旋轉，平移，對稱，解題時需要注意：平移的距離等于對應點連線的長度，對稱軸為對

應點連線的垂直平分線，旋轉角為對應點與旋轉中心連線的夾角的大小.

1b、—?

5

【解題分析】

依據(jù)點A（1,2）在x軸上的正投影為點A，，即可得到A，0=1,AA'=2,AO=J?,進而得出cos/AOA，的值.

【題目詳解】

如圖所示，點A(1,2)在x軸上的正投影為點A，,

?'.AO=^/5，

AQ1_75

cosNAOA'=------

AO秀一

故答案為：叵.

5

【題目點撥】

本題主要考查了平行投影以及平面直角坐標系，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關的線段長，是解決這類問題

的基本方法和規(guī)律.

17、ya>l

【解題分析】

設點A的坐標為(m,n),由題意可知n=mi,從而可知拋物線C為y=(x-m)1+n,化簡為y=xLlmx+lmi,將x=l

代入y^-lmx+lm1,利用二次函數(shù)的性質即可求出答案.

【題目詳解】

設點A的坐標為(m,n),m為全體實數(shù)，

由于點A在拋物線y=x)上，

?

.?n=m11,

由于以A為頂點的拋物線C為y=x1+bx+c,

拋物線(3為丫=(x-m)1+n

化簡為：y=x1-lmx+m1+n=x1-lmx+lm1,

，令x=l,

ya=4-4m+lm1=l(m-1)1+1>1,

Aya>l,

故答案為ya>l

【題目點撥】

本題考查了二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是根據(jù)題意求出ya=4-4m+lmi=l(m-1)41.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

1

18、-

3

【解題分析】

先根據(jù)分式的運算法則進行化簡，再代入使分式有意義的值計算.

【題目詳解】

2a+2a—1

解：原式=

a-1(a+l)(a-l)a

2(a+1)—a—2a—1

(a+l)(a—1)a

1

<7+1

使原分式有意義的a值可取2,

當a=2時，原式=——=—.

2+13

【題目點撥】

考核知識點：分式的化簡求值.掌握分式的運算法則是關鍵.

19、(1)a=；；(2)OP+AQ的最小值為2不，此時點P的坐標為(-1,J)；(3)P(-4,8)或(4,8),

【解題分析】

(1)利用待定系數(shù)法求出直線AB解析式，根據(jù)旋轉性質確定出C的坐標，代入二次函數(shù)解析式求出a的值即可;

(2)連接BQ,可得PQ與OB平行，而PQ=OB,得到四邊形PQBO為平行四邊形，當Q在線段AB上時，求出

OP+AQ的最小值，并求出此時P的坐標即可；

(3)存在這樣的點P,使得NQPO=NOBC,如備用圖所示，延長PQ交x軸于點H,設此時點P的坐標為(m,1m*12),

根據(jù)正切函數(shù)定義確定出m的值，即可確定出P的坐標.

【題目詳解】

解：(1)設直線AB解析式為y=kx+b,

—4k+b=0

把A(-4,0),B(0,-2)代入得:'b=-2

k=--

解得：［2,

b=—2

，直線AB的解析式為y=-gx-2,

根據(jù)題意得：點C的坐標為(2,2),

把C(2,2)代入二次函數(shù)解析式得：a=-

2;

(2)連接BQ,

則易得PQ〃OB,且PQ=OB,

/.四邊形PQBO是平行四邊形,

/.OP=BQ,

AOP+AQ=BQ+AQ>AB=2下,(等號成立的條件是點Q在線段AB上),

?.?直線AB的解析式為y=-；x-2,

/.可設此時點Q的坐標為(t,-1t-2),

于是，此時點P的坐標為(t,--t),

2

?.?點p在拋物線y=；x2上，

解得：t=0或t=T,

???當t=0,點P與點O重合，不合題意，應舍去，

.?.OP+AQ的最小值為2百，此時點P的坐標為(-1,1)；

(3)P(-4,8)或(4,8),

如備用圖所示，延長PQ交x軸于點H,

設此時點P的坐標為（m,-m2）,

2

OH_|^|_2

則tanNHPO=pj-j1Iml，

-m2II

2

又，易得tan/OBC='，

2

當tanZHPO=tanZOBC時，可使得NQPO=NOBC,

21

于是，得L=3，

解得：m=±4,

所以P（-4,8）或（4,8）.

【題目點撥】

此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：二次函數(shù)的圖象與性質，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，旋轉的性質，以

及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵.

20、(1)a=6,k=2；(2))=2或L

【解題分析】

（時）相交于點（即可得到。、人的值;

（1）依據(jù)直線尸x與雙曲線y0A3

33

（2）分兩種情況:當直線”二方在點A的左側時，由x=2,可得x=L即。=1；當直線工二方在點A的右側時，由x=2,

XX

可得x=2,BPb=2.

【題目詳解】

（1）C直線產X與雙曲線y=1（導0）

相交于點Q,：.a=，:?A（瓜也），；.6=忑解得：k=2；

X

（2）如圖所示:

...3一—

當直線x=Z?在點A的右側時，由x----=2,可得x=2,x=-1(舍去)，即6=2；

X

綜上所述：斤2或1.

【題目點撥】

本題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及函數(shù)的圖象與解析式的關系，解題時注意：點在圖象上，就一定滿足函

數(shù)的解析式.

21、(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解題分析】

CGGD

試題分析：(1)先根據(jù)CG2=GE?GD得出——=——，再由NCGD=NEGC可知△GCD^AGEC,ZGDC=ZGCE.根

GECG

據(jù)AB〃CD得出NABD=NBDC,故可得出結論；

FGEG

(2)先根據(jù)NABD=NACF,NBGF=NCGE得出ABGFs/\CGE,故——=——.再由NFGE=/BGC得出

BGCG

△FGE^ABGC,進而可得出結論.

試題解析：(1)VCG2=GE?GD,—=—

GECG

XVZCGD=ZEGC,/.AGCD^AGEC,/.ZGDC=ZGCE.

VAB/7CD,/.ZABD=ZBDC,ZACF=ZABD.

FGEG

(2)VZABD=ZACF,ZBGF=ZCGE,/.ABGF^ACGE,:.——=——.

BGCG

-FEEG

XVZFGE=ZBGC,AAFGE^ABGC,:.——=——，/.FE?CG=EG?CB.

BCCG

考點：相似三角形的判定與性質.

1QQ

22、(1)見解析；(2)AADF的面積是三.

【解題分析】

試題分析：(1)連接OD,CD,求出/BDC=90。，根據(jù)OE〃AB和OA=OC求出BE=CE,推出DE=CE,根據(jù)SSS

證AECO^^EDO,推出NEDO=NACB=90。即可;

(2)過O作OM_LAB于M,過F作FN1AB于N,求出OM=FN,求出BC、AC、AB的值，根據(jù)sinZBAC=

BCOM84,ArAi\/r3

---=-----=—,求出OM>根據(jù)cos/BAC=—=—=—,求出AM,根據(jù)垂徑定理求出AD,代入三角形的

ABOA10ABOA5

面積公式求出即可.

試題解析:

(1)證明：連接OD,CD,

.,.Z