勾股定理的逆定理（第2課時(shí)）人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)通過(guò)前面的學(xué)習(xí)我們知道，勾股定理在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛，那么勾股定理的逆定理呢？如圖，某港口P

位于東西方向的海岸線(xiàn)上．“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16

n

mile，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12

n

mile．它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R

處，且相距30

n

mile．如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？分析：（1）求“海天”號(hào)的航向就是求______的度數(shù)．（2）已知∠1的角度，則求出_______的度數(shù)即可．（3）根據(jù)已知條件可求出三邊，利用勾股定理的逆定理判斷∠RPQ是否為_(kāi)_____．∠2∠RPQ直角解：根據(jù)題意，PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30．因?yàn)?42＋182＝302，即PQ2＋PR2＝QR2，所以∠QPR＝90°．由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知，∠1＝45°．因此∠2＝45°，即“海天”號(hào)沿西北方向航行．在實(shí)際生活中常用勾股定理的逆定理判斷方向和位置，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理找出其中的直角．例1

A，B，C

三地的兩兩距離如圖所示，A

地在B

地的正東方向，C

地在B

地的什么方向？分析：根據(jù)圖示的距離，可以判斷出以A，B，C

三地位置為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．ABC解：因?yàn)锳B2＋BC2＝122＋52＝169，AC2＝132＝169，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC為直角三角形，且∠B＝90°，由于A

地在B

地的正東方向，所以C

地在B

地的正北方向．例1

A，B，C

三地的兩兩距離如圖所示，A

地在B

地的正東方向，C

地在B

地的什么方向？ABC例2

如圖，小李決定挖一塊長(zhǎng)方形的菜地，在挖完后測(cè)量了一下發(fā)現(xiàn)AB＝CD＝4

m，AD＝BC＝3

m，AC＝4.5

m，請(qǐng)你幫忙計(jì)算一下小李挖的菜地是否為長(zhǎng)方形．ABCD解：因?yàn)锳B＝CD＝4

m，AD＝BC＝3

m，AC＝4.5

m，所以AB2＋BC2＝25，AC2＝20.25．因?yàn)锳B2＋BC2≠AC2，所以∠ABC≠90°，故小李挖的菜地不是長(zhǎng)方形．ABCD在實(shí)際生活中，也常用勾股定理的逆定理判斷物體的形狀是否是直角三角形，或者判斷它的一個(gè)角或多個(gè)角是否是直角．例3

小明向東走80

m

后，沿另一方向又走了60

m，再沿第三個(gè)方向走100

m

回到原地．小明向東走80

m

后是向哪個(gè)方向走的？分析：如圖，因?yàn)樾∶髯罱K回到原地，所以小明沿這三個(gè)方向所走的線(xiàn)段圍成一個(gè)三角形．北南東西OA小明先向東走到A

處，則OA＝80

m．小明之后應(yīng)該是向東西方向坐標(biāo)以上或者以下行走的，所以應(yīng)該分兩種情況討論．解：情形一：小明從O

走到A，再走到B1，最終由B1

回到O．因?yàn)镺A＝80

m，AB1＝60

m，OB1＝100

m，所以O(shè)A2＋AB12＝802＋602＝1002＝OB12．所以△AOB1

是直角三角形，且∠OAB1＝90°．北南東西OAB1B2因此，小明向東走了80

m

后，又向北走了60

m，再走100

m

回到原地．情形二：小明從O

走到A，再走到B2，最終由B2

回到O．同理，△AOB2

是直角三角形，且∠OAB2＝90°．北南東西OAB1B2因此，小明向東走了80

m

后，又向南走了60

m，再走100

m

回到原地．綜上所述，小明向東走了80

m

后，又向南或向北走了