第一章矩陣及其運(yùn)算1.1矩陣的概念1.2矩陣的運(yùn)算初步1.3矩陣乘法運(yùn)算的特點(diǎn)1.4矩陣乘法運(yùn)算的規(guī)律1.5線性方程組和線性變換的矩陣表示1.6易錯(cuò)公式討論第一章矩陣及其運(yùn)算1.7矩陣的轉(zhuǎn)置1.8矩陣的逆1.9矩陣逆運(yùn)算的規(guī)律1.10分塊矩陣1.11初等變換1.12初等矩陣1.13典型例題分析

1.1矩陣的概念

1.矩陣的定義行n列矩陣,簡稱m×n矩陣。

例如:

一般用大寫英文字母A、B、C、D、E等來表示一個(gè)矩陣,習(xí)慣用希臘字母α、β、γ等來表示只有一行或只有一列的矩陣。矩陣的兩端需要用一對圓括號或者方括號把數(shù)表括起來(本書統(tǒng)一用圓括號)。

2.關(guān)于矩陣的名詞

(1)m×n矩陣:由m×n個(gè)數(shù)排成m行n列的矩形數(shù)表稱為m×n矩陣,如上例中的A就是一個(gè)2×3的矩陣。

(2)n階矩陣(n階方陣):行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣,如上例中的B就是一個(gè)二階方陣。

(3)零矩陣:所有元素都是0的矩陣,習(xí)慣用大寫字母O來表示。

(4)列矩陣(列向量):只有一列的矩陣,如上列中的α就是一個(gè)三維列向量。

(5)行矩陣(行向量):只有一行的矩陣。

(6)主對角線:方陣的左上角到右下角的直線,如圖1.1(a)所示。

(7)副(次)對角線:方陣的右上角到左下角的直線,如圖1.1(b)所示。

圖1.1主對角線和副對角線示意圖

3.特殊矩陣

(1)上(下)三角矩陣:主對角線以下(上)元素全是0的方陣,如上例中的C就是上三角矩陣。

(2)三角矩陣:上三角矩陣或下三角矩陣。

(3)對角矩陣:主對角線以外的元素全是0的矩陣,如上例中的D。

(4)單位矩陣:主對角線元素都是1的對角矩陣,一般用E或I來表示。

(5)同型矩陣:兩個(gè)矩陣行數(shù)相等、列數(shù)也相等。

(6)矩陣相等:兩個(gè)矩陣同型,且對應(yīng)元素相等。

1.2矩陣的運(yùn)算初步

1.矩陣的加法運(yùn)算設(shè)A=(aij)m×n,B=(bij)m×n,則A±B=(aij±bij)m×n。其中,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n。

2.矩陣的數(shù)乘運(yùn)算設(shè)A=(aij)m×n,k為常數(shù),則kA=(kaij)m×n。其中,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n。

3.矩陣的線性運(yùn)算

矩陣的加法運(yùn)算和矩陣的數(shù)乘運(yùn)算稱為矩陣的線性運(yùn)算。

4.加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算舉例

5.矩陣的乘法運(yùn)算(左行×右列)

設(shè)A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,則A與B的乘積是一個(gè)m×n矩陣C=(cij)m×n。

其中,cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)。

矩陣乘法可以歸納為:左行×右列,如圖1.2所示。

圖1.2矩陣乘法示意圖

6.矩陣乘法舉例

1.3矩陣乘法運(yùn)算的特點(diǎn)

1.矩陣乘法運(yùn)算的特點(diǎn)(1)AB可乘條件(相鄰下標(biāo)相等):矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù),如圖1.3所示。(2)AB乘積形狀(左行×右列):AB積的行數(shù)為A的行數(shù),AB積的列數(shù)為B的列數(shù),如圖1.3所示。(3)乘積矩陣元素(左行×右列):AB積的第i行第j列元素cij等于A的第i行和B的第j列對應(yīng)元素乘積的和,如圖1.2所示。

圖1.3矩陣乘法運(yùn)算特點(diǎn)示意圖

2.矩陣乘法運(yùn)算舉例

分析圖1.4,發(fā)現(xiàn)左邊矩陣的每一行有2個(gè)元素,而右邊矩陣的每一列有3個(gè)元素,所以它們不能相乘。分析圖1.5,發(fā)現(xiàn)左右兩個(gè)矩陣相鄰下標(biāo)都是4,所以它們可以相乘,乘積的行數(shù)和列數(shù)分別為“左行”和“右列”。

圖1.4不能相乘矩陣舉例

圖1.5矩陣乘法舉例

設(shè)β=(3,2,1),那么αβ與βα都可以進(jìn)行乘法運(yùn)

算,但運(yùn)算結(jié)果卻大相徑庭,αβ為一個(gè)三階方陣,如圖1.6所示,而βα卻為一個(gè)數(shù)(1行1列的矩陣),如圖1.7所示。

圖1.6列向量乘行向量舉例

圖1.7行向量乘列向量舉例

1.4矩陣乘法運(yùn)算的規(guī)律

1.矩陣乘法運(yùn)算不滿足交換律一般情況下,AB≠BA,如圖1.6和圖1.7所示。

2.矩陣乘法運(yùn)算不滿足消去律一般情況下,AB=AC/?B=C。例如,雖然有

還要注意以下兩種情況:

3.矩陣乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律和分配律

設(shè)A、B、C

為矩陣,k為一個(gè)數(shù),那么有(假設(shè)以下運(yùn)算都是可行的):

(1)(AB)C=A(BC)。

(2)A(B+C)=AB+AC。

(3)k(AB)=(kA)B=A(kB)。

4.單位矩陣E的運(yùn)算規(guī)律與數(shù)域中1的運(yùn)算規(guī)律類似

對任意矩陣A,總有AE=A,EA=A,其中E為能夠和A做乘法的單位矩陣。

通過以上的討論和分析,可以把矩陣乘法運(yùn)算的規(guī)律總結(jié)為:“空間位置不能變”“時(shí)間次序可以變”。

1.5線性方程組和線性變換的矩陣表示

1.線性方程組的矩陣表示

線性方程組的矩陣表示如下:

2.線性變換的矩陣表示

線性變換的矩陣表示如下:

1.6易錯(cuò)公式討論

由于矩陣乘法運(yùn)算不滿足交換律,因此以下公式在矩陣運(yùn)算中不再成立,請同學(xué)們特別注意。(1)(A±B)2≠A2±2AB+B2。(2)A3±B3≠(A±B)(A2?AB+B2)。(3)A2-B2≠(A+B)(A-B)。(4)(A+B)n≠C0nAnB0+C1nAn-1B1+…+Cnn-1A1Bn-1+CnnA0Bn。

但是,當(dāng)矩陣A與B可交換,即有AB=BA時(shí),以上公式就成立了,例如:

(1)(A±E)2=A2±2A+E。

(2)A3±E=(A±E(A2?A+E)。

(3)A2-E=(A+E)(A-E)。

(4)(A+E)n

=C0n

An+C1nAn-1+…+Cn-1n

A1+CnnE。

1.7矩陣的轉(zhuǎn)置

1.矩陣轉(zhuǎn)置的定義把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的一個(gè)新矩陣,稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,記為AT。若A為方陣,那么矩陣A的轉(zhuǎn)置也可以理解為:把矩陣A以主對角線為軸轉(zhuǎn)動180°得到的結(jié)果。

2.矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算的規(guī)律

設(shè)A和B為矩陣,k為數(shù),那么有(假設(shè)以下運(yùn)算都是可行的):

(1)(AT)T=A。

(2)(A+B)T=AT+BT。

(3)(kA)T=kAT。

(4)(AB)T=BTAT。

3.對稱矩陣與反對稱矩陣

若n階方陣A滿足AT=A,則稱矩陣A為對稱矩陣。若n階方陣A滿足AT=-A,則稱矩陣A為反對稱矩陣。

例如,矩陣為對稱矩陣,矩陣

為反對稱矩陣。

1.8矩陣的逆

1.矩陣逆的定義對于n階矩陣A,如果有一個(gè)n階矩陣B,使AB=BA=E,則稱矩陣A是可逆的,并把矩陣B稱為矩陣A的逆矩陣。

A的逆矩陣記作A-1,有AA-1=A-1A=E。在后面的學(xué)習(xí)中,我們可以證明:對于n階矩陣A和B,只要有AB=E,即可得到A與B互逆。

2.矩陣的可逆性

有的方陣是可逆的,有的方陣是不可逆的,所有方陣可以分為可逆矩陣和不可逆矩陣。

例如,所以知道矩陣和矩陣

都是可逆矩陣,且它們互逆。

現(xiàn)在分析矩陣等式可以發(fā)現(xiàn),無論a、b、c、d取何值,該等式都不能成立,這就說明矩陣

是一個(gè)不可逆矩陣。

3.矩陣逆的唯一性

如果矩陣A可逆,那么它的逆矩陣一定是唯一的。

設(shè)矩陣B和C都是矩陣A的逆矩陣,則有AB=BA=E和AC=CA=E,那么B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C,即證明了矩陣逆的唯一性。

1.9矩陣逆運(yùn)算的規(guī)律

設(shè)A和B為方陣,k為數(shù),那么有(假設(shè)以下運(yùn)算都是可行的):(1)(A-1)-1=A。(2)(kA)-1=k-1A-1。(3)(AB)-1=B-1A-1。(4)(AT)-1=(A-1)T。

要證明矩陣A的逆矩陣是B,只需要驗(yàn)證AB=E即可。顯然有:

(1)A-1A=E。

(2)(kA)(k-1A-1)=kk-1AA-1=E。

(3)(AB)(B-1A-1)=E。

(4)AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E。

1.10分塊矩陣

1.分塊矩陣的概念將矩陣用若干條橫線和豎線分成若干個(gè)小矩陣,每一個(gè)小矩陣稱為子塊,以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。一個(gè)矩陣的分塊方式可以有很多種,圖1.8給出了一個(gè)3×4矩陣的四種不同形式的分塊情況。

圖1.8分塊矩陣示意圖

2.分塊矩陣的運(yùn)算

對矩陣進(jìn)行適當(dāng)分塊處理,有如下運(yùn)算公式(假設(shè)所有運(yùn)算都是可行的):

3.分塊矩陣的應(yīng)用

應(yīng)用舉例1:若有

可以把矩陣B分成左右兩個(gè)方陣,即為(C,D),則有

以上分塊運(yùn)算結(jié)果與A直接左乘B的結(jié)果是一致的。

應(yīng)用舉例2:若有可以把矩

陣B按列分成3塊,即(b1,b2,b3),則有

以上分塊運(yùn)算結(jié)果與A

直接左乘B的結(jié)果是一致的。

1.11初等變換

1.定義初等變換包括初等行變換和初等列變換,初等行(列)變換的三種具體變換如下:(1)交換第i、j兩行(列)的位置,記作ri?rj(ci?cj)。(2)以非零數(shù)k乘第i行(列),記作kri(kci)。(3)把第j行(列)的k倍加到第i行(列)上,記作ri+krj(ci+kcj)。

2.相關(guān)名詞

等價(jià)具有傳遞性:若A與B等價(jià),且B與C等價(jià),則A與C等價(jià)。

1.12初等矩陣

1.定義由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣(初等方陣)。三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣,例如:

2.定理

對A施行一次初等行變換,相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的初等矩陣。對A施行一次初等列變換,相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的初等矩陣。

例如:把矩陣A的第一行乘3變成了矩陣B,那么矩陣A和矩陣B有以下等式關(guān)系:

類似地,把矩陣A的第一行乘-3加到第二行中變成了矩陣C,那么矩陣A和矩陣C有以下等式關(guān)系:

若把矩陣A的第二列和第三列對調(diào)變成了矩陣D,那么矩陣A和矩陣D有以下等式關(guān)系:

3.用初等變換求矩陣的逆

可以用初等行變換來求矩陣的逆矩陣。具體方法是:把n階矩陣A和n階單位矩陣E放到同一個(gè)矩陣中,即(A,E),然后對其進(jìn)行初等行變換:

當(dāng)把矩陣A變成單位矩陣E時(shí),矩陣B就是A-1。

以上求逆矩陣的方法,可以用初等矩陣定理和分塊矩陣思路來給出證明。

設(shè)矩陣(A,E)經(jīng)過l次初等行變換變?yōu)?E,B),有Pl…P2P1(A,E)=(E,B),令P=Pl…P2P1,則有P(A,E)=(E,B),即(PA,P)=(E,B),所以有PA=E,P=B,故B=A-1。

1.13典型例題分析

【例1.1】已知矩陣且有P-1AP=Λ,求A11。

【思路】因?yàn)閷蔷仃嚨母叽蝺缛菀浊蟮?故把求A11轉(zhuǎn)化為求Λ11。

【解】因?yàn)镻-1AP=Λ,所以A=PΛP-1,故

而

則

【評注】在計(jì)算矩陣高次冪An類型題目時(shí),分別有以下6種情況:

(1)若矩陣A為對角矩陣或分塊對角矩陣,則可以直接利用公式計(jì)算An

。

(2)若矩陣A中零元素較多,且元素分布有一定的規(guī)律性,則可以根據(jù)矩陣A

的低次冪分析出n次冪的規(guī)律,最后用數(shù)學(xué)歸納法證明。

(3)若矩陣A的秩為1,可以把矩陣A拆成一個(gè)列向量α與行向量β的乘積,然后利用以下公式計(jì)算:

其中,tr(A)稱為矩陣A的跡,它等于矩陣A的主對角線元素之和。

【秘籍】由于矩陣乘法不滿足交換律,于是“改變矩陣運(yùn)算時(shí)間順序”就是矩陣運(yùn)算的一大技巧。

(4)若把矩陣A拆分成A=λΕ+B,而其中矩陣B的高次冪Bn

容易求得,則可以利用以下“二項(xiàng)式”公式進(jìn)行計(jì)算:

【秘籍】當(dāng)方陣滿足AB=BA時(shí),(A±B)n和An±Bn分別與數(shù)域中的公式(x±y)n和xn

±yn

是一致的,例如:

(5)當(dāng)矩陣A可以相似對角化,或有關(guān)系式A=P-1BP,且矩陣B

的高次冪Bn

容易求得時(shí),可以利用以下公式計(jì)算:

(6)當(dāng)矩陣P為初等矩陣時(shí),PkA就是對矩陣A進(jìn)行k次與P對應(yīng)的初等行變換的結(jié)果,而BPk就是對矩陣B進(jìn)行k次與P對應(yīng)的初等列變換的結(jié)果。

＋

【例1.5】設(shè)A、B及A+B都為n階可逆矩陣。證明A(A+B)-1B=B(A+B)-1A。

【思路】因?yàn)?A+B)-1的括號無法脫去,所以想讓括號內(nèi)外的矩陣“見面”,就要把逆運(yùn)算提到整個(gè)算式之外。

【例1.6】分析以下命題,正確的命題是。

命題1:若AB=AC,且A≠O,則B=C。

命題2:若AB=AC,且B≠C,則A=O。

命題3:若AB=AC,且A為可逆矩陣,則B=C。

命題4:若AB=O,則A=O或B=O。

命題5:A為m×n階實(shí)矩陣,若ATA=O,則A=O。

【思路】突破“數(shù)域乘法運(yùn)算規(guī)律”的慣性思維。

【評注】

(1)若A可逆,則存在矩陣A-1,且A-1A=AA-1=E。

(2)矩陣AT左乘A實(shí)質(zhì)上是矩陣A的列向量組進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算,ATA主對角線上的元素即為A的所有列向量長度的平方。

【秘籍】

(1)要說明一個(gè)命題正確,需要加以證明;但要說明一個(gè)命題錯(cuò)誤,只需找到一個(gè)反例即可。

(2)初學(xué)者要打破數(shù)域中運(yùn)算規(guī)律的慣性思維,比如乘法交換律、乘法消去律。

【評注】滿足Am=O的矩陣A稱為冪零矩陣,例如對角線元素都是0的三角矩陣就是冪