專題12.11三角形全等幾何模型（一線三等角）

第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】

【知識(shí)點(diǎn)一】一線三直角模型

1.基本圖形

題型特征：如圖1,在直線2c上出現(xiàn)三個(gè)直角，如圖中乙8=乙4。￡=乙0=90。

圖1圖2圖3

解題方法：只要題目再出現(xiàn)一組等邊（AB=CD或BC=DE或C4=CE）,~^u￡AABE=AECD

（44S或NS/）

結(jié)論延伸1：如圖2,兩個(gè)直角三角形在直線兩側(cè)時(shí)，同樣成立

結(jié)論延伸2：圖1中連接AE,得到如圖3,可得以下結(jié)論：

（1）四邊形NADE為直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高）

【知識(shí)點(diǎn)二】一線三等角模型

題型特征：如圖4,圖形的某條線段上出現(xiàn)三個(gè)相等的角，如圖中乙8=乙4c￡=乙0

解題方法：只要題目再出現(xiàn)一組等邊（B4=CD或BC=D4或C4=DC）,必證A45C三△CDE

CAAS^ASA）

結(jié)論延伸：如圖5,兩個(gè)三角形在直線兩側(cè)時(shí)，同樣成立

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【題型1】直接用“一線三直角”模型求值或證明

試卷第1頁(yè)，共8頁(yè)

【例1】（23-24八年級(jí)上?安徽合肥?期末）

1.如圖，在。8C中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且

BEVMN,垂足分別為。、E.

⑴求證：AADC均CEB；

（2）若4D=3cm,BE=5cm,求四邊形的面積.

【變式1］（23-24八年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）

2.如圖，小虎用10塊高度都是3cm的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木

墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（4C=BC,乙4c2=90。），點(diǎn)C在。E上，點(diǎn)/

和8分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離?！甑拈L(zhǎng)度為（）

A.30cmB.27cmC.21cmD.10cm

【變式2】（23-24九年級(jí)下?重慶開州?階段練習(xí)）

3.如圖，在RM4BC中，/A4c=90。，AB=AC,點(diǎn)、D為BC上一點(diǎn)、,連接過(guò)點(diǎn)3

作8EL4D于點(diǎn)￡,過(guò)點(diǎn)C作交4D的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.若BE=5,CF=2,則E尸

的長(zhǎng)度為—.

B

【題型2】直接用“一線三等角”模型求值或證明

【例2】（23-24八年級(jí)上?新疆昌吉?期中）

4.已知“BC是直角三角形，NBAC=90。,AB=AC,直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)4分別過(guò)點(diǎn)B、C

向直線/作垂線，垂足分別為。、E

試卷第2頁(yè)，共8頁(yè)

R

⑴如圖a,當(dāng)點(diǎn)8、C位于直線/的同側(cè)時(shí)，證明：AABD經(jīng)CAE

（2）如圖6,銳角中，AB=AC,直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)Z,點(diǎn)。、E分別在直線/上，點(diǎn)3,C

位于/的同一側(cè)，如果NCEA=NADB=NB4C,請(qǐng)找到圖中的全等三角形，并寫出線段

ED、EC和DB之間的數(shù)量關(guān)系

【變式1］（21-22八年級(jí)上?浙江溫州?期中）

5.如圖，在A42c中，4B=/C=9,點(diǎn)E在邊NC上，/￡的中垂線交3c于點(diǎn)。，若UDE

=￡B,CD=3BD,則CE等于（）

【變式2］（23-24七年級(jí)下?吉林長(zhǎng)春?期中）

6.如圖，在“8C中，AB=AC,N8>3C,點(diǎn)。在邊3c上，且8=28。，點(diǎn)￡、尸在

線段/。上.NCFD=NBED=NBAC,“8C的面積為18,貝曙/BE與ACD下的面積之

和.

【題型3】構(gòu)造“一線三直角”模型求值或證明

【例3】（23-24八年級(jí)上?山西呂梁?期末）

7.數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們利用三角形紙片進(jìn)行操作活動(dòng)，探究有關(guān)線段之間的關(guān)系

問(wèn)題情境：

如圖1,三角形紙片/8C中，/ACB=90°,4c=8C.將點(diǎn)C放在直線/上，點(diǎn)4,8位于

直線/的同側(cè)，過(guò)點(diǎn)/作40,/于點(diǎn)。

試卷第3頁(yè)，共8頁(yè)

初步探究：

（1）在圖1的直線/上取點(diǎn)E,使BE=BC,得到圖2,猜想線段CE與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)

明理由；

（2）小穎又拿了一張三角形紙片MW繼續(xù)進(jìn)行拼圖操作，其中/MPN=90。，及O=小穎

在圖1的基礎(chǔ)上，將三角形紙片MPN的頂點(diǎn)尸放在直線/上，點(diǎn)朋?與點(diǎn)8重合，過(guò)點(diǎn)N作

而，/于點(diǎn)〃如圖3,探究線段“，AD,A見之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由

【變式1］（23-24八年級(jí)上?新疆喀什?期中）

8.如圖，AC=AB=BD,ZABD=90°,3C=6,則△BCD的面積為（）

A.9B.6C.10D.12

【變式2］（20-21七年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?期末）

9.如圖，在“3C中，ZABC=90°,過(guò)點(diǎn)C作CDJL/C,S.CD=AC,連接AD,若

9

S.BS=5,則3c的長(zhǎng)為-

【題型4】“一線三直（等）角”模型的延伸與拓展

【例4】

試卷第4頁(yè)，共8頁(yè)

10.如圖，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,3）,B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3.0）,D為X軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

（2）求證:M為BE的中點(diǎn)

（3）當(dāng)D點(diǎn)在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探索:槳為定值

BD

【變式1］（23-24八年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí)）

11.勾股定理被譽(yù)為“幾何明珠”.在我國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦

五”的記載.如圖所示，把一個(gè)邊長(zhǎng)分別為3,4,5的三角形和三個(gè)正方形放置在大長(zhǎng)方形

/BCD中，則該長(zhǎng)方形中空白部分的面積為（）

【變式2】

12.已知：四邊形ABCD中，AB=AD=CD,zBAD=90°,三角形ABC的面積為1,則線段

AC的長(zhǎng)度是.

試卷第5頁(yè)，共8頁(yè)

B

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2021?四川南充?中考真題）

13.如圖，ABAC=90°,AD是/BAC內(nèi)部一條射線，若AB=AC,BE1AD于點(diǎn)E,CF±AD

于點(diǎn)足求證：AF=BE.

【例2】（2023?重慶?中考真題）

14.如圖，在中，NA4c=90。，AB=AC,點(diǎn)、D為BC上一點(diǎn),連接4D.過(guò)點(diǎn)8

作于點(diǎn)￡,過(guò)點(diǎn)。作交4D的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.若3E=4,CF=1,則EF

的長(zhǎng)度為.

2、拓展延伸

[例1]（22-23八年級(jí)下?河南洛陽(yáng)?期中）

15.綜合與實(shí)踐

試卷第6頁(yè)，共8頁(yè)

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“過(guò)等腰三角形頂點(diǎn)的直線”為主題開展數(shù)學(xué)探究.

(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖甲，在中，NB4c=90°,且=直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)/.小華

分別過(guò)8、C兩點(diǎn)作直線/的垂線，垂足分別為點(diǎn)。、E.易證△/AD之△C4E,此時(shí)，線

段?！辍D、CE的數(shù)量關(guān)系為：；

(2)拓展應(yīng)用：

如圖乙，08c為等腰直角三角形，乙4c8=90。，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)3的坐標(biāo)

為(1,2).請(qǐng)利用小華的發(fā)現(xiàn)直接寫出點(diǎn)/的坐標(biāo)：―；

⑶遷移探究：

①如圖丙，小華又作了一個(gè)等腰“3C,AB=AC,且/B/Cw90。，她在直線/上取兩點(diǎn)

D、E,使得/B4C=NBD4=N4EC,請(qǐng)你幫助小華判斷(1)中線段BD、CE的數(shù)

量關(guān)系是否變化，若不變，請(qǐng)證明；若變化，寫出它們的關(guān)系式并說(shuō)明理由；

②如圖丁，“8C中，4B=24C,NB4C力90°,點(diǎn)、D、E在直線1上，且/B4C=NB"4=ZAEC,

請(qǐng)直接寫出線段。E、BD、CE的數(shù)量關(guān)系.

【例2】(22-23八年級(jí)上?廣東惠州?期中)

16.如圖1,NACB=9Q,AC=BC,AD1CE,BEVCE,垂足分別為。，E.

試卷第7頁(yè)，共8頁(yè)

B

B

EE

圖1圖2圖3

(1)若ZD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的長(zhǎng).

(2)在其它條件不變的前提下，將C￡所在直線變換到。8C的外部(如圖2),請(qǐng)你猜想

AD,DE,8E三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)如圖3,將(1)中的條件改為：在“8C中，AC=BC,D,C,E三點(diǎn)在同一條直線上,

并且有==其中a為任意鈍角，那么(2)中你的猜想是否還成

立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

試卷第8頁(yè)，共8頁(yè)

1.(1)證明見解析；

(2)32cm2.

【分析】(1)利用余角性質(zhì)證明，再利用“AAS”即可證明△/DC四/XCEB；

(2)由0/XCEB得到3E=C。，AD=CE,進(jìn)而得到。E=BE=8cm,再根

據(jù)梯形的面積計(jì)算公式計(jì)算即可求解；

本題考查了余角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】(1)證明：???N/C8=90。，ADVMN,BEVMN,

NBEC=ZACB=ZADC=90°,

:.NACD+NBCE=90°,ZBCE+ZCBE=90°,

NACD=ZCBE,

在△4DC和ACE8中

ZADC=NBEC

<ZACD=ZCBE,

AC=BC

:AADCACEB(AAS)；

(2)解：AADC^ACEB,

：.BE=CD,AD=CE,

■：DE=CE+CD,

DE=AD+BE,

又AD=3cm,BE=5cm,

DE=3+5=8cm,

S梯/回=；x(AD+5EWE=gx(3+5)x8=32cm2,

???四邊形/8瓦)的面積為32cm2.

2.A

【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，證明△/。。0△。防即可得到答案；

【詳解】解：由題意可得，

NADC=NBEC=90°,BE=21cm,AD=9cm,

答案第1頁(yè)，共17頁(yè)

vZ^CS=90°,

???/ACD+/BCE=9。。,ZACD+ZDAC=90°,

.?./DAC=/BCE,

在△4DC與砂中，

ZDAC=ZBCE

?：</ADC=NCEB,

AC=BC

??.AADC名ACEB(AAS),

:?DC=BE,AD=CE,

???DE=21+9=30cm,

故選：A.

3.3

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，先證明

△43E之/(AAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得力尸=5/=5,AE=CF=2,進(jìn)一步可得

石尸的長(zhǎng).

【詳解】???BE_L/Z),CFLAD,

ZBEA=ZAFC=90°,

ZBAE+ZABE=90°,

???/BAC=90。,

/BAE+/FAC=9。。,

ZFAC=ZABE,

在和方中，

"NBEA=/AFC

</ABE=/FAC,

AB=AC

△ABEOCAF(AAS),

/.AF=BE,AE=CF,

?：BE=5,CF=2,

AF=BE=5,AE=CF=2,

:.EF=AF-AE=5-2=3,

答案第2頁(yè)，共17頁(yè)

故答案為：3.

4.(1)證明見解析

(2)AABDdCAE,ED=EC+DB

【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角

互余，掌握利用AAS證明三角形全等是解本題的關(guān)鍵.

(1)先證明4=再利用AAS證明之△C4E即可；

(2)由ZEAC+ABAC=/DBA+ZADB,可得/DBA=ZEAC,證明也△◎￡(AAS),

可得/D=EC,DB=AE,從而可得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：??.BDLDE,CEVDE,

ABDA=NAEC=90°,

在Rt.ADB中，NABD+ABAD=90°,

ABAC=90°,

ZBAD+ZCAE=90°,

ZABD=NCAE,

在AABD和ACAE中，

ZABD=ZCAE

<ABDA=NCEA,

AB=CA

AABD咨△CAE(AAS)；

(2)解：gED=EC+DB-,

理由：?.?/CE4=//O3=N82C,NBAE=NDBA+NADB,

ZEAC+ABAC=/DBA+ZADB,

ZDBA=ZEAC,

在△48。和△0￡中，

ZADB=ZCEA

<ZDBA=ZEAC

AB=AC

/\ABD沿ACAE(AAS),

答案第3頁(yè)，共17頁(yè)

AD=EC,DB=AE,

ED=AD+AE=EC+DB.

5.A

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到乙推出的。=4CD￡,根據(jù)線段垂直平分線的

性質(zhì)得到瓦)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CZ)=/B=9,BD=CE,即可得到結(jié)論.

【詳解】解：??弘5=/。=9,

，乙B=cC,

?"DE=LB,180。-乙B-UDB,4CD￡=180。-^ADE-乙4DB,

：.Z.BAD=Z.CDE,

■■AE的中垂線交BC于點(diǎn)D,

:.AD=ED,

在AABD與乙DCE中,

ABAD=ZCDE

<ZB=ZC,

AD=ED

:.AABD三ADCE(AAS),

??.CD=AB=9,BD=CE,

?:CD=3BD,

：,CE=BD=3

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于

基礎(chǔ)題.

6.12

【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，和三角形的面積求法，能夠證明

△45E四尸是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)與△4QC等高，底邊值為1：2,得出

與△4DC面積比為1:2,再證△力絲尸，即可得出和△口)方的面積和，即可選

出答案.

【詳解】標(biāo)記角度如下：

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

E

4

n

?.?在等腰A/BC中，AB=AC,CD=2BD,

人ABD與△/DC等高，底邊比值為1：2

MABD與4ADC的面積比為1：2,

???A4BC的面積為18

.■.AABD的面積為6,△4DC的面積為12,

ZCFD=ABED，即/I=/2,

ZBEA=ZAFC,

；/l=/3+/ABE,Z3+Z4=ZBAC,ABAC=Z1,

ZABE=Z4,

；.AABE知ACF(AAS)

??.4BE與AACF的面積相等，

.c.i_v_v_i_v—v_17

,?Q“BET°ACDF-尸丁0△CDF—^^ADC―,乙，

故答案為：12.

7.(\)CE=2AD

⑵CP=AD+NH

【分析】本題考查了全等三角形的常見模型一垂直模型，熟記模型的構(gòu)成以及結(jié)論是解題關(guān)

鍵.

(1)過(guò)點(diǎn)3作5尸，/于點(diǎn)尸，證△/CD之△CAF得2D=CF,根據(jù)“三線合一”可得

CF=EF,即可求解；

(2)結(jié)合(1)的推理過(guò)程可得注得/￡>=C/，再證ABFP出APHN得

NH=P/即可求解.

【詳解】(1)解：CE=2AD,理由如下：

過(guò)點(diǎn)2作BF1/于點(diǎn)尸，即/(3萬(wàn)2=90。，

答案第5頁(yè)，共17頁(yè)

ZADC=90°fZCAD+ZDCA=90°f

/./ADC=ACFB.

-ZACB=90°f

/.ZDCA+ABCF=90°.

/./CAD=Z.BCF.

/ADC=/CFB

在△ZCQ和aCB/中，＜/CAD=NBCF,

AC=BC

.?.△ZCZ)名△CBb(AAS).

/.AD=CF.

??,BE=BC,BFVI,

:.CF=EF.

CE=2CF=2AD.

(2)解：C尸=+理由如下：

過(guò)點(diǎn)5作B/U/于點(diǎn)/，??.N5FP=90。，

由(1)可得：/\ACD注ACBF,

AD=CF.

?;NH11,

APHN=90°,/HNP+/HPN=90。.

/BFP=ZPHN

???ZMPN=90°f

答案第6頁(yè)，共17頁(yè)

:.ZHPN+ZFPB=90°.

/HNP=ZFPB.

/BFP=/PHN

在尸尸和AP郎中，<ZHNP=ZFPB,

MP=NP

/.△^FP^APW(AAS).

:.NH=PF.

?：CP=CF+PF

:.CP=AD+NH

8.A

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.

首先作ZEJ_于心作DhCB交CB的延長(zhǎng)線于F.根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì),得出

CE=BE=^BC,證明△/BE之用，得出的高即為防，即可求得面積.

【詳解】解：作于邑作。尸，C5交的延長(zhǎng)線于產(chǎn)

???/ABD=9V,DF工CB,

/ABC+/DBF=/BDF+/DBF,

/./ABC=ZBDF,

vAE1BC,

/AEB=/BFD=90°,

在&ABE和XBDF中，

ZABC=ZBDF

<ZAEB=/BFD,

AB=BD

答案第7頁(yè)，共17頁(yè)

LABEs△BDF（AAS）,

:.DF=BE=3,ABCD的高即為。尸，

,人ZA用oC口U=—2BC-DF=—2x6x3=9.

故選：A.

9.3

【分析】過(guò)點(diǎn)。作交8c延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,先證明△/8C空△CW（A4S）,則

9

BC=DM,然后根據(jù)凡BS=5求3c即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作5c交5c延長(zhǎng)線于點(diǎn)“，

則〃＞防?=90。=乙18C,

VCDVAC,ZABC=90°,

ZACB+ZMCD=90°,ZACB+ZBAC=90°,

ABAC=NMCD,

CD=AC,

:./\ABC^ACMD（AAS）,

BC=DM,

11,29

.-.SA?rn=-xBCxDM=-BC=-,

△BCD222

:.BC=3.

故填3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積，正確作出輔助線、構(gòu)

造全等三角形證得BC=DM成為解答本題的關(guān)鍵.

10.(1)E(3,-2)；(2)詳見解析；(3)1

【分析】(1)過(guò)E點(diǎn)作EFly軸交y軸于F點(diǎn)，先證明AAOD三△EFA(AAS),根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)即可得到E點(diǎn)的坐標(biāo)；

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

(2)先把D點(diǎn)的位置畫出來(lái)，再證明aAOD三△EFA(AAS),再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明

△BOM三△EFM(AAS),即可證明M為BE的中點(diǎn)；

(3)從(1)(2)的信息可知得到0F=AF-40=0D-0B,再結(jié)合OM=^OF=^BD即可得到

縹的比值為定值；

BD

【詳解】(1)過(guò)E點(diǎn)作EFly軸交y軸于F點(diǎn)

vADlAE,EF1AF

ZAOD=ZAFE=90°

??,ZDAO+Z.EAF=90°

ZEAF+ZAEF=9O°

.,.Z.DAO=Z.AEF

itAAOD和AEFA中

ZDAO=ZAEF

<ZAOD=ZAFE

AD=AE

△AOD=AEFA(AAS)

EF=OA=3AF=OD=5

OF=AF-OA=5-3=2

E(3,-2)

(2)如圖，

答案第9頁(yè)，共17頁(yè)

根據(jù)題意知道：AE=AD,ZAEF+ZDAO=90°,

又,:NAEF+NEAF=9?！?

ZAEF=ZDAO

???△AOD^AEFA(AAS)

???OB=EFZBOM=ZEMF=90°

ZBOM=ZEMF

??.△BOM=AEFM(AAS)

BM=EM=yBE

(3)根據(jù)(2)可知，D點(diǎn)在可以在3個(gè)位置，

當(dāng)D點(diǎn)如下圖的位置時(shí)，過(guò)D作直線alx軸與D,過(guò)A作AG垂直直線a于G,

由⑵知ABOM三△EFM(AAS),

.-.EF=OB,

又由⑴知aAOD三aEFAlAAS)

即：EF=OA=OB,AF=OD

：.OF^AF-AO=OD-OB,

又?；OM=LOF=LBD

22

答案第10頁(yè)，共17頁(yè)

,,,-O-M-—.i

BD2

當(dāng)D在另外兩個(gè)位置時(shí)，同理可證得黑=；；

BD2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定以及性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，能正確畫出圖像，運(yùn)用

數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

11.B

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，一線三垂直證明全等是突破本題的關(guān)鍵.利

用一線三直角證明三角形全等，可得長(zhǎng)方形的長(zhǎng)11與寬10,計(jì)算出長(zhǎng)方形的面積后減去三

個(gè)正方形的面積即可.

【詳解】解：如圖延長(zhǎng)EG交3C于其他字母標(biāo)注如圖示：根據(jù)題意，EF=3,EG=4,

FG=5,

在RtAEFG和RUMGQ中，

ZFEG=ZGMQ=90°,

ZEFG+ZFGE=90°=NFGE+NMGQ,

NEFG=ZMGQ,

-,-FG=QG,

Rt^EFG^Rt^MGQ(AAS),

.■.GM=EF=3,MQ=EG^4,

.-.^5=3+4+3=10,

同理可證

...CQ=GM=3,

.-.5C=4+4+3=ll.

空白部分的面積=長(zhǎng)方形面積-三個(gè)正方形的面積和=10x11-g+4?+5)=60.

答案第11頁(yè)，共17頁(yè)

故選：B.

12.2

【分析】過(guò)B作BE1AC于E,過(guò)D作DF1AC于F,構(gòu)造沁ADF得出BE=AF

利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出：AF=：/C可得BE=AF=1/C,利用三角形ABC的

22

面積為1進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】過(guò)B作BE1AC于E,過(guò)D作DF1AC于F,

.-.ZBEA=ZAFD=9O°

??22+43=90。

vzBAD=90°

.?21+42=90。

/.Z1=Z3

vAB=AD

八BAE=^ADF

??.BE=AF

???AD=CD,DF1AC

1

??.AF=-/C

2

1―

??.BE=AF=一

2

.-.5,=-ACxBE=-ACx-AC=\

RC222

??.AC=2

故答案為2

【點(diǎn)睛】本題考查了利用一線三等角構(gòu)造全等三角形，以及利用三角形面積公式列方程求線

段，熟練掌握輔助線做法構(gòu)造全等是解題的關(guān)鍵.

13.見詳解

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

【分析】根據(jù)44s證明即可得/尸=§￡.

【詳解】證明：???/B4C=90。，

：.Z.BAE+/-CAF=9Q0,

,:BELAD,CFLAD,

：.^BEA=^AFC=9G0,

.zBAE+zJ：BA=90。,

；/CAF=UBA,

'：AB=AC,

??.△BAE三AACF,

???AF=BE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的

關(guān)鍵.

14.3

【分析】證明△/尸。絲△BE4,得到5￡=4￡。/=/￡,即可得解.

【詳解】解：?：/BAC=90。,

：./EAB+/EAC=90。,

vBE1ADfCF1ADf

??.ZAEB=AAFC=90°,

.-.ZACF+ZEAC=90°,

??.ZACF=/BAE,

在/。和中：

ZEB=ZCFA

<ZACF=/BAE,

AB=AC

???/\AFC^ABEA（AAS）,

AF=BE=4,AE=CF=1,

.'.EF=AF-AE=4-1=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì).利用同角的余角相等和等腰三角形的兩腰相等

證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

答案第13頁(yè)，共17頁(yè)

15.(1)DE=BD+CE

⑵(-4,3)

(3)①DE=BD+CE,理由見解析；②DE=；BD+2CE

【分析】(1)由全等得到邊長(zhǎng)關(guān)系即可.

(2)分別按照(1)中情形過(guò)/、8做出x軸垂線，得到三角形全等后根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系得到點(diǎn)N

坐標(biāo).

(3)①將(1)中互余的角度變成計(jì)算關(guān)系，仍可得角度相等，從而得到全等的三角形，

進(jìn)而得到邊長(zhǎng)關(guān)系.

②根據(jù)①可證全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到邊長(zhǎng)關(guān)系.

【詳解】(1)由等腰直角“8C得=AB1AC,

又；BD_L4D,CE1.AE

AABD+ABAD=90°=ABAD+NCAE

NABD=ZCAE

又,：AB=CA,ABDA=900=NAEC

:.AABD名ACAE

AD=CE,BD=AE

:.DE=BD+CE

(2)

圖乙

過(guò)8作出x軸垂線4D,BE,由（1）可得.14。二"，ED=AD+BE,

又；8（1,2）。（一2,0）得8￡=2,OE=\,CO=2,

:.AD=CE=3,DE=AD+BE=5

DO=DE-OE=4

答案第14頁(yè)，共17頁(yè)

/(-4,3)

(3)①?；/BAC=/BDA=NAEC

/ABD+/BAD=180°—ABDA=180°—ABAC=90°=/BAD+ZCAE

NABD=ZCAE

又?.?