一、解答題

1.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，4(1,3),B(3,1),將線段A平移至CD,C

(m,-1),D(1,n)

(1)m=,n=

(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(c,0)

①設(shè)/ABP=a,請寫出NBPD和NPDC之間的數(shù)量關(guān)系(用含a的式子表示，若有多種數(shù)

量關(guān)系，選擇一種加以說明)

②當(dāng)三角形PAB的面積不小于3且不大于10,求點(diǎn)p的橫坐標(biāo)C的取值范圍(直接寫出

答案即可)

解析：(1)-1,-3.(2)①當(dāng)點(diǎn)P在直線AB,CD之間時(shí)，NBPD-NPDC=a.當(dāng)點(diǎn)P在直

線CD的下方時(shí)，ZBPD+ZPDC=a.當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的上方時(shí)，ZBPD+ZPDC=a；@-6<

m<l或74m<14

【分析】

(1)由題意，線段AB向左平移2個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位得到線段CD,利用平移規(guī)

律求解即可.

(2)①分三種情形求解，如圖1中，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB,CD之間時(shí)，ZBPD-NPDC=a.如

圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在直線CD的下方時(shí)，NBPD+4PDC=a.如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的上

方時(shí)，同法可證NBPD+ZPDC=a.分別利用平行線的性質(zhì)求解即可.

②求出點(diǎn)P在直線AB兩側(cè)，△PAB的面積分別為3和10時(shí)，m的值，即可判斷.

【詳解】

解：(1)由題意，線段AB向左平移2個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位得到線段C。，

A(1,3),8(3,1),

,C(-1,-1),D(1,-3),

/.m=-l,n=-3.

故答案為：-1,-3.

(2)如圖1中，當(dāng)點(diǎn)P在直線48,C。之間時(shí)，2BPD叱PDC=a.

?/ABWCD,

/.PEWCDWAB,

：.ZABP=Z.BPE,ZPDC=NDPE,

：.ZBPD叱PDC=NBPD叱DPE=4BPE=a.

如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在直線C。的下方時(shí)，ZBPD+Z.PDC=a.

理由：過點(diǎn)尸作PEII/B,

ABWCD,

/.PEWCDWAB,

：.ZABP=NBPE,ZPDC=NDPE,

：.ZBPD+NPDC=NBPD+NDPE=ZBPE=a.

如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的上方時(shí)，同法可證N8PD+NPDC=a.

(3)如圖4中，過點(diǎn)B作軸于H,過點(diǎn)A作AriBM交于點(diǎn)了，延長AB交x軸

當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的下方時(shí)，

SAPAB=S^ATHP-SAABT-S^PBH=~(2+3-m)?3-yx2x2-^-?(3-m)?l=-m+4,

當(dāng)小PAB的面積=3時(shí)，-m+4=3,解得m=l,

當(dāng)公PAB的面積=3時(shí)，-m+4=10,解得m=-6,

???△ABT是等腰直角三角形，

ZABT=45°=NHBE,

：.BH=EH=1,

.E(4,0),

根據(jù)對稱性可知，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的右側(cè)時(shí)，當(dāng)ARAB的面積=3時(shí)，m=7,

當(dāng)APAB的面積=3時(shí)，m=14,

觀察圖象可知，-6<mSl或74m<14.

【點(diǎn)睛】

本題屬于三角形綜合題，考查了三角形的面積，平行線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會(huì)利用分割法求三角形面積，學(xué)會(huì)尋找特殊位置解決問題，屬于中考?？碱}型.

2.如圖，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,0),D為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且不

與B,0重合，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得線段AE,使得AE_LAD,且AE=AD,連

接BE交y軸于點(diǎn)M.

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段OB的延長線上時(shí)，

①若D點(diǎn)的坐標(biāo)為(-5,0),求點(diǎn)E的坐標(biāo).

②求證：M為BE的中點(diǎn).

③探究：若在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，瞿的值是否是定值？如果是，請求出這個(gè)定值；如

BD

果不是，請說明理由.

解析：(1)①E(3,-2)②見解析；③器■=；，理由見解析；(2)OD+OA=2AM

或OA-OD=2AM

【分析】

(1)①過點(diǎn)E作EH_l_y軸于H.證明△DOA2△AHE(AAS)可得結(jié)論.

②證明△BOM些AEHM(AAS)可得結(jié)論.

③是定值，證明△BOMV△EHM可得結(jié)論.

(2)根據(jù)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)和右側(cè)分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，根據(jù)全等三角形的判

定及性質(zhì)即可分別求出結(jié)論.

【詳解】

A(0,3),B(-3,0),D(-5,0),

OA=OB=3,0D=5,

ZA0D=NAHE=NDAE=90°,

ZDAO+ZEAH=90°,ZEAH+ZAEH=9O°,

/.ZDAO=NAEH,

△DOAM△AHE(AAS),

/.AH=OD=5,EH=OA=3,

OH=AH-OA=2,

/.E(3,-2).

②■「EH_Ly軸，

/.ZEHO=ZBOH=90°,

NBMO=NEMH,OB=EH=3,

「.△BOM蘭△EHM(AAS)，

BM=EM.

③結(jié)論:OM_i

理由：,/△DOA空△AHE,

OD=AH,

,/OA=OB,

/.BD=OH,

,/△BOM之△EHM,

OM=MH,

OMOHBD

=42=32.

(2)結(jié)論：OA+OD=2AM或OA-OD=2AM.

理由：當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，

,/△BOM蘭△EHM,△DOAM△AHE

OM=MH,OD=AH

/.OH=2OM,OD-OB=AH-OA

/.BD=OH

/.BD=2OM,

/.OD-OA=2(AM-AO),

/.OD+OA=2AM.

當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)E作EHLy軸于點(diǎn)H

,/ZAOD=ZAHE=ZDAE=90°,

/.ZDAO+ZEAH=90°,ZEAH+ZAEH=90°,

/.ZDAO=NAEH,

?/AD=AE

△DOAM△AHE(AAS),

/.EH=AO=3=OB,OD=AH

/.ZEHO=ZBOH=90°,

,/ZBMO=ZEMH,OB=EH=3,

「.△BOM蘭△EHM(AAS),

OM=MH

/.OA+OD=OA+AH=OH=OM+MH=2MH=2(AM+AH)=2(AM+OD)

整理可得OA-OD=2AM.

綜上：OA+OD=2AM或。A-OD=2AM.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平面直角坐標(biāo)系，掌握全等三角形

的判定及性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長度的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵.

3.如圖1,C點(diǎn)是第二象限內(nèi)一點(diǎn),CB_Ly軸于B,且3(0,。)是y軸正半軸上一點(diǎn)，

(是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且()

Aa,0)xxk+2|+6-32=0,SWAOBC=9.

(2)如圖2,設(shè)。為線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ADLAC時(shí)，NOD4的角平分線與NC4E的角

平分線的反向延長線交于點(diǎn)尸，求NAPD的度數(shù)：(注:三角形三個(gè)內(nèi)角的和為180)

(3)如圖3,當(dāng)。點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作交CB于的平分線

交于N,當(dāng)。點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中，/N的大小是否變化?若不變，求出其值;若變化，請說明

理由.

解析：(1)A(-2,0)、B(0,3);(2)ZAPD=90°；(3)NN的大小不變，NN=45。

【分析】

(1)利用非負(fù)數(shù)的和為零，各項(xiàng)分別為零，求出a,b的值；

(2)如圖，作DMIIX軸，結(jié)合題意可設(shè)NADP=NOAP=x,NEAF=NCAF=NOAP=y,根據(jù)

平角的定義可知NOAD=9(T-2y,由平行線的性質(zhì)可得NOAD+NADM=180。，即90-

2y+2x+90°=180°,進(jìn)而可得出x=y,再結(jié)合圖形即可得出NAPD的度數(shù)；

(3)NN的大小不變，NN=45。，如圖，過D作DEIIBC,過N作NFIIBC,根據(jù)平行線的

性質(zhì)可知NBMD+NOAD=NADM=90。，然后根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，可得

ZANM=-ZBMD+-ZOAD,據(jù)此即可得到結(jié)論.

22

【詳解】

(1)由m+2|+僅一3『=0,可得,+2|=0和(力-3『=0,

解得a=-2,6=3

二A的坐標(biāo)是(-2,0)、B的坐標(biāo)是(0,3)；

(2)如圖，作DMIIx軸

根據(jù)題意，設(shè)NADP=NOAP=x,ZEAF=ZCAF=ZOAP=y,

,,,ZCAD=90°,

ZCAE+ZOAD=90°,

2y+ZOAD=90°,

/.ZOAD=90°-2y,

DMIIx軸，

ZOAD+ZADM=180°,

90-2y+2x+90°=180°,

x=y,

ZAPD=180°-(ZPAD+ZADP)=180o-(y+90o-2y+x)=180o-90o=90°

(3)ZN的大小不變，ZN=45°

理由：如圖，過D作DEIIBC,過N作NFIIBC.

BCIIx軸，

/.DEIIBCIIx軸，NFIIBCIIx軸，

ZEDM=NBMD,ZEDA=ZOAD,

DM±AD,

/.ZADM=90°,

/.ZBMD+ZOAD=ZEDM+ZEDA=ZADM=90°,

MN平分NBMD,AN平分NDAO,

11

ZBMN=-ZBMD,ZOAN=-ZOAD,

22

11

ZANM=NBMN+NOAN=-ZBMD+-ZOAD

22

1

=-x90°=45°.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算出相應(yīng)的線段的長和判斷線段與坐標(biāo)軸的

位置關(guān)系.也考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì).

4.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，A(a,0),C(b,2),且滿足(0+2了+^J=o,過

C作CB_Lx軸于B,

(1)求a,b的值；

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得△ABC和△OCP的面積相等，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，

若不存在，試說明理由.

(3)若過B作BDIIAC交y軸于D,且AE,DE分別平分NCAB,ZODB,如圖2,圖3,

①求：ZCAB+ZODB的度數(shù)；

②求：ZAED的度數(shù).

解析：(1)a=-2,b=2；(2)P(0,-4)或(0,4)；(3)①NCAB+NODB=90°；

②NAED=45°.

【分析】

(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求得a、b的值；(2)先求得SAABC=4,設(shè)P(0,t),根據(jù)

SA0Pc=g0Px2=gxMx2=4求得t值，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)①已知BDIIAC,根據(jù)

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得NCAB=ZOBD,由NOBD+zODB=90°,即可得NCAB+

ZODB=90°；②根據(jù)角平分線的定義及①中的結(jié)論，可求得N3+N4=45。；過點(diǎn)E作

EFIIAC,即可得EFUBDIIAC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N3=N1,N2=N4,由此求得

ZAED=Z1+Z2=Z4+Z3=45°.

【詳解】

(1)???(a+2)2+V^2=0,

a+2=0,b-2=0,

a=-2,b=2；

(2)a=-2,b=2,

A(-2,0),C(2,2),

?二SAABC=AB?BC=^-x4x2=4；

設(shè)P(0,t),

??SAOPC=OPx2=~x|?|x2=|^|=4；

/.t=4或t=-4,

/.P(0,-4)或(0,4).

(3)①:BDIIAC,

/.ZCAB=ZOBD,

,/ZOBD+ZODB=90°,

/.ZCAB+ZODB=90°；

②TAE,DE分別平分NCAB,ZODB,

/.z3=-ZCAB,z4=-ZODB,

22

---ZCAB+ZODB=90°,

z3+Z4=-ZCAB+-ZODB=45",

22

過點(diǎn)E作EFIIAC,

圖3

BDIIAC,

EFIIBDIIAC,

/.Z3=Z1,Z2=N4,

ZAED=Z1+Z2=N4+Z3=45°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟知非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積公式及平行線的性質(zhì)是解

決問題的關(guān)鍵.

5.已知A(0,a)、B(b,0),且Ja-5+(b-4)2=0.

(1)直接寫出點(diǎn)4B的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)滿足SAABC=15.

①如圖1,平移直線AB經(jīng)過點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)E,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②如圖2,若點(diǎn)F(m,10)滿足SAACF=10,求m.

(3)如圖3,。為x軸上B點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)，把點(diǎn)A沿y軸負(fù)半軸方向平移，過點(diǎn)A作x軸的

平行線/,在直線/上取兩點(diǎn)G、H(點(diǎn)H在點(diǎn)G右側(cè))，滿足”8=8,GD=6.當(dāng)點(diǎn)A平

移到某一位置時(shí)，四邊形BDHG的面積有最大值，直接寫出面積的最大值.

解析：(1)4(0,5),B(4,0)；(2)①E(0,-；)；②-2或6；(3)24.

【分析】

(1)根據(jù)二次根式和偶次幕的非負(fù)性得出a,b解答即可；

(2)①根據(jù)三角形的面積公式得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可；②延長

CA交直線/于點(diǎn)”(a,10),過點(diǎn)”作H/WJLx軸于點(diǎn)/W,根據(jù)三角形面積公式解答即

可；

(3)平移GH到OM,連接HM,根據(jù)三角形面積公式解答即可.

【詳解】

解：⑴Ja-5+S-4)2=0,且Ja-520,(fa-4)2>0,

/.a-5=0,b-4=0,

解得:a=5,b=4,

/\(0,5),B(4,0)；

(2)①連接BE,如圖1,

.5AAec=：xOAxBC=|yA\xBC=；x5xBC=15,

BC—^6,

/.C(-2,0),

,/ABWCE,

?二SAABC—S^ABEf

S.ADP=—xAExOB=—AEx4=15,

AADC22

,5、

.?E(0,--)；

2

②；F(m,10),

二點(diǎn)F在過點(diǎn)G(0,10)且平行于x軸的直線/上,

圖2

延長CA交直線/于點(diǎn)”(a,10),過點(diǎn)H作“M_Lx軸于點(diǎn)M,則M(a,0),如圖2,

SAHCM=SAACO+S梯形AOMH，

Q(Q+2)x10=5x2x5+5x(5+10)?a,

解得：a=2,

.H(2,10),

SAAFC=SACFH-SAAFH，

-FH(10-5)=10,

2

FH=4,

H(2,10),

F(-2,10)或(6,10),

m=-2或6；

貝ijGOIIHM,GD=HM,如圖3,

圖3

四邊形BDHG的面積=△BHM的面積,

當(dāng)時(shí)，△BUM的面積最大，其最大值=?G。=！x8x6=24.

222

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圖形與坐標(biāo)及平移的性質(zhì)，熟練掌握圖形與坐標(biāo)及平移的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(a,O),B(b,0),C(0,4),a,6滿足

(a+2)2+7^4=0.平移線段AB得到線段CD,使點(diǎn)A與點(diǎn)C對應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)。對應(yīng),

連接AC,BD.

(1)求4，6的值，并直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸在射線A3(不與點(diǎn)A,8重合)上，連接PC,PD.

①若三角形尸CD的面積是三角形P8D的面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②設(shè)/PC4=&,"DB=/3,ADPC=6.求a,/7,9滿足的關(guān)系式.

解析：(1)0(6,4)；(2)①尸(1,0)或(7,0)；②點(diǎn)尸在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，々+￡=8；點(diǎn)尸在

B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，a-(3=0.

【分析】

(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出“、b,根據(jù)平移規(guī)律得到平移方式，再由平移的坐標(biāo)變

化規(guī)律求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)①設(shè)尸8="，根據(jù)三角形的面積公式列出方程，解方程求出加，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②分點(diǎn)尸點(diǎn)尸在B點(diǎn)左側(cè)、點(diǎn)P在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)P作PE//AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)解

答.

【詳解】

2

解：(1)(fl+2)+^/^4=0,

.,.a+2=0,b—4=0?

,解得，a=—2,Z?=4.

.?.4-2,0),B(4,0),

■平移線段AB得到線段CD,使點(diǎn)A(-2,0)與點(diǎn)C(0,4)對應(yīng)，

???平移線段AB向上平移4個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位得到線段CD,

。(4+2,0+4),即0(6,4)；

(2)①設(shè)依=皿，

?「線段A3平移得到線段CD,

/.AB//CD,

-/AB=CD=6,OC=4

..c—oc

?2.PCD-42、PBD，

：.-CD.OC=2.-PB.OC,

22

-/AB=CD=6fOC=4

/.—1x6-.4=2cx—1x4)m

22

解得m=3,

當(dāng)P在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，坐標(biāo)為(1,0),

當(dāng)P在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，坐標(biāo)為(7,0),

???尸(L0)或(7,0)；

②/、點(diǎn)P在射線(不與點(diǎn)A,B重合)上，點(diǎn)尸在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，a,夕，6滿足的關(guān)

系式是

理由如下：如圖1,過點(diǎn)尸作尸E〃AC,

/.ZCPE=ZPCA=a,

CD由AB平移得到，點(diǎn)A與點(diǎn)C對應(yīng)，點(diǎn)8與點(diǎn)Z)對應(yīng),

AC//BD,

PE//BD

：.ZDPE=NPDB=B,

ZCPD=ZCPE+Z.DPE=a+/3-^a+/3=6,

IK如圖2,點(diǎn)尸在射線A3（不與點(diǎn)A,B重合）上，點(diǎn)尸在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，?,B,。滿

足的關(guān)系式是a-夕=6.

同①的方法得，ZCPE=ZPCA=a,ZDPE=ZPDB=^,

ZCPD=ZCPE-ZDPE=a-/3-即：a-/3=6

綜上所述：點(diǎn)尸在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，e6.點(diǎn)尸在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，a-/3=6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了坐標(biāo)與圖形平移的關(guān)系，坐標(biāo)與平行四邊形性質(zhì)的關(guān)系，平行線的性質(zhì)及三角

形、平行四邊形的面積公式.關(guān)鍵是理解平移規(guī)律，作平行線將相關(guān)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

7.如圖，直線ABII直線CD,線段EFIICD,連接BF、CF.

（1）求證：ZABF+NDCF=ZBFC；

（2）連接BE、CE、BC,若BE平分NABC,BE±CE,求證：CE平分NBCD；

（3）在（2）的條件下，G為EF上一點(diǎn),連接BG,若NBFC=NBCF,ZFBG=2ZECF,

ZCBG=70。，求NFBE的度數(shù).

ffilS2圖3

解析：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）NFBE=35。.

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NABF=NBFE,ZDCF=ZEFC,進(jìn)而解答即可;

（2）由（1）的結(jié)論和垂直的定義解答即可；

（3）由（1）的結(jié)論和三角形的角的關(guān)系解答即可.

【詳解】

證明：（1）：ABWCD,EFWCD,

：.ABWEF,

：.ZABF=NBFE,

-：EFWCD,

ZDCF=ZEFC,

/.ZBFC=NBFE+NEFC=NABF+NDCF；

(2)---BE±ECf

/.ZBEC=90°,

/.ZEBC+NBCE=90°,

由(1)可得：NBFC=NABE+NECD=90°,

/.ZABE+ZECD=NEBC+NBCE,

BE平分NABC,

/.ZABE=NEBC,

：.ZECD=NBCE,

二.CE平分NBCD；

(3)設(shè)NBCE=B，ZECF="

,/CE平分NBCD,

/.ZDCE=A8CE=B，

/.ZDCF=NDCE-ZECF=^-y,

/.ZEFC=B-v，

,/ZBFC=NBCF,

：.ZBFC=NBCE+NECF=v+0,

/.ZABF=NBFE=2y,

,/ZFBG=2NECF,

/.ZFBG=2y,

/.ZABE+NDCE=4BEC=90°,

/.ZABE=90°-P，

/.ZGBE=NABE-ZABF-ZFBG=900-p-2y-2y,

BE平分NABC,

：.ZCB￡=ZABE=90°-B，

ZCBG=ZCBE+ZGBE,

：.70°=90°-P+90°-g-2y-2v，

整理得：2y+P=55°,

ZFBE=NFBG+NGBE=2y+90°-p-2y-2v=90°-(2y+B)=35°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)解答.

8.己知AB〃CD.

(1)如圖1,E為AB,C。之間一點(diǎn)，連接BE,DE,得到NBED.求證：NBED=

ZB+ZD；

(2)如圖，連接AD,BC,ABC,OF平分NAOC,且BF,OF所在的直線交于點(diǎn)

F.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，若NABC=50。，NADC=60。，求NBFD的度數(shù).

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，設(shè)NABC=a,NADC=B，請你求出NBFD的度

數(shù).（用含有a,B的式子表示）

圖1圖2圖3

解析：（1）見解析；（2）55。；（3）180。-；a+；〃

【分析】

（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；

（2）①如圖2,過點(diǎn)F作FE//AB,當(dāng)點(diǎn)5在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，根據(jù)乙鉆C=50。，

ZADC=60°,根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求上曲的度數(shù)；

②如圖3,過點(diǎn)P作EF//AB,當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，ZABC=a,NADC=￡，根據(jù)

平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求出N3ED的度數(shù).

【詳解】

圖1

則有=

ABI/CD,

:.EF//CD,

:.ZFED=ZD,

:.ZBED=ZBEF+ZFED=ZB+ZD；

(2)①如圖2,過點(diǎn)尸作EE//AB,

有ZBFE=/FBA.

AB//CD,

:.EF//CD.

:.ZEFD=ZFDC.

/.ZBFE+ZEFD=ZFBA+ZFDC.

即ZBFD=ZFBA+Z.FDC,

班1平分ZABC,￡＞尸平分NADC,

ZFBA=-ZABC=25°,NFDC=-ZADC=30°,

22

ZBFD=ZFBA+ZFDC=55°.

答：的度數(shù)為55。；

②如圖3,過點(diǎn)P作EE//A5,

有NBFE+ZFBA=180°.

:.ZBFE=180°-ZFBA,

ABI/CD,

:.EF//CD.

:.ZEFD=ZFDC.

ZBFE+ZEFD=180°-ZFBA+ZFDC.

即ZBFD=180?！猌FBA+ZFDC,

3尸平分ZABC,平分N71DC,

:.ZFBA=-ZABC=-a,ZFDC=-ZADC=-B,

2222

ZBFD=1800-ZFBA+ZFDC=180°-；。+].

答：N3FD的度數(shù)為18()o-ga+g4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì).

9.如圖1,MNIIPQ,點(diǎn)C、B分別在直線MN、PQ上，點(diǎn)A在直線MN、PQ之間.

(1)求證：NCAB=NMCA+NPBA；

(2)如圖2,CDIIAB,點(diǎn)E在PQ上，ZECN=ZCAB,求證：ZMCA=ZDCE-,

【分析】

（1）過點(diǎn)A作ADIIMN,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到N/WCA=NDAC,ZPBA=

NDAB,根據(jù)角的和差等量代換即可得解；

（2）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到，、ZCAB+ZACD=180°,由鄰補(bǔ)角定義得到

NECM+NECN=180°,再等量代換即可得解；

（3）由平行線的性質(zhì)得到，ZMB=120°-ZGCA,再由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)

得到NGCA-ZABF=60。，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180。即可求解.

【詳解】

解：（1）證明：如圖1,過點(diǎn)A作

M_________Q._________N

圖1

MNWPQ,ADWMN,

：.ADWMNWPQ,

：.ZMCA=ZDAC,NPBA=ZDAB,

：.ZCAB=ZDAC+NDAB=NMCA+Z.PBA,

即：NCAB=NMCA+NPBA；

(2)如圖2,CDIIAB,

：.ZCAB+NACD=180°,

■：ZECM+NECN=180°,

,,,ZECN=NCAB

：.ZECM=NACD,

即NMCA+NACE-DCE+NACE,

：.ZMCA=NDCE；

(3)AFWCG,

：.ZGC4+NMC=180°,

ZCAB=60°

即NGC4+NCAB+ZFAB=180°,

：.ZMB=180°-60°-ZGCA=1200-ZGCA,

由(1)可知，NCAB=NMCA+NABP,

rBF平分NABP,CG平分NACN,

ZACN=2ZGCA,NABP=2ZABF,

又:ZMCA=180°-ZACN,

：.ZCAB=180°-2ZGCA+2NABF=E>0°,

：.ZGCA-ZABF=60",

ZAFB+NABF+Z樣B=180°,

ZAFB=1800-NFAB-NFBA

180°-(120°-ZGCA)-ZABF

180°-120°+ZGCA-ZABF

=120。.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，線段、角、相交線與平行線，準(zhǔn)確的推導(dǎo)是解決本題的關(guān)

鍵.

10.己知，ABWCD.點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上.

(1)如圖1中，4BME、NE、NEND的數(shù)量關(guān)系為：;(不需要證明)

如圖2中，NBMF、NF、NFN。的數(shù)量關(guān)系為：;(不需要證明)

(2)如圖3中，NE平分NFND,MB平分NFME,且2NE+NF=180。，求NFME的度

數(shù)；

(3)如圖4中，NBME=60°,EF平分NMEN,NP平分NEND,且EQIINP,則NFEQ的大

小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出NFEQ的度數(shù).

F

月-------&—BA-------

2//立/LB

--------D

圖1圖2

:二三

3/D

等

------------D

圖3圖4

解析：(1)NBME=ZMEN-NEND；ZBMF=ZMFN+NFND；(2)120°；(3)不變,

30°

【分析】

⑴過E■作EHIIAB,ABWCD,，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；過F作FHIIAB,易

得F”llABIICD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論及角平分線的定義可得2QBME+NEND)+ZBMF-NFA/。=180°,

可求解NBMF=60。,進(jìn)而可求解；

(3)根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知NFEQ=gzBME,進(jìn)而可求解.

【詳解】

解：(1)過E作EHIIAB,如圖1,

A-------——B

H------>￡

C—7?r—-------D

圖1

/.ZBME=NMEH,

ABWCD,

HE11CD,

：.ZEND=ZHEN,

：.ZMEN=NMEH+NHEN=NB/WE+NEND,

即NBME=NMEN-ZEND.

如圖2,過F作FHWAB,

：.ZBMF=NMFK,

-：ABWCD,

：.FHWCD,

：.ZFND=NKFN,

：.ZMFN=ZMFK-ZKFN=ABMF-ZFND,

圖2

故答案為NBME=4MEN-ZEND；ZBMF=NMFN+NFND.

(2)由(1)得NBME=NMEN-ZEND；ZBMF=NMFN+NFND.

■：NE平分NFND,MB平分NFME,

：.ZFME=ZBME+ABMF,ZFND=NFNE+zEND,

■：2ZZWEN+NMFN=180°,

：.2(ZB/WE+ZEND)+ZBMF-ZFND=180",

2ZBME+2NEND+NBMF-ZFND=180°,

即2ZBMF+ZFND+ZBMF-ZFND=180°,

解得NBMF=60°,

ZFME=2NB/WF=120°；

(3)NFEQ的大小沒發(fā)生變化，ZFEQ=30°.

由(1)知：ZMEN=NBME+NEND,

-：EF平分NMEN,NP平分NEND,

:.NFEN=，MEN=；QBME+NEND),NENP=；NEND,

■：￡QIINP,

：.ZNEQ=NENP,

：.ZFEQ=ZFEN-ZNEQ=~(ZB/WE+zEND)-END=；NBME,

ZBMf=60°,

/.ZFEQ=5x60°=30°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關(guān)鍵.

11.己知：如圖，直線AB〃CD,直線EF交48,C。于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M,點(diǎn)N分別是直線

CD,EF上一點(diǎn)（不與P,Q重合），連接PM,MN.

①試判斷PM與MN的位置關(guān)系，并說明理由；

②若胡平分NEPM,NMNQ=20。,求NEPB的度數(shù).（提示：過N點(diǎn)作AB的平行線）

（2）點(diǎn)M,N分別在直線C。，EF上時(shí)，請你在備用圖中畫出滿足P/W_LMN條件的圖形,

并直接寫出此時(shí)NAPM與NQMN的關(guān)系.（注：此題說理時(shí)不能使用沒有學(xué)過的定理）

解析：（1）①PM_L/WM理由見解析；②NEPB的度數(shù)為125。；（2）APM

+ZQMN=90°或NAPM-NQ/WA/=90°.

【分析】

（1）①利用平行線的性質(zhì)得到NAP/W=NP/WQ,再根據(jù)已知條件可得到P/W_L/WM

②過點(diǎn)N作NHIIC。，利用角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)求得NMN”=35。，即可求

解；

（2）分三種情況討論，利用平行線的性質(zhì)即可解決.

【詳解】

解：（1）①PMLMN,理由見解析：

AB//CD,

：.ZAPM=NPMQ,

■：ZAPM+NQMA/=90",

/.ZPMQ+ZQMN=90°,

：.PM工MN；

②過點(diǎn)N作NHIICD,

-/AB//CD,

/.AB//NHWCD,

/.ZQMN=NMNH,ZEPA=AENH,

,/PA平分NEPM,

/.ZEPA=4MPA,

,/ZAPM+NQMA/=90°,

/.ZEPA+ZMNH=90°,即NENH+NMNH=9Q°,

/.ZMNQ+NMNH+NMNH=90°,

,/ZMNQ=20°,

/.ZMNH=35°,

：.ZEPA=4ENH=NMNQ+NMNH=55°,

/.ZEPB=180o-55°=125°,

AZEPB的度數(shù)為125°；

（2）當(dāng)點(diǎn)M,/V分別在射線QC,QF上時(shí)，如圖:

?<-PM±MN9AB//CD,

ZPMQ.+ZQMA/=90°,ZAPM=4PMQ,

/.ZAPM+ZQM/V=90°；

當(dāng)點(diǎn)M,N分別在射線QC,線段PQ上時(shí)，如圖:

PM工MN,AB//CD,

/.ZPMN=90°,ZAPM=NPMQ,

/.ZPMQ-ZQMN=90°,

/.ZAPM-ZQMA/=90°；

當(dāng)點(diǎn)M,A/分別在射線Q。，QF上時(shí)，如圖:

E

APB

M

LD

八

F

PM±MN,AB//CD,

：.ZPMQ+ZQMN=90°,ZAPM+NPMQ=180°,

：.Z4PM+900-ZQ/WA/=180°,

ZAPM-Z.QMN=90°；

綜上，ZAPM+ZQ/WN=90°或NAPM-ZQMA/=90".

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，

同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，同位角相等等知識是解題的關(guān)鍵.

12.如圖1,把一塊含30。的直角三角板ABC的BC邊放置于長方形直尺。EFG的EF邊上.

（1）根據(jù)圖1填空：Z1=。，Z2=°；

（2）現(xiàn)把三角板繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n。.

①如圖2,當(dāng)n=25。，且點(diǎn)C恰好落在。G邊上時(shí)，求N1、N2的度數(shù)；

②當(dāng)0。<"<180。時(shí)，是否會(huì)存在三角板某一邊所在的直線與直尺（有四條邊）某一邊所

在的直線垂直？如果存在，請直接寫出所有”的值和對應(yīng)的那兩條垂線；如果不存在，請

說明理由.

（圖2）

N2=90。+"。；②見解析

【分析】

（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)解答；

（2）①根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出NABE,再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得N1=NABE,

根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出NBCG,然后根據(jù)周角等于360。計(jì)算即可得到N2；

②結(jié)合圖形，分AB、BC、AC三條邊與直尺垂直討論求解.

【詳解】

解：（1）Z1=180--600=1200,

Z2=90°；

故答案為：120,90；

(2)①如圖2,

(圖2)

,/Z43c=60°,

/.Z/\BE=180°-60o-no=120o-n°,

???DGWEF,

/.Z1=ZABE=120°-n°f

ZBCG=180°-ZCBF=180°-n°,

,/ZACB+NBCG+N2=360°,

Z2=360°-ZACB-ABCG

=360°-90°-(180°-n°)

=90°+n°；

②當(dāng)r?=30°時(shí)，.「NABC=60°,

/.Z/ABF=30o+60°=90°,

ABIDG(EF)；

當(dāng)〃二90。時(shí)，

NC=ZCBF=90°f

/.BC±DG(EF)，AC±DE(GF)；

B

當(dāng)n=120°時(shí),

AB±DE(GF).

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線角的計(jì)算，垂線的定義，主要利用了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性

質(zhì)，讀懂題目信息并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

13.如圖1,AB”CD,點(diǎn)、E、P分別在AB、8上，點(diǎn)。在直線A3、CD之間，且

ZEOF=100°.

圖1圖2

圖3

(1)求N3EO+NOFD的值；

(2)如圖2,直線MN分別交/BE。、NOFC的角平分線于點(diǎn)/、N,直接寫出

的值；

(3)如圖3,EG在NAEO內(nèi)，ZAEG=mNOEG；FH在NDFO內(nèi),

ZDFH=mNOFH,直線MN分別交EG、可分別于點(diǎn)"、N,且

ZFMN-ZENM=50°,直接寫出優(yōu)的值.

解析：(1)Z.BEO+ADFO=260°；(2)/EW—/FW的值為40。；(3)

【分析】

(1)過點(diǎn)。作。GIIAB,可得ABUOGWCD,利用平行線的性質(zhì)可求解；

(2)過點(diǎn)M作MKWAB,過點(diǎn)N作NHWCD,由角平分線的定義可設(shè)NBEM=NOEM=x,

2CFN=NOFN=y,由NBEO+NDFO=260°可求x-y=40°,進(jìn)而求解；

(3)設(shè)直線FK與EG交于點(diǎn)H,FK與AB交于點(diǎn)K,根據(jù)平行線的性質(zhì)即三角形外角的性

質(zhì)及NFMN-NENM=50。,可得NKFD—NAEG=50。，結(jié)合

ZAEG^nZOEG,DFK^nZOFK,ZBEO+ZDFO^260°,可得

NAEG+-NAEG+180°-ZKFD--NKFD=100°,

nn

即可得關(guān)于〃的方程，計(jì)算可求解〃值.

【詳解】

證明：過點(diǎn)。作。GII4B,

「ABWCD,

：.AB\\OGWCD,

ZB石O+N￡OG=180。，ZDFO+ZFOG=180°,

/BEO+NEOG+/DFO+NFOG=360。,

即ZBEO+/EOF+ZDFO=360°,

,/ZEOF=WQ0,

：.ZBEO+NDFO=260。；

(2)解：過點(diǎn)M作MKIIA8,過點(diǎn)/V作/V川IC。,

圖2

?/EM平分NBEO,FN平分NCFO,

設(shè)/BEM=/OEM=x,ZCFN=ZOFN=y,

ZBEO+ZDFO=260°

/.ZBEO+ZDFO=2x+1800-2y=260°,

/.x-y=40°,

---MKWAB,NHWCD,ABWCD,

.'.ABWMKWNHWCD,

/.NEMK=NBEM=x,4HNF=/CFN=y,/KMN=/HNM,

/./EMN+/FNM=/EMK+/KMN—"HNM+/HNF)

=x+NKMN—/HNM—y

=x-y

=40°,

ZEMN-ZFNM的值為40°；

(3)如圖，設(shè)直線FK與EG交于點(diǎn)H,FK與AB交于點(diǎn)K,

,/ABWCD,

/.ZAKF=ZKFD,

ZAKF=AEHK+ZHEK=ZEHK+ZAEG,

/.ZKFD=ZEHK-^-ZAEG,

?/ZEHK=ZNMF-ZENM=50°,

ZKFD=50°+ZAEG,

即N"D—NAEG=50。，

ZAEG=n/OEG,FK在NDFO內(nèi)，ZDFK=nZOFK.

：.ZCFO=180°-ZDFK-ZOFK=180°-ZKFD--ZKFD,

ZAEO=/AEG+ZOEG=ZAEG+-/AEG,

ZBEO+ZDFO=260°,

/.ZAEO+ZCFO=100°,

ZAEG+-ZAEG+180°-ZKFD--ZKFD=100°,

1+-(NK尸D—NAEG)=80。,

1+-x50°=80°,

解得.

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，

故答案為：J.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)直角三角形和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如

圖，已知兩直線b,且是直角三角形，ZBCA=90°,操作發(fā)現(xiàn)：

（1）如圖1.若/1=48。，求N2的度數(shù)；

（2）如圖2,若44=30。,/1的度數(shù)不確定，同學(xué)們把直線”向上平移，并把N2的位置改

變，發(fā)現(xiàn)N2-4=120。，請說明理由.

（3）如圖3,若NA=30。，AC平分乙BAM,此時(shí)發(fā)現(xiàn)N1與N2又存在新的數(shù)量關(guān)系，請

寫出/I與N2的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

解析：（1）42。；（2）見解析；（3）N1=N2,理由見解析

【分析】

（1）由平角定義求出N3=42。，再由平行線的性質(zhì)即可得出答案；

（2）過點(diǎn)8作BDWa.由平行線的性質(zhì)得N2+Z>4BD=180o,Z1=ZDBC,則NABD=NABC-

ZDBC=60°-Z1,進(jìn)而得出結(jié)論；

（3）過點(diǎn)C作CPU。，由角平分線定義得N