大學(xué)高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)整頓

公式，使用方法合集

極限與持續(xù)

一.數(shù)列函數(shù)：

1.類型：

⑴數(shù)列：*an=f(n)；*a〃+i=/(??)

(2)初等函數(shù)：

(3)分段函數(shù)：*E(x)=/；*~》)=/(乃「，*；*

f2(x)x>x0[ax=x0

(4)復(fù)合(含f)函數(shù)：y=f(u),u=e(x)

(5)隱式(方程)：F(x,y)=O

[x=x(t)

(6)參式(數(shù)一，二)：1

。=丁。)

(7)變限積分函數(shù):F(x)=\Xf(x,t)dt

Ja

oo

(8)級(jí)數(shù)和函數(shù)(數(shù)一，三)：5(尤)=^?！睙o(wú)"，》eQ

n=0

2.特性(幾何)：

⑴單調(diào)性與有界性(鑒別);(/(%)單調(diào)n(x-/)(/(》)一/(%))定號(hào))

(2)奇偶性與周期性(應(yīng)用).

3.反函數(shù)與直接函數(shù)：y=/(x)ox=f-\y)ny=f-\x)

二.極限性質(zhì)：

1.類型：*lima“；*lim/(x)(含x-±ao);*lim/(x)(含x->/士)

n—>oox—>ooX^>XQ

2.無(wú)窮小與無(wú)窮大(注:無(wú)窮量):

3.未定型：,l00,00-00,0-OO,0°,00°

000

4.性質(zhì)：*有界性，*保號(hào)性，*歸并性

三.常用結(jié)論:

n

a

-1,a〃(a>0)f1,(o〃+b"+c")〃-max(a,瓦c),--(a>0)—0

n

,(九—0)-oo,limxx=1,x

lim—=0,

%f+oo/

x%f0+x—>4-00x

0xf-oo

limxlnnx=0,ex-^<

xf0++oo%—+00

四.必備公式:

1.等價(jià)無(wú)窮小：當(dāng)”（%）f0時(shí),

12

sin”(%)”(%);tanw(x)w(x);1-cosw(x)—u(%);

euM-1M(X)；ln(l+u(x))u(x);(1+u(x))a-1au(x)；

arcsin"(％)u(x)；arctan"(％)u(x)

2.泰勒公式:

(l)e*—1+x++。(九2)；

(2)ln(l+%)—x——+o(x^);

2

(3)sinx=+o(%4);

(4)COSX—1—~^\犬2+%4+)；

a22

(5)(1+x)=\+ax+x+o(x).

五.常規(guī)措施:

前提:⑴精確判斷。二，:T,aM（其他如:8—8,0?8,0°,8°）;（2）變量代換（如:L=/）

0oox

1.抓大棄?。ㄒ唬?

00

2.無(wú)窮小與有界量乘積)(注：sin—<l,x^oo)

x

3.r°處理(其他如：()。，00。)

4.左右極限(包括X'±8)：

11

(1)—(x90);(2)/(xfco)；e'(x^O)；(3)分段函數(shù)：國(guó)，[x],max/(x)

x

5.無(wú)窮小等價(jià)替代(因式中的無(wú)窮小)(注:非零因子)

6.洛必達(dá)法則

f)vlnxvlnx

⑴先“處理”，后法則(—最終措施);(注意對(duì)比：lim——與lim——)

0%川1一%%一。1一%

1111__￡

(2)為指型處理:“(X嚴(yán)=evMbluM(如：e商一靛=/(MG-1))

(3)含變限積分；

(4)不能用與不便用

7.泰勒公式(皮亞諾余項(xiàng))：處理和式中的無(wú)窮小

8.極限函數(shù)：/(x)=lim/(％,")(二分段函數(shù))

n—><x)

六.非常手段

1.收斂準(zhǔn)則：

⑴4=/(")=lim/(龍)

X—>4-00

(2)雙邊夾：*bn<an<c"？，*b”,c“fa?

(3)單邊擠:an+i=f(an).認(rèn)?*|小M?*/(%)>0?

2.導(dǎo)數(shù)定義(洛必達(dá)?)：lim二￡=/，(/)

3.積分和：lim匕/?(3+/(2)++/(-)]=

rinnnJ0

4.中值定理：lim[/(x+a)-/(%)]=alim

5.級(jí)數(shù)和(數(shù)一三):

oo2〃〃！0°

(1)￡為收斂olim。"=0,(如lim--2)(2)limCtZj+a2++。”)=￡?！?，

n—><x)n—>(x)力“n-^oo

n=\n=l

00

⑶｛叫與X(a“—4i)同斂散

n=l

七.常見應(yīng)用：

1.無(wú)窮小比較(等價(jià)，階)：*/(%)日",(xf0)?

nnn

⑴/(0)=尸(0)==/f(0)=0"20)=aof(x)=~x+c((x)-x

n\n\

(2)￡￡ktndt

2.漸近線(含斜)：

⑴a=lim,b=lim"(x)一知=f(x)ax+b+a

x—>CO九X—>oo>

(2)/(%)=ax+b+a,(—^>0)

x

3.持續(xù)性：(D間斷點(diǎn)鑒別(個(gè)數(shù))；(2)分段函數(shù)持續(xù)性(附:極限函數(shù)，尸(x)持續(xù)性)

八.[a,加上持續(xù)函數(shù)性質(zhì)

1.連通性:=(注:VO<X<1,“平均”值:2f(?)+(1—R/⑹=/(x0))

2.介值定理:(附:達(dá)布定理)

⑴零點(diǎn)存在定理：f(a)f(b)<0=>/(X。)=。(根日勺個(gè)數(shù))；

⑵/(x)=0n(「/(x)即=0.

Ja

第二講:導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用(一元)(含中值定理)

一.基本概念：

1.差商與導(dǎo)數(shù)：.(x)=lim/阻小)二/(X)；/(%)二./(")_/?)

?%f。6%X-Xo

(1)r(0)=lim/U)-/(0)(注：lim小=4(/持續(xù))nf(0)=0,/'(0)=A)

x—>0%x—>0%

(2)左右導(dǎo)：Z(XO),￡(%);

（3）可導(dǎo)與持續(xù)；（在％=。處，忖持續(xù)不可導(dǎo)；HM可導(dǎo)）

2.微分與導(dǎo)數(shù)：?/=f（x+i%）-/（%）=/'（%）?%+o（^x）=>df=f'（x）dx

（1）可微O可導(dǎo)；（2）比較V，歹與"0"的大小比較（圖示）；

二.求導(dǎo)準(zhǔn)備：

1.基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式；（注：（|/（刈）'）

dx1

2.法則：（1）四則運(yùn)算；（2）復(fù)合法則；（3）反函數(shù)一=一

dyy,

三.各類求導(dǎo)（措施環(huán)節(jié)）：

1.定義導(dǎo)：⑴尸⑷與尸（刈『；（2）分段函數(shù)左右導(dǎo)；（3）煦"x+：）/（x一0

（注：/（%）=\。，求：尸（后）,尸（X）及f\x）的持續(xù)性）

ax=x0

2.初等導(dǎo)（公式加法則）：

（l）W=求:M'（%）（圖形題）;

fxrx（*bfb

（2）F（X）=/⑺力，求:尸（x）（注：（［fMdty,（ffMdty,（［于⑦出）'）

JaJaJaJa

（3）y=、，、°，求f（Xo），￡（x°）及/（為）（待定系數(shù)）

力（x）x>x0

3.隱式"（蒼?。?0）導(dǎo):半,卓

axdx~

（1）存在定理；

（2）微分法（一階微分的形式不變性）.

（3）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.

x=x(t)dyd-y

4.參式導(dǎo)（數(shù)一，二）：<,求:--,---Y

y=y⑺dxax

5.高階導(dǎo)/⑸(幻公式:

1〃〃股I

(*)(〃)=/*；(------)(〃)=-------;

a-bx(a-bx)n

兀兀

(n)n

(sinox)5)_ansin(ox+—xn);(cosax)=acos(ox+—xn)

o)5)=〃⑺v+c；/〃、+cyn-2\n+

n

注：/(“)(0)與泰勒展式：f(x)=a0+aix+a2x2++anx+-------

一n\

四.各類應(yīng)用：

1.斜率與切線(法線)；(區(qū)別：y=/(x)上點(diǎn)心和過(guò)點(diǎn)叫的切線)

2.物理:(相對(duì))變化率-速度；

3.曲率(數(shù)一二)：p=(々L(曲率半徑,曲率中心，曲率圓)

M+尸2(X?

4.邊際與彈性(數(shù)三)：(附：需求,收益,成本,利潤(rùn))

五.單調(diào)性與極值(必求導(dǎo))

L鑒別(駐點(diǎn)f'(xo)=O):

(1)f'(x)>O=>f(x)?；f'(x)<O=>f(x).；

(2)分段函數(shù)的單調(diào)性

(3)/(x)>0n零點(diǎn)唯一；/"(x)>0=>駐點(diǎn)唯一(必為極值，最值).

2.極值點(diǎn)：

⑴表格(f\x)變號(hào));(由lim主O,lim手0,limw0nx=0的特點(diǎn))

%.為Xxf與\x\/X

⑵二階導(dǎo)(/(%)=0)

注(1)/與廣，/'的匹配(/圖形中包括的信息);

(2)實(shí)例：由/(%)+/1(%)/(%)=8(%)確定點(diǎn)“％=%0，,%)特點(diǎn).

(3)閉域上最值(應(yīng)用例：與定積分幾何應(yīng)用相結(jié)合,求最優(yōu))

3.不等式證明(7(x)20)

⑴區(qū)別：*單變量與雙變量？*xe[a刈與xe[a,4<o),%G(-ao,+oo)?

(2)類型：*/,^0,/(tz)>0;*/,<0,/(Z?)>0

*f”0,f(a),f(b)>0；*/"(%)>0,/'(%0)=O,/(xo)>0

(3)注意:單調(diào)性十端點(diǎn)值十極值十凹凸性.(如：1ax(x)=M)

4.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù):單調(diào)十介值

六.凹凸與拐點(diǎn)(必求導(dǎo)!)：

1.表格;(尸'(無(wú)。)=0)

2.應(yīng)用：(1)泰勒估計(jì)；(2)尸單調(diào)；(3)凹凸.

七.羅爾定理與輔助函數(shù)：(注:最值點(diǎn)必為駐點(diǎn))

1.結(jié)論：/S)=F(a)=>尸(J=f8=0

2.輔助函數(shù)構(gòu)造實(shí)例：

⑴⑺必

Ja

⑵/C)gC)+f?g4)=0nF(x)=f(x)g(x)

(3)尸C)gC)—f(0g患)=0nF(x)=44

g(x)

⑷/C)+2(^W)=0=>F(x)=;

3.f(n)?=0o/(x)有〃+1個(gè)零點(diǎn)=fZ(x)有2個(gè)零點(diǎn)

4.特例:證明r*C)=a的常規(guī)措施:令％x)=/(x)-片(x)有〃+1個(gè)零點(diǎn)(匕⑴待定)

5.注:含《，女時(shí),分家!(柯西定理)

6.附(達(dá)布定理)：/(x)在［a,切可導(dǎo),Vce"'(a),/S)］,*e［a,牡使:尸(J)=c

八.拉格朗日中值定理

1.結(jié)論：f(b)-fuoseicg=f\^(b-a)-(。⑷<。3)=監(jiān)>。痣)>0)

2.估計(jì)：一/=/(？二

九.泰勒公式(連接九/，尸'之間的橋梁)

3

1.結(jié)論："X)=/(Xo)+/(x°)(x—%)+g/'(%)(%—%)2+(〃'C)(x-XO);

2.應(yīng)用：在已知/(a)或73)值時(shí)進(jìn)行積分估計(jì)

十.積分中值定理(附:廣義)：［注:有定積分(不含變限)條件時(shí)使用］

第三講:一元積分學(xué)

一.基本概念：

1.原函數(shù)方(%):

(1)F\x)=/(x);(2)f{x}dx=dF(x);(3)Jf(x)dx=F(x)+c

注⑴尸(%)=「/⑺力(持續(xù)不一定可導(dǎo));

Ja

⑵「(x—)/⑺力=>1/?)力=>/(X)(/(X)持續(xù))

JaJa

2.不定積分性質(zhì)：

⑴(Jf(x)dx)'=f(x)；d(Jf(x)dx)=f(x)dx

⑵J/'(x)公=/(x)+c；J/(%)=/(%)+c

二.不定積分常規(guī)措施

1.熟悉基本積分公式

2.基本措施:拆(線性性)

J(《/(x)+k2g(x))dx=尢1f(.x)dx+左2jg(.^)dx

3.湊微法(基礎(chǔ))：規(guī)定巧，簡(jiǎn)，活(1=sin2%+cos?x)

tm：dx=-d(ax+b),xdx=-dx2,-=<7Inx,=2d\[x

a2xy/x

.X.dx=dy/l+x2,(1+lnx)dx=d(xInx)

A/1+X2

4.變量代換：

(1)常用(三角代換，根式代換，倒代換)：x=sinZ,Jax+b=t,—=t,Je*+1=t

x

(2)作用與引伸(化簡(jiǎn))：yjr±l-X=t

5.分部積分(巧用)：

(1)含需求導(dǎo)區(qū)(被積函數(shù)(如Inx,arctanx,「);

⑵“反對(duì)幕三指"：Jx"emdx,Jx"Inxdx,

⑶尤其：jMXx)公(*已知/(x)時(shí)原函數(shù)為尸(x);*已知尸(x)=F(x))

6.特例:(1)f4,inx+'c°sx長(zhǎng)；⑵r.(九)*辦：，fp(x)sinaua迅速法;(3)[：(')dx

Jasinx+bcosxJJJ/(x)

三.定積分：

1.概念性質(zhì)：

(1)積分和式(可積的必要條件:有界,充足條件:持續(xù))

(2)幾何意義(面積，對(duì)稱性,周期性，積分中值)

*￡[ax-x1dx(a>0)=;*j(%-去=0

(3)附：J于(x)dxWM(b—a),jf(x)g(x)cbc<Mj|g(x)依)

(4)定積分與變限積分,反常積分的區(qū)別聯(lián)絡(luò)與側(cè)重

2:變限積分①(x)=「/⑺流的處理(重點(diǎn))

Ja

(1)/可積=①持續(xù)，/持續(xù)一①可導(dǎo)

(2)(「,=/(%);(1(xf'；「f(x)dt=(x-a)f(x)

JaJaJaJa

(3)由函數(shù)R(x)=「/⑺水參與的求導(dǎo),極限,極值,積分(方程澗題

Ja

pb

3.N—L公式：f/(x)公=E(6)—歹(。)(/(x)在[a,句上必須持續(xù)!)

Ja

注:(1)分段積分,對(duì)稱性(奇偶),周期性

(2)有理式,三角式,根式

(3)含/⑺力的方程.

Ja

4.變量代換：ff{x}dx=f/(M(r))M'(r)力

JaJa

「ara

(1)J。f(x)dx=J。f(a-x)dx(x=a-t),

a「aa￡1

⑵jrf(x)dx=「f(—x)dx(x=-0=C￡"(x)+f(-x)]dx(如:~：—dx)

4J.I

p—兀n—1I

(3)/?=psin"x^=——In_2,

n

717171

(4)/(sinx)dx=/(cosx)dx;￡/(sinx)dx=2r/(sinx)dx,

(5)￡獷(sinx)dx=￡/(sinx)dx,

5.分部積分

(1)準(zhǔn)備時(shí)“湊常數(shù)”

⑵已知尸(x)或/(X)=「時(shí),求「/(X)必；

JaJa

6.附:三角函數(shù)系的正交性：

.’2兀,27r.

sinnxdx=cosnxdx=sinnxcosmxdx=0

JoJoJo

J。sinnxsinmxdx=cosnxcosmxdx{nm)=0

.22

sinnxdx=cosnxdx=

JoJoTI

四.反常積分：

1.類型：(l)fp+oof(x)dx,pfaf(x)dx,pf+8/(x)力:(/(x)持續(xù))

JaJ—ooJ—oo

rb

(2)f(x)dx:(/(%)在x=a,x=b,%=C(Qvcvb)處為無(wú)窮間斷)

Ja

2.斂散；

3.計(jì)算：積分法十N-L公式十極限(可換元與分部)

,r+°°1ri1

4.特例：(1)|—dx;(2)I—dx

J1JQPJ0JQP

五.應(yīng)用：(柱體側(cè)面積除外)

1.面積，

(1)s=-g(x)]dx;⑵S=『f~\y)dy；

⑶S=gf產(chǎn)(e)de.(4)側(cè)面積:S=f2兀f(x)1l+f'2(x)dx

2.體積：

⑴匕=7rf"2(x)-g2(x)]dx；⑵匕="『"-1(,)[2辦=2對(duì)：獷原)力；

(3)匕』與匕事

3.弧長(zhǎng)：ds={(dx)。+@y

(1)y=/(%),x^[a,b]s=J：Jl+/'2(x)dx

⑵「，?，feZ/]s=「Jx'2?)+y'2⑺力

(3)r=r(6?),0e[a,j3]-.s=J：飛戶(0)+r0(仍d。

4.物理（數(shù)一，二）功，引力，水壓力,質(zhì)心,

5.平均值（中值定理）:

—1

(l)f[a,b]=----f(x)cbc;

b-aJa

―[于⑴dt_f于(t)dt

(2)/[0+8)=lim%------,(/認(rèn)為T周期:------)

Xf+ooxT

第四講:微分方程

-.基本概念

1.常識(shí):通解,初值問(wèn)題與特解(注:應(yīng)用題中的隱含條件)

2.變換方程：

(1)令x=尤?)=>y'="〃y"(如歐拉方程)

⑵令u=u(x,y)=>y=y(x,M)=y'(如伯努利方程)

3.建立方程(應(yīng)用題)的能力

二.一階方程：

1.形式：(l)y'=/(x,y);(2)M(x,y)dx+N(x,y)dy=0;(3)y(a)=b

2.變量分離型：y'=/(x)g(y)

⑴解法：J含=Jf(x)dxnG(y)=F(x)+C

(2)“偏”微分方程:*=/(x,y);

ox

3.一階線性(重點(diǎn))：y'+p(x)y=q(x)

fp(x)dx1

⑴解法(積分因子法)：M(x)=e與ny=------[[M(x)q(x)dx+y0]

M(x)Jx?

(2)變化:x'+p(y)x=q(y);

(3)推廣:伯努利(數(shù)一)y'+p(x)y=q(x)y"

4.齊次方程:歹=①(上)

X

(i)解法：M=—=>〃+%〃=c)(〃)，----------=——

X」①(〃)-M，X

⑵特例：@-+、+q

dxa2x+b2y+c2

dNdM

5.全微分方程(數(shù)一)：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0且——=----

'dxdy

dU=Mdx+NdynU=C

0y—cax

6.一階差分方程(數(shù)三)：yx+1-ayx=\,

nx

[bP(x)yx=xQ(x)b

三.二階降階方程

1-y"=/(x)：y=F(x)+c1x+c2

2.y"=/(%y'):令V=p(x)ny"=0=/(%，P)

dx

3-y"=f(y,y')：令==p(y)?y"=p半=F(y,p)

ay

四.高階線性方程：a(x)y"+b(x)y'+c(x)y=f(x)

1.通解構(gòu)造：

⑴齊次解：y0(x)=clyl(x)+c2y2(x')

(2)非齊次特解：y(x)=q%(x)+c2y2(x)+y*(x)

2.常系數(shù)方程：ay"+by'+cy=f(x)

(1)特性方程與特性根：?22+ZU+C=0

⑵非齊次特解形式確定:待定系數(shù)；(附：f(x)=ke^的算子法)

(3)由己知解反求方程.

3.歐拉方程(數(shù)一)：ax1y"+bxy'+cy=/(%)，令x=e'=>x2y"-D(D-l)y,xy'-Dy

五.應(yīng)用（注意初始條件）:

1.幾何應(yīng)用（斜率,弧長(zhǎng)，曲率,面積,體積）；

注:切線和法線的截距

2.積分等式變方程（含變限積分）；

可設(shè)f=F（x）,F（tz）=0

Ja

3.導(dǎo)數(shù)定義立方程：

含雙變量條件/（x+y）=冏方程

4.變化率（速度）

〃dvd2x

5.r=1TICI--------

dtdt

6.途徑無(wú)關(guān)得方程（數(shù)一）：^=—

oxoy

7.級(jí)數(shù)與方程：

（1）幕級(jí)數(shù)求和；（2）方程的幕級(jí)數(shù)解法:y=/+。1》+4爐+.=>（0）,%=，（0）

8.彈性問(wèn)題（數(shù)三）

第五講：多元微分與二重積分

一.二元微分學(xué)概念

1.極限,持續(xù),單變量持續(xù),偏導(dǎo),全微分,偏導(dǎo)持續(xù)（必要條件與充足條件），

⑴Af=/（Xo+/，為+J），AJ=/（%+/，%），△"=/（不，%+0）

（2）hmAf,<=hm—,/=lim「

AxAy

（3）/.X+￡Q“df,lim/A一（鑒別可微性）

J（-X）2+（Q）2

注：（0,0）點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的極限定義:

.(O,O)=lim〃x，O)r(O,O),.(0,0)=1"(°。)7(。，。)

x—>0JQYyf0y

2.特例：

*(0,0)

(l)/(x,y)=/:(0,0)點(diǎn)處可導(dǎo)不持續(xù)；

、0,=(0,0)

I孫w(0,0)

⑵/(x,y)=Jv+j:(0,0)點(diǎn)處持續(xù)可導(dǎo)不可微；

、0,=(0,0)

二.偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算：

1.顯函數(shù)一，二階偏導(dǎo)：z=/(x,y)

注⑴爐型；(2)zl-(3)含變限積分

2.復(fù)合函數(shù)的)一"，二階偏導(dǎo)(重點(diǎn))：z=f[u(x,y),v(x,y)]

純熟掌握記號(hào)-，￡,力；，fn,力；的精確使用

3.隱函數(shù)(由方程或方程組確定)：

?F(x,y,z)=0

(1)形式：*b(x,y,z)=0;*17(存在定理)

G(x,y,z)=0

(2)微分法(純熟掌握一階微分的形式不變性)：Fxdx+Fydy+Fzdz=0(規(guī)定:二階導(dǎo))

(3)注：(%,%)與2()時(shí)及時(shí)代入

(4)會(huì)變換方程.

三.二元極值(定義?)；

1.二元極值(顯式或隱式):

(1)必要條件(駐點(diǎn));

(2)充足條件(鑒別)

2.條件極值(拉格朗日乘數(shù)法)(注:應(yīng)用)

(1)目的函數(shù)與約束條件：z=/(x,y)i99(x,y)=0,(或:多條件)

(2)求解環(huán)節(jié):L(x,y,2)=f(x,y)+〃?(x,y),求駐點(diǎn)即可.

3.有界閉域上最值(重點(diǎn)).

(1)z=于(x,y)十MeD={(x,y)\(p(x,y)<0}

(2)實(shí)例:距離問(wèn)題

四.二重積分計(jì)算：

1.概念與性質(zhì)(“積”前工作)：

(l)Jjdcr,

D

(2)對(duì)稱性(純熟掌握)：*。域軸對(duì)稱；*/奇偶對(duì)稱；*字母輪換對(duì)稱；*重心坐標(biāo)；

(3)“分塊”積分：*D=D]D2-*/(x,y)分片定義；*/(x,y)奇偶

2.計(jì)算(化二次積分)：

(1)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)選擇(轉(zhuǎn)換)：以“?！睘橹?；

(2)互換積分次序(純熟掌握).

3.極坐標(biāo)使用(轉(zhuǎn)換):f(x2+y2)

22

附：D：(九一a)2+(y—4VW；￡>:^+^-<1;

ab

雙紐線(x2+y2)2=?2(%2-r)D:|x|+|y|<l

4.特例：

⑴單變量：/(x)或/(y)

(2)運(yùn)用重心求積分:規(guī)定:題型。(勺龍+左2丁)力力，且己知。的I面積5。與重心(x,y)

5.無(wú)界域上的反常二重積分(數(shù)三)

五:一類積分時(shí)應(yīng)用（J7（MMbnO:D;Q;￡；r；S）：

Q

1.“尺寸”：（l）jJdboSo；（2）曲面面積（除柱體側(cè)面）；

D

2.質(zhì)量,重心（形心）,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

3.為三重積分,格林公式，曲面投影作準(zhǔn)備.

第六講:無(wú)窮級(jí)數(shù)（數(shù)一，三）

級(jí)數(shù)概念

8n

1.定義：（l）｛a〃｝,（2）S“=%+a,++an-（3）limS“（如工；一■—）

注:⑴lima,；⑵Z/（或工二）；⑶“伸縮”級(jí)數(shù)：X（a,+i-%）收斂o｛叫收斂

2.性質(zhì)：（1）收斂的（必要條件：lima”=0；

8

（2）加括號(hào)后發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散（交錯(cuò)級(jí)數(shù)的討論）；

（3）$2“-s,4―0=>$2“+ifs=>s〃-s;

二.正項(xiàng)級(jí)數(shù)

1.正項(xiàng)級(jí)數(shù):⑴定義：a.20;（2）特性:S"正；（3）收斂oS,<M（有界）

2.原則級(jí)數(shù)：⑴工工，（2）Z^，（3）Z~r丁

3.審斂措施:（注:2ab<a2+b2,iM）

⑴比較法（原理）”與（估計(jì)），如內(nèi)（x）dx;2黑

nlQ（n）

（2）比值與根值：*lim—*lim弧（應(yīng)用：塞級(jí)數(shù)收斂半徑計(jì)算）

n—>oo〃coY

三.交錯(cuò)級(jí)數(shù)（含一般項(xiàng)）：Z（T嚴(yán)%（4〉°）

L“審”前考察：⑴例>0?⑵4-0?;（3）絕對(duì)（條件）收斂?

注:若lim幺旦=夕〉1，則Yu發(fā)散

〃->84Jn

2.原則級(jí)數(shù)：⑴1嚴(yán)L⑵Z（—1）用《；（3）Z（T）用占

nnplnpn

3.萊布尼茲審斂法（收斂?）

⑴前提：WhJ發(fā)散；⑵條件：/、，/-°；⑶結(jié)論：Z（T嚴(yán)％條件收斂?

4.補(bǔ)充措施：

（1）加括號(hào)后發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散；（2）52”-s,q―0=>s2n+1Tsns,「s.

5.注意事項(xiàng)：對(duì)比?〃；Z（T）%；Z⑷；之間的斂散關(guān)系

四.累級(jí)數(shù)：

1.常見形式：

⑴⑵⑶2%（%一為產(chǎn)

2.阿貝爾定理：

⑴結(jié)論:芯=%*斂=7?2,*—旬;兀=。'散一引

⑵注：當(dāng)工=%*條件收斂時(shí)=>尺=卜—尤］

3.收斂半徑，區(qū)間，收斂域（求和前的準(zhǔn)備）

注（l）Z"z“x",z+v與z%%"同收斂半徑

（2）Z。/"與、>“（％—天產(chǎn)之間的轉(zhuǎn)換

4.幕級(jí)數(shù)展開法：

⑴前提:熟記公式（雙向，標(biāo)明斂域）

1,1,

ex=l+x+—x+—%+,Q=R

2!3!

~（ex+e-v）=l+—x2+—x4+,Q=R

22!4!

-（eA-e-x）=%+—%3+—%5+,C1=R

23!5!

sinX—X---爐-|—九5—,。=Rcosx—1----H—+,。=7?;

3!5!2!4!

11

----=1+X+X9+,XG(-1,1)j-----=1—X+X9-,XG(—1,1)

1-X1+X

191.

ln(l+x)—x——x+—%—,xG(—1,1]

1213

ln(l-x)-—x—-x—-x—,xG[-1,1)

1315

arctan%——x+—x-,^G[-1,1]

35

(2)分解：f(x)=g(x)+//(x)(注:中心移動(dòng))(尤其：一-----,x=%0)

ax+bx+c

(3)考察導(dǎo)函數(shù)：g(x)「r(x)n/(x)=1g(x)公+/(0)

J0

(4)考察原函數(shù)：g(x)2]/(x)dx=>/(%)=g\x)

J0

5.幕級(jí)數(shù)求和法(注:*先求收斂域，*變量替代)：

⑴S(x)=Z+E

(2)S'(x)=，(注意首項(xiàng)變化)

⑶S(x)=([)',

⑷S(x)n”S(x)”日勺微分方程

(5)應(yīng)用:￡a“nZ。/'=S(x)n￡4=^(1).

6.方程時(shí)累級(jí)數(shù)解法

7.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用(數(shù)三)：

(1)復(fù)利：A(l+p)";(2)現(xiàn)值：A(l+p)-n

五.傅里葉級(jí)數(shù)(數(shù)一)：(T=2萬(wàn))

a9

1.傅氏級(jí)數(shù)(三角級(jí)數(shù))：S(x)=UZ4cosnx+sinnx

2n=l

2.Dirichlet充足條件（收斂定理）:

（1）由/（%）nS（x）（和函數(shù)）

(2)S(%)=；"(A)+/(%+)]

cin--\/(x)cosnxdx

*7T71-7V

3.系數(shù)公式：ciQ--f(x)dx,<2,3,

71一冗11,

b=—、/(x)sinnxdx

n刀■J—%

4.題型:(注:f(x)=S(x),xe?)

（1）T=2萬(wàn)且f（x）=,XG（一兀,萬(wàn)］（分段表達(dá)）

⑵XG(一兀,萬(wàn)]或無(wú)￡[0,2?]

⑶XG［0,7T］正弦或余弦

*(4)%e[0,TT](T=兀)

*5.T=2l

Q8

6.附產(chǎn)品：/(x)=>S(x)=--\-^ancosnx+bnsinnx

2n=l

Q8]

nS(x°)=七+Z4cosnx0+b?sinnx0=-[/(x0-)+/(%0+)]

2n=\2

第七講：向量，偏導(dǎo)應(yīng)用與方向?qū)В〝?shù)一）

一.向量基本運(yùn)算

1.k^a+k^b;（平行=/la）

2.LI；（單位向量（方向余弦）a0a-（cosa.cos（3.cos/））

H

n.hn.A

3.a-b;（投影:（。）=］丁；垂直:a_Lboa-b=0;夾角:v（a,5）=1門）

a\a\\b\

4.ax6；(法向:“=axb_La,/j；面積:S=|?xZ?|)

二.平面與直線

1.平面口

⑴特性(基本量):M0(x0,y0,z0)??=(AB,C)

(2)方程(點(diǎn)法式)：71:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-zo)=O=>Ax+By+Cz+D=O

(3)其他：*截距式二+2+三=1;*三點(diǎn)式

abc

2.直線￡

⑴特性(基本量)：M0(x0,y0,z0)?5=(m,n,p)

（2）方程（點(diǎn)向式）：L:￡z^）=2zA=￡z￡o

mn

+4y+Gz+D]—0

（3）一般方程（交面式）：＜

A2X+B2y+C?z+E)2=0

x-ax+(%-a。%

（4）其他：*二點(diǎn)式；*參數(shù)式;（附:線段AB的參數(shù)表達(dá):《丁=4+(4-4?,/￡[。,1])

z=q+(%—q)%

3.實(shí)用措施:

(1)平面束方程：7i:>l1x+B1y+C1z+D1+^{A2x+B2y+C2z+D2)=0

A

⑵距離公式：如點(diǎn)M0（x0,y0）到平面的距離d=1\+'%+"。+必

A/A2+B2+C2

（3）對(duì)稱問(wèn)題;

⑷投影問(wèn)題.

三.曲面與空間曲線（準(zhǔn)備）

1.曲面

⑴形式S：F(x,y,z)=0或z=f(x,y)；(注:柱面f(x,()=0)

⑵法向”=(%g,￡)n(cosa,cos(3,cos7)(或"=(-zx,-zyl))

2.曲線

x=X。)

F(x,y,z)=0

⑴形式y(tǒng)=y(0,或

G(x,y,z)=0'

z=z(7)

(2)切向：s={x\t),y\t),z\t)}(或s=4x%)

3.應(yīng)用

(1)交線,投影柱面與投影曲線;

(2)旋轉(zhuǎn)面計(jì)算：參式曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn);

(3)錐面計(jì)算.

四.常用二次曲面

1.圓柱面：x2+y2-R2

2.球面：x'+y"+z2=R2

變形：x2+y2=7?2-z2,

222

x+y+z-2az,(x-xoy+(y-y())~+(z-z())2=R-

3.錐面:z=Jx2+y2

變形：/+J=z2,z=a-+/

4.拋物面：z=x?+/,

變形：+y2=z,z-a-(x2+y2)

5.雙曲面：x2+y2=z2±l

6.馬鞍面：2或z=w

五.偏導(dǎo)幾何應(yīng)用

1.曲面

(l)tefcF(x,y,z)=0=>n=(Fx,Fy,Fz),注：z=f(x,y)^>n=(fx,fy-I)

(2)切平面與法線：

2.曲線

(1)切向：x=x(0,y=y(t\z=z(t)=>s=(xyz')

(2)切線與法平面

八伊=0

3.綜合：r:<,s=n,xn,

G=0"'

六.方向?qū)c梯度(重點(diǎn))

1.方向?qū)?/方向斜率)：

⑴定義(條件)：/=(m,n,p)n(cosa,cos",cosy)

a”

(2)計(jì)算(充足條件:可微)：一=%cos。+ucos/3+ucosy

olz

附：z=/(x,y),/°={cos6,sin8}=>一=fxcosO+fsmO

dl

22

(3)附:票=幾cose+2匕sin0cos6+4ysin6

2.梯度(獲得最大斜率值日勺方向)G-.

⑴計(jì)算:

(a)z=于(x,y)nG=gradz=(fx,fy);

(Z?)〃=/(x,y,z)nG=gradu-(ux,uy,uz)

(2)結(jié)論

(a)—=G-/°；

81

S)取I=G為最大變化率方向；

(C)|G(M0)|為最大方向?qū)?shù)值.

第八講:三重積分與線面積分(數(shù)一)

一.三重積分(JJJ加V)

Q

1.。域的特性(不波及復(fù)雜空間域)：

(1)對(duì)稱性(重點(diǎn))：含:有關(guān)坐標(biāo)面；有關(guān)變量；有關(guān)重心

222

⑵投影法：Dv={(%,y)|x+y<7?)?(x,y)<z<z2(x,y)

(3)截面法：Z>(z)={(尤,y)k2+y2<々(z)}十a(chǎn)<zWb

(4)其他：長(zhǎng)方體，四面體，橢球

2.f的特性：

(1)單變量/(Z),⑵/(一+娟，⑶/(V+y+zZ),f=ax+by+cz+d

3.選擇最適合措施：

⑴“積”前：*jjjdv;*運(yùn)用對(duì)稱性(重點(diǎn))

Q

⑵截面法(旋轉(zhuǎn)體)：/=/dzJJ加小(細(xì)腰或中空，/(z),f(x2+y2))

°D(z)

(3)投影法(直柱體)：/=JJdxdyj：：；fdz

Dxy1

(4)球坐標(biāo)(球或錐體)：I=Jde］。sin0d。］()/(…)夕2］夕，

(5)重心法(/二四+by+cz+d):/=(ax+Z?y+cz+d)%

4.應(yīng)用問(wèn)題：

(1)同第一類積分：質(zhì)量,質(zhì)心,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,引力

(2)Gauss公式

二.第一類線積分(［於)

L

1.“積”前準(zhǔn)備:

⑴，ds=L;⑵對(duì)稱性；⑶代入“L”體現(xiàn)式

L

2.計(jì)算公式：<“fds=『/(%(，),>⑺)Jx'2⑺+y設(shè)⑺力

3.補(bǔ)充闡明：

⑴重心法：^{ax+by+c)ds={ax+by+c)L\

L

(2)與第二類互換：^A-rds=^Adr

LL

4.應(yīng)用范圍

(1)第一類積分

⑵柱體側(cè)面積jz(龍,y^ds

L

三.第一類面積分(“射)

1.“積”前工作(重點(diǎn))：

(l)jJdS=Z;(代入Z:尸(％,y,z)=O)

(2)對(duì)稱性(如:字母輪換,重心)

(3)分片

2.計(jì)算公式:

⑴z=z(x,y),(x,y)eD孫n[=JJ/(x,y,z(x,y)){l+z；+z^dxdy

Dxy

(2)與第二類互換：j]A-"dS=UAMS

四：第二類曲線積分(1):]＞(%?)公+。(蒼川力(其中L有向)

L

X=x(t)”2

1.直接計(jì)算：11:%-＞，，=/='[Px\t)+Qy\t)]dt

y=y?)J'

常見(1)水平線與垂直線；(2)x2+y2=l

2.Green公式：

(1)fPdx+Qdy=ff{-^---)dxdy;

*J.oxoy

(2)J：*空=絲=換途徑；*竺。22n圍途徑

(3)j(。＜=[但。內(nèi)有奇點(diǎn))J=J(變形)

LLL*

3.推廣(途徑無(wú)關(guān)性):學(xué)=絲

oyoy

(1)加+。力=疝(微分方程)。J=4：(道路變形原理)

￡(AfB)

(2)J0(x,y)dx+Q(x,y)dy與途徑無(wú)關(guān)(f待定)：微分方程.

L

4.應(yīng)用

功(環(huán)流量):/(「有向7,E=(P,Q,R),dr=7ds=(dx,dy,dz))

r

五.第二類曲面積分：

1.定義：jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy,或JjR(x,y,z)dxdy(其中2含側(cè))

2.計(jì)算：

⑴定向投影(單項(xiàng))：jjR(x,y,z)dxdy，其中Z:z=z(x,y)(尤其:水平面)；

注:垂直側(cè)面,雙層分隔

(2)合一投影(多項(xiàng)，單層)：〃=(—z],—Zy,l)

nJJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj[P(-zJ+。(一z,)+R\dxdy

(3)化第一類(S不投影)：n=(cosa.cos(3,cos/)

=>jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJ(Pcosa+2