2024中考數學專項復習三角形中的經典模型【九

大題型】含答案

三角形中的經典模型【九大題型】

＞題型梳理

【題型1人字模型】.................................................................................1

【題型28字模型】................................................................................3

【題型3飛鏢模型】.................................................................................6

【題型4雙垂直模型】..............................................................................9

【題型5老鷹抓小雞模型】.........................................................................15

【題型6兩內角角平分線模型1.........................................................................................................19

【題型7兩外角角平分線模型】.....................................................................21

【題型8一內一外角角平分線模型】................................................................26

【題型9三角形折疊模型】.........................................................................29

?舉一反三

知識點1：A字模型

已知&ABC,延長AB至。,延長AC至E,則/I+/2=/A+180°

【題型1A字模型】

1.（23-24八年級?全國?專題練習）如圖，中，乙4=65°,直線DE交于點。，交AC于點E,則4BDE

+/CED=().

C.235°D.245°

2.（23-24八年級?全國?專題練習）如圖是某建筑工地上的人字架，若/I=120。，那么Z3-Z2的度數為

-1?

3.（23-24八年級?河北滄州?期中）琪琪在操作課上將三角形剪掉一個角后得到四邊形ABCD,則下列判斷錯誤

的是（）

D

A.變成四邊形后對角線增加了兩條B.變成四邊形后內角和增加了360°

C.外角和沒有發(fā)生變化D.若剪掉的角的度數是60°,則/1+/2=240°

4.（23-24.浙江杭州.二模）將一把直尺與一塊三角板在同一平面內按如圖所示的方式放置，若/I=130°,則

Z2的度數為____.

知識點2：8字模型

①已知相交于O,則乙4+=

②已知線段AP平分/R4D,線段CP平分ABCD，則/P=1+/。）

【題型28字模型】

5.（23-24八年級?浙江金華?期末）如圖，BP平分AABC,交CD于點F,_DP平分AADC交AB于點E,AB與

GD相交于點G,乙4=42°.

-2?

D

E

（1）若/ADC=60°,求4AEP的度數；

（2）若/C=38°,求/P的度數.

6.（23—24八年級.河南漠河.期末）如圖，AB和CD相交于點O,/A=/C,則下列結論中不能完全確定正確的

是（）

A.NB=/DB.Z1=ZA+ZDC.Z2>ZDD.

7.（23—24八年級.北京懷柔.期末）如圖，在由線段組成的平面圖形中，/。=28°,則/A+

/B+/C+/F的度數為（）.

A.262°B.152°C.208°D.236°

8.（23—24八年級?全國?專題練習）如圖，求乙4+/B+ZC+AD+AE+ZF+/G+六個角的和.

知火點3：飛像模型

①已知四邊形ABGD,則/。=乙4+/3+/。

-3-

A

②已知四邊形ABCD，線段8。平分/4BC,線段平分2ADC，則/O=￡（/A+/。）

【題型3飛集模型】

9.（23-24.河北秦皇島.一模）如圖，用鐵絲折成一個四邊形ABCD（點。在直線BD的上方），且=70°,

/BCD=120°,若使/AB。、乙40。平分線的夾角/E的度數為100°,可保持/A不變，將/BCD（填

“增大”或“減小”）°.

10.（23-24八年級?江蘇蘇州?階段練習）在社會實踐手工課上，小茗同學設計了如上圖這樣一個零件,如果ZA

=52°,ZB=25°,ZC=30°,ZD=35°,/E=72°,那么NF=°,

11.（23—24八年級.全國.專題練習）如圖，若115°,則ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=.

-4-

A

C

D

12.（23-24.河北邯鄲?一模）嘉嘉在作業(yè)本上畫了一個四邊形，并標出部分數據（如圖），淇淇說，這四個數據中有

一個是標錯的;嘉嘉經過認真思考后，進行如下修改:若/A,/B,保持不變，則將圖中（填

“增大”或“減小”）度,淇淇說，“改得不錯”.

知銅點4：雙垂直模型

已知=90°.則4BAC=ADCE,ZACB=ZCED.

【證明】???=/。=NACE=90°；AABAC+/ACS=90°：又AECD+ZACB-90°；AABAC=ADCE

同理，乙4CB+/DCE=90°,且/CED+/OCE=90°；.?.乙4cB=/CED,得證.

【題型4雙垂直模型】

13.（23-24八年級.廣東珠海.期末）如圖1,于點B,CDLBC于點。，點E在線段BC上，且

DE.

（1）求證：NEAB=NCED；

⑵如圖2,AF,DF分別平分/BAE和/CDE,則/F的度數是（直接寫出答案即可）；

（3）如圖3,EH平分的反向延長線交/BAE的平分線AF于點G.求證：EGLAF.（提示:三角形

內角和等于180°）

-5-

cC//D

14.（23—24八年級.陜西西安.期末）如圖，在等腰皮△ABC中，乙4cB=90°,。為BC的中點，DE，AB,垂足

為E,過點B作B?〃AC交DE的延長線于點F,連接CF.

⑴求證：ADLCF.

（2）連接AF,試判斷△ACF的形狀，并說明理由.

15.（23—24八年級?山西晉中?期中）請把下面的證明過程補充完整

如圖，在△48。中，乙4cB=90°,AB是角平分線，GD是高，AE、CD相交于點F,求證：CF=CE.

證明：；AE平分/CAB（已知），

NCAE=AFAB（）,

-.?乙4CE=90°（已知），

ANCAE+ZCEF=90°（）,

?/CD是△ABC的高（已知），

A/CDA=90°（三角形高的定義），

）,（直角三角形的兩個銳角互余）,

ANCEF=NAFD]）,

ACFE=NAFD（）,

ANCFE=4CEF（）,

CF=CE（）.

16,

16.（23—24八年級?江蘇揚州?階段練習）在Rt/\ABC中,NCAB=90°,AB=AC,點。是BC的中點，點P是射

線CB上的一個動點（點P不與點。、。、B重合），過點。作CE_LAP于點E,過點B作，AP于點F,連

接EO,OF.

（問題探究）

如圖1,當P點在線段CO上運動時，延長EO交BF于點G.

⑴求證：△AEG篤/\BFA；

（2汨G與AF的數量關系為:（直接寫結論，不需說明理由）；

（拓展延伸）

（3）①如圖2,當P點在線段OB上運動，E。的延長線與的延長線交于點G,/OFE的大小是否變化？若不

變，求出/OEE的度數;若變化，請說明理由；

②當P點在射線上運動時，若AE=2,。七=6,直接寫出△OEF的面積，不需證明.

知識點5：老鷹抓小德模型

如圖，乙4+/。=/I+Z2；口訣:腋下兩角之和等于上下兩角之和

17.（23-24八年級?江蘇揚州?階段練習）如圖，把△ABC沿EF對折,疊合后的圖形如圖所示.若=60°,/I

=95°,則/2的度數為（）

A.24°B.35°C.30°D.25°

18.（23—24八年級?重慶渝北?階段練習）如圖，將△ABC沿著DE翻折，使B點與廳點重合，若/1+/2=80°,

則ZB的度數為.

-7-

19.（23—24八年級.安徽銅陵.期中）如圖，將△48。紙片沿DE折疊，使點A落在點4處，且4B平分/ABC,

4。平分乙4cB，若/1+22=120°,則/B4C的度數為（）

A.120°B.110°C.100°D.90°

20.（23—24八年級.山東煙臺?期中）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何

中可以得到新的解讀.已知在△ABC中，請根據題意，探索不同情境中Z1+/2（或Zl-Z2）與ZA的數量

關系.

CCC

圖①圖②圖③

⑴如圖①，若/A=80°,沿圖中虛線。E截去則/I+/2=.

（2）如圖②，若/4=80°,沿圖中虛線。E將/A翻折，使點A落在BC上的點⑷處，則/I+/2=.

⑶如圖③，翻折后，點A落在點加處，若/1+/2=80°,求ZB+/。的度數

（4）如圖④，△4BC紙片沿DE折疊，使點A落在點加處，若/1=80°,/2=24°,求乙4的度數.

知火點6;兩內角角平分線模型

在△4BC中，BI.CZ■分別是乙4BC和/ACB的角平分線，且相交于點/.則ZJ=90°+yZA

-8-

A

B

【題型6兩內角角平分線模型】

21.（23-24八年級.河南信陽?開學考試）如圖，A。，CE都是△4BC的角平分線，且交于點。，2114（7=30°,

/.ECA=35°,則AABO的度數為

22.（23-24八年級?全國?課后作業(yè)）如圖，在△48。中，/ABC和ZACB的平分線BE,CF相交于點G,若乙4

=66°,則/BGC的度數為

23.（23-24八年級.河南信陽.開學考試）如圖，在△ABC中，AD是邊上的高，AE,分別是/BAG和

/ABC的角平分線,它們相交于點。，乙408=125°.求/OAD的度數.

24.（23-24八年級?山東煙臺?期末）如圖，在△ABC中，/A=90°,BE,CD分別平分NABC和/ACB,且相交

于F,EG〃BC,CG，EG于點G,則下列結論:①ZCEG=2ZDCA；②ZDFE=130°；③ZEFC=yZG：

④/AOC=/GCD；⑤AEG。是等腰直角三角形，其中正確的結論是（）

C.①②③D.①③④

-9-

知胴點7：兩外角角平分線模型

在△ABC中，B/、C7分別是△ABC的外角的角平分線，且相交于點O.則/O=90°—*4

【證明】???B。是ZEBC平分線，Z2=^-ZEBC,：是/FCB平分線，Z5=yZFCB

由△BCO中內角和定理可知：

ZO=180°-Z2—/5=180°-《/EBC-A/FCB=180°-^-（180°—/ABC）-2（180°-ZACB）=4（/ABC

+ZACB）=y（180°-ZA）=/O=90°-yZA

【題型7兩外角角平分線模型】

25.（23-24八年級?全國?專題練習）如圖，在△ABC中，/B=58°,三角形兩外角的角平分線交于點E,則乙4EC

C

26.（23-24八年級?河南鄭州?階段練習）如圖，3是AAFE兩外角平分線的交點，P是AABC的兩外角平分線的

交點，F,。在AN1.，又B,E在AM1.；如果AFGE=66°，那么/P=度.

27.（23-24八年級?山東聊城?期末）如圖，在△ABC中，/ABC,NACB的平分線交于點O,。是/ACF與

/ABC平分線的交點，后是△4BC的兩外角平分線的交點，若/BOC=130°,則/。的度數為（）

A.25°B.30°C.40°D.50°

28.（23-24八年級?全國?課后作業(yè)）（分類討論思想）△ABC的兩外角平分線交于點F.

-10-

⑴如圖1,若/A=30°,則NBFC的度數為.

⑵如圖2,過點F作直線AW〃BC,分別交射線AB,AC于點M,N,若設=則乙4與a

+6的數量關系是.

⑶在（2）的條件下,將直線MN繞點、F轉動.

①如圖3,當直線7W與線段BC沒有交點時,試探索/力與a,0之間的數量關系，并說明理由.

②當直線MN與線段BC有交點時，試問①中與a,0之間的數量關系是否仍然成立？若成立，請說明理由;

若不成立，請給出三者之間的數量關系.

知識點8：一內一外角角平分線模型

已知4ABC中，BP、CP分別是△ABC的內角和外角的角平分線，且相交于點P.則/P=-j-ZA

【證明】?.?班?是2人及7平分線,.?./3=］乙43。是乙4CE平分線,.?./：!=

由△ABC外角定理可知：ZACE=ZABC+ZABP：2Z1=2Z3+ZA……①

對①式兩邊同時除以2,得：Zl=Z3+yZA……②又在△BPC中由外角定理可知：Z1=Z3+ZP……③

比較②③式子可知：ZP=yZA.

【題型8一內一外角角平分線模型】

29.（23-24八年級?江蘇泰州?期末）如圖，點B、。分別在AM.AN上運動（不與A重合），CD是/BC7V的平分

線，CD的反向延長線交/AB。的平分線于點P.知道下列哪個條件①ZABC+/ACB；②/A；③/NGD

一乙4BP；④/ABC的值,不能求乙？大小的是（）

30.（23-24八年級.四川遂寧.開學考試）如圖，點。為△ABC邊BC的延長線上一點，若3:4,

乙4CD=140°,乙4BC的角平分線與乙4CD的角平分線交于點Al,則/朋=度.

-11?

31.（23—24八年級?四川眉山?開學考試）如圖，NABC=NACB,AD,B。、CD分別平分NEAC、/AB。和

AACF.以下結論:①4D〃BC；②乙4cB=2/ADB；③。3平分/ADC；④/ADC=90°-乙4BD.其中

正確的結論有.（填序號）

32.（23-24八年級?河南開封?期末）如圖，在4ABC中，/A=48°,4ABC的內角/ABC與外角AACD的平分

線相交于點A，得到/4；/人田。與/4CD的平分線相交于點入2,得到ZA2；……按此規(guī)律繼續(xù)下去，

乙4“_田。與1TCD的平分線相交于點4t，要使乙40的度數為整數，則九的最大值為（）

知銅點9:三角形折疊模型

①將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點。落在線段AC上時,則Z2=2ZC.

②將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點。落在四邊形4BFE內部時,則2/。=/I+/2或ZC=y（Zl+Z2）

■12?

③將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當點。落在四邊形ABFE外部時，則2/。=/2—/I或ZC=-1-（Z2—

Z1）.

【題型9三角形折疊模型】

33.（23-24八年級?河南信陽?開學考試）如圖所示,將三角形紙片ABC沿DE折疊.

⑴當點A落在四邊形BCDE內部時，乙4、/1、/2的度數之間有怎樣的數量關系？請你把它找出來，并說明你

的理由；

（2）當點A落在四邊形BCDE外部時，/I、Z2的度數之間又有怎樣的數量關系？直接寫出結論，不用說明

理由.

34.（23—24八年級?上海?期中）如圖，在銳角△ABC中，。、￡分別是邊AB和AC上的點，將這個△ABC紙片沿

DE折疊，點A落在點F的位置.如果DFV/BC,ZB=60°,/CEF=10°,那么NF=.

A

A

35.（23-24八年級?河南南陽?期末）在AABC中，乙BAC=90°,2/B,點D在BC邊上，將/XABD^AD

翻折后得到△4ED,邊AE和邊AC重合時結束,邊AE交邊于點F.若折疊過程中，△DEF中有兩個角

相等,則此時/-BAD的度數為.

?13?

A

36.（23—24八年級.四川宜賓.期末）在三角形紙片ABC中，乙4=90°,22°,點。為AC邊上靠近點。處

一定點，點E為BC邊上一動點,沿DE折疊三角形紙片，點C落在點。處.有以下四個結論：

①如圖1,當點。落在邊上時，乙4。（7=44°；

②如圖2,當點。落在4ABC內部時，AADC+4BEC=44°；

③如圖3,當點。落在ZVIBC上方時，ABEC-ZAD。=44°；

④當。石〃AB時，/CDE=34°或/CDE=124°,其中正確結論的個數是（）

圖2圖3

A.1個B.2個C.3個D.4個

-14?

三角形中的經典模型【九大題型】

＞題型梳理1

【題型1A字模型】................................................................................1

【題型28字模型】................................................................................3

【題型3飛鏢模型】.................................................................................6

【題型4雙垂直模型】..............................................................................9

【題型5老鷹抓小雞模型】.........................................................................15

【題型6兩內角角平分線模型1...........................................................................................................19

【題型7兩外角角平分線模型】.....................................................................21

【題型8一內一外角角平分線模型】................................................................26

【題型9三角形折疊模型】.........................................................................29

?舉一反三

知識點1:4字模型

已知&ABC,延長AB至D,延長AC至E,則/I+/2=+180°

【題型14字模型】

1.(23-24八年級?全國?專題練習)如圖，△AB。中，乙4=65°,直線DE交于點。，交AC于點E,則NBDE

+/CED=().

【答案】。

【分析】

根據三角形內角和定理求出NADE+/AED,根據平角的概念計算即可.

【詳解】

解：：乙4=65°,

ZADE+ZAED=180°-65°=115°,

-1?

ABDE+AGED=360°—115°=245°,

故選：D.

【點睛】本題考查的是三角形內角和定理的應用，掌握三角形內角和等于180°是解題的關鍵.

2.（23-24八年級?全國?專題練習）如圖是某建筑工地上的人字架，若/I=120。，那么Z3-Z2的度數為

【分析】根據平角的定義求出/4,再利用三角形的外角的性質即可解決問題.

Z3=Z2+Z4,

Z3-Z2=Z4=60°,

故答案為：60°.

【點睛】本題考查三角形外角的性質、平角的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考基礎題.

3.（23-24八年級?河北滄州?期中）琪琪在操作課上將三角形剪掉一個角后得到四邊形則下列判斷錯誤

的是（）

A.變成四邊形后對角線增加了兩條B.變成四邊形后內角和增加了360°

C.外角和沒有發(fā)生變化D.若剪掉的角的度數是60°,則/1+/2=240°

【答案】B

【分析】本題考查了多邊形的對角線，內角和與外角和，三角形內角和定理，解題的關鍵是

【詳解】解：人、三角形沒有對角線，變成四邊形后對角線為兩條，即增加了兩條，故正確，不合題意；

B、三角形內角和為180°,變成四邊形后內角和為360°,增加了180°,故錯誤，不合題意；

。、任意多邊形的外角和是360°，故正確，不合題意；

。、若剪掉的角的度數是60°，則ZA+ZB=120°，貝||/I+/2=360°-120°=240°，故正確，不合題意；

故選：B.

4.（23-24.浙江杭州.二模）將一把直尺與一塊三角板在同一平面內按如圖所示的方式放置，若/I=130°,則

Z2的度數為.

-2?

【分析】本題考查了平行線的性質，三角形的外角的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵,根據平行線的

性質可得ZFGH=Z1=130°,然后利用三角形外角的性質進行計算即可解答.

/FGH=/l=130°,

AFGH是4EFG的一個外角，

4FGH=N2+4E,

?：/E=90°,

/2=130°-90°=40°,

故答案為：40°.

知鞏點2：8字模型

①已知相交于O,則乙4+=

c

②已知線段AP平分ABAD,線段CP平分ZBGD，則/P=/(/B+ND)

【題型28字模型】

5.(23-24八年級?浙江金華?期末)如圖，BP平分NABC,交CD于點、F,DP平分AADC交于點E,與

GD相交于點G,乙4=42°.

-3-

D

二E

c

⑴若4ADC=60°,求AAEP的度數；

（2）若/C=38°,求/P的度數.

【答案】（1）72°;（2）40°.

（分析】（1）根據角平分線的定義可得ZADP=~ZADC，然后利用三角形外角的性質即可得解；

（2）根據角平分線的定義可得AADP=APDF,4cBp=APBA,再根據三角形的內角和定理可得ZA+

NADP=/P+AABP,ZC+4cBp=/P+/PDF,所以/A+/。=2/P,即可得解.

【詳解】解：（1）平分乙4。。，

AADP=ZPDF=--AADC,

?：/AD。=60°,

/4DP=30°,

4AEP=4ADP+/A=30°+42°=72°;

（2）BP平分/ABC,DP平分AADC,

4ADP=/PDF,4cBp=APBA,

?：ZA+NADP=/P+AABP,

ZC+ACBP=ZF+/PDF,

AZA+ZC=2ZP,

?//A=42°,/C=38°,

ZF=^-（38°+42°）=40°.

【點睛】本題考查了三角形的內南和定理及三角形外角的性質，角平分線的定義，熟記定理并理解"8字形''的

等式是解題的關鍵.

6.（23—24八年級.河南漂河.期末）如圖，力B和。。相交于點O,=則下列結論中不能完全確定正確的

是（）

A.ZB=4DB.Zl=ZA+ZDC.Z2>ZDD.4c=4D

【答案】。

【分析】利用三角形的外角性質，對頂角相等逐一判斷即可.

【詳解】?.?/?!+/AOD+/D=180°,ZC+ZCOB+ZB=180°,/A=/C,2AOD=4BOC,

-4-

4B=4D,

?.?Z1=Z2=ZA+Z￡>,

Z2>Z￡>,

故選項A,B,。正確，

故選D

【點睛】本題考查了對頂角的性質，三角形外角的性質，熟練掌握并運用兩條性質是解題的關鍵.

7.（23-24八年級?北京懷柔?期末）如圖,在由線段AB,CD,DF,BF,CA組成的平面圖形中，ND=28°,則ZA+

/3+/。+/干的度數為（）.

A.262°B.152°C.208°D.236°

【答案】。

【分析】如圖標記然后利用三角形的外角性質得/1=48+/干=/。+/3,/2=乙4+/。,再

利用/2,/3互為鄰補角，即可得答案.

【詳解】解:如下圖標記

/l=/B+/F=/D+/3,

?.?/。=28°,

Z3=ZB+ZF-28°,

又：/2=乙4+/。，

Z2+Z3=ZA+ZC+ZB+ZF-28°,

?/Z2+Z3=180°

180°=ZA+ZC+ZB+ZF-28°,

.?.乙4+/。+NB+NF=180°+28°=208°,

故選C.

【點睛】此題考查了三角形的外角性質與鄰補角的意義熟練掌握并靈活運用三角形的外角性質與鄰補角的意

義是解答此題的關鍵.

8.（23-24八年級?全國?專題練習）如圖，求乙4+/B+ZC+ZD+ZE+ZF+/G+乙H六個角的和.

【答案】360°

【分析】根據三角形內角和外角的性質可得：ZG+ZZ?=Z3,ZF+ZC=Z4,/E+/2,再根據三角形

-5-

內角和定理可得答案.

【詳解】解：?.?/G+/D=/3,/F+/C=/4,/E+/H=/2,

ZG+ZD+ZF+ZC+ZS+/H=Z3+Z4+Z2,

ZB+Z2+Z1=18O°,Z3+Z5+ZA=180°,

.?.乙4++/2+/4+/3=360°,

：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZS+ZF+ZG+360°.

【點睛】此題主要考查了三角形內角與外角的性質，關鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角

的和.

知火點3：飛集模型

①已知四邊形ABCD,則/。=乙4+/8+/。

②已知四邊形ABCD，線段平分AABC,線段OD平分/4DC,則/O=}（/A+ZC）

【題型3飛集模型】

9.（23-24.河北秦皇島.一模）如圖，用鐵絲折成一個四邊形ABCD（點。在直線BD的上方），且=70°,

/BCD=120°,若使乙4BC、/ADC平分線的夾角/E的度數為100°,可保持不變，將/BCD（填

“增大”或“減小”）°.

A

D

,6?

【答案】增大10

【分析】利用三角形的外角性質先求得/ABE+AADE=30°,根據角平分線的定義得到/ABC+ZADC=

60°,再利用三角形的外角性質求解即可.

【詳解】解:如圖，連接AE并延長，連接并延長，

ABED=ZBEF+ZDEF=NABE+ABAD+2ADE=100°,

?//BAD=70°,

A/ABE+/ADE=30°,

?:BE,DE分別是/ABC、/ADC平分線，

ZABC+2ADC=2(/ABE+/ADE)=60°,

同上可得，ABCD=ABAD+AABC+zLADC=130°,130°-120°=10°,

/BCD增大了10°.

故答案為：增大，10.

【點睛】本題考查了三角形的外角性質，三角形的內角和定理，角平分線的定義等知識，熟練運用題目中所給的

結論是解題的關鍵.

10.(23-24八年級?江蘇蘇州?階段練習)在社會實踐手工課上，小茗同學設計了如上圖這樣一個零件,如果ZA

=52°,/B=25°,/。=30°,/。=35°,/E=72°,那么NF=°.

【答案】70

【分析】延長BE、CF,交于點G,連接AG,根據三角形內角和定理和四邊形的內角和為360°即可求解.

【詳解】解:延長BE、CF,交于點G,連接AG,如圖，

ZAGB=180°-ZB-/BAG,AAGC=180°-/。一ACAG,

ZAGB+ZAGC=180°-ZB-ZBAG+180°-AC-ZCAG=360°-ZB-ZC-ABAC=253°,

-7-

ACGB=360°-(ZAGB+ZAGC)=107°.

/BED=72°,

A/GED=108°,

AGFD=360°-AGED-AD-ACGB=110°,

A/CFO=70°.

故答案為:70.

【點睛］本題主要考查三角形內角和定理.正確的作出輔助線是解題關鍵.

11.（23—24八年級.全國?專題練習）如圖，若NEOC=115°,則/A++/。+/。+/E+/F=.

A

D

【答案】230°

【分析】根據三角形外角的性質，得到4EOC=/E+/2=115°,Z2=Z,D+ZC,4EOC=Z1+4F=115°,

Z1=ZA+ZB,即可得到結論.

【詳解】解:如圖

/EOC=/E+/2=115°,/2=/D+/C,

A/E+/D+/C=115°,

/EOC=/1+/F=115°,Z1=ZA+ZB,

乙4+"+"=115°,

乙4+/B+/C+/D+/E+/F=230°,

故答案為：230°.

【點睛】本題主要考查三角形內角和定理和三角形外角的性質，解決本題的關鍵是要熟練掌握三角形外角性

質.

12.（23-24?河北邯鄲?一模）嘉嘉在作業(yè)本上畫了一個四邊形，并標出部分數據（如圖）,淇淇說，這四個數據中有

一個是標錯的;嘉嘉經過認真思考后，進行如下修改:若/力，ZB,/BCD保持不變，則將圖中（填

“增大”或“減小”）度,淇淇說，“改得不錯”.

【答案】增大5

【分析】連接,利用三角形的內角和計算即可.

【詳解】解:連接BD,

?/2CDB+ACBD=180°—乙4—AABC-AADC

■8?

ZGDB+&JBD=180°—/BCD

：.ZA+AABC+ZADC=zLBCD

?：乙4=90°,AABC=25°,ABCD=145°

A/ADC=145°-25°-90°=30°

30°-25°=5°

故答案為：增大，5

【點睛】本題主要考查三角形的內角和，添加輔助線利用三角形內角和計算是解決

本題的關鍵.

知火點4：雙垂直模型

已知/8=/。=/人您=90°.則4BAC=4DCE,NACB=NCED.

【證明】???/B=/。=NACE=90°；/.ABAC+/ACS=90°：又AECD+ZACB=90°；A^BAC=ADCE

同理，乙4CB+/DCE=90°,且/CEO+/DCS=90°；.?.乙4cB=/CEO,得證.

【題型4雙垂直模型】

13.（23-24八年級?廣東珠海?期末）如圖1,人8,3。于點6,。0,3。于點。，點后在線段3。上，且人后，

DE.

（1）求證：ZEAB=ZCED；

⑵如圖2,AF,DF分別平分ZBAE和/CDE,則/F的度數是（直接寫出答案即可）；

（3）如圖3,EH平分的反向延長線交/BAE的平分線4F于點G.求證：EGLAF.（提示:三角形

內角和等于180°）

ffll圖2圖3

【答案】⑴見解析；（2）45°;（3）見解析

【分析】（1）利用同角的余角相等即可證明；

⑵過點F作FMIIAB,利用ADFA=ADFM+4AFM=14CDE+】NEAB=3（NCDE+ZEAB）即可

解決問題；

（3）想辦法證明NEAG+/AEG=90°即可解決問題.

【詳解】解：（1）VAB±BC,CD1BC,

ZB=ZC=90°,

/BAE+/AEB=90°,

?：AE±DE,

■9?

/AE_D=90°,

/AEB+/CED=90°,

NBAE=AGED.

(2)解:答案為45°;

過點F作F加7/AB,如圖，

?：AB_LBC,CD±BC,

：./B=/C=90°,

：.AB//CD,

■：ZC=90°,

/CED+NCDE=90°,

?//LBAE=ACED,

ABAE+ACDE=90°,

?：AF、DF分別平分NBAE和ZCDE,

A4CDF=：4CDE,/BAF=g/BAE,

ACDF+/BAF=[(/BAE+NCDE)=45°,

?：FM//AB//CD,

Z.CDF=ZDFM,2BAF=AAFM,

AAFD=ZCDF+4BAF=45°.

⑶?.?EH平分/CED,

"JEH=[ZCED,

：.4BEG=[ZCED,

?：AF平分/BAE,

NBAG=[/BAE,

?/ABAE=ACED,

：.NBAG=NBEG,

?：ABAE+ABEA=9Q°,

：./BAG+NGAE+NAEB=90°,

即ZGAE+NAEB+ABEG=90°,

：./AGE=90°,

：.EG±AF.

【點睛】本題考查三角形內角和定理、平行線的性質、角平分線的定義等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助

線，構造平行線解決問題,屬于中考常考題型.

14.（23-24八年級?陜西西安?期末）如圖，在等腰Rt/XABC中，NACB=90°，。為5。的中點，DE，AB,垂足

為E,過點B作BF〃力。交DE的延長線于點F,連接CF.

■10-

⑴求證：AD±CF.

⑵連接AF,試判斷△ACF的形狀，并說明理由.

【答案】（1）見解析

（2）AACF為等腰直角三角形；理由見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質及等腰三角形性質和判定.

⑴欲求證AD_LCF,先證明ACAG+AACG=90°,需證明ACAG=ABCF，利用三角形全等，易證.

⑵要判斷△ACF的形狀，看其邊有無關系.根據(1)的推導，易證CF=AF,從而判斷其形狀.

【詳解】(1)證明：在等腰直角A4BC中，

=90°,

A/Ca4=/GAB=45°,

?：DE±AB,

：.4DEB=90°,

：./BOE=45°,

?：BF//AC,

A/CBF=180°—/AC?=90°,

4BFD=45°=4BDE,

：.BF=DB,

又為BC的中點，

：.CD=DB,

即跳

(BF^CD

在△CBF和△AGO中，NCBF=ZACE>=90°,

(CB=AC

：.△CBFW^ACD(SAS).

：.ABCF=ACAD.

?：^BCF+AGCA=90°,

：.ACAD+ZGCA=90°,

即AD_LCF.

⑵解：△ACF是等腰三角形，理由為：

連接AF,如圖所示，

由（1）知：△CBFWZV1CD,

：.CF=AD,

■：△DBF是等腰直角三角形，且BE是/DBF的平分線,

.?.BE垂直平分。F,

AF^AD,

-11-

,:CF=AD,

：.CF=AF,

.?.△ACF是等腰三角形.

15.（23-24八年級.山西晉中.期中）請把下面的證明過程補充完整

如圖，在△48。中，乙4cB=90°,AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點F,求證：CF=CE.

證明：：AE平分已知），

NCAE=NFAB（①）,

■：乙4CE=90°（已知），

AZCAE+4CEF=90°（②）,

?：5是△ABC的高（已知），

A/＜如=90°（三角形高的定義），

??.（③）,（直角三角形的兩個銳角互余），

ANCEF=NAFD（④）,

2CFE=NAFD（⑤）,

AZCFE=ZCEF（⑥）,

ACF=CE（⑦）.

【答案】①角平分線的定義；②直角三角形的兩銳角互余;③乙￡40+/AFD=90°;④等角的余角相等；⑤對

頂角相等；⑥等量代換;⑦等角對等邊

【分析】本題考查的是直角三角形的性質、角平分線的定義，等腰三角形的判定，掌握直角三角形的兩銳角互余

是解題的關鍵.

根據角平分線的定義、直角三角形的性質、對頂角相等、等角對等邊解答即可.

【詳解】證明：???AE平分/CAB（已知），

A4CAE=/FAB（角平分線的定義），

ZACE=90°（已知），

A/CAE+/CEF=90°（直角三角形的兩銳角互余），

CD是△ABC的高（已知），

AZCEL4=90°（三角形高的定義），

A/E4D+/AFD=90°（直角三角形的兩銳角互余），

A/C