3組合問題第1課時第五章計數(shù)原理北師大版

數(shù)學

選擇性必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引

課程標準1.通過實例理解組合及組合數(shù)的概念.2.能利用計數(shù)原理推導組合數(shù)公式,并會應(yīng)用公式解決簡單的組合問題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

組合的概念一般地,從n個不同的元素中,

,叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.

只取不排,與排列不同之處名師點睛1.組合概念的兩個要點:(1)n個對象是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m個對象組成的組合與取出對象的先后順序無關(guān),無序性是組合的特征性質(zhì).2.如果兩個組合中的對象完全相同,那么不管對象的順序如何,它們都是相同的組合.如果兩個組合中的對象不完全相同(即使只有一個對象不同),那么它們就是不同的組合.任取m(m≤n,且m,n∈N+)個元素為一組

思考辨析兩個組合相同有什么特點?與兩個排列相同有什么區(qū)別?提示

只要兩個組合的元素相同,不論元素的順序如何,都是相同的組合.而只有元素相同且順序也相同的兩個排列才是相同的.兩者的差別就在于是否要求順序相同.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)2,3,5與5,3,2是同一個組合.(

)(2)“10人相互通一次電話,共通多少次電話?”是組合問題.(

)√√2.[人教A版教材習題]已知平面內(nèi)A,B,C,D這4個點中任何3個點都不在一條直線上,寫出以其中任意3個點為頂點的所有三角形.解

△ABC,△ABD,△ACD,△BCD.3.[人教A版教材習題]現(xiàn)有1,3,7,13這4個數(shù).(1)從這4個數(shù)中任取2個數(shù)相加,可以得到多少個不相等的和?(2)從這4個數(shù)中任取2個數(shù)相減,可以得到多少個不相等的差?解

(1)任取2個數(shù)相加可得一個和,是一個組合問題:1+3=4,1+7=8,1+13=14,3+7=10,3+13=16,7+13=20.共可以得到6個不相等的和.(2)2個數(shù)相減,作為被減數(shù)與作為減數(shù)是不同的,是一個排列問題,但1-7與7-13,7-1與13-7的值分別相等,故共可以得到

-2=10(個)不相等的差.知識點2

組合數(shù)的概念從n個不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個元素的

的個數(shù),叫作從n個不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個元素的組合數(shù),記作

.

所有組合

思考辨析某班需要從5人中選出2人擔任正、副班長,與從5人中選出2人去參加數(shù)學競賽有什么區(qū)別嗎?提示

從5人中選出2人擔任正、副班長與順序有關(guān),是排列,共有

=5×4=20(種)不同的選法;而5人中選出2人去參加數(shù)學競賽與順序無關(guān),不是排列,共有10種不同的選法.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)×√2.5個相同的球,放入8個不同的盒子中,每個盒里至多放一個球,則不同的放法有(

)B解析

由于球都相同,盒子不同,每個盒里至多放一個球,所以只要選出5個不同的盒子即可.故共有

種不同的放法.3.高二(1)班共有50名同學,從中選出3名共青團員,共有

種選法(用組合數(shù)表示).

知識點3

組合數(shù)公式及組合數(shù)的性質(zhì)

1名師點睛

思考辨析某校高一年級將在月底進行一場籃球比賽,某班包括體育委員在內(nèi),有籃球運動員8人,按照籃球比賽規(guī)則,比賽時一個球隊的上場隊員是5人,則可以有多少種隊員上場方案?你能用兩種思路給出解決嗎?可以得出什么結(jié)論?自主診斷

5或7解析

由題意得,2n-3=n+2或2n-3+n+2=20,即n=5或7.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一組合的概念【例1】

給出下列問題:(1)從a,b,c,d四名學生中選兩名學生完成一件工作,有多少種不同的安排方法?(2)從a,b,c,d四名學生中選兩名學生完成兩件不同的工作,有多少種不同的安排方法?(3)a,b,c,d四支足球隊之間進行單循環(huán)比賽,共需賽多少場?(4)a,b,c,d四支足球隊爭奪冠、亞軍,有多少種不同的結(jié)果?在上述問題中,哪些是組合問題,哪些是排列問題?解

(1)兩名學生完成的是同一件工作,沒有順序,是組合問題.(2)兩名學生完成兩件不同的工作,有順序,是排列問題.(3)單循環(huán)比賽要求每兩支球隊之間只打一場比賽,沒有順序,是組合問題.(4)冠、亞軍是有順序的,是排列問題.規(guī)律方法

排列組合的區(qū)別

變式訓練1判斷下列問題是排列問題還是組合問題,并求出相應(yīng)的結(jié)果.(1)集合{0,1,2,3,4}的含三個元素的子集的個數(shù)是多少?(2)某小組有9名同學,從中選出正、副組長各一個,有多少種不同的選法?若從中選出2名代表參加一個會議,有多少種不同的選法?解

(1)由于集合中的元素是沒有順序的,一個含三個元素的集合就是一個從0,1,2,3,4中取出3個數(shù)組成的集合.這是一個組合問題,組合的個數(shù)是(2)選正、副組長時要考慮次序,所以是排列問題,排列數(shù)是

=9×8=72,所以選正、副組長共有72種選法;選代表參加會議是不用考慮次序的,所以是組合問題,所以不同的選法有

=36(種).探究點二組合數(shù)公式與性質(zhì)的應(yīng)用角度1.有關(guān)組合數(shù)的計算與證明

DC角度2.含組合數(shù)的方程或不等式

規(guī)律方法

1.解題過程中應(yīng)避免忽略根的檢驗而產(chǎn)生增根的錯誤,注意不要忽略n∈N+.2.與排列組合有關(guān)的方程或不等式問題要用到排列數(shù)、組合數(shù)公式,以及組合數(shù)的性質(zhì),求解時,要注意由

中的m∈N+,n∈N+,且m≤n確定m,n的范圍,因此求解后要驗證所得結(jié)果是否符合題意.探究點三簡單的組合問題【例4】

有10名教師,其中6名男教師,4名女教師.(1)現(xiàn)要從中選2名教師去參加會議,有

種不同的選法;

(2)選出2名男教師或2名女教師參加會議,有

種不同的選法;

(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議,有

種不同的選法.

452190解析

(1)從10名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù),就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù),即規(guī)律方法

1.解簡單的組合應(yīng)用題時,首先要判斷它是不是組合問題,組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關(guān),而組合問題與取出元素的順序無關(guān).2.把一個實際問題轉(zhuǎn)化為組合問題,體現(xiàn)了數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).變式訓練4一位教練的足球隊共有17名初級學員,他們中以前沒有一人參加過比賽.按照足球比賽規(guī)則,比賽時一個足球隊的上場隊員是11人.問:(1)這位教練從這17名學員中選擇上場隊員,可以形成多少種學員上場方案?(2)如果在選出11名上場隊員時,還要確定其中的守門員,那么教練員有多少種方式做這件事情?學以致用·隨堂檢測促達標123456789101112131415161718A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點一](多選題)下列問題不是組合問題的是(

)A.把5本不同的書分給5個學生,每人一本有多少種不同的分法?B.從7本不同的書中取出5本給某個同學有多少種不同的取法?C.某人射擊8槍,擊中4槍,且命中的4槍均為2槍連中,共有多少種不同的結(jié)果?D.10個人互發(fā)一個電子郵件,共發(fā)了多少個郵件?ACD123456789101112131415161718解析

選項A,由于書不同,每人每次拿到的也不同,有順序之分,故是排列問題;選項B,從7本不同的書中,取出5本給某個同學,在每種取法中取出的5本并不考慮書的順序,故它是組合問題;選項C,每次擊中顯然有順序,故它是排列問題;選項D,發(fā)郵件與順序有關(guān),故它是排列問題.123456789101112131415161718A.9 B.8 C.7 D.6D1234567891011121314151617183.[探究點三]從小到大排列的2,3,…,8七個自然數(shù)中任取三個數(shù)組成有序數(shù)組a,b,c且a<b<c,則不同的數(shù)組有(

)A.35 B.42 C.105 D.210A1234567891011121314151617184.[探究點三]某施工小組有男工7名,女工3名,現(xiàn)要選1名女工和2名男工去支援另一施工隊,不同的選法有(

)D1234567891011121314151617185.[探究點三]若已知集合P={1,2,3,4},則集合P的子集中含有2個元素的子集數(shù)為

.

61234567891011121314151617186.[探究點三]從2,3,5,7四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)相乘,有m個不同的積;任取兩個不同的數(shù)相除,有n個不同的商,則

=

.

1234567891011121314151617181234567891011121314151617188.[探究點三]某地區(qū)發(fā)生了重大交通事故,某醫(yī)院從9名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴事故現(xiàn)場搶救傷員,其中這9名醫(yī)療專家中有4名是外科專家.(1)抽調(diào)6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種?(2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種?(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種?123456789101112131415161718123456789101112131415161718B級關(guān)鍵能力提升練9.(多選題)下列各式成立的有(

)BC123456789101112131415161718123456789101112131415161718C12345678910111213141516171811.

現(xiàn)從含有甲的5位志愿者中選出4位到江西,湖北和安徽三個省宣傳,每個省至少一個志愿者.若甲不去安徽,其余志愿者沒有條件限制,共有多少種不同的安排方法(

)A.228 B.132

C.180

D.96B123456789101112131415161718123456789101112131415161718A.1 B.4 C.6 D.8AC12345678910111213141516171813.(多選題)在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件不合格品,從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件,則(

)ACD12345678910111213141516171814.[2023遼寧沈陽?？茧A段練習]將5名志愿者分配到世界杯的3個不同體育場進行志愿者服務(wù),每名志愿者分配到1個體育場,每個體育場至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有

種.

15012345678910111213141516171815.已知集合A={1,2,3,4,5},則至少含一個偶數(shù)的集合A的子集個數(shù)為

.

2412345678910111213141516171816.從5名男生和5名女