第46講

數(shù)據(jù)分析——一元線性回歸模型及其應(yīng)用第九章

統(tǒng)計(jì)1．5位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和物理成績?nèi)缦卤恚杭せ钏季S

ABCDE數(shù)學(xué)8075706560物理7066686462則數(shù)學(xué)成績與物理成績之間 (

)A．是函數(shù)關(guān)系

B．是相關(guān)關(guān)系，但相關(guān)性很弱C．具有較好的相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)

D．具有較好的相關(guān)關(guān)系，且是負(fù)相關(guān)C2．已知兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系有①正相關(guān)，②負(fù)相關(guān)，③不相關(guān)，則下列散點(diǎn)圖從左到右分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系依次是 (

)A．①②③

B．②③①C．②①③

D．①③②D【解析】第一個(gè)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左下角區(qū)域分布到右上角區(qū)域，是正相關(guān)；第三個(gè)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是從左上角區(qū)域分布到右下角區(qū)域，是負(fù)相關(guān)；第二個(gè)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布沒有什么規(guī)律，是不相關(guān)．A．滿足一元線性回歸模型的所有假設(shè)B．不滿足一元線性回歸模型的E(e)＝0的假設(shè)C．不滿足一元線性回歸模型的D(e)＝σ2的假設(shè)D．不滿足一元線性回歸模型的E(e)＝0和D(e)＝σ2的假設(shè)【解析】【答案】C【解析】168cm5．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(單位：t)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(單位：t)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：【解析】x3456y2.5t44.531．變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．(2)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．(3)線性相關(guān)一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在____________附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)．一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．一條直線聚焦知識(shí)2．樣本相關(guān)系數(shù)(1)相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式如下：(2)相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)當(dāng)r______0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)______相關(guān)；當(dāng)r______0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)______相關(guān)；當(dāng)r＝0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系．＞正＜負(fù)Y與bx＋a之間觀測值減去預(yù)測值大第1課時(shí)

變量的相關(guān)關(guān)系及線性回歸模型某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位：千元)與利潤率統(tǒng)計(jì)表如下：變量的相關(guān)關(guān)系舉題說法1月份123456人均銷售額658347利潤率(%)12.610.418.53.08.116.3根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說法正確的是

(

)A．利潤率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系B．利潤率與人均銷售額成負(fù)相關(guān)關(guān)系C．利潤率與人均銷售額成正比例函數(shù)關(guān)系D．利潤率與人均銷售額成反比例函數(shù)關(guān)系【解析】由統(tǒng)計(jì)表可得利潤率與人均銷售額不是正比例關(guān)系，也不是反比例關(guān)系，排除C和D；其屬于正相關(guān)關(guān)系，A正確，B錯(cuò)誤．A變式在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡的關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，并制成如圖所示的人體脂肪含量與年齡的關(guān)系的散點(diǎn)圖．下列結(jié)論正確的是 (

)【解析】觀察圖形，可知人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%.A．人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%B．人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%C．人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%D．人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%B某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位：m3)，得到如右數(shù)據(jù)：樣本相關(guān)系數(shù)2樣本號(hào)i123456根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.05材積量yi0.250.400.220.540.510.34樣本號(hào)i78910總和

根部橫截面積xi0.050.070.070.060.6

材積量yi0.360.460.420.403.9

(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量．

【解答】某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位：m3)，得到如右數(shù)據(jù)：2樣本號(hào)i123456根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.05材積量yi0.250.400.220.540.510.34樣本號(hào)i78910總和

根部橫截面積xi0.050.070.070.060.6

材積量yi0.360.460.420.403.9

【解答】某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位：m3)，得到如右數(shù)據(jù)：2樣本號(hào)i123456根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.05材積量yi0.250.400.220.540.510.34樣本號(hào)i78910總和

根部橫截面積xi0.050.070.070.060.6

材積量yi0.360.460.420.403.9

(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．【解答】某市航空公司為了解每年航班正點(diǎn)率x%對(duì)每年乘客投訴次數(shù)y(單位：次)的影響，對(duì)近8年(2015年～2022年)每年航班正點(diǎn)率x%和每年乘客投訴次數(shù)y的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值．線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程3(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；【解答】某市航空公司為了解每年航班正點(diǎn)率x%對(duì)每年乘客投訴次數(shù)y(單位：次)的影響，對(duì)近8年(2015年～2022年)每年航班正點(diǎn)率x%和每年乘客投訴次數(shù)y的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值．3(2)該市航空公司預(yù)計(jì)2024年航班正點(diǎn)率為84%，利用(1)中的回歸方程，估算2024年乘客對(duì)該市航空公司投訴的次數(shù)．【解答】變式根據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，對(duì)2013～2020年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個(gè)數(shù)y(單位：座)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表格：年份20132014201520162017201820192020年份代碼x12345678垃圾焚燒無害化處理廠的個(gè)數(shù)y166188220249286331389463(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可用一元線性回歸模型刻畫變量y與變量x之間的線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明(精確到0.01)；【解答】因?yàn)閥與x的樣本相關(guān)系數(shù)r＝0.98，接近1，所以y與x的線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．變式根據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，對(duì)2013～2020年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個(gè)數(shù)y(單位：座)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表格：年份20132014201520162017201820192020年份代碼x12345678垃圾焚燒無害化處理廠的個(gè)數(shù)y166188220249286331389463(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測2024年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個(gè)數(shù)．

【解答】隨堂練習(xí)1．已知某設(shè)備的使用年限x(單位：年)與年維護(hù)費(fèi)用y(單位：千元)的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如右表：x24568y34.56.57.59B【解析】2．已知x與y的數(shù)據(jù)如下表所示，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝0.7x＋1.05，則m的值是 (

)【解析】x2345y2.53.0m4.5A．3.8 B．3.85C．3.9 D．4.0D【解析】【答案】D根據(jù)相關(guān)變量x，y的散點(diǎn)圖知，變量x，y具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，且點(diǎn)(10，21)是離群值．方案一中，沒剔除離群值，線性相關(guān)性弱些；方案二中，剔除離群值，線性相關(guān)性強(qiáng)些，所以樣本相關(guān)系數(shù)－1＜r2＜r1＜0.198【解析】由題意可得該車間上半年的總銷售額約為1.21×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＋28.765×6＝25.41＋172.59＝198(萬元).配套精練A組夯基精練一、

單項(xiàng)選擇題1．調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)r＝0.8245，下列說法正確的是

(

)A．花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性B．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)C．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245【解析】【答案】C根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，故A錯(cuò)誤；散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性，故B錯(cuò)誤，C正確；由于r＝0.8245是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，也可能變?nèi)酰慈〕龅臄?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245，故D錯(cuò)誤．2．某產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如右表所示：B【解析】宣傳費(fèi)用x/萬元2345銷售額y/萬元24304250A．55萬元 B．60萬元

C．62萬元 D．65萬元3．我國西北某地區(qū)開展改造沙漠的巨大工程，該地區(qū)對(duì)近5年投入的沙漠治理經(jīng)費(fèi)x(單位：億元)和沙漠治理面積y(單位：萬畝)的相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示．【解析】治理經(jīng)費(fèi)x/億元34567治理面積y/萬畝1012111220CA．1 B．2 C．3 D．44．某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個(gè)月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量(單位：萬盒)的數(shù)據(jù)如下表所示：x/月份12345y/萬盒56568【解析】【答案】C由點(diǎn)分布在經(jīng)驗(yàn)回歸直線附近或在直線上，x增加1個(gè)單位，則y可能增加0.7個(gè)單位，x減少1個(gè)單位，則y可能減少0.7個(gè)單位，故A，B錯(cuò)誤；二、

多項(xiàng)選擇題5．對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后得到的散點(diǎn)圖如圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的結(jié)論正確的是

(

)A．r1＜0 B．r2＞1C．r1＋r2＞0 D．|r1|＞|r2|AC【解析】由散點(diǎn)圖可知，樣本相關(guān)系數(shù)r1的圖象表示y與x負(fù)相關(guān)，故－1＜r1＜0，故A正確；樣本相關(guān)系數(shù)r2的圖象表示y與x正相關(guān)，故1＞r2＞0，故B錯(cuò)誤；因?yàn)闃颖鞠嚓P(guān)系數(shù)r2的點(diǎn)較樣本相關(guān)系數(shù)r1的點(diǎn)密集，故|r2|＞|r1|，故r1＋r2＞0，故C正確，D錯(cuò)誤．【解析】【答案】ABD三、

填空題7．已知變量x和變量y的3對(duì)隨機(jī)觀測數(shù)據(jù)(2，2)，(3，－1)，(5，－7)，則成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)是_______．－1【解析】【解析】5【解析】54.5(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；【解答】【解答】(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由．【解答】由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性，由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物的數(shù)量差異很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)．11．隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)購成了人們購物的重要選擇，并對(duì)實(shí)體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生了一定影響.為了解實(shí)體經(jīng)濟(jì)的現(xiàn)狀，某研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了一個(gè)大商場2018～2022年的線下銷售額如下：年份編號(hào)x12345年份20182019202020212022銷售額y(單位：萬元)1513146512021060860(1)由表中數(shù)據(jù)可以看出，可用線性回歸模型擬合銷售額y與年份編號(hào)x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；【解答】11．隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)購成了人們購物的重要選擇，并對(duì)實(shí)體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生了一定影響.為了解實(shí)體經(jīng)濟(jì)的現(xiàn)狀，