8.2-空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系-專項訓(xùn)練【原卷版】

基礎(chǔ)鞏固練

1.在正方體48。。一241。1。1中，直線BCi與直線2道所成角的大小為（）.

A.90°B,60°C,45°D,30°

2.若直線TH與平面a平行，且直線aua,則直線m和直線a的位置關(guān)系不

可能為（）.

A.平行B.異面C.相交D.沒有公共點

3.用符號表示“點2不在直線m上，直線m在平面a內(nèi)”，正確的是（）.

A.Am,muaB.Am,mEaC.Am,muaD.Am,mEa

4.已知點E,凡G,”分別在空間四邊形ABC。的邊2B,BC,CD,D4上，若EF〃GH,

則下列說法中正確的是（）.

A.直線EH與FG一定平行B.直線EH與FG一定相交

C.直線EH與FG可能異面D.直線EH與FG一定共面

5.如圖，在三棱錐2-BCD中，E,F,G,H分別是ZB,BC,CD,D4的中點,

則四邊形EFG”是（）.

A.梯形B.平行四邊形C.菱形D.矩形

6.已知在直三棱柱48。一4把1的中，AB1BC,QE分別是的中點，則

（）.

A.Bi。與相交，且BiD=2iE

B.Bi。與相交，且為。力41后

C.Bi。與是異面直線，且

D.BpD與是異面直線，且BiDHZiE

7.下列說法正確的是（）.

A.三點確定一個平面B.一條直線和一個點確定一個平面

C.圓心和圓上兩點確定一個平面D.兩條相交直線確定一個平面

8.如圖，在正方體4BCD—中，M,N分別為棱的小，的中點，

下列說法中正確的是（）.

A.直線與CiC是異面直線B.4M,B,N四點共面

C.直線BN與MB1是相交直線D.直線MN與2C是相交直線

綜合提升練

9.（多選題）已知4B是平面a外的任意兩點，則（）.

A.在a內(nèi)存在直線與直線ZB異面B.在a內(nèi)存在直線與直線ZB相交

C.存在過直線的平面與a垂直D.在a內(nèi)存在直線與直線平行

10.（多選題）如圖，在棱長為2的正方體4BCD—481的。1中，M,N,P分

別是的。1，C±C,的中點，則（）.

A.M,N,B,四點共面

B.異面直線PDi與MN所成角的余弦值為呼

C.平面BMN截正方體所得截面為等腰梯形

D.三棱錐P-MNB的體積為g

11.已知在四棱錐P—2BC。中,2D〃BC,a。=2BC,E為PD的中點，平面2BE

交PC于點F,則暮=

12.已知在四棱錐P—ZBCD中，底面2BCD為平行四邊形,P4=2B=4。=1,

Z-PAB=^PAD=/.BAD=60。，E為棱PC的中點，則異面直線BE與PA所成

角的大小為

應(yīng)用情境練

13.如圖，在直三棱柱2BC-&B1C1中，BA1BC,AB=4,4%=BC=4b,

。是的中點，在側(cè)面441cle上以。為圓心，2為半徑作圓，P是圓。上一

點，則BP的最小值為

14.（雙空題）已知正方體4BCD-2$1的小的所有頂點均在體積為32島的

球。上，則該正方體的棱長為,；若動點P在四邊形2道1的小內(nèi)運動，

且滿足直線CCi與直線AP所成角的正弦值為右則0P的最小值為.

創(chuàng)新拓展練

15.在RtUBC中,乙8。4=]"=1乃。=逐。是28邊上的動點,設(shè)8。=%,

把△BDC沿DC翻折為△BiDC,如圖所示，若存在某個位置，使得異面直線BiC

與所成的角為全則實數(shù)%的取值范圍是

2B=1.G為PC的中點，M為△PBD內(nèi)一動點（不與P,B,。三點重合）.

P

（1）求直線BC與PD所成的角；

⑵若4M=?,求點M的軌跡所圍成圖形的面積.

8.2-空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系-專項訓(xùn)練【解析版】

基礎(chǔ)鞏固練

1.在正方體48。。一241。1。1中，直線BCi與直線所成角的大小為（A）.

A.90°B,60°C,45°D,30°

［解析］由于在正方體ABC。—必/的。1中，BCJ/ZDi/i。所以直線BCr

與直線所成角為90。，故選A.

2.若直線m與平面a平行，且直線aua,則直線m和直線a的位置關(guān)系不

可能為（C）.

A.平行B.異面C.相交D.沒有公共點

［解析］直線Tn與平面a平行，且直線aua,則直線TH和直線a的位置關(guān)系可能

平行，可能異面，即沒有公共點，也不可能相交，因為若直線m和直線a相交，

則THua或TH與a相交，均與已知條件矛盾.故選C.

3.用符號表示“點4不在直線m上，直線m在平面a內(nèi)”，正確的是（A）.

A.Am,znuaB.Am,mEaC.^4<4m,m<zaD.^4<4m,mEa

［解析］由題意用符號表示“點2不在直線m上，直線m在平面a內(nèi)"，即2Wm,

mua,故選A.

4.已知點E,F,G,H分別在空間四邊形ZBCD的邊ZB,BC,CD,D4上，若EF//GH,

則下列說法中正確的是（D）.

A.直線E”與FG一定平行B.直線E”與FG一定相交

C.直線EH與FG可能異面D.直線EH與FG一定共面

［解析］如圖1,由于EF〃G”，所以E,F,G,”四點確定一個平面EFG”，所以直線

E”與FG一定共面，故D正確，C錯誤；

D

圖1圖2圖3

如圖2,只有當(dāng)EF〃G”且EF=G”時，四邊形EFG”為平行四邊形，此時E”〃GF,

故A錯誤；

如圖3,只有當(dāng)EF〃G”但EFHG”時，四邊形EFGH為梯形，此時E”，GF相

交于點。，故B錯誤.故選D.

5.如圖，在三棱錐2-BCD中，E,F,G,”分別是ZB,BC,CD,D4的中點，

則四邊形EFG”是(B).

A.梯形D.矩形

［解析］因為E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點，所以EF//AC,EF=^AC,

HG//AC,”G=［aC,所以EF〃HG且EF=HG,可知四邊形EFG”為平行四邊

形，故選B.

6.已知在直三棱柱ABC—4/1的中，AB1BC,分別是的中點，則

(D).

A.Bi。與相交，且為。=4亞

B.Bi。與相交，且BiDHZiE

C.Bi。與是異面直線，且BiD=aiE

D.Bi。與是異面直線，且

［解析］如圖，因為ZiECl平面44iBiB=a，BIDu平面44*18/1W當(dāng)。，

所以斗。與&E是異面直線，B1D=JBB：+；AB2,AIE=.因為

AAi=BB^ABAC,所以A故選D.

A.三點確定一個平面B.一條直線和一個點確定一個平面

C.圓心和圓上兩點確定一個平面D.兩條相交直線確定一個平面

［解析］對于A,空間中三個不共線的點確定唯一的平面，故A錯誤;對于B,一條直

線以及直線夕|—?點可以確定一■個平面，故B錯誤;對于C,圓心和不與圓心在同一

直線上的兩個點才可以確定一個平面，故C錯誤;對于D,兩條相交直線可以確定

一個平面，故D正確.故選D.

8.如圖，在正方體49。。一2m1的。1中，M,N分別為棱的小，的。的中點，

下列說法中正確的是（A）.

A.直線與CW是異面直線B.4M,B,N四點共面

C.直線BN與MB1是相交直線D.直線MN與AC是相交直線

［解析］因為2W平面CDD1C1，MG平面CDD1C1，C1CU平面。。小的,MWgC,

所以AM與CW是異面直線，故A正確；如圖，連接4。1方的，因為N0平面

ABC1D1,BC平面ZBCiDi，AMc平面28的。1，B￡AM,所以AM與BN是

異面直線，故B錯誤；因為MW平面BCQBi，Bie平面BCC/i，BNu平面

BCC1B1,Bi史BN,所以BN與MB1是異面直線，故C錯誤；延長DC與MN交

于點E,因為平面ABC。，EE平面ABC。，ACc平面ABC。，EeAC,

所以ME與ac是異面直線，即MN與ac是異面直線，故D錯誤.故選A.

綜合提升練

9.（多選題）已知4B是平面a外的任意兩點，則（AC）.

A.在a內(nèi)存在直線與直線ZB異面B.在a內(nèi)存在直線與直線ZB相交

C.存在過直線的平面與a垂直D.在a內(nèi)存在直線與直線平行

［解析］由4B是不在平面a內(nèi)的任意兩點，得直線2B〃a或直線與平面a相

交.對于A,當(dāng)直線2B〃a或直線與平面a相交時，在a內(nèi)存在直線與直線

異面，故A正確；對于B,當(dāng)直線4B〃a時，在a內(nèi)不存在直線與直線相

交，故B錯誤；對于C,當(dāng)直線4B〃a或直線ZB與平面a相交時，存在過直線

的平面與a垂直，故C正確；對于D,當(dāng)直線與平面a相交時，在a內(nèi)不

存在直線與直線平行，故D錯誤.故選AC.

10.（多選題）如圖，在棱長為2的正方體2BCD—中，M,N,P分

別是的。1，C±C,的中點，則（BCD）.

B.異面直線PDi與MN所成角的余弦值為嚕

C.平面BMN截正方體所得截面為等腰梯形

D.三棱錐P-MNB的體積為9

［解析］對于A,連接BDi，如圖所示，易知MN與BO1為異面直線，所以M,N,

B,小不可能四點共面，故A錯誤；

對于B,連接COi，CP,易得MN〃CDi，所以ZPDiC為異面直線PDi與MN所

成的角或其補角，因為4B=2,所以CDi=2或，DiPPC=3,所以

22

COSZPD1C=（2座）+產(chǎn)）-32=包，所以異面直線PD與MN所成角的余弦值為亞,

12x2V2xV510110

故B正確;

對于C,連接A±M,易得A1B〃MN,A1B于MN,A1M=BN,所以平面BMN

截正方體所得雙面為梯形MNB4,故C正確；

對于D,易得D］P〃BN,因為。止《平面MNB,BNu平面MNB,所以。止〃

11

平面MNB,所以，三棱錐P-MNB='三棱錐/-MNB=，三棱錐B-MN%=3'萬X1X

lx2=1,故D正確.故選BCD.

AB

11.已知在四棱錐P—ZBCD中,2D〃BC,a。=2BC,E為PD的中點，平面ABE

交PC于點F,則2=2.

［解析］如圖，延長DC,ZB交于點G,連接PG,EG支PC于點、F,

???AD//BC,且2D=2BC,:.B,C分別是4G,DG的中點.

又E是PD的中點，PC和GE是APDG的中線，

點、F是APDG的重心,所以竺=2.

G

12.已知在四棱錐P—4BCD中，底面4BCD為平行四邊形,P4=4B=4。=1,

ZPaB=ZPaD=NB2D=60°,E為棱PC的中點，則異面直線BE與24所成

角的大小為

4

［解析］如圖，連接BD,AC交于點。，再連接0E,

因為O,E分別為ZC,PC的中點，所以。E〃pa,且。E=gpa=$所以異面直

線BE與P2所成的角為乙BEO.

因為△ZBD為等邊三角形，

所以BD=1nOB=工，在△BEO中，OE?+OB2=BE2,cos^BEO=—=4=—,

2BE-2

即NBE。=工，故異面直線BE與PZ所成角的大小為二

44

應(yīng)用情境練

13.如圖，在直三棱柱ABC—&B1C1中，BA1BC,AB=4,441=BC=4k,

。是的中點，在側(cè)面441cle上以。為圓心，2為半徑作圓，P是圓。上一

點，則BP的最小值為生

［解析］如圖，取2C的中點F,過點B作BE14C,垂足為E,連接。E,OF.

因為三棱柱ABC—4m1的為直三棱柱，所以CCil平面4BC.因為BEu平面

2BC,所以cciIBE.因為acncci=c,acu平面acci2i,cciu平面acCiZi，

所以BE1平面441C1C,因為EPU平面441C1C,所以BE1EP,得BP=

<BE2+EP2,當(dāng)PCOE時，EP最小，此時BP有最小值,

因為BA1BC,AB=4,BC=4V3,所以AC=y/AB2+BC2=8,乙EAB=60°,

易求得BE=2y/3,AE=2,2F=4,所以EF=2,由。F1EF,OF==2祗,

得。E=4,所以EPmin=OE-2=2,所以BP的最小值為，12+4=4.

c

14.（雙空題）已知正方體48。。-2$1的。1的所有頂點均在體積為32國的

球。上，則該正方體的棱長為4；若動點P在四邊形2道修1。1內(nèi)運動，且滿足

直線CC1與直線AP所成角的正弦值為右則0P的最小值為近.

［解析］如圖，設(shè)正方體ZBCD—ZiBiCiDi的棱長為a,則球。的半徑為?a,

3

故球。的體積^=/（學(xué)）=32V3n，解得a=4.因為CCJ/24,所以直線Z4

與直線2P所成角的正弦值為3即7丹有=；,解得&P=應(yīng)，故點P的軌跡是

3^42+4止23,

以為為圓心，魚為半徑的圓的四分之一（如圖所示），設(shè)正方形4/1C1D1的中心

為。1，連接。141，。。1，

則OPmin=」。。：+。止盆=J22+（2^2-奩J=V6.

創(chuàng)新拓展練

15.在Rt^ZBC中，乙8。4=］/C=1,BC=8,。是邊上的動點，設(shè)BD=%,

把△BDC沿DC翻折為△BiDC,如圖所示，若存在某個位置，使得異面直線BiC

與所成的角為5則實數(shù)久的取值范圍是（等21.

c

c

［解析］在RtZkZBC中，Z.BCA=-,AC=1,BC=V3,則N&BC=E,

26

△BDC沿DC翻折為△BiDC,則BiC是以BCF為軸截面的圓錐的母線，其中C,D,0

共線，C。為圓錐的軸，4與B,F不重合，如圖，過點C作CE〃4。，則BiC與

所成的角等于BiC與CE所成的角，設(shè)乙BCD=B,易知ZECF=26+E,如圖，

6

若存在某個位置，使得異面直線BiC與4。所成的角為工，則2。+工>二

363

.??。＞強又“BC=奈Sin^=sing-J)=sin^cos^-

c嗎s嗚=/，在ABC。中，由正弦定理得缶BDxsin0

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