2025年高考數(shù)學二輪考點突破專項訓練一直線與圓

一、必備知識夯實練

1.（2024浙江溫州三模）已知直線/i：x+y=0,/2：ox+by+l=0,若/iJ_b,則a+b-{）

A.-lB.OC.lD.2

2.（2024河北張家口二模）已知點P（尤0,死）為圓C:f+y2=2上的動點,則直線/:無吐yoy=2與圓C的位置

關系為（）

A.相交B.相離

C.相切D.相切或相交

3.（2024廣東梅州二模）若直線/:znx+〃y+?j=O將圓C:（尤-2）?+y2=4分成弧長之比為21的兩部分，則直

線的斜率為（）

A而n/2V5「/V2、/V2

A--yB--c--yD-T

4.（2024全國乙，文11）已知滿足V+y2-4x-2y-4=0,則尤-y的最大值是（）

A.1+芋B.4C.1+3V2D.7

5.（2024山東濰坊模擬）若點M是圓C:x2+y2_4x=0上的任一點，直線/:x+y+2=0與x軸、y軸分別相交

于A,8兩點，則/K48的最小值為（）

_2

6.（2024山東濟寧二模）在平面直角坐標系中，過點尸（3,0）作圓O:（x-l）2+（y-2V3）=4的兩條切線，切點

分別為A,8,則直線48的方程為（）

A.x-V^y+3=0B.x+V^y+3=0

C.V3x-y+3=0D.V3x+j+3=0

7.（多速題X2024廣東惠州模擬）已知直線/:自子左=0與圓AfM+yMxNy+lR,則下列說法正確的是

（）

A.直線/恒過定點（1,0）

B.圓M的圓心坐標為（2,1）

C.存在實數(shù)左使得直線/與圓M相切

D.若左=1,直線/被圓M截得的弦長為2

8.（2024新高考/,6）過（0,-2）與圓d+jM/lnO相切的兩條直線的夾角為a,則sina=（）

A.lB.孚

C.孚D.q

44

9.（2024福建莆田模擬）寫出一個被直線x-y-0平分且與直線x+y=O相切的圓的方程:一

10.（2024江蘇南京師大附中一模）過點P（3,-2）且與圓CV+V-ZxTy+kO相切的直線方程

為.

二、關鍵能力提升練

11.（2024廣東深圳中學模擬）若圓（x-a）2+（j-3）2=20上有四個點到直線2x-y+l=0的距離為6,則實數(shù)a

的取值范圍是（）

A.（-?,-1y3）U（y17,+co>

、

BR?/（173萬17）

C.（o,3$ug7+8）

37

D%，5）

12.（2024四川德陽模擬）唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句是“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交

河”.詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出

發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為

/+y2Wl,若將軍從點尸（-1,-2）處出發(fā)，河岸線對應的直線方程為x+y=2,并假定將軍只要到達軍營所在

區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬，，問題中的最短總路程為（）

A.6B.5C.4D.3

13.（多選題）已知圓C:f+y2-4y+3=0,一條光線從點P（2,l謝出經(jīng)x軸反射，則下列結論正確的是（）

A.圓C關于無軸對稱的圓的方程為f+V+dy+Sn。

B.若反射光線平分圓C的周長，則入射光線所在直線方程為3x-2y-4=0

C.若反射光線與圓C相切于點A,與x軸相交于點8,則|P8|+|84|=2

D.若反射光線與圓C交于兩點，則△CNM面積的最大值為］

14.（多選題X2024浙江杭州、寧波4月聯(lián)考）已知圓。/+聲=1,尸是直線/:x-y+2=0上一點，過點P作

圓。的兩條切線，切點分別為KN,則（）

A.直線龍W經(jīng)過定點

的最小值為近

C.點（2,0）到直線MN的距離的最大值為|

D./MPN是銳角

15.（2024河南商丘模擬）已知圓C2過點（2,-1）且與圓G相切于點（2,1）,則圓。2的方

程為.

16.（2024山東淄博一模）在平面直角坐標系中，已知點尸（3,1）,直線y=fcv+6與圓/+產(chǎn)4。交于兩

點，若為正三角形,則實數(shù)b=.

三、核心素養(yǎng)創(chuàng)新練

17.（2024河北邯鄲一模）已知點4（0,0）,2（6,0）,符合點48到直線/的距離分別為1,3的直線方程

為.（寫出一條即可）

18.（2024廣東深圳一模）設a>0,A（2a,0）,B（0,2）,0為坐標原點，則以OA為弦，且與相切于點A的圓

的標準方程為;若該圓與以。2為直徑的圓相交于第一象限內(nèi)的點P,則點P橫

坐標尤的最大值為

參考答案與解析

1.B解析因為直線/i：x+y=0,/2：〃%+Z<y+l=0,且/JL,則1,。+1乃=0,所以a+b=Q.

2.C解析由題意可得鬲+詔=2,則圓心C到直線/的距離4=暮==4=42,所以直線和圓

相切.

3.D解析如圖,令直線/與圓C交于點4,民依題意,NACB=120°,而圓C的圓心C(2,0),半徑

r=2,ZABC=3Q°，因此點C到直線/的距離d=rsin30°=1,于是d=即。=1,

yJjmz+nz

整理得n=±2ypini,

所以直線/的斜率％=-;=士系

4.C解析(方法一)由一+廣以2口=。,得(x-2)2+(y-l)2=9,該方程表不圓心為(2,1),半徑為3的圓.

設貝Ix-y-〃=0,且由題意知直線x-y-u=0與圓(x-2)2+(y-l)2=9有公共點，則號W3,解得1-

3魚或〃<1+3魚，所以x-y的最大值為1+3V1

(方法二)由『+>2_4/2廣4=0,得02>+(廣1)2=9,令］;I:需。<°<2兀，

所以x?y=l+3cos0-3sin6=1+3V2cos(0+-y),cos(9+：)=l時,x-y的最大值為1+3a.故選C.

44

5.A解析如圖，直線/的斜率為-1,傾斜角為手，故/0A8=q圓C的標準方程為(+2)2+戶4,圓心

44

為C(2,0),半徑為r=2.易知直線/交x軸于點4(20),所以HC|=4.

由圖可知,當直線4W與圓C相切，且切點位于x軸下方時,/MA3取最小值.由圓的幾何性質(zhì)可

知CML4M且9必=2=口4C,則/。4/4

26

故NMAB2NOABW=；_￡=攝

64612

2

6.A解析圓O:(x-l)2+(y-2g)=4的圓心為。(1,2舊),半徑為2,P。的中點坐標為

I22

M2,V3),|PO|=J(3-1)2+(2V3-0)=4,則以N為圓心，尸O為直徑的圓的方程為(x-2)2+(y-b)=4.

因為過點尸(3,0)作圓O:(x-l)2+(y-2V3)=4的兩條切線，切點分別為4,3,所以43是兩圓的公共

弦，將兩圓的方程相減可得公共弦AB所在直線的方程為x-V3y+3=0.

7.AB解析直線/:依-y-%=0變形為y=Z(x-l),故直線/恒過定點(1,0),故A正確；

圓M-JC+/-4x-2y+1=0變形為(x-2)2+(y-=4,圓心坐標為(2,1),故B正確；

令圓心(2,1)到直線l:kx-y-k=0的距離華坦=2,整理得3M+2左+3=0,由/=4-36=-32<0可得，方程

Ji+fc2

無解，故不存在實數(shù)左，使得直線/與圓/相切，故C錯誤；

若％=1,則直線/的方程為尤-y-l=0,圓心(2,1)在直線/:x-y-l=0上,故直線/被圓M截得的弦長為直

徑4,故D錯誤.

故選AB.

8.B解析由/+9心-1=0,得02>+9=5,故圓心C(2,0),半徑R=V5.

過點。(0,-2)作圓的切線，與圓的兩個切點為48,連接463。,。,48,

則AB1.CD,ZCAD=ZCBD=^,ZADC=ZBDC=^,

由幾何知識得,|8。|=|4?|=逐,|C￡)|=J(0-2)2+(20)2=2或.

由勾股定理得,|AD|=|BD|=J|CD|2_R2=V3.

a\BD\V3V6.a\BC\V5V10

cosi=9=玄=T'sini=兩=次=丁，

、生「

si.na=2csi?na-cosa-=c2x—V1—0xV—6=-V15.故選B.

22444

9.(x-l)2+(y-l)2=2(答案不唯一)解析由題意可知，圓心過直線x-y=O,不妨設圓心坐標為(1,1),半

徑為r.

又因為圓心(1,1)到直線x+y=O的距離d=,1+11=V^=r，所以(尤-1)?+01戶=2符合題意.

Jl2+12

10.x=3或3x+4y-l=0解析將圓C方程化為圓的標準方程(尤-1)2+(廣2)2=4,得圓心C(l,2),半徑為

r=2.

當過點尸(3,-2)的直線斜率不存在時，直線方程為x=3,是圓C的切線，滿足題意;當過點P(3,-2)的

直線斜率存在時，可設直線方程為尹2=小-3),即日咪3h2=0,利用圓心到直線的距離等于半徑得

阜坦=2,解得左即此直線方程為3x+4y-l=0.

月4

綜上，滿足題意的直線方程為x=3或3x+4y-l=0.

11.D解析因為圓的方程為0。)2+”3)2=20,所以圓心為(。,3),半徑為2遍.又圓(+a)2+(y-3)2=20

上有四個點到直線2x-y+l=0的距離為近，所以圓心到直線2x-y+l=0的距離d<遮,所以甯<

圾即|2a-2|<5,得[<a<]

(對+U=2

12.C解析如圖，設點P關于直線x+y=2的對稱點為Q(x,y),則I”第2一罐得匕-上即

U+i'

2(4,3),

所以|0。|=月不可=5,則“將軍飲馬”問題中的最短總路程為|OQ|-1=5-1=4.

13.ABD解析對于A,由圓C方程可得V+(y-2)2=l,故圓心C(0,2),半徑r=l,

...圓C關于X軸對稱的圓的圓心為CQ-2),半徑為1,

/.所求圓的方程為^+0+2)2=1,即f+V+、+sR,故A正確；

對于B「.?反射光線平分圓C的周長,.??反射光線經(jīng)過圓心C(0,2),...入射光線所在直線經(jīng)過點

。(0,-2),

kcp=^=I，二入射光線所在直線方程為y+2=|無，即3元-2y-4=0,故B正確；

對于C；反射光線經(jīng)過點尸(2,1)關于x軸的對稱點尸(2,-1),

.,.|P3|+|A4|=|P5|+由A|=|PA|,又|PA|=JpC|2-l=2g,.\『3|+|54|=2行,故C錯誤;

對于D,設NCMN=6(0<eg),則圓心C(0,2)到直線MN的距離d=sin0,：.|MA^|=2Vl-sin20=2cos

e,

11

S^CNM=-\MN\-^=sin9cos0=-sin29,

則當時,(SACNM)max=J,故D正確.故選ABD.

4Z

22

14.AB解析設P(Xo,%o+2),則以。尸為直徑的圓的方程為(久-登產(chǎn)+?-竽產(chǎn)=染野旦，化簡

得J^-XOX-(XO+2)y+y2=0,

與x1+y2=l聯(lián)立，可得MN所在直線方程為xo%+(xo+2)y=l,即xo(x+y)+2y-l=O,

故可知直線MN恒過定點(3,：),故A正確；

點。到過定點(-1，)的直線MN距離的最大值為J(-j-0)2+(1-0)2=與,IMNImin=2xjl-(y)2=

VX故|MN|的最小值為VX故B正確；

當點(2,0)與定點(悔的連線與直線MN垂直時，此時點(2,0)到直線MN的距離最大，且最大值為

[(《-2)2+(/0)2=亨，故c錯誤;

圓心。到直線/的距離為，由于在直角三角形中,

V2/MPN=2NMPO,sinN

MPO^=上

\OP\|OP「

當點P運動到滿足OPL時，此時|0尸|最小,NMPO最大，此時sinZMPO-y,ZMPO=45°,Z

MPN=90°,故D錯誤.故選AB.

15.(x-4)2+y2=5解析如圖，過點(0,2)和(2,1)的直線方程為x+2y-4=0,以點(2,-1)和點(2,1)為端點

的線段的垂直平分線的方程為y=0.

由，]不"=°，得G(4,0),則圓C2的半徑r=VFTP=迷，所以圓C2的方程為(尤-4)2+丁=5.

16.-5解析由題意可知點尸(3,1)在圓上，如圖.設MN的中點為“,連接尸”,因為△PMN為正三角

形，所以PH過點。，且PHLMN,

則直線MN的斜率k=--^—=-3,y=kx+b即為y=-3x+b.

kop

因為△「；而為正三角形,所以點。為△PMN的中心油中心及重心性質(zhì)知,[0"|=等=手，故

得=乎,解得匕=±5.結合點尸(3,1)在圓上,△PMN是圓的內(nèi)接正三角形，可知A<0,即b=-5.

vi+y2

17.x+2&y+3=0或x-2V2y+3=0或2x+V5y-3=0或2x-d§y-3=0(寫出一條即可)解析由題意可

知直線/是圓d+y2=l與圓(%-6)2+y2=9的公切線，

因為兩圓外離，所以滿足條件的直線/有四條,如圖.

當直線/位于直線小/2位置時，由幾何性質(zhì)(相似三角形的性質(zhì))易知直線/過點(-3,0).

設直線I的方程為％二町-3,則7^=^=1,解得根=王2&,此時直線I的方程為九+2/丁+3=0或x-

2傷+3=0.當直線/位于直線4/4位置時油幾何性質(zhì)(相似三角形的性質(zhì))易知直線/過點(|,0),

|3|“

設直線/的方程為x=〃y+|,貝ij解得〃二H亭此時直線/的方程為21+遍丁