解直角三角形及其應(yīng)用（第4課時(shí)）人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的一般過程是：（1）將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）；（2）根據(jù)問題中的條件，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問題的答案；（4）得到實(shí)際問題的答案．方向角在測繪、地質(zhì)與地球物理勘探、航空、航海及部隊(duì)行進(jìn)等方面應(yīng)用廣泛．你知道怎樣利用方向角測量兩地的距離嗎？一般地，方向角是指目標(biāo)與參照物所在的直線和南北方向所在的直線所夾的銳角．利用方向角，根據(jù)已知條件構(gòu)造直角三角形，然后通過解直角三角形就可得出所求兩地的距離．點(diǎn)A

在點(diǎn)O

的北偏東60°方向，點(diǎn)B

在點(diǎn)O

的南偏東45°方向（東南方向），點(diǎn)C

在點(diǎn)O

的南偏西80°方向，點(diǎn)D

在點(diǎn)O

的北偏西30°方向．南偏東45°也稱為東南方向；南偏西45°也稱為西南方向；北偏西45°也稱為西北方向；北偏東45°也稱為東北方向．特別注意（1）方向角通常是以南北方向線為基準(zhǔn)，一般習(xí)慣說成“南偏東（西）”或“北偏東（西）”．（2）觀測點(diǎn)不同，所得的方向角也不同，但各個(gè)觀測點(diǎn)的南北方向線是互相平行的，因此，通常借助于此性質(zhì)進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)換．例1

如圖，一艘海輪位于燈塔P

的北偏東65°方向，距離燈塔80

n

mile

的A

處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P

的南偏東34°方向上的B

處．這時(shí)，B

處距離燈塔P

有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？分析：能確定的線段和角有：___________________________________．要求解的是：________________．∠A＝65°，PA＝80

n

mile，∠B＝34°線段PB

的長度解：如圖，在Rt△APC

中，PC

＝PA·sin

65°≈72.505（n

mile）．在Rt△BPC

中，∠B＝34°，∵sin

B＝

，∴PB＝

≈130（n

mile）．因此，當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P

的南偏東34°方向時(shí)，它距離燈塔P

大約130

n

mile．例2

海中有一個(gè)小島A，它周圍8

n

mile

內(nèi)有暗礁．漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B

點(diǎn)測得小島A

在北偏東60°方向上，航行12

n

mile

到達(dá)D

點(diǎn)，這時(shí)測得小島A

在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？EFC解：如圖，過A

點(diǎn)作AE⊥BD

于點(diǎn)E，過D

點(diǎn)作DC∥AE，則AE

是點(diǎn)A

到BD

的最短距離，且

CD//AE//BF．∴∠BAE＝∠ABF＝60°，∠DAE＝∠ADC＝30°．∴∠ABE＝∠BAD＝30°．∴AD＝BD＝12

n

mile．∴AE＝AD·sin

60°＝12×＝6

（n

mile）．∵6

＞8，∴如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，沒有觸礁的危險(xiǎn)．EFC解題思路解答關(guān)于方向角的應(yīng)用題時(shí)，對(duì)于非直角三角形問題，可以通過作輔助線轉(zhuǎn)化成直角三角形問題來解決．多利用正北、正南、正東、正西方向線構(gòu)造直角三角形，注意所作的輔助線盡量不分割已知的特殊角．例3

如圖，隨著我市鐵路建設(shè)進(jìn)程的加快，現(xiàn)規(guī)劃從A

地到B

地有一條筆直的鐵路通過，但在附近的C

處有一個(gè)大型油庫．現(xiàn)測得油庫C

在A

地的北偏東60°方向上，在B

地的西北方向上，B

地在A

地的正東方向上，AB

的距離為250(

＋1)m．已知在以油庫C

為中心，半徑為200

m

的范圍內(nèi)施工均會(huì)對(duì)油庫的安全造成影響．問：若在此路段修建鐵路，油庫C

是否受到影響？請說明理由．解：如圖，過點(diǎn)C

作CD⊥AB

于點(diǎn)D．由題意，得∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．在Rt△ADC

中，tan∠CAD＝

，即tan

30°＝

，∴

AD＝

CD．在Rt△BDC

中，tan∠CBD＝

，即tan

45°＝

，∴BD＝CD．D∵AD＋BD＝AB，∴

CD＋CD＝250(

＋1)m，∴CD＝250

m．∵250

m＞200

m，∴在此路段修建鐵路，油庫C

不會(huì)受到影響．D例4

知識(shí)改變世界，科技改變生活．導(dǎo)航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行．如圖，某校組織學(xué)生乘車到黑龍灘（用C

表示）開展社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，車到達(dá)A

地后，發(fā)現(xiàn)C

地恰好在A

地的正北方向，且距離A

地13

km，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏東60°方向行駛至B

地，再沿北偏西37°方向行駛一段距離才能到達(dá)C

地，求B，C

兩地的距離．解：如圖，作BD⊥AC

于點(diǎn)D，則∠BAD＝60°，∠DBC＝53°．設(shè)AD＝x

km，則在Rt△ABD

中，BD＝AD·tan∠BAD＝

x（km），在Rt△BCD

中，CD＝BD·tan∠DBC≈

x×＝

x（km）．由AC＝AD＋CD，得x＋

x

＝13，解得x＝4

－3．D所以