哈九中2024屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）Ⅰ卷一、單選題：本題共有8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.3.在等差數(shù)列中，若，則（）A.20 B.24 C.27 D.294.“，”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.下列命題中，真命題的是（）A.函數(shù)的周期是 B.C.函數(shù)是奇函數(shù). D.的充要條件是6.設(shè)是與的等差中項(xiàng)，則的最小值為（）A. B.3 C.9 D.7.已知中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A27 B.0 C. D.8.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，經(jīng)過一個(gè)周期后這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.35 B.42 C.49 D.56二、多選題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分．9.數(shù)列滿足：，，，下列說法正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.C.數(shù)列是遞減數(shù)列 D.的前項(xiàng)和10.下列說法中正確的是（）A.在中，，，，若，則為銳角三角形B.非零向量和滿足，，則C.已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D.在中，若，則與的面積之比為11.已知函數(shù)，則（）A.若，則B.若函數(shù)為偶函數(shù)，則C.若上單調(diào)，則D.若時(shí)，且在上單調(diào)，則12.已知，若恒成立，則不正確的是（）A.的單調(diào)遞增區(qū)間為B.方程可能有三個(gè)實(shí)數(shù)根C.若函數(shù)在處的切線經(jīng)過原點(diǎn)，則D.過圖象上任何一點(diǎn)，最多可作函數(shù)的8條切線Ⅱ卷三、填空題：本題共有4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．14.已知的面積，，則________；15.若，則________．16.，為一個(gè)有序?qū)崝?shù)組，表示把A中每個(gè)-1都變?yōu)椋?，每個(gè)0都變?yōu)椋?，每個(gè)1都變?yōu)?，1所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，例如：，則．定義，，若，中有項(xiàng)為1，則的前項(xiàng)和為________．四、解答題：本題共有6個(gè)小題，共70分．17.設(shè)向量（I）若（II）設(shè)函數(shù)18.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，，且點(diǎn)分別為和中點(diǎn).（1）求證：直線平面；（2）求與平面所成角的正弦值.19.已知數(shù)列滿足，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和．20.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，的面積為．已知①；②；③，從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，回答下列問題．（1）求角；（2）若．求的取值范圍．21.已知等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，的前項(xiàng)和分別為，.若的公差為整數(shù)，且，求.22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求取值范圍；（3）設(shè)，證明：．哈九中2024屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）Ⅰ卷一、單選題：本題共有8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式可得集合，根據(jù)集合的并集運(yùn)算即得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出復(fù)數(shù)，得到的共軛復(fù)數(shù)，即可得到答案.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以，所以的共軛復(fù)數(shù).其虛部為：2.故選：D3.在等差數(shù)列中，若，則（）A.20 B.24 C.27 D.29【答案】D【解析】【分析】求出基本量，即可求解.【詳解】解：，所以，又，所以，所以，故選：D4.“，”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)，結(jié)合充分必要條件的概念即可判斷.【詳解】，時(shí)，，，時(shí)，，所以“，”是“”的充分而不必要條件，故選:.5.下列命題中，真命題的是（）A.函數(shù)的周期是 B.C.函數(shù)是奇函數(shù). D.的充要條件是【答案】C【解析】【分析】選項(xiàng)A，由可判斷；選項(xiàng)B，代入，可判斷；選項(xiàng)C，結(jié)合定義域和，可判斷；選項(xiàng)D，由得且，可判斷【詳解】由于，所以函數(shù)的周期不是，故選項(xiàng)A是假命題；當(dāng)時(shí)，故選項(xiàng)B是假命題；函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足，故函數(shù)是奇函數(shù)，即選項(xiàng)C是真命題；由得且，所以“”的必要不充分條件是“”，故選項(xiàng)D是假命題故選：C6.設(shè)是與的等差中項(xiàng)，則的最小值為（）A. B.3 C.9 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的定義，利用對數(shù)的運(yùn)算得到，然后利用這一結(jié)論，將目標(biāo)化為齊次式，利用基本不等式即可求最小值.【詳解】解：是與的等差中項(xiàng)，，即，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值中的其次化方法，涉及等差中項(xiàng)概念和對數(shù)運(yùn)算，難度中等.當(dāng)已知（都是正實(shí)數(shù)，且為常數(shù)），求，為常數(shù)的最小值時(shí)常用方法，展開后對變量部分利用基本不等式，從而求得最小值；已知（都是正實(shí)數(shù)，且為常數(shù)），求，為常數(shù)的最小值時(shí)也可以用同樣的方法.7.已知中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.27 B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖形特點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，由題設(shè)數(shù)量關(guān)系得出A，B，C的坐標(biāo)，再設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值即可.【詳解】解：以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意可知，，，，設(shè)，其中，則，，故，所以當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：D.8.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，經(jīng)過一個(gè)周期后這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.35 B.42 C.49 D.56【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意列出方程，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算n輪傳染后感染的總?cè)藬?shù)，得到指數(shù)方程，求得近似解，然后可得需要的天數(shù).【詳解】感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數(shù)為，經(jīng)過n輪傳染，總共感染人數(shù)：，∵，∴當(dāng)感染人數(shù)增加到1000人時(shí)，，化簡得，由，故得，又∵平均感染周期為7天，所以感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要天，故選：B【點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程．二、多選題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分．9.數(shù)列滿足：，，，下列說法正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.C.數(shù)列是遞減數(shù)列 D.的前項(xiàng)和【答案】AB【解析】【分析】推導(dǎo)出，，從而數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，由此利用等比數(shù)列的性質(zhì)能求出結(jié)果．【詳解】解：數(shù)列滿足：，，，，，，數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，故正確；，，故正確；數(shù)列是遞增數(shù)列，故錯(cuò)誤；數(shù)列的前項(xiàng)和為：，的前項(xiàng)和，故錯(cuò)誤．故選：．10.下列說法中正確的是（）A.在中，，，，若，則為銳角三角形B.非零向量和滿足，，則C.已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D.在中，若，則與的面積之比為【答案】BD【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積的定義得到角C為鈍角，從而否定A；利用向量的和、差的模的平方的關(guān)系求得，進(jìn)而判定B；注意到與同向的情況，可以否定C；延長交于,∵共線，利用平面向量的線性運(yùn)算和三點(diǎn)共線的條件得到,進(jìn)而，然后得到，利用分比定理得到，從而判定D.【詳解】即,∴,∴為鈍角，故A錯(cuò)誤；，，，，故B正確；，當(dāng)時(shí)，與同向，夾角不是銳角，故C錯(cuò)誤；∵，∴，延長交于,如圖所示.∵共線，∴存在實(shí)數(shù)，，∵共線，∴,∴,∴，∴，∴.∴，∴，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)，則（）A.若，則B.若函數(shù)為偶函數(shù)，則C.若上單調(diào)，則D.若時(shí)，且在上單調(diào)，則【答案】BD【解析】【分析】將代入求出函數(shù)值，根據(jù)的范圍即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)在上單調(diào)，則即可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)整體思想以及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對于選項(xiàng)A，若，則，即，∵，∴，則A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，若函數(shù)為偶函數(shù)，則或，即，則B正確；對于選項(xiàng)C：若在上單調(diào)，則，但不一定小于，則C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：若，則，當(dāng)時(shí)，，∵在上單調(diào)，∴，解得，則D正確．故選：BD．12.已知，若恒成立，則不正確的是（）A.的單調(diào)遞增區(qū)間為B.方程可能有三個(gè)實(shí)數(shù)根C.若函數(shù)在處的切線經(jīng)過原點(diǎn)，則D.過圖象上任何一點(diǎn)，最多可作函數(shù)的8條切線【答案】ABC【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)，得到，畫出函數(shù)圖象，可得單調(diào)區(qū)間；B選項(xiàng)，結(jié)合函數(shù)圖象得到方程的根的個(gè)數(shù)；C選項(xiàng)，分和兩種情況，得到或；D選項(xiàng)，設(shè)上一點(diǎn)，分M為切點(diǎn)和不是切點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可得過圖象上任何一點(diǎn)，最多可作函數(shù)的8條切線.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)，時(shí)，由于恒成立，故要想恒正，則要滿足，時(shí)，恒成立，，當(dāng)時(shí)，在恒成立，故在單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，故在上恒成立，滿足要求，當(dāng)時(shí)，令，故存，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，，不合題意，舍去，綜上：，當(dāng)時(shí)，，，且，畫出函數(shù)圖象如下，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，可以看出方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，不可能有三個(gè)實(shí)數(shù)根，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，則函數(shù)在處的切線方程為，將代入切線方程得，解得，當(dāng)時(shí)，，則，則函數(shù)在處的切線方程為，將代入切線方程得，，其中滿足上式，不滿足，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，設(shè)上一點(diǎn)，，當(dāng)切點(diǎn)為，則，故切線方程為，此時(shí)有一條切線，當(dāng)切點(diǎn)不為時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則，此時(shí)有，即，其中表示直線的斜率，畫出與的圖象，最多有6個(gè)交點(diǎn)，故可作6條切線，時(shí)，當(dāng)切點(diǎn)不為時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則，，，，，結(jié)合圖象可得，存在一個(gè)點(diǎn)，使得過點(diǎn)的切線過上時(shí)函數(shù)的一點(diǎn)，故可得一條切線，當(dāng)M點(diǎn)在時(shí)的函數(shù)圖象上時(shí)，由圖象可知，不可能作8條切線，綜上，過圖象上任何一點(diǎn)，最多可作函數(shù)f(x)的8條切線，D正確.故選：ABC【點(diǎn)睛】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)已知切點(diǎn)求斜率,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2)已知斜率求切點(diǎn),即解方程；(3)已知切線過某點(diǎn)(不是切點(diǎn))求切點(diǎn),設(shè)出切點(diǎn),利用求解.Ⅱ卷三、填空題：本題共有4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí)求得；當(dāng)時(shí)，利用可知數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，.故答案為：.14.已知的面積，，則________；【答案】【解析】【分析】由三角形的面積可解得，再通過數(shù)量積的定義即可求得答案【詳解】由題可知，因?yàn)?，所以解得由?shù)量積的定義可得【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積公式以及數(shù)量積的定義，屬于簡單題．15.若，則________．【答案】【解析】【分析】由，結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式得出答案．【詳解】，．，．故答案為：16.，為一個(gè)有序?qū)崝?shù)組，表示把A中每個(gè)-1都變?yōu)椋?，每個(gè)0都變?yōu)椋?，每個(gè)1都變?yōu)?，1所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，例如：，則．定義，，若，中有項(xiàng)為1，則的前項(xiàng)和為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)中有項(xiàng)為0，其中1和的項(xiàng)數(shù)相同都為，由已知條件可得①，②，進(jìn)而可得③，再結(jié)合④可得，分別研究為奇數(shù)與為偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式，運(yùn)用累加法及并項(xiàng)求和即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，依題意得，，，顯然，中有2項(xiàng)，其中1項(xiàng)為，1項(xiàng)為1，中有4項(xiàng)，其中1項(xiàng)為，1項(xiàng)為1，2項(xiàng)為0，中有8項(xiàng)，其中3項(xiàng)，3項(xiàng)為1，2項(xiàng)為0，由此可得中共有項(xiàng)，其中1和的項(xiàng)數(shù)相同，設(shè)中有項(xiàng)為0，所以，，從而①，因?yàn)楸硎景袮中每個(gè)都變?yōu)椋?，每個(gè)0都變?yōu)椋?，每個(gè)1都變?yōu)?，1所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，則②，①+②得，③，所以④，④-③得，，所以當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)符合，所以（為奇數(shù)），當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則為奇數(shù)，又因?yàn)椋?，所以，?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以的前項(xiàng)和為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)題目中集合的變換規(guī)則找到遞推式，求出通項(xiàng)公式，再利用數(shù)列的特征采取分組求和解出.四、解答題：本題共有6個(gè)小題，共70分．17.設(shè)向量（I）若（II）設(shè)函數(shù)【答案】（I）（II）【解析】【詳解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及，得4sin2x＝1.又x∈，從而sinx＝，所以x＝.(2)sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，當(dāng)x∈時(shí)，－≤2x－≤π，∴當(dāng)2x－＝時(shí)，即x＝時(shí)，sin取最大值1.所以f(x)的最大值為.18.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面，，且點(diǎn)分別為和中點(diǎn).（1）求證：直線平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，根據(jù)題意證得且，得到四邊形為平行四邊形，從而得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量和平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，在中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，可得且，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問2詳解】解：因?yàn)榈酌媸橇庑?，且，連接，可得為等邊三角形，

又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，又由平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為和軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)榈酌媸橇庑?，且，，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知數(shù)列滿足，且．（1）求通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用累加法求出，進(jìn)而得；（2）求得，利用錯(cuò)位相減法可求出答案.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以．【小?詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，所以（時(shí)也成立）．因?yàn)?，所以，所以，故?0.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，的面積為．已知①；②；③，從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，回答下列問題．（1）求角；（2）若．求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選①時(shí)：利用面積和數(shù)量積公式代入化簡即可；選②時(shí)：利用正弦定理代入，結(jié)合余弦定理得到；選③時(shí)：正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換，結(jié)合角度的范圍即可確定角.（2）結(jié)合（1）的角度，和邊的大小，用余弦定理進(jìn)行代換，結(jié)合基本不等式即可得到最終范圍.【小問1詳解】選①，由可得：，故有，又∵，∴；選②，∵，由正余弦定理得，∴，又，∴；選③，∵，由正弦定理可得，∴，∵，∴，∴，又，∴．【小問2詳解】由余弦定理得∵，∴．又有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，可得．即的取值范圍是．21.已知等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.