第五章萬(wàn)有引力與宇宙航行

微專題36雙星或多星模型

1.雙星問(wèn)題中，雙星各自所需的向心力由彼此間的萬(wàn)有引力提供，即（7號(hào)=加1。2n，縹返

=m282r2,其中n十廠2=心2.“雙星問(wèn)題”的隱含條件是兩者所需的向心力相等，周期相同，

角速度相同；雙星軌道半徑與質(zhì)量成反比。3.多星問(wèn)題中，每顆星體做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心

力由其他星體對(duì)該星的引力的合力提供，即尸*=^^。

r

1.（2023?廣東深圳市調(diào)研）由于潮汐等因素影響，月球正以每年約3至5厘米的速度遠(yuǎn)離地球。

如圖所示，地球和月球可以看作雙星系統(tǒng)，它們繞。點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。多年以后，地球

（）

「一O

A.與月球之間的萬(wàn)有引力變大

B.繞。點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期不變

C.繞。點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度變小

D.繞。點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑變小

答案C

解析地球和月球間距離變大，兩星的質(zhì)量不變，由萬(wàn)有引力定律可知，地球與月球之間的

萬(wàn)有引力變小，故A錯(cuò)誤；設(shè)地球與月球的質(zhì)量分別為"71和加2,做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為

尺1和七,地球和月球間距離為則有工=4+尺2,由萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二

定律有，物詈=如（'）2"=的。2&,魚(yú)詈=他（、）2尺=加2。2&,聯(lián)立可得酗卡=噂

LTLTL

=°2"R尸m五,地球和月球間距離增大，則地球繞。點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T變大，地

加2

球繞。點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度變小，地球繞。點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑變大，故B、D錯(cuò)誤，

C正確。

2.（多選）（2023?湖南衡陽(yáng)市聯(lián)考）科學(xué)家發(fā)現(xiàn)距離地球2764光年的宇宙空間存在適合生命居

住的雙星系統(tǒng)，這一發(fā)現(xiàn)為人類研究地外生命提供了新的思路和方向。假設(shè)宇宙中有一雙星

系統(tǒng)由質(zhì)量分別為機(jī)和M的43兩顆星體組成。這兩顆星體繞它們連線上的。點(diǎn)在二者萬(wàn)

有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，/、8兩顆星的距離為乙引力常量為G,貝!!（）

AL—IGB\

\\/I

w

'、、-------X

A.因?yàn)椤?＞。5,所以加＞河

B.兩恒星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2n/---

VG(M+m)

C.若恒星/由于不斷吸附宇宙中的塵埃而使得質(zhì)量緩慢增大，其他量不變，恒星/的周期

緩慢增大

D.若恒星/由于不斷吸附宇宙中的塵埃而使得質(zhì)量緩慢增大，其他量不變，則恒星/的軌

道半徑將緩慢減小

答案BD

解析設(shè)/、3兩顆星體的軌道半徑分別為尺卜尺2,雙星之間的萬(wàn)有引力提供向心力，則有絲陷

=m^Ri@

囪等=史網(wǎng)②

L2T1

兩式聯(lián)立得mRi=MR2③

OA＞OB,即凡＞&,所以有加A錯(cuò)誤；

聯(lián)立①②得兩顆星體的周期為7=2乃\j---,若僅緩慢增大，其他量不變，周期T變

\1G(M+m)

小，故B正確，C錯(cuò)誤；由幾何關(guān)系4+尺2=工，結(jié)合③式可得尺1=工^-"若機(jī)緩慢增大，

M+m

A的軌道半徑將緩慢減小，D正確。

3.(多選X2023?新疆博樂(lè)市診斷)雙星的運(yùn)動(dòng)是引力波的來(lái)源之一，假設(shè)宇宙中有一雙星系統(tǒng)

由P、Q兩顆星體組成，這兩顆星體繞它們連線上的某一點(diǎn)在二者之間萬(wàn)有引力作用下做勻

速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得P星的角速度為。，P、Q兩顆星體之間的距離為L(zhǎng)Q、P兩顆星體的軌

道半徑之差為A?P星的質(zhì)量大于Q星的質(zhì)量)，引力常量為G,貝1()

A.P、Q兩顆星體所需的向心力大小相等

B.P、Q兩顆星體的向心加速度大小相等

C.P、Q兩顆星體的線速度大小之差為oAr

D.P、Q兩顆星體的質(zhì)量之比為匚2

Z+Ar

答案AC

解析P、Q兩顆星體的向心力都等于兩者之間的萬(wàn)有引力，因此P、Q兩星體的向心力大小

相等，故A正確；兩顆星體的質(zhì)量不相等，根據(jù)尸向=冽4可知，兩星體的向心加速度不相等，

故B錯(cuò)誤；兩顆星體角速度相等，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)公式I/=G尸，可知p^=G（Rp—RQ）

=co\r,故C正確；對(duì)于兩顆星體有方向=7^p①2RP=冽QQ2RQ,所以西=感,又因?yàn)榧觩>加Q,

mQRp

所以RP<RQ,根據(jù)題意尺Q—&=Ar,RP+RQ=L,解得.=及=吐包，故D錯(cuò)誤。

ntQRpL-\r

4.如圖所示，“食雙星”是兩顆相距為d的恒星A、B,只在相互引力作用下繞連線上。點(diǎn)

做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，彼此掩食（像月亮擋住太陽(yáng)）而造成亮度發(fā)生周期性變化的兩顆恒星。觀察

者在地球上通過(guò)望遠(yuǎn)鏡觀察“食雙星”，視線與雙星軌道共面。觀測(cè)發(fā)現(xiàn)每隔時(shí)間T,兩顆

恒星與望遠(yuǎn)鏡共線一次，已知引力常量G,則（）

A.恒星A、B運(yùn)動(dòng)的周期為T

B.恒星A質(zhì)量小于B的質(zhì)量

C.恒星A、B的總質(zhì)量為四

GT2

D.恒星A的線速度大于B的線速度

答案C

解析每隔時(shí)間T兩顆恒星與望遠(yuǎn)鏡共線一次，則兩恒星的運(yùn)動(dòng)周期為〃=27,A錯(cuò)誤；

根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，=wA-^rrA=,因?yàn)槿?lt;?,則加A>%B,B錯(cuò)誤；

屋（27）2（27）2

兩恒星總質(zhì)量為M=7〃A+7"B=*,C正確；根據(jù)片兩恒星角速度相等，則人〈向D

GP

錯(cuò)誤。

5.（2023?四川廣安市模擬）已知宇宙中存在著由四顆星組成的孤立星系，一顆母星處在正三角

形的中心，三角形的頂點(diǎn)各有一個(gè)質(zhì)量相等的小星圍繞母星做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示。如果兩

顆小星間的萬(wàn)有引力大小為尸，母星與任意一顆小星間的萬(wàn)有引力大小為6R則下列說(shuō)法中

正確的是（）

p

/。\

d----------o

A.母星受到的合力大小為（33+3）廠

B.每顆小星受到的合力大小為（?+6A

C.母星的質(zhì)量是每顆小星質(zhì)量的3倍

D.母星的質(zhì)量是每顆小星質(zhì)量的2倍

答案D

解析母星與任意一顆小星間的萬(wàn)有引力大小為6尸，母星受到的三個(gè)萬(wàn)有引力大小相等，夾

角均為120°,故根據(jù)合成可知，母星受到的合力為零，故A錯(cuò)誤；根據(jù)受力分析可知，每顆

小星受到其余兩顆小星和一顆母星的引力，其合力指向母星以提供向心力，即每顆小星受到

的萬(wàn)有引力為P=6F+2Fcos30°=(A/3+6)F,故B錯(cuò)誤；假設(shè)每顆小星的質(zhì)量為加，母星

的質(zhì)量為等邊三角形的邊長(zhǎng)為0,則小星繞母星運(yùn)動(dòng)軌道半徑為廠=火0,根據(jù)萬(wàn)有引力

3

定律，兩顆小星間的萬(wàn)有引力為尸=G管，母星與任意一顆小星間的萬(wàn)有引力為6尸=厚勺,

解得母星的質(zhì)量是每顆小星質(zhì)量的2倍，故D正確，C錯(cuò)誤。

6.(多選X2023?山東省濟(jì)南實(shí)驗(yàn)中學(xué)檢測(cè))'‘中國(guó)天眼”(500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡，F(xiàn)AST)

發(fā)現(xiàn)一個(gè)脈沖雙星系統(tǒng)，科學(xué)家通過(guò)脈沖星計(jì)時(shí)觀測(cè)得知該雙星系統(tǒng)由一顆脈沖星與一顆白

矮星組成。如圖所示，假設(shè)在太空中有恒星A、B雙星系統(tǒng)繞。點(diǎn)做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

運(yùn)動(dòng)周期為Ti，它們的軌道半徑分別為RA、RB，且RA<RB。C為B的衛(wèi)星，繞B做逆時(shí)針

勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為不，且72<乃。忽略A與C之間的引力，且A與B之間的引力遠(yuǎn)大于

C與B之間的引力，引力常量為G。貝!]()

A.恒星A的質(zhì)量大于恒星B的質(zhì)量

B.恒星B的質(zhì)量為MB=4-A(RA+RB)2

GTI2

C.若知道C的軌道半徑，則可求出C的質(zhì)量

D.三星A、B、C相鄰兩次共線的時(shí)間間隔為加=且2k

Tl-72

答案AB

解析因?yàn)殡p星系統(tǒng)兩恒星的角速度相同，且A、B間的萬(wàn)有引力提供各自運(yùn)動(dòng)的向心力，

對(duì)A、B有VARAO2=MBRBO2,得必=&,其中RA<RB,則恒星A的質(zhì)量大于恒星B的質(zhì)

MBR\

量，故A正確；在A、B組成的雙星系統(tǒng)中，對(duì)恒星A分析，可得GM"MB=必勺曾A,

(RA+RB)27?

解得恒星B的質(zhì)量為〃B=題&%型直，故B正確；對(duì)衛(wèi)星C,滿足6^^=優(yōu)知;，m

GT?r2TR

會(huì)被約掉，可見(jiàn)只知道C的軌道半徑無(wú)法求出衛(wèi)星C的質(zhì)量，故C錯(cuò)誤；由題意可知，三星

A、B、C相鄰兩次共線所用的時(shí)間滿足①必方一①BA/=TT,即\t—

72

—Az=7t,解得加=,故D錯(cuò)誤。

Ti2（八一巴）

7.（多選）近年科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，在宇宙中，三恒星系統(tǒng)約占所有恒星系統(tǒng)的十分之一，可見(jiàn)此

系統(tǒng)是一個(gè)比較常見(jiàn)且穩(wěn)定的系統(tǒng)。在三恒星系統(tǒng)中存在這樣一種運(yùn)動(dòng)形式：忽略其他星體

對(duì)它們的作用，三顆星體在相互之間的萬(wàn)有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上,

繞某一共同的圓心。在三角形所在平面內(nèi)以相同角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖所示為4、8、

。三顆星體質(zhì)量冽4、mB、加C大小不同時(shí)，星體運(yùn)動(dòng)軌跡的一般情況。設(shè)三顆星體在任意時(shí)

刻受到的萬(wàn)有引力的合力大小分別為尸1、方2、F3,加速度大小分別為m、42、的，星體軌跡

半徑分別為尺4、RB、RC，下列說(shuō)法正確的是（）

A.