29函數(shù)的零點(diǎn)講義高考要求1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系，能夠進(jìn)行函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解之間的轉(zhuǎn)化；2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡單應(yīng)用，能解決與函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)有關(guān)的問題；3.了解用二分法求方程的近似解，能判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間；【知識總結(jié)】1．函數(shù)零點(diǎn)的定義：一般地，把方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根x稱為函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)．注：函數(shù)的零點(diǎn)不是一個“點(diǎn)”，而是方程f(x)＝0的實(shí)根．2．函數(shù)零點(diǎn)存在性定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)f(b)＜0，那么在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．3．函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩圖象交點(diǎn)之間的聯(lián)系設(shè)函數(shù)為y＝f(x)，則f(x)的零點(diǎn)即為滿足方程f(x)＝0的根，若f(x)＝g(x)－h(huán)(x)，則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)間(x)＝h(x)，即方程的根在坐標(biāo)系中為g(x)，h(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．由此看來，函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根，兩圖象的交點(diǎn)這三者各有特點(diǎn)，且能相互轉(zhuǎn)化，在解決有關(guān)根的問題以及已知根的個數(shù)求參數(shù)范圍這些問題時要用到這三者的靈活轉(zhuǎn)化．常用結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點(diǎn)．(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號．(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號．注意：(1)f(x)在[a，b]上連續(xù)是使用零點(diǎn)存在性定理判定零點(diǎn)的前提．(2)零點(diǎn)存在性定理中的幾個“不一定”與“一定”(假設(shè)f(x)連續(xù))．①若f(a)f(b)＜0，則f(x)“一定”存在零點(diǎn)，但“不一定”只有一個零點(diǎn)，可以有多個．如果f(x)單調(diào)，則“一定”只有一個零點(diǎn)．因此分析一個函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)前，可嘗試判斷函數(shù)是否單調(diào)．②若f(a)f(b)＞0，則f(x)在[a，b]“不一定”存在零點(diǎn)，也“不一定”沒有零點(diǎn)．此時如果還有條件f(x)單調(diào)，那么“一定”沒有零點(diǎn)．③若f(x)在(a，b)有零點(diǎn)，則f(a)f(b)的符號是不確定的，“不一定”必須異號．受函數(shù)性質(zhì)與圖象影響．如果f(x)單調(diào)，則f(a)f(b)一定小于0．課前自測1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)．()(2)連續(xù)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，則f(a)f(b)<0.()(3)連續(xù)函數(shù)y＝f(x)滿足f(a)f(b)>0，則f(x)在區(qū)間(a，b)上沒有零點(diǎn)．()(4)求函數(shù)零點(diǎn)的近似值都可以用二分法．()2．下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是()A．y＝2xB．y＝(x－2)2C．y＝x＋eq\f(1,x)－3D．y＝lnx3．(2023·太原模擬)函數(shù)f(x)＝eq\f(3,x)－log2x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)4．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x>0，,x2－4，x<0))的零點(diǎn)是________．【考點(diǎn)題型】考點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定問題【方法總結(jié)】判斷函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)所在區(qū)間的方法(1)解方程法：當(dāng)函數(shù)對應(yīng)方程易解時，可通過解方程判斷方程是否有根落在給定區(qū)間上．(2)定理法：利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷．若一個方程有解但無法直接求出時，可考慮將方程一邊構(gòu)造為一個函數(shù)，從而利用零點(diǎn)存在性定理將零點(diǎn)確定在一個較小的范圍內(nèi)．例如：方程lnx＋x＝0，無法直接求根，構(gòu)造f(x)＝lnx＋x，由f(1)>0，<0即可判定其零點(diǎn)必在(eq\f(1,2)，1)中．(3)數(shù)形結(jié)合法：畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，通過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷，或者轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷．[例1](1)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應(yīng)值表：x12345f(x)－4－2147在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點(diǎn)的區(qū)間為()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(4，5)(2)若函數(shù)f(x)唯一的零點(diǎn)同時在區(qū)間(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)內(nèi)，那么下列命題正確的是()A．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)B．函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)或(1，2)內(nèi)有零點(diǎn)C．函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，16)上無零點(diǎn)D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，16)內(nèi)無零點(diǎn)(3)函數(shù)f(x)＝ex＋2x－3的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間為()A．(－1，0)B．(0，eq\f(1,2))C．(eq\f(1,2)，1)D．(1，eq\f(3,2))(4)已知實(shí)數(shù)a，b滿足2a＝3，3b＝2，則函數(shù)f(x)＝ax＋x－b的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A．(－2，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，2)(5)函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)＋lneq\f(1,x－1)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(1，2)與(2，3)(6)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x－lnx(x>0)，則y＝f(x)()A．在區(qū)間(1e,1)，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)C．在區(qū)間(1e,1)內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點(diǎn)【對點(diǎn)訓(xùn)練1】1．已知自變量和函數(shù)值的對應(yīng)值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y＝2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…y＝x20.040.361.01.963.244.846.769.011.56…則方程2x＝x2的一個根位于區(qū)間()A．(0.6，1.0)B．(1.4，1.8)C．(1.8，2.2)D．(2.6，3.0)2．若a<b<c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A．(a，b)和(b，c)內(nèi)B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)D．(－∞，a)和(c，＋∞)3．函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是()A．(－2，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，2)4．在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝e－x＋4x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間可能為()A．(?14,0)B．(0,145．若x0是方程的解，則x0屬于區(qū)間()A．(23,1)B．(126．已知實(shí)數(shù)a>1，0<b<1，則函數(shù)f(x)＝ax＋x－b的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A．(－2，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，2)7．若y＝f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，其零點(diǎn)分別為x1，x2，…，x2017，且x1＋x2＋…＋x2017＝m，則方程2x＋x－2＝m的根所在區(qū)間是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)8．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)9．函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(2,x2)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)10．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)lnx＋x－eq\f(1,x)－2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A．(1考點(diǎn)二簡單函數(shù)(方程)零點(diǎn)(解)的個數(shù)判斷【方法總結(jié)】函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷方法(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，則方程解的個數(shù)即為函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)．(2)零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)或零點(diǎn)所具有的性質(zhì)．(3)數(shù)形結(jié)合法：對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖象的，常分解轉(zhuǎn)化為兩個能畫出圖象的函數(shù)的交點(diǎn)問題．即將函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)圖象公共點(diǎn)的個數(shù)來判斷．[例2](1)(2024·新課標(biāo)全國I卷·高考真題)當(dāng)時，曲線與的交點(diǎn)個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8(2)(多選)（2024·新課標(biāo)全國II卷·高考真題）對于函數(shù)和，下列說法正確的有（

）A．與有相同的零點(diǎn) B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖像有相同的對稱軸(3)(2018·全國Ⅲ)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x>0))的零點(diǎn)個數(shù)為()A．3B．2C．1D．0(4)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≤0，,|lgx|，x>0，))則函數(shù)g(x)＝f(1－x)－1的零點(diǎn)個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4(5)函數(shù)f(x)＝－的零點(diǎn)個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3(6)函數(shù)f(x)＝3x|lnx|－1的零點(diǎn)個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4【對點(diǎn)訓(xùn)練2】1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≤0，,1＋\f(1,x)，x>0，))則函數(shù)y＝f(x)＋3x的零點(diǎn)個數(shù)是()A．0B．1C．2D．32．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x>1，))則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為()A．eq\f(1,2)，0B．－2，0C．eq\f(1,2)D．03．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－|x|，x≤2，,x－22，x>2，))函數(shù)g(x)＝3－f(2－x)，則函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)的個數(shù)為()A．2B．3C．4D．54．設(shè)函數(shù)f(x)＝2|x|＋x2－3，則函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)個數(shù)是()A．4B．3C．2D．15．函數(shù)f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．36．函數(shù)f(x)＝|log2x|＋x－2的零點(diǎn)個數(shù)為()A．1B．2C．3D．47．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－x2＋2x，x＞0,x2－2，x≤0))的零點(diǎn)個數(shù)是________．8．已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3，x≤1，,－x2＋2x＋3，x＞1，))則函數(shù)g(x)＝f(x)－ex的零點(diǎn)個數(shù)為________．考點(diǎn)三已知函數(shù)的零點(diǎn)情況求參數(shù)的取值范圍【方法總結(jié)】(1)直接法：利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解．(2)分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解．(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．[例3](1)(2024新高考Ⅱ卷T6)設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時，曲線與恰有一個交點(diǎn)，則（）A. B. C.1 D.2(2)函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個零點(diǎn)在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(1，3)B．(1，2)C．(0，3)D．(0，2)(3)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex＋a，x≤0，,3x－1，x>0))(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A．(－∞，－1B．(－∞，1)C．(－1，0)D．[－1，0)(4)f(x)＝ex－e－x＋4，若方程f(x)＝kx＋4(k>0)有三個不同的實(shí)根x1，x2，x3，則x1＋x2＋x3＝________．【對點(diǎn)訓(xùn)練3】1．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－3x，若函數(shù)g(x)＝f(x)＋f(t－x)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A．(－2eq\r(3)，2eq\r(3))B．(－eq\r(3)，eq\r(3))C．[－2eq\r(3)，2eq\r(3)]D．[－eq\r(3)，eq\r(3)]2．已知函數(shù)f(x)＝log3eq\f(x＋2,x)－a在區(qū)間