3.4曲線與方程第3章圓錐曲線與方程湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課標(biāo)要求1.能夠結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實例,理解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系;2.掌握求曲線的方程的一般方法,進(jìn)一步體會曲線與方程的關(guān)系,感受解析幾何的思想方法.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點曲線與方程一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系:點的坐標(biāo)滿足關(guān)系式

(1)

都是這個方程的解;

(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.此時,這個方程叫作

,這條曲線叫作

.

曲線上的點的坐標(biāo)

曲線的方程方程的曲線名師點睛1.方程與曲線的關(guān)系2.定義中的關(guān)系:(1)闡明了曲線具有純粹性(或方程具有完備性),即曲線上的所有點的坐標(biāo)都適合這個方程;(2)闡明了曲線具有完備性(或方程具有純粹性),即符合條件的點都在曲線上.3.曲線的方程和方程的曲線是兩個不同的概念,曲線的方程反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系,而方程的曲線反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)曲線上的點的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解,那么方程f(x,y)=0就是曲線的方程.(

)(2)如果f(x,y)=0是某曲線C的方程,則曲線上的點的坐標(biāo)都適合方程.(

)(3)若曲線C上的點滿足方程f(x,y)=0,則坐標(biāo)不滿足方程f(x,y)=0的點不在曲線C上.(

)×√√2.以方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上,能否說明f(x,y)=0是曲線C的方程?試舉例說明.提示不能.還要驗證曲線C上的點的坐標(biāo)是否都是方程f(x,y)=0的解.例如曲線C為“坐標(biāo)平面內(nèi)到兩坐標(biāo)軸距離相等的點”,方程為“y=x”,以方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上,但曲線的方程不是y=x,而是y=±x.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一點與曲線位置關(guān)系的理解分析由曲線與方程的關(guān)系知,只要點M的坐標(biāo)適合曲線的方程,則點M就在方程所表示的曲線上;而若點M為曲線上的點,則點M的坐標(biāo)一定適合曲線的方程.解

把點A(-4,3)的坐標(biāo)代入方程x2+y2=25中,可知點A(-4,3)滿足方程,且點A的橫坐標(biāo)滿足x≤0,則點A在方程x2+y2=25(x≤0)所表示的曲線上;規(guī)律方法

判斷點與曲線位置關(guān)系的方法如果曲線C的方程是f(x,y)=0,點P的坐標(biāo)為(x0,y0).點與曲線的位置關(guān)系點的坐標(biāo)特征點P(x0,y0)在曲線C:f(x,y)=0上f(x0,y0)=0點P(x0,y0)不在曲線C:f(x,y)=0上f(x0,y0)≠0變式訓(xùn)練1已知直線l:x+y+3=0,曲線C:(x-1)2+(y+3)2=4,若P(1,-1),則點P與l,C的關(guān)系是

.

P?l,P∈C

解析

∵1-1+3≠0,∴P不在l上,即P?l;又(1-1)2+(-1+3)2=4,∴點P在曲線C上,即P∈C.探究點二軌跡方程的求法角度1直接法求軌跡方程【例2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點B與點A(-1,1)關(guān)于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于

,則動點P的軌跡方程為

.

分析

設(shè)出點P的坐標(biāo),將已知條件轉(zhuǎn)化為斜率之積求解.規(guī)律方法

直接法求軌跡方程將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系直接坐標(biāo)化,列出關(guān)于坐標(biāo)的關(guān)系式,化簡即得軌跡方程.其一般步驟如下:[提醒]求軌跡方程時要注意曲線的完備性:求軌跡方程時要根據(jù)圖形的特征去掉不滿足條件的點(如涉及三角形時,要去掉三點共線的條件;涉及斜率時,分母不能為0等).變式訓(xùn)練2已知平面上兩定點M(0,-2),N(0,2),P為一動點,滿足,求動點P的軌跡方程.角度2相關(guān)點法(代入法)求軌跡方程【例3】若Q是雙曲線x2-y2=2上任一點,F是右焦點,點P在FQ的延長線上,且

,求點P的軌跡方程.解

設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x0,y0),點P的坐標(biāo)為(x,y),由題意可知F(2,0).規(guī)律方法

相關(guān)點法(代入法)求軌跡方程如果動點M(x,y)依賴于另一動點P(a,b),而P(a,b)又在某已知曲線上,則可先列出關(guān)于x,y,a,b的方程組,利用x,y表示出a,b,把a,b代入已知曲線方程便得動點P的軌跡方程.這種求軌跡方程的方法叫作相關(guān)點法或代入法.[提醒]軌跡與軌跡方程的區(qū)別:軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念,求軌跡不但要求出軌跡方程,而且還要說明方程的形狀.變式訓(xùn)練3已知點A(0,-1),當(dāng)點B在曲線y=2x2+1上運動時,線段AB的中點M的軌跡方程是

.

y=4x2角度3定義法求軌跡方程【例4】設(shè)圓x2+y2+4x-60=0的圓心為A,過點B(2,0)且不垂直于y軸的直線l交圓A于C,D兩點,過點B作AC的平行線交AD于點E,求點E的軌跡方程.解

依題意,圓A:(x+2)2+y2=64的圓心A(-2,0),半徑r=8,∵|CA|=|AD|=8,∴|BE|=|DE|.|AE|+|BE|=|AE|+|DE|=|AD|=8>|AB|.由橢圓定義知,點E的軌跡是分別以A,B為左、右焦點,長軸長為8的橢圓規(guī)律方法

定義法求軌跡方程分析題設(shè)幾何條件,根據(jù)圓錐曲線的定義或特征,判斷軌跡是何種類型的曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等),再求出該曲線的相關(guān)參量,從而得到軌跡方程.[提醒]求軌跡方程時不要忘記建立坐標(biāo)系求軌跡方程時若已知條件中沒有直角坐標(biāo)系,則首先結(jié)合圖形特征,建立平面直角坐標(biāo)系.建系時要遵循垂直性和對稱性的原則,即借助圖形中互相垂直的直線建系,借助圖形的對稱性建系.一方面讓盡量多的點落在坐標(biāo)軸上,另一方面能使求出的軌跡方程形式更簡潔.變式訓(xùn)練4在周長為48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M,N為焦點,且過點P的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解

因為△MPN的周長為48,且tan∠PMN=,故設(shè)|PN|=3k,|PM|=4k,k∈R且k≠0.則|MN|=5k,由3k+4k+5k=48得k=4.所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.以MN所在的直線為x軸,以MN的中點為原點建立直角坐標(biāo)系,如圖所示.由|MN|=20得2c=20,c=10,由|PM|-|PN|=4得2a=4,所以a=2,a2=4,所以b2=c2-a2=96.角度4參數(shù)法求軌跡方程【例5】過點A(-1,0),且斜率為k的直線l與拋物線C:y2=4x交于P,Q兩點.若曲線C的焦點F與P,Q,R三點按如圖順序構(gòu)成平行四邊形PFQR,求點R的軌跡方程.分析由于點R的運動是由直線l的運動所引起的,而直線l的運動是由斜率引起的,因此求點R的軌跡可以探求點R的橫、縱坐標(biāo)與直線l的斜率k的關(guān)系.但是點R與直線l并無直接聯(lián)系,與l有直接聯(lián)系的是點P,Q,因此需通過平行四邊形將P,Q,R這三點聯(lián)系起來,找它們之間的關(guān)系.又k∈(-1,0)∪(0,1),∴x>1.∴點R的軌跡方程為y2=4(x+3),x>1.規(guī)律方法

參數(shù)法求軌跡方程如果采用直接法求軌跡方程難以奏效,則可尋求引發(fā)動點P運動的某個參數(shù)t,以此量作為參數(shù)(如涉及旋轉(zhuǎn)時,常用角度作為參數(shù);涉及兩直線互相垂直時,常用斜率作為參數(shù)等),分別建立點P的橫、縱坐標(biāo)x,y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系x=f(t),y=g(t),進(jìn)而通過消參化為軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程F(x,y)=0.變式訓(xùn)練5(1)平面上一動點C的坐標(biāo)為(cosθ,sinθ),則點C的軌跡方程為

.

(2)在平面直角坐標(biāo)系中,點O為原點,點A(1,0),B(2,2).若點C滿足

,其中t∈R,則點C的軌跡方程是

.

y=2x-2本節(jié)要點歸納1.知識清單:曲線的方程與方程的曲線.2.方法歸納:根據(jù)點的坐標(biāo)是否滿足曲線的方程判斷點與曲線的關(guān)系,直接法、相關(guān)點法(代入法)、定義法、參數(shù)法求軌跡方程.3.注意事項:曲線的方程與方程的曲線兩個關(guān)系缺一不可;求曲線的方程時,若題設(shè)條件中無坐標(biāo)系,則需要恰當(dāng)建系;求軌跡方程時,要去掉方程中不滿足條件的點;軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)123456789101112131415A級必備知識基礎(chǔ)練1.方程x2+y2=1(xy<0)的曲線形狀是(

)C1234567891011121314152.[2024甘肅蘭州高二期末]當(dāng)點P在圓x2+y2=1上變動時,它與定點Q(3,0)的連線PQ的中點的軌跡方程是(

)A.x2+y2+6x+5=0 B.x2+y2-6x+8=0C.x2+y2-3x+2=0 D.x2+y2+3x+2=0C解析

設(shè)P(x1,y1),PQ的中點M的坐標(biāo)為(x,y),∴(2x-3)2+4y2=1,即x2+y2-3x+2=0.故選C.1234567891011121314153.已知方程x2+my2=1(m∈R),則下列說法正確的是(

)A.當(dāng)m<0時,方程表示雙曲線B.當(dāng)m>0時,方程表示橢圓C.方程不可能表示直線D.方程可能表示拋物線A解析

方程x2+my2=1(m∈R),當(dāng)m<0時,根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,方程表示雙曲線,故A正確;當(dāng)m>0時,若m=1,則方程表示圓,故B錯誤;當(dāng)m=0時,方程表示x=-1和x=1兩條直線,故C錯誤;因為方程中沒有x或y的一次項,故方程不可能表示拋物線,故D錯誤.故選A.1234567891011121314154.方程(2-t)x2+(t-1)y2=1表示曲線C,有以下四個結(jié)論:①當(dāng)t=時,曲線C是圓;②當(dāng)1<t<2時,曲線C是橢圓;③當(dāng)t>2時,曲線C是雙曲線;④當(dāng)t=2時,曲線C是拋物線.其中結(jié)論正確的個數(shù)為(

)A.1 B.2

C.3

D.4B解析

①當(dāng)t=時,即x2+y2=2,曲線C是圓,①正確;②當(dāng)1<t<2,且t≠時,2-t>0,t-1>0,曲線C是橢圓,②錯誤;③當(dāng)t>2時,2-t<0,t-1>0,曲線C是雙曲線,③正確;④當(dāng)t=2時,2-t=0,t-1=1,即y2=1,曲線C是直線,④錯誤.故選B.123456789101112131415y2=4x123456789101112131415x2+y2=2因此點P的軌跡方程為x2+y2=2.1234567891011121314157.已知圓C的方程為x2+(y-5)2=16,直線l的方程為y=3,點P為平面內(nèi)一動點,PQ是圓C的一條切線(Q為切點),并且點P到直線l的距離恰好等于切線長|PQ|,則點P的軌跡方程為

.

x2=4y解析

設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),則點P到直線y=3的距離為d=|y-3|.1234567891011121314158.已知△ABC的頂點A,B的坐標(biāo)分別為(-4,0),(4,0),C為動點,且滿足sinB+sinA=sinC,求點C的軌跡方程.123456789101112131415B級關(guān)鍵能力提升練9.已知點P是直線x-2y+3=0上的一個動點,定點M(-1,2),Q是線段PM延長線上的一點,且|PM|=|MQ|,則點Q的軌跡方程是(

)A.x+2y+3=0 B.x-2y-5=0C.x-2y-7=0 D.x-2y+7=0D12345678910111213141510.(多選題)關(guān)于x,y的方程(m-1)x2+my2=m(m-1)(m∈R)表示的曲線可能是(

)A.橢圓

B.雙曲線

C.拋物線

D.直線ABD

解析

對于方程(m-1)x2+my2=m(m-1),①當(dāng)m=1時,方程即y2=0,即y=0,表示x軸.②當(dāng)m=0時,方程即x2=0,即x=0,因為m≠m-1,所以方程不可能是圓;若m(m-1)<0,方程表示雙曲線;若m(m-1)>0,方程表示橢圓.綜合可得方程不可能是拋物線.故選ABD.12345678910111213141512345678910111213141512.已知定點A(0,2),B(0,-2),C(3,2),以C為一個焦點作過A,B兩點的橢圓,則橢圓的另一個焦點F的軌跡方程為

.

12345678910111213141513.方程|x+1|+|y-1|=2表示的曲線圍成的圖形的對稱中心的坐標(biāo)為

,面積為

.

(-1,1)8解析

當(dāng)x≥-1,y≥1時,方程等價為x+y-2=0,當(dāng)x≥-1,y≤1時,方程等價為x-y=0,當(dāng)x≤-1,y≥1時,方程等價為x-y+4=0,當(dāng)