必修4

《平面向量》教材分析

一、地位和作用

向量是數(shù)學(xué)中重要的、基本的概念，它既是代數(shù)的對(duì)象，又是幾何的對(duì)象。作為代數(shù)對(duì)象，向量可以運(yùn)算．作為幾何對(duì)象，向量有方向，可以刻畫直線、平面、切線等幾何對(duì)象；向量有長(zhǎng)度，可以刻畫長(zhǎng)度、面積、體積等幾何度量問(wèn)題。向量由大小和方向兩個(gè)因素確定，大小反映了向量數(shù)的特征，方向反映了向量形的特征，因此，向量是集數(shù)形于一身的數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)．

向量是溝通幾何、代數(shù)、三角等內(nèi)容的橋梁，它具有豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用。二、課標(biāo)要求1、向量的線性運(yùn)算（1）通過(guò)實(shí)例，掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義。（2）通過(guò)實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線

的含義。（3）了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。2、向量的分解與向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）了解平面向量的基本定理及其意義。（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。（3）會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算。（4）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。3、平面向量的數(shù)量積（1）通過(guò)物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。（2）體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。（4）能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直

關(guān)系。4、向量的應(yīng)用

經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。1、加強(qiáng)幾何直觀：《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)向量概念的幾何背

景，強(qiáng)調(diào)理解向量運(yùn)算（加、減、數(shù)乘、數(shù)量積）

及其性質(zhì)的幾何意義。2、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模：《標(biāo)準(zhǔn)》將三角函數(shù)與向量作為

刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)實(shí)際背景的分

析、概括與抽象，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生發(fā)展過(guò)程，

反映了數(shù)學(xué)的來(lái)龍去脈，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的

本質(zhì)，形成對(duì)數(shù)學(xué)的完整的認(rèn)識(shí)。3、強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系及數(shù)學(xué)與其它學(xué)

科的聯(lián)系。突出三個(gè)“強(qiáng)調(diào)”本章的知識(shí)框圖三、具體教學(xué)建議2.1.1．向量的概念重點(diǎn)是向量的概念，相等向量的概念和向量的表示。難點(diǎn)是對(duì)向量概念的理解。建議：①以物理學(xué)中位移概念（實(shí)例）出發(fā)引出向量的概念。②引導(dǎo)學(xué)生找出生活中的幾個(gè)向量實(shí)例，加深對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，準(zhǔn)確抓住向量的特點(diǎn)。③表示方法：

聯(lián)想位移的表示方法，引出有向線段表示向量。

用有向線段的方向和長(zhǎng)度分別表示向量的方向和大小，賦予向量的幾何意義。④給出自由向量、相等向量、平行向量、零向量的概念，并引導(dǎo)

學(xué)生進(jìn)行辨析（向量的平行和直線平行的區(qū)別、平行向量與共線向量）。⑤概念應(yīng)用（例題及相關(guān)習(xí)題）。對(duì)平行向量與共線向量等價(jià)性的理解：學(xué)生的誤區(qū)：平行向量——不共線

共線向量——不平行平行向量（共線向量）的概念是針對(duì)方向的，而兩個(gè)表示向量的有向線段，只要方向相同或相反，就是平行向量（共線向量）.概念辨析題：判斷下列命題是否正確？(1)若|a|=|b|,則a=b；(2)若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同,

終點(diǎn)相同；(3)若AB=DC,則四邊形ABCD是平行四邊形；(4)若a=b,b=c,則a=c；(5)若a//b,b//c,則a//c；(6)模為0的向量與任一向量平行；(7)平行向量不一定是共線向量；(8)單位向量都相等；(9)單位向量都共線；2.1.2向量的加法重點(diǎn)是向量的加法運(yùn)算，難點(diǎn)是對(duì)向量加法定義的理解。建議：①問(wèn)題引入：向量是具有大小和方向的量，能否像數(shù)與式那樣進(jìn)行運(yùn)算？（引發(fā)學(xué)生思考）②情景設(shè)置：某人從A點(diǎn)向東走3米到達(dá)B點(diǎn)，再由B點(diǎn)向北走3米到達(dá)C點(diǎn)，問(wèn)此人的位移。（教材P81）（教師引導(dǎo)學(xué)生觀察此題目中三個(gè)位移的關(guān)系）③歸納出向量求和的三角形法則，引導(dǎo)學(xué)生列舉實(shí)際生活中向量求和的實(shí)例（如力的合成），得出平行四邊形法則。④類比數(shù)的運(yùn)算律驗(yàn)證向量加法的交換律和結(jié)合律。⑤應(yīng)用舉例（書上習(xí)題）。⑥歸納對(duì)比兩種運(yùn)算法則：當(dāng)兩向量共線時(shí)平行四邊形法則不適用；當(dāng)兩向量不共線時(shí)，平行四邊形法則與三角形法則本質(zhì)是

一致性。⑦補(bǔ)充對(duì)零向量的運(yùn)算規(guī)定及向量求和的多邊形法則。教材中給出了向量減法的兩種定義方法，第一種是將向量的減法定義為向量加法的逆運(yùn)算，要結(jié)合三角形法則體會(huì)。

第二種方法是在定義相反向量的基礎(chǔ)上，通過(guò)向量的加法定義向量的減法，由向量加法的平行四邊形法則給出其幾何意義。用這一種定義方法，學(xué)生不易理解向量減法的定義，但很容易作出。用第二種定義方法，學(xué)生容易接受

，但作圖較繁。兩種方法沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別。2.1.3向量的減法運(yùn)算重點(diǎn)是向量減法法則的運(yùn)用，難點(diǎn)是向量減法定義的理解。建議借助幾何直觀，幫助學(xué)生理解例1是用向量表示平行四邊形的四條邊和兩條對(duì)角線的關(guān)系，要求學(xué)生掌握。2.1.4向量的數(shù)乘運(yùn)算重點(diǎn)是數(shù)乘向量的定義，運(yùn)算律，難點(diǎn)是正確運(yùn)用法則、運(yùn)算律進(jìn)行向量的線性運(yùn)算。建議：①問(wèn)題引入：

平面幾何中的全等與向量的加法有著密不可分的聯(lián)系，那

么平面幾何中圖形的放大、縮小或者相似會(huì)與向量的某種

運(yùn)算有關(guān)系嗎？②從作圖中直觀感覺(jué)數(shù)乘的含義，從特殊到一般給出數(shù)乘向

量的一般定義。③對(duì)運(yùn)算結(jié)果和運(yùn)算律的認(rèn)識(shí)：運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，所

以要描述它要從大小和方向兩個(gè)方面分別做出規(guī)定；可通

過(guò)類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算律理解數(shù)乘運(yùn)算的特點(diǎn)。

（運(yùn)算律的證明不要求）④利用數(shù)乘向量與原向量之間共線得出數(shù)乘向量的幾何意義。⑤應(yīng)用舉例（課本例題）P89頁(yè)例3：溝通了向量的數(shù)乘和相似之間的關(guān)系2.1.5向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算

包括平行向量基本定理、單位向量、軸上向量的坐標(biāo)公式、數(shù)軸上亮點(diǎn)間的距離公式等，概念比較多。為什么研究軸上向量？軸上向量是理解平面向量的基礎(chǔ)；平面向量的所有結(jié)論都可以通過(guò)軸上向量和向量的加法的推出；有利于分散學(xué)生的難點(diǎn)，為平面向量的基本定理做鋪墊。建議：①引入：向量是聯(lián)系幾何與代數(shù)的重要橋梁，向量的表示、運(yùn)算都有代數(shù)形式，我們應(yīng)如何用數(shù)量（代數(shù)）的方式研究向量的運(yùn)算呢？（引導(dǎo)學(xué)生，共線向量的加法運(yùn)算可以只簡(jiǎn)單考慮數(shù)量的和）②那么如何刻畫兩向量為共線向量呢？（平行向量基本定理）③在平行向量基本定理基礎(chǔ)上給出軸的概念，由軸的基向量確定實(shí)數(shù)與這條軸上的向量建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此確立向量的坐標(biāo)（代數(shù)）表示。④應(yīng)用向量觀點(diǎn)，師生重新認(rèn)識(shí)初中的數(shù)軸概念，推導(dǎo)出相應(yīng)公式。⑤應(yīng)用舉例（課本例題）2.2.1平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計(jì)理解定理：

P97例2出現(xiàn)了“直線的向量參數(shù)方程式”

P97例1：給定的基底來(lái)表示其它向量的思路和方法。2.2.2平面向量的正交分解與向量直角坐標(biāo)運(yùn)算（1）平面向量的正交分解

可通過(guò)多媒體動(dòng)態(tài)演示，引入平面向量的正交分解。（2）平面向量的坐標(biāo)表示2.2.3用平面向量坐標(biāo)表示向量共線條件在復(fù)習(xí)平行向量基本定理的基礎(chǔ)上，推出用平面向量坐標(biāo)表示向量共線的條件。嚴(yán)格推導(dǎo)并不容易，有利于培養(yǎng)學(xué)生分類討論的意識(shí)，根據(jù)學(xué)生情況講解。應(yīng)用：P104例1：用平面向量坐標(biāo)表示向量共線的直接應(yīng)用。例2：證明三點(diǎn)共線的常用方法：從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量共線，則兩個(gè)向量的三個(gè)頂點(diǎn)共線。2.3平面向量的數(shù)量積（2課時(shí)）

2.3.1平面向量數(shù)量積的物理背景與定義

2.3.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律①引入：思考：平面向量能進(jìn)行加減和數(shù)乘運(yùn)算，那么兩個(gè)向量能否進(jìn)行乘法運(yùn)算？如果能的話，那運(yùn)算的結(jié)果又是什么呢？它又滿足怎樣的運(yùn)算律呢？它又有怎樣地應(yīng)用呢？1課時(shí)物理背景：如果一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生的位移為s，那么力F所做的功w等于多少？②平面向量數(shù)量積的概念明確兩個(gè)向量的夾角；向量在軸上的正射影；向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)（強(qiáng)化向量垂直與性質(zhì)a●a＝∣a∣2）

強(qiáng)調(diào)：一個(gè)向量與單位向量的數(shù)量積的幾何意義是向量在單位向量方向上的正射影的數(shù)量。③向量數(shù)量積的三個(gè)運(yùn)算律

對(duì)于前兩個(gè)運(yùn)算律，學(xué)生自己能夠證明，而

對(duì)于分配律，學(xué)生證明有困難，需要教師引

導(dǎo)探究，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想。注意向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律：

2.3.3數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及度量公式平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；用向量的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量垂直的條件；向量的長(zhǎng)度、距離和夾角公式突出向量數(shù)量積的運(yùn)算代數(shù)化，通過(guò)P113—P114的4個(gè)例題，提高學(xué)生解決求向量的長(zhǎng)度、距離、夾角及用向量解決三角、解析幾何等問(wèn)題的能力。2.4.1向量在幾何中的應(yīng)用建立向量與平面幾何、解析幾何的聯(lián)系，經(jīng)歷用向量方法解決有關(guān)幾何問(wèn)題和物理問(wèn)題和其他一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。1.向量在平面幾何中的應(yīng)用①創(chuàng)設(shè)情景，感知操作平行四邊形是平面幾何中比較重要的幾何模型，也是利用向量方法解決幾何問(wèn)題很好的一個(gè)背景。而且它有豐富的幾何性質(zhì)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生利用向量的方法研究其性質(zhì)?？山鉀Q以下問(wèn)題：課本例題1；兩條對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形；平行四邊形對(duì)角線互相平分；平行四邊形的兩條對(duì)角線的平方和等于四邊平方和。2.4向量的應(yīng)用②歸納總結(jié)，探求規(guī)律引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)用向量方法解決平面問(wèn)題的“三步曲”（一般步驟）：

建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量．通過(guò)向量運(yùn)算研究幾何運(yùn)算之間的關(guān)系，如距離、夾角等．把運(yùn)算結(jié)果＂翻譯＂成幾何關(guān)系．P118例3：選定正交基底，用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題，體現(xiàn)幾何問(wèn)題代數(shù)化的特點(diǎn)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解題中的作用。因?yàn)闆](méi)有學(xué)習(xí)必修2，在解析幾何中的運(yùn)用可取舍。利用直線的方向向量與法向量研究直線的平行與垂直。如果講，需要做一定鋪墊。小結(jié)復(fù)習(xí)建議：從字母、圖形、坐標(biāo)三各方面進(jìn)行梳理總結(jié)2.向量在解析幾何中的應(yīng)用字母（運(yùn)算律）圖形坐標(biāo)向量加法減法數(shù)乘

Aaabbaba

baλa（x，y）①a

b=a+(

b)

②若b+x=a，x＝a

bλa字母（運(yùn)算律）圖形坐標(biāo)數(shù)量積a

b=|a||b|cos

a

b=|a|

OC平行a∥b

a=λba∥b

垂直a

b

a

b

=0定理baOC

四、高考考查要求

考試內(nèi)容要求層次ABC平面向量平面向量的相關(guān)概念√向量的線性運(yùn)算向量加法與減法√向量的數(shù)乘√兩個(gè)向量共線√平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示平面向量的基本定理√平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示√用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算√用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件√平面向量的數(shù)量積數(shù)量積√數(shù)量積的坐標(biāo)表示√用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角√用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系√向量的應(yīng)用用向量方法解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題√（1）平面向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算的問(wèn)題（2）平面向量的平行（共線）與垂直問(wèn)題考查向量基礎(chǔ)知識(shí)（3）向量與其它知識(shí)的綜合考查靈活運(yùn)用向量知識(shí)解決問(wèn)題的能力.向量是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的橋梁和紐帶，所以在向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何交會(huì)處設(shè)計(jì)題目是高考試題的特點(diǎn)之一.1、突出向量的物理背景與幾何背景；

動(dòng)點(diǎn)的位移：向量的概念；位移的合成：向量的加法運(yùn)算及法則；圖形的放大和縮?。簲?shù)乘向量；力做功：向量的數(shù)量積教學(xué)建議：平面向量這一章的概念比較多，2.1.1一節(jié)中就出現(xiàn)了向量、自由向量