平潭一中2024--2025學(xué)年上學(xué)期開門考高二數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共面向量的充要條件即可求解．【詳解】由共面向量的充要條件可得：對于A選項，，所以三個向量共面；對于B選項，，所以三個向量共面；對于C選項，假設(shè)三個向量共面，則存在，使得，則，即三個向量共面，這與已知構(gòu)成空間的一個基底矛盾，故假設(shè)錯誤，即三個向量不共面，故C不正確；對于D選項，＝，所以三個向量共面；故選：ABD．2.已知，向量，，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】首先利用向量平行的坐標(biāo)表示求，再根據(jù)充分，必要條件的定義判斷.【詳解】若向量，則，即解得：或,所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B3.設(shè)，向量，，，且，，則等于（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由向量的位置關(guān)系列式求出，根據(jù)模的計算公式計算即可求解.【詳解】，，，，，，，．，．故選：C.4.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用線面垂直平行的定理，結(jié)合長方體模型舉反例即可判斷.【詳解】對于A，如圖，，此時，故A錯誤；對于B，若，面內(nèi)可以找一條直線，使得；而，與內(nèi)任意一條直線都垂直，則，則.故B正確；對于C，如圖，，此時，故C錯誤；對于D，如圖，，此時，故D錯誤．故選：B.5.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則一定是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間兩點(diǎn)間距離公式求出三角形邊長作答.【詳解】點(diǎn)，則，，，而，所以一定為直角三角形.故選：C6.如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則下列說法錯誤的是（）A. B.平面C. D.平面【答案】C【解析】【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．【詳解】∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，

∴以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為2，

則B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），

∴MN⊥CC1，故A正確；∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；

∵∴MN和AB不平行，故C錯誤；

平面ABCD的法向量又MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正確．

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷，考空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．7.，則的大小關(guān)系是A B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】由題意得，，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，涉及函數(shù)與不等式思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，具有一定的綜合性，屬于中檔題型.首先利用誘導(dǎo)公式和兩角和差公式將化簡，再利用正弦的函數(shù)圖像可得正解.8.設(shè)，，分別是的內(nèi)角，，的對邊，已知，設(shè)是邊的中點(diǎn)，且的面積為，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出和，然后結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，結(jié)合正弦定理得，即，所以，所以，因為的面積為，所以，即，所以，故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（）A.兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B.兩個不同的平面，的法向量分別是，，則C.直線的方向向量，平面的法向量是，則D.直線的方向向量，平面的法向量是，則【答案】AB【解析】【分析】運(yùn)用空間線線平行，線面平行，線面垂直，面面垂直的向量證明方法,結(jié)合向量平行垂直的坐標(biāo)結(jié)論，逐個判斷即可.【詳解】兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則，所以，A正確；兩個不同的平面，的法向量分別是，，則，所以，B正確；直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以或，C錯誤；直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，D錯誤．故選：AB10.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.最小正周期為 B.的最大值為C.的單調(diào)遞減區(qū)間為 D.的一個對稱中心為【答案】ABC【解析】【分析】化簡解析式，根據(jù)三角函數(shù)最小正周期、最值、單調(diào)區(qū)間，對稱中心的知識確定正確選項.【詳解】.所以的最小正周期為，A正確，的最大值為，B正確，由解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，C正確.，所以的一個對稱中心為，D不正確.故選：ABC11.已知矩形，，，將沿對角線進(jìn)行翻折，得到三棱錐，在翻折的過程中下列結(jié)論成立的是（）A.三棱錐的體積最大值為B.三棱錐的外接球體積不變C.異面直線與所成角的最大值為D.與平面所成角的余弦值最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，當(dāng)平面平面時，三棱錐的高最大，再棱錐體積公式計算即可；對于B，設(shè)的中點(diǎn)為，則由知，，所以為三棱錐外接球的球心，其半徑為，再用球的體積公式計算即可；對于C，若，由，，平面，平面，可得平面，得到，因為，直角三角形斜邊最長，知道不成立;對于Ｄ,因為是定值，則只需到面的距離最大時，與平面

所成角最大，當(dāng)平面平面時，到面的距離最大為，再用銳角三角函數(shù)和同角三角函數(shù)關(guān)系分析計算即可.【詳解】解：對于A，，當(dāng)平面平面時，三棱錐的高最大，此時體積最大值為，故A正確；對于B，設(shè)的中點(diǎn)為，則由知，，所以為三棱錐外接球的球心，其半徑為，所以外接球體積為，即三棱錐的外接球體積不變，故B正確；對于C，若，由，，平面，平面，可得平面，因為平面，則，因，根據(jù)直角三角形斜邊最長，知道不成立，故C錯誤；對于D，因為是定值，則只需到面的距離最大時，與平面

所成角最大，當(dāng)平面平面時，到面的距離為，設(shè)與平面

所成角為，此時，因為為銳角，所以，即與平面

所成角的余弦值最小值為，故D正確．故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則___________【答案】【解析】【分析】先由和角公式得，再平方結(jié)合倍角公式及平方關(guān)系求解即可.【詳解】由得，即，兩邊同時平方得，即，解得.故答案為：.13.如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的表面積為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)球體半徑為可得，根據(jù)棱錐的體積求，進(jìn)而求半球的表面積.【詳解】如圖，連接，交點(diǎn)為，設(shè)球的半徑為，由題意知：．則，四棱錐的體積為，解得，∴該半球的表面積為．故答案為：14.在ΔABC中，，已知BC邊上的中線，則ΔABC面積的最大值為______.【答案】【解析】【分析】由題意利用平面向量的加減法幾何意義，可得，兩邊平方再利用兩個向量的數(shù)量積的定義，余弦定理、基本不等式，求得的最大值，可得ΔABC的面積的最大值．【詳解】解：ΔABC中，，邊上的中線長為3，，設(shè)，，平方可得：，化簡可得，，可得：，故ΔABC的面積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的加減法幾何意義，兩個向量的數(shù)量積的定義，余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知空間三點(diǎn)（1）求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積；（2）若向量分別與向量垂直，且，求向量的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，求出，進(jìn)而得出，根據(jù)四邊形的面積公式即可求解；（2）設(shè)出的坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件及向量的摸的公式即可求解.【小問1詳解】由，得，所以，即，又，所以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積為.【小問2詳解】設(shè)，則因為且，所以，即，即聯(lián)立，解得解得或．所以或.16.四棱錐中，底面為正方形，平面，，E，F(xiàn)分別為PC，AD的中點(diǎn).（1）求證：平面PFB；（2）求點(diǎn)E到平面PFB的距離.【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）取PB中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則由中位線性質(zhì)可得四邊形DEGF是平行四邊形，即DEFG，從而DE平面PFB；（2）由DE平面PFB，故點(diǎn)D、E到平面PFB的距離相等，點(diǎn)D到平面PFB的距離可以看成三棱錐以為底面的高，利用等體積法即得解小問1詳解】取中點(diǎn)，連接因為分別是的中點(diǎn)，所以，而，所以因此四邊形是平行四邊形,所以平面，平面所以平面【小問2詳解】由（1），DE平面PFB，故點(diǎn)D、E到平面PFB的距離相等，即求點(diǎn)D到平面PFB的距離，記為點(diǎn)D到平面PFB的距離可以看成三棱錐以為底面的高，由，故由于故，故故點(diǎn)E到平面PFB的距離為17.記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，（1）求B；（2）若面積為，求c．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出，最后結(jié)合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可將均用含有的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.【小問1詳解】由余弦定理有，對比已知，可得，因為，所以，從而，又因為，即，注意到，所以.【小問2詳解】由（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.18.如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．（1）若，證明：平面；（2）若，且二面角的正弦值為，求．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，從而，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）過點(diǎn)D作于，再過點(diǎn)作于，連接，根據(jù)三垂線法可知，即為二面角的平面角，即可求得，再分別用的長度表示出，即可解方程求出．【小問1詳解】（1）因為平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以.因為，所以，根據(jù)平面知識可知，又平面，平面，所以平面．【小問2詳解】如圖所示，過點(diǎn)D作于，再過點(diǎn)作于，連接，因為平面，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，所以平面，根據(jù)二面角的定義可知，即為二面角的平面角，即，即．因為，設(shè)，則，由等面積法可得，，又，而為等腰直角三角形，所以，故，解得，即．19.如圖多面體ABCDEF中，面面，為等邊三角形，四邊形ABCD為正方形，，且，H，G分別為CE，CD的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求平面BCEF與平面FGH所成角的余弦值；（3）作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AD交點(diǎn)為P，寫出的值（不需要說明理由，保留作圖痕跡）．【答案】（1）證明見解析（2）（3），作圖見解析【解析】【分析】（1）由面面垂直得到線面垂直，從而證明出線線垂直；（2）由面面垂直得到線面垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到平面的法向量，進(jìn)而利用平面法向量求出面面角的余弦值；（3）作出輔助線，得到線線平