10.3直線與平面間的位置關(guān)系（第1課時）題型1：判斷圖形中的線面關(guān)系1．直線a與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線在平面內(nèi)相交平行公共點(diǎn)個數(shù)符號表示圖形表示【答案】無數(shù)個1個0個【分析】略【解析】略2．設(shè)平面與平面相交于直線，直線，直線，則(用下列符號之一表示：、、、．【答案】【分析】確定，，得到答案.【解析】，故，，故；，故，，故；故故答案為：3．若直線l與直線m垂直，平面，則l與的位置關(guān)系是．【答案】或【分析】畫出空間圖形判斷得解.【解析】解：若直線l與直線m垂直，平面，則l與的位置關(guān)系是或.故答案為：或題型2：判斷線面平行4．直線與平面平行的判定定理：文字語言：如果一條直線和此的一條直線，那么和平行.該定理常表述為“若線線平行，則線面平行”．圖形語言：如圖所示．

符號語言：若，且，則．【答案】平面外平面內(nèi)平行該直線此平面【分析】略【解析】略故答案為：平面外；平面內(nèi)；平行；該直線；此平面；5．正方體中，與平面平行的面對角線有條．【答案】3【分析】由已知可證得四邊形是平行四邊形，，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理即可得出平面.同理可得出、也與平面平行.又其余對角線均與平面內(nèi)的直線相交，即可得出答案.【解析】如圖，連結(jié)、、.由正方體的性質(zhì)可得，，且，所以四邊形是平行四邊形，所以.因為平面，平面，所以平面.同理可得，平面，平面.其余面對角線均與、、有交點(diǎn)，所以，與平面平行的面對角線有3條.故答案為：3.6．下列三個說法：①若直線a在平面α外，則a∥α；②若直線a∥b，直線a?α，b?α，則a∥α；③若a∥b，b?α，則a與α內(nèi)任意直線平行．其中正確的有．【答案】②【分析】根據(jù)直線與平面之間的位置關(guān)系即可求解．【解析】對于①，若直線a在平面α外，可能與平面相交，不一定平行．故①不正確；對于②，由直線與平面平行的判定定理可知②正確；對于③，a與平面α內(nèi)的直線可能平行，相交或異面，故③錯誤．故答案為：②．7．判斷正誤．（1）若直線平面，且，則．()（2）若直線l不平行于平面，則直線l就不平行于平面內(nèi)的任意一條直線．()（3）若直線a，b和平面滿足，，則．()【答案】錯誤錯誤錯誤【解析】（1）若直線平面，且，則或異面，故錯誤；（2）若直線l不平行于平面，當(dāng)直線l在平面內(nèi)時存在直線與直線l平行，故錯誤；（3）若直線a，b和平面滿足，，則直線可能平行、異面或相交，故錯誤.8．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，直線A1B與面ACD1的位置關(guān)系是．【答案】平行【分析】由線面平行的判定理可得答案．【解析】解：∵A1B∥D1C，A1B平面ACD1，D1C平面ACD1，∴A1B∥平面ACD1．故答案為：平行．題型3：證明線面平行9．已知：如圖，，，，且．求證：，．【答案】證明見解析【分析】先由線面平行的判定定理證明，再由線面平行的性質(zhì)定理得到，最后有基本事實得到.【解析】證明：因為，，，所以由線面平行的判定定理可得，又，，所以由線面平行的性質(zhì)定理可得，又因為，由基本事實可得.10．設(shè)點(diǎn)A是所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是和的重心．求證：平面．【答案】證明見解析【分析】利用三角形的重心的性質(zhì)，可得分別是與的中線的一個三等分點(diǎn)，得，從而有，進(jìn)而證出結(jié)論.【解析】

如圖，延長，分別交、于點(diǎn)E、F，連接.分別是和的重心，分別為和的中線，，又平面，平面，所以//平面.11．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于HG，求證：．【答案】證明見詳解【分析】連接交于點(diǎn)，連接，先利用三角形中位線性質(zhì)和線面平行判定定理證明平面，然后由線面平行性質(zhì)定理可證.【解析】連接交于點(diǎn)，連接，因為ABCD是平行四邊形，所以為中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，所以，因為平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以

題型4：補(bǔ)全線面平行的條件12．下列三個命題在“___________”處都缺少同一個條件，補(bǔ)上這個條件使其構(gòu)成真命題（其中l(wèi)，m為直線，a，β為平面），則此條件是.①；②；③【答案】【分析】根據(jù)各項中線線、線面關(guān)系，由判斷所缺少的條件即可.【解析】①由，可得：或，故要使，即；②由，結(jié)合線面平行的判定知：要使，需；③由，可得：或，故要使，即；故答案為：13．如圖，在直三棱柱中，，，的中點(diǎn)為，點(diǎn)在棱上，平面，則的值為.【答案】【分析】先取中點(diǎn)得到過的一個平面平行平面，即知.【解析】取中點(diǎn)，連接，故，，又在平面外，平面所以平面，平面，又相交在平面內(nèi)，故平面平面，即平面，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了面面平行的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.14．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足條件：時，平面.【答案】答案表述不唯一)【分析】當(dāng)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)時，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可判斷，從而可得平面，由此可得出點(diǎn)滿足條件的結(jié)論.【解析】連接交于O，連接OE，平面平面，平面平面，.又底面為平行四邊形，為對角線與的交點(diǎn)，故為的中點(diǎn),為的中點(diǎn)，故當(dāng)滿足條件:時，面.故答案為:答案表述不唯一)題型5：線面平行的性質(zhì)15．直線與平面平行的性質(zhì)定理：文字語言：一條直線和一個平面平行，如果過的平面和相交，那么這條直線與平行．圖形語言：如圖所示．

符號語言：若，且，則．【答案】該直線此平面交線【分析】由線面平行的性質(zhì)定理可得.【解析】由線面平行的性質(zhì)定理可得：一條直線和一個平面平行，如果過該直線的平面和此平面相交，那么這條直線與交線平行.符號語言表示為：若，且，則.故答案為：該直線；此平面；交線；.16．如圖，，，，，則CD與EF的位置關(guān)系為．【答案】【分析】由線面平行的性質(zhì)有，根據(jù)線面平行的判定可得，最后再由線面平行的性質(zhì)即可得.【解析】∵，，，∴，又，，∴，又，，∴.故答案為：17．正方體，若過、、三點(diǎn)的平面與底面的交線為，則與的關(guān)系是．【答案】平行【分析】畫出圖象，結(jié)合圖象以及線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.【解析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可知，由于平面,平面,所以平面，由于平面，平面平面，所以.故答案為：平行

18．三棱錐中，，過線段中點(diǎn)E作平面與直線、都平行，且分別交、、于F、G、H，則四邊形的周長為．【答案】2【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合點(diǎn)E為中點(diǎn)可得四邊形各邊長，然后可得.【解析】因為平面，平面平面，平面ABC，所以EH，又點(diǎn)E為中點(diǎn)，所以EH為三角形ABC的中位線，故.同理，所以四邊形的周長為2.故答案為：219．如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列命題中，正確的是.①AC∥面PQMN；②AC＝BD；③BD∥面PQMN；④AC⊥BD【答案】①③④【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，線面平行的判定和性質(zhì)，異面直線所成的角，可判斷.【解析】①項，截面為正方形，則有且，所以平面，又面ABC，面ABC面=，所以，又平面，平面，所以平面，故①項正確；②項，由④項得出AC⊥BD，但不能得出AC＝BD，故②項是錯誤的；③項，截面為正方形，則有，所以平面，又面ABD，面ABD面=，所以，又平面，平面，所以平面，故③項正確；④項，由①，③可得，，又，所以AC⊥BD，故④正確；故答案為：①③④【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體中線面位置關(guān)系,需熟悉空間的線線，線面，面面的位置關(guān)系的定義，判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.題型6：由定義判斷線面關(guān)系、線面關(guān)系的綜合辨析20．空間中直線與平面的位置關(guān)系分為：若直線與平面沒有交點(diǎn)，則直線與平面；若直線與平面有且僅有1個交點(diǎn)，則直線與平面；若直線與平面有無數(shù)多個公共點(diǎn)，則直線．【答案】平行相交在平面內(nèi)【分析】略【解析】略21．已知a，b表示兩條直線，α表示平面，若，，則b與α的位置關(guān)系是（

）A． B． C．b與α相交 D．以上都有可能【答案】D【分析】以正方體中為載體，舉例說明即可得結(jié)果．【解析】在正方體中，，平面，平面；，平面，平面，即平面；，平面，平面．因為，，所以與平面的位置關(guān)系是或或與平面相交．故選：D．22．已知A，B，C表示不同的點(diǎn)，l表示直線，表示不同的平面，則下列推理錯誤的是（填序號）.①；②；③.【答案】③【分析】由點(diǎn)線、點(diǎn)面關(guān)系，根據(jù)平面的基本性質(zhì)判斷點(diǎn)面、線面關(guān)系即可.【解析】①由A，B表示不同的點(diǎn)，且，即有，故正確；②由A，B表示不同的點(diǎn)，且，即有，故正確；③由，則，即為經(jīng)過點(diǎn)A的一條直線而不是點(diǎn)A，故錯誤.故答案為：③23．已知，表示兩條不同的直線，表示平面，則（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【分析】根據(jù)題意，由空間中直線與平面的位置關(guān)系，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【解析】若，，則可能平行，異面或者相交，故A錯誤；若，，則與可能平行，可能相交，也可能，故B錯誤；若，，則與可能平行，也可能，故C錯誤；若，，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，故D正確；故選：D題型7：由線面平行的性質(zhì)求線段比例24．已知為所在平面外一點(diǎn)，是中點(diǎn)，是上一點(diǎn)．若平面，則的值為．【答案】/【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)得出線線平行，從而得出結(jié)果.【解析】如圖，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié).因為，E為AD的中點(diǎn)，則，又因為PA∥平面EBF，平面EBF平面PAC，PA平面PAC，則PA∥OF，所以.故答案為：.25．如圖，為平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，分別為上一點(diǎn)，且，當(dāng)平面時，.

【答案】/【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解析】如圖，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié).

因為，所以，因為平面，平面平面平面，所以，所以.故答案為：題型8：由線面平行求線段長度（含取值范圍問題）26．A是所在平面外一點(diǎn)，M是的重心，N是的中線AF上的點(diǎn)，并且平面BCD，當(dāng)時，．

【答案】4【分析】先根據(jù)線面平行性質(zhì)得出，再根據(jù)中位線從而求出，再由重心得到，計算求解即可.【解析】因為平面，平面，平面平面.所以，M是的重心，N是的中線AF上的點(diǎn)，所以E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，N是的重心,所以，又因為M，N分別是和的重心，所以且,所以.故答案為：4.27．如圖所示，在棱長為1的正方體中，設(shè)分別是線段、上的動點(diǎn)，若平面，則線段長的最小值為．【答案】【分析】作出輔助線，得到要使平面，則四邊形為平行四邊形，故，設(shè)，表達(dá)出，求出最小值.【解析】過點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，要想平面，則四邊形為平行四邊形，故，設(shè)，則，故，由勾股定理得，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故.故答案為：28．如圖，四邊形為四面體的一個截面，若四邊形為平行四邊形，，，則四邊形的周長的取值范圍是.【答案】【分析】依題意可得，，設(shè)，，求出、的關(guān)系式，再求四邊形的周長的取值范圍即可．【解析】解：四邊形為平行四邊形，；平面，平面，平面；又平面，平面平面，，同理可得；設(shè)，，，，；又，，，，且；四邊形的周長為，；四邊形周長的取值范圍是．故答案為：29．如圖，正三棱柱的底面邊長是4，側(cè)棱長是，M為的中點(diǎn)，N是側(cè)面上一點(diǎn)，且∥平面，則線段MN的最大值為.

【答案】【分析】利用面面平行的性質(zhì)，通過平面平面，得出點(diǎn)在線段上，從而求出線段的最大值．【解析】如圖，

取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，所以，又面，面，所以平面，又為的中點(diǎn)，所以，又面，面，所以平面，又，面，面，所以平面平面，又因為是側(cè)面上一點(diǎn)，且平面，所以在線段上，因為正三棱柱的底面邊長是4，側(cè)棱長是所以平面，因為平面，所以又M為的中點(diǎn)，所以所以則，又所以線段的最大值為．故答案為：．30．如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BC，的中點(diǎn)，P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），若平面AEF，則線段長度的取值范圍是.【答案】【分析】分別取棱的中點(diǎn)，通過證明平面可得必在線段上，進(jìn)而可求得長度的取值范圍.【解析】如下圖所示，分別取棱的中點(diǎn)，連接，連接，因為為所在棱的中點(diǎn)，所以，所以，又平面平面，所以平面；因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面，因為是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，則必在線段上，在直角中，，同理，在直角中，求得，所以為等腰三角形，當(dāng)在中點(diǎn)時，，此時最短，位于處時最長，，，所以線段長度的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)的存在性問題，解題的關(guān)鍵是取棱的中點(diǎn)，得出點(diǎn)必在線段上，從而將問題轉(zhuǎn)化為在中.一、填空題1．如圖，已知四棱錐的底面是菱形，交于點(diǎn)O，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)在上，，平面，則的值為.【答案】3【分析】根據(jù)，得到，利用平面，得到，結(jié)合比例式的性質(zhì)，得到，即可求解.【解析】解：設(shè)與交于點(diǎn)，連接，如圖所示，因為為的中點(diǎn)，則，由四邊形是菱形，可得，則，所以，所以，又因為平面，平面，平面平面，所以，所以.故答案為：3.2．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AD，BC上的點(diǎn)，且AD＝3AE，BC＝3BF，設(shè)P，Q分別為線段AF，CE的中點(diǎn)，將四邊形ABFE沿著直線EF進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)A不在平面CDEF上，在這一過程中，下列關(guān)系不能成立的是．（填序號）①直線AB∥直線CD；②直線PQ∥直線ED；③直線PQ∥平面ADE.【答案】②【解析】解析：翻折之后如圖所示：因為AD＝3AE，BC＝3BF，所以AB∥EF且EF∥CD，因此AB∥CD，故①成立．連接FD，由以上分析知四邊形CDEF為矩形，所以Q為FD的中點(diǎn)．因為P為AF的中點(diǎn)，所以PQ∥AD.因為PQ∥AD，ED∩AD＝D，所以PQ與ED不平行，故②不成立．因為PQ∥AD，且PQ?平面ADE，AD?平面ADE，所以PQ∥平面ADE，故③成立．故選②.3．如圖，長方體的底面是正方形，其側(cè)面展開圖是邊長為的正方形，?分別是側(cè)棱?上的動點(diǎn)，，點(diǎn)在棱上，且，若平面，則.【答案】1【分析】先連接AC交BD于O，進(jìn)而通過線面平行的性質(zhì)定理得出∥，然后在上截取PQ，使得PQ=PA=1，進(jìn)而證明∥，得出∥，進(jìn)一步得到四邊形是平行四邊形，得出，結(jié)合條件的長度關(guān)系最后得到答案.【解析】由題意可知，長方體的高為4，底面ABCD是邊長為1的正方形，連接AC交BD于O，連接PO，因為EF∥平面PBD，平面EACF，平面EACF平面PBD=PO，所以∥.在上截取PQ，使得PQ=PA=1，連接QC，易知O為AC的中點(diǎn)，所以∥，所以∥，又∥，所以四邊形是平行四邊形，所以.又，所以，所以CF=1.故答案為：1.4．三棱錐中，和均為邊長為2的等邊三角形，分別在棱上，且平面平面，若，則平面與三棱錐的交線圍成的面積最大值為．【答案】【分析】首先證明截面為長方形，設(shè)，將面積表示為關(guān)于的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果.【解析】如圖所示，因為平面，設(shè)面，所以，同理：，設(shè)，所以，即，所以四邊形為平行四邊形，即，平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，即，且，取中點(diǎn)，連接，易得，，，所以面，所以，所以，所以四邊形為矩形，所以面與三棱錐的交線圍成的面積，當(dāng)，即為中點(diǎn)時，面積最大，最大值為，故答案為：.

5．如圖，矩形中，為的中點(diǎn)，，將沿直線翻折成（不在平面內(nèi)），連結(jié)，為的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法中正確的是.①平面②存在某個位置，使得③線段長度為定值【答案】①③【分析】（1）利用中位線，始終是解決有關(guān)中點(diǎn)問題的一個方法，所以要考慮作輔助線；（2）考慮用反證法；（3）圖形里面的幾何關(guān)系要搞清楚，旋轉(zhuǎn)的過程中有一些幾何關(guān)系是不變的.【解析】設(shè)F是AD邊的中點(diǎn)，連接CF，與MD交于點(diǎn)E，①：∵四邊形ABCD是矩形，∴，，,四邊形AMCF是平行四邊形，，∵F，N分別是AD，的中點(diǎn)，∴，又∵，，平面，平面，平面，平面，∴平面平面FNC；直線平面FNC，∴平面，故①正確；②：如果，∵，∴平面CND，，即，是直角三角形的斜邊，而，這是不可能的，故②錯誤；③：，在旋轉(zhuǎn)過程中，保持幾何關(guān)系不變，，又∵，，，，∴，在中，運(yùn)用余弦定理得：故CN為定值，③正確.故答案為：①③.二、單選題6．如圖所示為正八面體的展開圖，該幾何體的8個表面都是邊長為1的等邊三角形，在該幾何體中，P為直線DE上的動點(diǎn)，則P到直線AB距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出該幾何體，確定直線DE和直線AB為異面直線，再根據(jù)平面//平面，結(jié)合等體積法求得到平面的距離即可.【解析】把平面展開圖還原為空間八面體，如圖所示：由題意，P到直線AB距離的最小值即直線到直線的距離，又//，平面，平面，故//平面.又，故四邊形為菱形，則//.平面，