2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-殘差分析與決定系數(shù)-專項訓(xùn)練

?■■..............基礎(chǔ)鞏固練

1.某生物實驗小組設(shè)計實驗,得到光照強度尤與某種植物光合作用速率y的一組數(shù)據(jù)（即,8）,經(jīng)

n△

過分析提出了四種回歸模型⑦②③④，這四種模型的殘差平方和E8-%）2的值分別為

1=1

0.48,0.99,0.15,1.23,則擬合效果最好的是（）

A.模型①B.模型②

C.模型③D.模型④

2.下列關(guān)于回歸分析的說法錯誤的是（）

A.回歸直線一定過樣本點的中心（元，歹）

B.殘差圖中殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適

C.甲、乙兩個模型的R2分別約為0.97和0.82,則模型乙的擬合效果更好

D.兩個模型中，殘差平方和越小的模型擬合的效果越好

3.線性回歸分析模型中，變量X與￥的一組樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的點均在直線y=$+l上,R2表示解

釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻率，則R2=（）

11

A.2B.lC.|D；

4.為調(diào)查某企業(yè)年利潤M單位:萬元）和它的年研究費用尤（單位:萬元）的相關(guān)性,收集了5組成

對數(shù)據(jù)（x,y）,如下表所示：

X12345

',50607080100

A

由上表中數(shù)據(jù)求得y關(guān)于尤的經(jīng)驗回歸方程為y=12x+a,據(jù)此計算出樣本點（4,80）處的殘差（殘

差=觀測值-預(yù)測值）為（）

A.-2B.-3C.-4D.-5

5.（多選題）6個數(shù)據(jù)（x,y）的散點圖如圖所示,采用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗回歸方程，在6個

數(shù)據(jù)中去掉夙5,6）后，下列說法正確的是（）

4?4（1,6）.￡（5,6）

?8（2,5）

..0（4,4）

C（3,4）”（6,3）

0|

A.解釋變量尤與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強

B.樣本相關(guān)系數(shù)廠變大

C.殘差平方和變小

D.決定系數(shù)F變小

6.（多選題）下列命題中，是真命題的是（）

A.樣本數(shù)據(jù)尤,傘=1,2,…與樣本數(shù)據(jù)9=方+（??=1,2,…,”）,c為非零常數(shù),兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本

平均數(shù)相同

B.在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高

C.（x-y）"的二項展開式中，第r項的二項式系數(shù)是RT

D.在線性回歸模型中，相關(guān)指數(shù)配越接近于1,說明回歸的效果越好

7.色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標(biāo)，現(xiàn)抽檢一批產(chǎn)品，測得如下數(shù)據(jù)：

色

差212325272931

X

色

度151619202123

已知該產(chǎn)品的色度y和色差x之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且y=0.8x+a,現(xiàn)有一對測量數(shù)據(jù)

（32,23.3）,則該組數(shù)據(jù)的殘差為.

A

8.（2023連云港期中）已知樣本點（汨,8）（，=1,2,3,…的回歸直線方程為y=2x+o,若樣本點（r,l）

AA

與（l,s）的殘差相同，則s與r的關(guān)系式為.（附:樣本點（無萌）的殘差生=*%）

9.（2023無錫月考）光伏發(fā)電是利用太陽能電池及相關(guān)設(shè)備將太陽光能直接轉(zhuǎn)化為電能.近幾

年在國內(nèi)出臺的光伏發(fā)電補貼政策的引導(dǎo)下，某地光伏發(fā)電裝機量急劇上漲，如下表：

年

20152016201720182019202020212022

份

年

份

代12345678

碼

r

新

增

光

伏

裝

0.40.81.63.15.17.19.712.2

機

量

v/

兆

瓦

AA

某位同學(xué)分別用兩種模型勖=加+區(qū)勃=心+。進行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進行殘差

A

分析，殘差圖如圖（注:殘差等于％%）:

經(jīng)過計算得￡（如元）0歹）=72.8,￡（總元＞=42,XS工）8-歹）=686.8,￡ft-t）2=3570,其中

1=11=11=11=1

7—1°

ti=xi，t=6￡ti.

8i=i

⑴根據(jù)殘差圖，比較模型①、模型揶擬合效果,應(yīng)該選擇哪個模型?并簡要說明理由.

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測該地區(qū)2024年新增光伏裝

機量是多少.（在計算回歸系數(shù)時精確到0.01）

A

S（Xi-x）（ycy）A

參考公式:b=3———,a=y-bx.

S（x；-x）2.

i=l

綜合提升練

10.（2023鹽城期中）某種產(chǎn)品的廣告支出費用M單位:萬元）與銷售量y（單位:萬件）之間的對應(yīng)

數(shù)據(jù)如下表所示:

廣

告

支

出2.22.64.05.35.9

費

用

X

銷

售

3.85.47.011.612.2

y

A

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為y=2.27尤-1.08小2乜）.96,則以下說法正確的是（）

A

A.第三個樣本點對應(yīng)的殘差e3=-l,回歸模型的擬合效果一般

B.第三個樣本點對應(yīng)的殘差03=1,回歸模型的擬合效果較好

C.銷售量y的多少有96%是由廣告支出費用帶來的

D.銷售量y的多少有4%是由廣告支出費用帶來的

11.對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（無必）。=1,2,3,…⑼,根據(jù)最小二乘法求得回歸直線方程

AAA

為y=6x+a,則下列說法正確的是（）

A.預(yù)報變量y的值由解釋變量x唯一確定

B.在回歸分析中,上=0.80的模型比R2=O.98的模型擬合效果好

AAA

C.所有的樣本點均落在回歸直線y=6x+a上

D.殘差圖中，殘差點分布水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，則回歸方程的預(yù)報精確度越高

12.（多選題）某城市隨機選取30個人進行調(diào)查，得到他們的收入、生活成本及幸福感分?jǐn)?shù)（幸福

感分?jǐn)?shù)為0~10分），并整理得到散點圖（如圖），其中尤是收入與生活成本的比值,y是幸福感分?jǐn)?shù),

A

經(jīng)計算得回歸方程為y=1.501x+1.541.根據(jù)回歸方程可知（）

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

A.y與x成正相關(guān)

B.樣本點中殘差的絕對值最大是2.044

C.只要增加民眾的收入就可以提高民眾的幸福感

D.當(dāng)收入是生活成本的3倍時,預(yù)報的幸福感分?jǐn)?shù)為6.044

13.某種產(chǎn)品的廣告支出尤（單位:萬元）與銷售額y（單位:萬元）之間的關(guān)系如下表:

v24568

v3040605()70

若已知y關(guān)于尤的經(jīng)驗回歸方程為y=6.5x+17.5，則當(dāng)廣告支出為6萬元時，隨機誤差的效應(yīng)（殘

差）為萬元.（殘差=觀測值-預(yù)測值）

A

14.（2023揚州調(diào)研）現(xiàn)有一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)x和％根據(jù)數(shù)據(jù)建立如下的兩個模型:g=6.5x+2,②

A

y=7x+2.8.通過殘差分析發(fā)現(xiàn)線性模型①比線性模型型合效果好.若R2,Q分別是相關(guān)指數(shù)

和殘差平方和，則下列結(jié)論正確的是.?R1>形，②睹<謬，③

15.（2023蘇州調(diào)研）某高科技公司對其產(chǎn)品研發(fā)年投資額尤（單位:百萬元）與該產(chǎn)品的年銷售

量y(單位:千件)的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，整理后得到如下統(tǒng)計表和散點圖.通過初步分析，求得年銷售

A

量y關(guān)于年投資額x的經(jīng)驗回歸方程為y=1.2/L3.

t年銷售量/千件

6--------------------

5--------------------

4

3

2

11年投窖額值萬元

0123456

表1

X1>315

v0.511.5：65

表2

X12345

二二In

-0.700.41.11.7

y

⑴該公司科研團隊進一步分析散點圖的特征后，計劃用尸*+。作為年銷售量y關(guān)于年投資額

x的非線性經(jīng)驗回歸方程,請根據(jù)參考數(shù)據(jù)及表2中的數(shù)據(jù),求出此方程；

(2)若求得線性回歸模型的相關(guān)系數(shù)暇=0.88,請根據(jù)參考數(shù)據(jù)，求出(1)中非線性回歸模型的相

關(guān)系數(shù)形,并比較兩種回歸方程的擬合效果哪個更好.(精確到0.01)

55

參考數(shù)據(jù)：tx?=55，X^/=13.4;e-°-68s0J4,e-009?0.96,e0-50=1.74,e109~3.15,e1-68~5.67.

i=li=l

nnnAnA

AA

S(xrx)(yry)￡Xiynxy△c2優(yōu)-%)2N優(yōu)-%)2

i=l_i=lc

參考公式:b=n,a=y-位,耳----7=1耳----2

_2一九？_2

￡￡xj-rixE(y㈤2?y2,^

i=li=li=li=l

創(chuàng)新應(yīng)用練

164,8兩個物理興趣小組在實驗室研究某粒子的運動軌跡，共同記錄到粒子的13個位置的坐

標(biāo)信息如下：

X-0.93-0.82-0.77-0.61-0.55-0.33-0.27

V-0.26-0.41-0.45-0.45-0.60-0.67-0.68

X0.100.420.580.640.670.76

-0.710.640.550.550.530.46

A小組根據(jù)表中數(shù)據(jù),直接對3作線性回歸分析，得到回歸方程為y=0.5993元+0.005,相關(guān)指數(shù)

7?2=0,4472;

B小組先將數(shù)據(jù)依變換片式片產(chǎn)進行整理，再對v,u作線性回歸分析，得到回歸方程為

A

u=-0.5006"+0.4922,相關(guān)指數(shù)1?2=0.9375.

根據(jù)統(tǒng)計學(xué)知識，下列方程中，最有可能是該粒子運動軌跡方程的是()

A.0.5993%-y+0.005=0

B.0.5006x+y-0.4922=0

0.5006%2y2

,0.4922+0.4922—

%20.5006y2

"o.4922+0.4922

參考答案

l.C2.C3.B4.C5.AC6.BCD

7.-0.58.s=3-2r

9.解(1)選擇模型①

理由如下:根據(jù)殘差圖可以看出，模型①的估計值和真實值比較相近,

模型②的殘差值相對較大一些,所以模型①的擬合效果相對較好.

AAA

(2)由⑴可知,y關(guān)于x的回歸方程為y=bx^+a,

AAA

令Ux2,則y=bt+a.

由所給數(shù)據(jù)可得￡=：￡Tx(l