第12練函數(shù)與方程一、課本變式練1.（人A必修一P155習題4.5T1變式）下列函數(shù)圖象與x軸都有公共點,其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點近似值的是（

）A． B．C． D．2.（人A必修一P155習題4.5T2變式）已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有如下對應值表：x123456y1082則下列結(jié)論正確的是（

）A．在內(nèi)恰有3個零點 B．在內(nèi)至少有3個零點C．在內(nèi)最多有3個零點 D．以上結(jié)論都不正確3.（人A必修一P144練習T2變式）設函數(shù)的零點為,則（

）A． B． C． D．4.（人A必修一P155習題4.5T7變式）若關于的方程的一根大于1,另一根小于1,則實數(shù)的取值范圍為______．二、考點分類練(一)函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷5．（2022屆天津市紅橋區(qū)高三下學期一模）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．6.（2022屆河南省焦作市高三第一次模擬）設函數(shù)的零點為,則（

）A． B． C． D．(二)函數(shù)零點個數(shù)的判斷7．函數(shù)的零點個數(shù)為（

）個A．2 B．1 C．0 D．38.（2022屆天津市靜海區(qū)高三下學期3月調(diào)研）已知函數(shù)是周期為的周期函數(shù),且當時時,,則函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A． B． C． D．9.（2022屆安徽省十校聯(lián)盟高三下學期4月聯(lián)考）已知函數(shù),則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6(三)函數(shù)零點的應用10．（2022屆四川省攀枝花市高三上學期考試）已知直線與函數(shù)的圖象恰有個公共點,則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．11.（2022屆黑龍江省大慶市高三第三次質(zhì)量檢測）已知定義域為R的偶函數(shù)滿足,當時,,則方程在區(qū)間上所有解的和為（

）A．8 B．7 C．6 D．512．已知函數(shù),若有三個不同的實數(shù),使得,則的取值范圍為（

）A． B．C． D．三、最新模擬練13.（2022屆安徽省部分學校高三上學期期末聯(lián)考）函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．14．（2022屆江西省重點中學盟校高三第二次聯(lián)考）已知函數(shù),,的零點分別是a,b,c,則a,b,c的大小順序是（

）A． B． C． D．15.（2022屆北京市豐臺區(qū)高三上學期期末）已知函數(shù),若函數(shù)有兩個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．16.（2022屆江西省萍鄉(xiāng)市高三二模）已知函數(shù),則的所有零點之和為（

）A． B． C． D．17.（2022屆福建省莆田市高三三模）已知函數(shù),函數(shù),則下列結(jié)論正確的是（

）A．若有3個不同的零點,則a的取值范圍是B．若有4個不同的零點,則a的取值范圍是C．若有4個不同的零點,則D．若有4個不同的零點,則的取值范圍是18.（2022屆河北省高三下學期4月全過程縱向評價）已知函數(shù)有四個不同零點,分別為,,則下列說法正確的是（

）．A．B．C．D．19.（2022屆重慶市第八中學校高三下學期月考）已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的有（

）A．N*B．恒成立C．關于x的方程R)有三個不同的實根,則D．關于x的方程N*)的所有根之和為20.（2022屆四川省成都市高三下學期“三診）若函數(shù)的圖象關于直線對稱,且直線與函數(shù)的圖象有三個不同的公共點,則實數(shù)k的值為______．21.（2022屆浙江省紹興市高三下學期4月考試）已知a,,若,,是函數(shù)的零點,且,,則的最小值是__________．22.（2022屆重慶市西北狼教育聯(lián)盟高三上學期質(zhì)量檢測）函數(shù)滿足,當時,,若有8個不同的實數(shù)解,則實數(shù)m的取值范圍是______．四、高考真題練23．(2018全國卷Ⅰ)已知函數(shù),．若存在個零點,則的取值范圍是 ()A． B． C． D．24.(2017全國卷Ⅲ)已知函數(shù)有唯一零點,則 ()A． B． C． D．25.(2020全國卷Ⅲ)設函數(shù),曲線在點(,f())處的切線與y軸垂直．(1)求b．(2)若有一個絕對值不大于1的零點,證明：所有零點的絕對值都不大于1．26.(2019全國卷Ⅱ)已知函數(shù)．討論的單調(diào)性,并證明有且僅有兩個零點；設是的一個零點,證明曲線在點處的切線也是曲線的切線．五、綜合提升練27.（2022屆天津市寶坻區(qū)高三上學期考試）已知函數(shù)恰有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．28.（2022屆江西省八校高三第一次聯(lián)考）已知函數(shù)的三個零點分別為,其中,則的取值范圍為（

）A． B． C． D．29.（2022屆江蘇省泰州市高三上學期期中）已知關于x的方程有兩個不等的實根x1,x2,且x1＜x2,則下列說法正確的有（

）A． B． C． D．30.（2022屆河南省鄭州市高三第二次質(zhì)量預測）已知函數(shù),（）,（）,給出下列四個命題,其中真命題有________．（寫出所有真命題的序號）①存在實數(shù)k,使得方程恰有一個根；②存在實數(shù)k,使得方程恰有三個根；③任意實數(shù)a,存在不相等的實數(shù),使得；④任意實數(shù)a,存在不相等的實數(shù),使得．第12練函數(shù)與方程一、課本變式練1.（人A必修一P155習題4.5T1變式）下列函數(shù)圖象與x軸都有公共點,其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點近似值的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意,利用二分法求函數(shù)零點的條件是：函數(shù)在零點的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號相反,即穿過x軸,據(jù)此分析選項：A選項中函數(shù)不能用二分法求零點,故選A.2.（人A必修一P155習題4.5T2變式）已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有如下對應值表：x123456y1082則下列結(jié)論正確的是（

）A．在內(nèi)恰有3個零點 B．在內(nèi)至少有3個零點C．在內(nèi)最多有3個零點 D．以上結(jié)論都不正確【答案】B【解析】依題意,（2）,（3）,（4）,（5）,根據(jù)零點的存在性定理可知,在區(qū)間和及內(nèi)至少含有一個零點,故函數(shù)在區(qū)間上的零點至少有3個,故選．3.（人A必修一P144練習T2變式）設函數(shù)的零點為,則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知在R上單調(diào)遞增且連續(xù)．由于,,,當時,,所以．故選B4.（人A必修一P155習題4.5T7變式）若關于的方程的一根大于1,另一根小于1,則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】由題意,關于的方程的一根大于1,另一根小于1,設,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得,解得,所以實數(shù)的取值范圍為.二、考點分類練(一)函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷5．（2022屆天津市紅橋區(qū)高三下學期一模）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)是上的連續(xù)增函數(shù),,可得,所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選C6.（2022屆河南省焦作市高三第一次模擬）設函數(shù)的零點為,則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知在R上單調(diào)遞增且連續(xù)．由于,,,當時,,所以．故選B(二)函數(shù)零點個數(shù)的判斷7．函數(shù)的零點個數(shù)為（

）個A．2 B．1 C．0 D．3【答案】A【解析】由,由,所以函數(shù)的零點個數(shù)為2,故選A.8.（2022屆天津市靜海區(qū)高三下學期3月調(diào)研）已知函數(shù)是周期為的周期函數(shù),且當時時,,則函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】零點個數(shù)就是圖象交點個數(shù),作出圖象,如圖：由圖可得有個交點,故有個零點．故選B．9.（2022屆安徽省十校聯(lián)盟高三下學期4月聯(lián)考）已知函數(shù),則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】令,當時,且遞增,此時,當時,且遞減,此時,當時,且遞增,此時,當時,且遞增,此時,所以,的零點等價于與交點橫坐標對應的值,如下圖示：由圖知：與有兩個交點,橫坐標、：當,即時,在、、上各有一個解；當,即時,在有一個解.綜上,的零點共有4個.故選B(三)函數(shù)零點的應用10．（2022屆四川省攀枝花市高三上學期考試）已知直線與函數(shù)的圖象恰有個公共點,則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意,函數(shù),作出的圖象：當時,直線和函數(shù)的圖象只有一個交點；當時,直線和函數(shù)的圖象只有一個交點,直線和函數(shù)的圖象有2個交點,即方程在上有2個實數(shù)根,,則有,解可得,即的取值范圍為,11.（2022屆黑龍江省大慶市高三第三次質(zhì)量檢測）已知定義域為R的偶函數(shù)滿足,當時,,則方程在區(qū)間上所有解的和為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【解析】因為函數(shù)滿足,所以函數(shù)的圖象關于直線對稱,又函數(shù)為偶函數(shù),所以,所以函數(shù)是周期為2的函數(shù),又的圖象也關于直線對稱,作出函數(shù)與在區(qū)間上的圖象,如圖所示：由圖可知,函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有8個交點,且關于直線對稱,所以方程在區(qū)間上所有解的和為,故選A.12．已知函數(shù),若有三個不同的實數(shù),使得,則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得：；當時,單調(diào)遞增；當時,單調(diào)遞減；且時,關于對稱；當時,單調(diào)遞增；又,,,設,由知：,,.故選B.三、最新模擬練13.（2022屆安徽省部分學校高三上學期期末聯(lián)考）函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得為上的遞增函數(shù),,,,,由零點存在定理可知,在區(qū)間存在零點,故選.14．（2022屆江西省重點中學盟校高三第二次聯(lián)考）已知函數(shù),,的零點分別是a,b,c,則a,b,c的大小順序是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知條件得的零點可以看成與的交點的橫坐標,的零點可以看成與的交點的橫坐標,的零點可以看成與的交點的橫坐標,在同一坐標系分別畫出,,,的函數(shù)圖象,如下圖所示,可知,故選.15.（2022屆北京市豐臺區(qū)高三上學期期末）已知函數(shù),若函數(shù)有兩個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)有兩個不同的零點,即為函數(shù)與直線有兩個交點,函數(shù)圖象如圖所示：所以,故選D.16.（2022屆江西省萍鄉(xiāng)市高三二模）已知函數(shù),則的所有零點之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】時,由得,時,由得或,所以四個零點和為．故選D．17.（2022屆福建省莆田市高三三模）已知函數(shù),函數(shù),則下列結(jié)論正確的是（

）A．若有3個不同的零點,則a的取值范圍是B．若有4個不同的零點,則a的取值范圍是C．若有4個不同的零點,則D．若有4個不同的零點,則的取值范圍是【答案】BCD【解析】令得,即所以零點個數(shù)為函數(shù)與圖像交點個數(shù),故,作出函數(shù)圖像如圖,由圖可知,有3個不同的零點,則a的取值范圍是,故A選項錯誤；有4個不同的零點,則a的取值范圍是,故B選項正確；有4個不同的零點,此時關于直線對稱,所以,故C選項正確；由C選項可知,所以,由于有4個不同的零點,a的取值范圍是,故,所以,故D選項正確.故選BCD18.（2022屆河北省高三下學期4月全過程縱向評價）已知函數(shù)有四個不同零點,分別為,,則下列說法正確的是（

）．A．B．C．D．【答案】ACD【解析】由題意知有四個不同的根,顯然,即,令,即,即．另外,,,令得,故在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,當時,,如圖所示．根據(jù)題意知存在兩根,,不妨設,則滿足,．即有,,則由圖象可知,故A正確；由于,,故,由圖象可知,,,故,即,B錯誤；結(jié)合以上分析可知,故C正確；由,,得,兩邊取自然對數(shù)得,D正確,故選ACD．19.（2022屆重慶市第八中學校高三下學期月考）已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的有（

）A．N*B．恒成立C．關于x的方程R)有三個不同的實根,則D．關于x的方程N*)的所有根之和為【答案】AC【解析】由題知,故A正確；由上可知,要使恒成立,只需滿足時,成立,即,即成立,令,則得,易知當時有極大值,故B不正確；作函數(shù)圖象,由圖可知,要使方程R)有三個不同的實根,則,即,故C正確；由可知,函數(shù)在上的函數(shù)圖象可以由上的圖象向右平移一個單位長度,在將所有點的橫坐標不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫?由于的對稱軸為,故的兩根之和為,同理,的兩根之和為,…,的兩根之和為,故所有根之和為,故D錯誤.故選AC20.（2022屆四川省成都市高三下學期“三診）若函數(shù)的圖象關于直線對稱,且直線與函數(shù)的圖象有三個不同的公共點,則實數(shù)k的值為______．【答案】【解析】由已知可得,是的兩個零點,因為函數(shù)圖象關于直線,因此和也是的零點,所以．由題意可知,關于的方程有三個不同的實數(shù)解．令,則關于的方程有兩個不同的實數(shù)解,,且關于的方程與中一個方程有兩個相同的實數(shù)解,另一個方程有兩個不同的實數(shù)解,則或,因此與中有一個等于,另一個大于．不妨設,則,解得,此時,解得、滿足條件,因此．21.（2022屆浙江省紹興市高三下學期4月考試）已知a,,若,,是函數(shù)的零點,且,,則的最小值是__________．【答案】【解析】即,可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點①若,此時,由對稱性可知,不合題意②若,此時,由題意得對于方程故解得故令,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增故的最小值為22.（2022屆重慶市西北狼教育聯(lián)盟高三上學期質(zhì)量檢測）函數(shù)滿足,當時,,若有8個不同的實數(shù)解,則實數(shù)m的取值范圍是______．【答案】【解析】由得：對稱軸為,當時,,當時,,當時,,故在處取得極小值,且為最小值,,令,則,要想有8不同的實數(shù)解,故要有兩個根,則,解得：或,且兩根均要大于,所以要滿足,解得：,綜上：.四、高考真題練23．(2018全國卷Ⅰ)已知函數(shù),．若存在個零點,則的取值范圍是 ()A． B． C． D．【答案】C【解析】由得,作出函數(shù)和的圖象如圖當直線的截距,即時,兩個函數(shù)的圖象都有2個交點,即函數(shù)存在2個零點,故實數(shù)的取值范圍是,故選C．24.(2017全國卷Ⅲ)已知函數(shù)有唯一零點,則 ()A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：,設,當時,,當時,,函數(shù)單調(diào)遞減；當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,當時,函數(shù)取得最小值,設,當時,函數(shù)取得最小值,若,函數(shù)和沒有交點,當時,時,函數(shù)和有一個交點,即,所以,故選C．法二：由條件,,得：所以,即為的對稱軸由題意,有唯一零點,∴的零點只能為即解得．25.(2020全國卷Ⅲ)設函數(shù),曲線在點(,f())處的切線與y軸垂直．(1)求b．(2)若有一個絕對值不大于1的零點,證明：所有零點的絕對值都不大于1．【解析】（1）因為,由題意,,即,則；（2）由（1）可得,,令,得或；令,得,所以在上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,且,若所有零點中存在一個絕對值大于1零點,則或,即或．當時,,又,由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點,即在上存在唯一一個零點,在上不存在零點,此時不存在絕對值不大于1的零點,與題設矛盾；當時,,又,由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點,即在上存在唯一一個零點,在上不存在零點,此時不存在絕對值不大于1的零點,與題設矛盾；綜上,所有零點的絕對值都不大于1．26.(2019全國卷Ⅱ)已知函數(shù)．討論的單調(diào)性,并證明有且僅有兩個零點；設是的一個零點,證明曲線在點處的切線也是曲線的切線．【解析】的定義域為.因為,所以在和上是單調(diào)遞增.因為,,所以在有唯一零點,即．又,,故在有唯一零點．綜上,有且僅有兩個零點．因為,故點在曲線上．由題設知,即,故直線的斜率．曲線在點處切線的斜率是,曲線在點處切線的斜率也是,所以曲線在點處的切線也是曲線的切線．五、綜合提升練27.（2022屆天津市寶坻區(qū)高三上學期考試）已知函數(shù)恰有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當時,在上單調(diào)遞減,又,所以函數(shù)在上沒有零點,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在上至多有一個零點,故當時,函數(shù)在R上至多有一個零點,不合題意；當時,,,令,得,∴時,,函數(shù)單調(diào)遞增；時,,函數(shù)單調(diào)遞減,∴時,函數(shù)有最大值,,∴當,即時,函數(shù)在上沒有零點,當,即時,函數(shù)在上有一個零點,當,即時,函數(shù)在上有兩個零點；對于,,對稱軸為,函數(shù)在上最小值為,又,∴當,即,函數(shù)在上沒有零點,當,即,函數(shù)在上有一個零點,當,即,函數(shù)在上有兩個零點；所以要使函數(shù)恰有兩個零點則,或a=?12ea=?1,或解得或；綜上,實數(shù)的取值范圍是或.故選C.28.（2022屆江西省八校高三第一次聯(lián)考）已知函數(shù)的三個零點分別為,其中,則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】,顯然,令,（）,即,（）令,（）,則,（）,令,（）,要想除1外再有兩個零點,則在上不單調(diào),則,解得：或,當時,在恒成立,則在單調(diào)遞增,不可能有兩個零點,舍去當時,設即的兩根為,且,則有,故,令,解